平行四边形存在性问题巩固练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

平行四边形存在性问题巩固练习

1.在直角坐标系中，。是原点，4B、C三点的坐标分别为力(18,0),B(18,8),C(6,8),四边形O18C

是梯形，点尸、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点尸沿04向终点力运动，速度为每秒2个单位,

点。沿。C、C8向终点8运动，速度为每秒3个单位，当这两点有一点到达自己的终点则另一点也停止运

动，设从出发起，运动了，秒.

①求直线OC的解析式.

②试写出点。的坐标，并写出此时，的取值范围.

③从运动开始，梯形被直线尸。分割后的图形中是否存在平行四边形，若存在，求出z的值，若不存在，请

说明理由.

④/为何值时，直线把梯形比1分成面积为1：7的两部分？

5

【分析】(1)利用待定系数法根据点。、点C的坐标就可以求出直线的解析式.

(2)分。在。。上，和在C8上两种情况进行讨论.利用直线0C的解析式就可以求出。点在0c上和CB

上的坐标.即0W/W5和5C/W10两种情况.

(3)当CQ=0P时，四边形OP。。是平行四边形，就可以表示出C0=3f-10,OP=2l,由平行四边形的

性质就可以求出/的性质，然后根据/的取值范围就可以确定值的存在性.

(4)直线PQ把梯形OCBA分成面积为1:7的两部分从两种情况进行计算.当五边形CQPAB为7份时和

四边形3。4为1份时分别计算出/的值就可以了.

【解答】解：(1)设OC的解析式为y=krm，

:。、C两点的坐标分别为O(0,0),C(6,8),

.北：方,解得：kJb=0,

・4

・・N=F：

4

(2)当。在OC上运动时，可设0(加，-tn),

4

依题意有：州2+(m)2=(3/)2

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•6

..in=『3

:、Q(g，，(OWfW与)

当Q在CB上时，。点所走过的路程为33

V(7C=10,

：.CQ=3t-10,

・・・。点的横坐标为3「10+6=3/-4,

1022

••Q(3/-4»8)»(―<z<-).

(3)当四边形OPQC是平行四边形时，

:・CQ=OP.

VC0=3Z-10,OP=2t,

・・・3f-10=2/,

：.l=10.

22

Vz<—,

・•・不存在四边形

当四边形PABQ为平行四边形时，

:.BQ=PA,

*：BQ=22-3/,PA=1S-2t,

A22-3/=18-2t,

・34

(4),：A(18,0),B(18,8),C(6,8),

，O4=18,BC=\2,AB=8,

_8(12+18)_

••3四通形OABC-------2120

•・•直线尸。把梯形OC84分成面积为1：7,设两部分的面积分别为x、7x,

・・・x+7x=120,

・・・x=15,

当上里=15时，/=1,

22

当暨二产=12。75时，一条

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综二所述当f=|或/=学时直线PQ把梯形OCBA分成面积为1:7的两部分.

【点评】本题考查了直角梯形的性质，函数自变量的取值范围，待定系数法求函数的解析式，三角形的面

枳，平行四边形的判定，梯形的百枳的运用.

2.已知抛物线-（m+3）x+5（机+1）.

（1）小明发现无论〃?为何值时，抛物线总与x轴相交，你知道为什么吗？请给予说明.

（2）如图，抛物线与x轴的正半轴交于M,N两点，且线段的长度为2,求此抛物线的解析式.

（3）如图，（2）中的抛物线与y轴交于点儿过点力的直线），=灯力与抛物线的另一个交点为点8,与抛物

线的对称轴交于点。，点C为抛物线的顶点.问在线段44上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线交抛物

线于点£，使四边形。CEP为平行四边形？若存在，请求出该平行四边形的面积；若不存在，说明理由.

【分析】（1）运用判别式进行判断即可；

（2）设"（4[,0）,则N（必，0）,由根与系数关系得不+、2=阳+3,不”2=5（6+1）,再由访・刈=2,两

边平方，将两根关系代入求〃，的值；

（3）存在.根据抛物线解析式求力点坐标及顶点C的坐标，确定直线的解析式，再求。点坐标,

得到CO的长，设过P点的直线为x=〃，分别代入直线、抛物线解析式，可求P、E两点的纵坐标，表示线

段PE的长，根据尸E=CQ,列方程求〃的值，再求平行四边形的面积.

【解答】解：（1）\>=x2-（w+3）x+|（w+1）的判别式为

△=[-(w+3)]2-4x(ni+1)=w2+3>0,

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（3）如该二次函数的图象上有一点P,x轴上有一点E,问是否存在以4、G、E、尸为顶点的平行四边形？

若存在，求出点尸的坐标：若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由于4（3,0）、8（1,0）、C（0.3）三点在二次函数卜=44+队+c的图象上，直接用待定系

数法就可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式就可以求出顶点坐标.

（2）过点G作G〃_Lx轴于点〃，G〃_Ly轴于点凡由勾股定理求出4C、GC、力G从而求得△4GC是直角

三角形，从而求得tanZACG的值.

（3）当力G为边时，作G〃J_x轴于H,0V_Lx轴于点M由平行四边形的性质可以得出QK=/G,可以证

明PN=G〃，可以求出尸的坐标，当4G为对角线时，不存在.

【解答】解：（1）（3,0）＞B（1,0）、C（0.3）在二次函数y=a?+bx+c的图象上，

(9a+3b+c=0

.*.]«+Z?4-c=0

(c=3

(a=1

解得：b=-4,

c=3

・••二次函数的解析式为：y=/-4x+3,

：.y=Cv-2)2-1,

，顶点G(2,-I).

(2)G作GHVx轴于点H,GFLy轴于点F,

，：G(2,-1)、A(3,0)、B(L0)、C(0.3),

ACF=4,GF=2,GH=1,HA=\t在RtZXG/C、RtA/lOCsRt△G”/中由勾股定理，得

4^=18,GC2=20,AG2=2

•••△/ICG是直角三角形，且/C4G=90°,

/.tanZJCG=^7=7

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(3)当力G为边时，作&于"，7W_Lx轴于点N

；・/PNE=/GHA=90°

•・•四边形PEG4是平行四边形，

：.PE=AG,NPEA=NGAE,

:,&PNE沿4GHA,

:.PN=GH=\，'设P(m,1)

:.tn2-4m+3=1,

・••阳=2土M，

・・・P(2土疆1),

当，4G为对角线时，不可能.

【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，勾股定埋及勾股定理的

逆定理的运用，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义.

4.已知抛物线》="2+公+5经过点4(1,0),B(5,0)两点，顶点为。,设点E(x,y)是抛物线上一

动点，且在x轴卜方.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图I,①当点七(x,y)运动时，试求三角形O£〃的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S

中考核等

的最大值？

②在y轴上确定一点使点〃到。、4两点的距离之和最小，求点M的坐标.

(3)如图2,若四边形OE8尸是以08为对角线的平行四边形.是否存在这样的点区使平行四边形OEB"

为正方形？若存在，求£•点的坐标；若不存在，请说明理由.

VAVA

图1图2

【分析】(1)把,4、A两点坐标代入二次函数表达式，即可求解：

(2)①设点石的坐标为(x,x2-6x+5),S=S4OEB=3・OB.yE=一|(x2-6x+5),即可求解②连接)D

交y轴于点此时，MQ+M8最小，即可求解：

(3)当四边形OE"为正方形，则点E的坐标为号得)，当x时，尸9-6,什5工即可求解.

【解答】解：(1)抛物线》="2+■+5经过点4(1,0),B(5,0)两点，

则函数表达式为：y=a(x-X])(X-M)=。(x-1)(x-5)=a(x2-6x+5)»

则5。=5,即a=l,

故抛物线的表达式为：y=x2-6x+5；

(2)①设点E的坐标为G,r-6工+5)

S=S4OEB=^OB*yE=(N-6x+5),

<。=-|<()，故函数有最大值，

当工二一/=3时，函数最大值为S=10；

②找到点8关于y轴的对称点4,(-5,0),连接。交歹轴于点

此时，M到。、8两点的距离之和最小,

y=x2-6x+5,顶点。坐标为(3,-4),

设直线8'。的表达式为：y=mx^-n,

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将点"、。的坐标代入上式得：（■1='L解得:

IU——DlfL~rH

则直线夕。的表达式为：y=

令I=0,则y=即点M的坐标为（0,-1）；

（3）当四边形（儿A”为正方形，则点£.的坐标为得，一金，

当工=|时，产/_6X+5=（1）2-6X|+5=

即点£不在抛物线上，

故不存在点E,使平行四边形OEB厂为正方形.

【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到三角形的面积计算、特殊四边形基本性质等知识点,

是一道中等难度的题目.

5.已知，抛物线y=-N+bx+c,当1VXV3时，y值为正；当xVl或x>3时，y值为负.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若直线y=h+Z>（AW0）与抛物线交于点/（1,w）和8（4,〃），求直线的解析式.

（3）设平行于y轴的直线》=，和》=什2分别交线段于E、F,交二次函数于，、G.

①求,的取值范围；

②是否存在适当的/值，使得以C汨是平行四边形？若存在，求出/值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由题意知，抛物线与x轴的两交点坐标为（1,0）、（3,0）,用交点式求解析式即可；

（2）先求出4、8两点坐标，然后用待定系数法求直线解析式；

（3）①根据题意列不等式组，求解集即可；

②首先表示出E,F,G,，各点的坐标，进而根据平行四边形的性质求出，的值即可.

【解答】解：（I）•••抛物线夕=-N+6x+c,当l〈xV3时，y值为正，当x<l或Q3时，y值为负.

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，抛物线与x轴的两交点坐标为口，0)、(3,0),

'•y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3；

(2)二直线y=Ax+b(kWO)与抛物线交于点/(1,w)和8(4,〃)，

•,./»=-(^)2+4X1-3=〃=-4?+4义4-3=-3,

224

••A(~,B(4»~3),

把力、8两点坐标代入直线尸公fa#o)得：郎:;二1

解得：k=一；，b=-1,

・1i

••y=万一1；

(3)①•・•平行于y轴的直线x=z和x=f+2分别交线段初于乐F,交抛物线于〃、G,

解得：-</«2：

②存在；

•JHE//FG,

,当时，四边形EFG，是平行四边形，

•・•〃£：=-'+4/-3+»1=-户+夕-2,FG=-(/+2)2+4(/+2)-3+g(什2)+1=-广+»3；

:.-/2+-2=-/2+1/+3：

解得：V，

•」=3在!4/辽2的解集内，

工当/=3时，四边形EFG”是平行四边形.

【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及平行四边

形的性质，根据点的坐标性质得出E,F,G,，点的坐标，进而利用平行四边形对边相等得出是解题关

键.

6.如图，抛物线Zy=9-4的图象与x轴交于4C两点，抛物线“与。关于x轴对称.

(1)直接写出A所对应的函数表达式；

(2)若点8是抛物线力上的动点(4与4。不重合)，以力。为对角线，A,B,。三点为顶点的平行四边

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形的第四个顶点为。，求证：。点在，2上.

(3)当点4位于人在X轴下方的图象上，平行四边形/"CQ的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判

断它是何种特殊平行四边形，并求出它面积的最值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据抛物线人的解析式求出点/、C的坐标，以及顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的横坐

标不变，纵坐标互为相反数，求出A的顶点坐标，然后利用待定系数法求出，2的解析式；

2

(2)设点8的坐标为(xPX1-4),根据平行四边形的性质和关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为

相反数求出点。的坐标，代入解析式即可证明：点。在，2上；

(3)首先表示出S的值，当点8在x轴下方时，-4W乃V0,根据一次函数的增减性判断出点4的位置,

再根据对角线互相垂直平分的四逅形是菱形证明，并求出S般大=16.

【解答】解⑴•・［与x轴的交点力(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),。与A关于x轴对称，

・•・/?过力(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4),

设了=〃/+4,

则4a+4=0,

解得〃=-1,

:.1］的解析式为y=~x2+4；

(2)设8(xpy\),

•・•点8在/i上,

:・B(xpX|2-4),

•・•四边形488是平行四边形，力、C关于。对称,

・•"、。关于O对称，

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*»D(-Xi,-x『+4),

将D(-X],-xp+4)的坐标代入b：y=~x2+4,

*,•左边=右边，

:.点。在“上；

(3)当)，=0时，・#+4=0,

解得：X]=2»必=-2>

所以ZC=4,

贝ScJABCD=力。・(-歹8)=-4x2+l6,

当工=0时，Same。取得最大值16,

二•当点A在x轴下方时，-4WM<0,

・・・S=・4%,它是关于乃的正比例函数且S随刈的增大而减小，

・•・当刃=・4时，S有最大值16,但它没有最小值，

此时8(0,-4)在歹轴上，它的对称点。也在y轴上，

：.AC±BD,

・•・平行四边形力8c。是菱形.

【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了关丁r轴对称的点的坐标，待定系数法求二次函数解析式,

二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质和菱形的判定，利用一次函数的增减性求最值问题.

7.如图，在平面直角坐标系中，已知直线4和/2相交于点力，它们的解析式分别为小y=1r，ky=

+日.直线/2与两坐标轴分别相交于点8和点。，点P在线段上从点。出发.以每秒1个单位的速度

向点B运动，同时点。从点8出发以每秒4个单位的速度沿B-O-C-B的方向向点B运动，过点P作直

线PM_LO8分别交小b于点M,N.连接M0.设点P,。运动的时间是，秒(/>0)

(1)求点A的坐标；

(2)点。在OC上运动时，试求，为何值时，四边形MNC0为平行四边形；

(3)试探究是否存在某•时刻],使M0/OB?若存在，求出Z的值；若不存在，请说明理由.

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【分析】（1）将两直线解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到4的坐标;

（2）由垂直于x轴，），轴垂直于x轴，得到与0。平行，当时，四边形MNC0为平行四

边形，MN=NP-MP,由。尸=/,得到M与N的横坐标都为/,分别代入两直线方程中，表示出出NP与

MP,得到MM由。走过的路程减去得到0。的长，再由OC-0。表示出QC,列出关于/的方程，

求出方程的解即可得到满足题意/的值；

（3）分别根据①当点。在OC上时，②当点。在8C上时，求出即可.

（y=-x

【解答】解：（1）将两直线解析式联立得：44.20.

y=--X+—

xd

解得:同,

（蔡,

(2)•・•尸M_Lx轴,j，轴J_x轴，

：.PM//CQ,

当PM=CQ时,四边形MNCQ为平行四边形，

对干直线心：y~g+?令x=0,求出y=g；令y=(),求出x=5,

・,"(5,0),C(0,专)，即08=5,OC=v，

：.CQ=OC-OQ=^~(4/-5)=~4t,

•3*5

♦：0P=t,

与N横坐标为3

・r»xro.z4।20325,20

..MN=PN-PM=--3t+-3--4-I=iZ3

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35,25,20

T-4/=F+T

解得：/=詈

则当/=,秒时，四边形MNC。为平行四边形;

(3)①当点。在0。上时，如图2,O0=4/-5,MP=%,

■:QM//OB,OQ//PM./尸00=90°,

・•・四边形尸00M是矩形，

：・0Q=PM,

•，•4-5=%

解得：S意，

②当点。在8c上时，如图3：

在中，

sin/O8C啜=g,08=20-43

在RtABPQ中，点Q到x轴的距离=QHsinZOBC=(20-4/),

点。到x轴的距离为MP,即京='(20-4t),

解得“=哭.

综上所述：当/=意或/=蜉时，M0〃O8.

图3

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【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：两宜线的交点坐标，直线与坐标轴的交点问题，平

行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，属于动点问题，是近几年中考的热点试题.

8.如图，抛物线y=62+bx-3(oWO)与x轴交于点4(-1,0)和点8,与)，轴交于点C,该抛物线的

对称轴为x=|.

(1)求a,6的值；

(2)若点P在抛物线上，且在x轴的下方，作射线8尸，当NPB4=//C0时，求点P的坐标；

(3)若点M在抛物线上，点N在对称轴上，是否存在点8、CM、N为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由力点坐标和抛物线的对称轴方程可求出答案；

(2)得出tanN尸84=tanN/C0=3=^=半，求出0E=*得出点E的坐标，求出直线8E的解析式,

联立直线BE和抛物线方程，则可得出点P的坐标；

(3)设出点M,N的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论.

【解答】解：(1)•・•抛物线产。"+6丫・3(40)与x轴交于点力(-1,0),对称轴为》二9.

(a-b-3=0

/.b

---=—3,

2a2

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(a=2

解得,

（2）如图，设直线尸8与OC交于点E,

•••抛物线解析式歹=弄一%-3与y轴交于点C,

AC(0,3),

又丁彳(-1,0),

：.OA=\,OC=3,

:.tanZJCO=77=7>

•:NPBA=NACO,

二.tan/尸24=tan//C°=g=^=半'

4

，OE=?,

・•.£((),~1),设直线的解析式为歹=必+〃,

4m4-n=0

/._4,

n~~3

(m=l

解得_30

71~3

・♦・直线4E的解析式为j，=*q,

y=*!

y=-X2--X-31

/44

解得，X\=T，必=4（舍去）,

••pT，一景.

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(3)由(1)知，抛物线解析式为广防g-3,对称轴直线为x=5,

339

・,•设N(-,b),M(m>-3),

244

•・,以8、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

113

，①当C'8为对角线时，-(0+4)=-(-4-W),

.5

②当CM为对角线时，\(w+0)=|(4+1),

・11

••m=丁，

③当CN为对角线时，1(0+1)=1(4+w),

._5

：.M(-|,累)，

乙Io

即：抛物线上存在这样的点M,点M的坐标分别为：M(|,~)或(?，手)或T，手).

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，待定系数法,

平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键.

9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=3+3与x轴、y轴相交于力、4两点，点C在线段O力上，将线

段C8绕着点C顺时针旋转90°得到线段CZ),此时点。恰好落在直线48上，过点。作。E_Lx轴于点

E.

(1)求证：^BOC^ACED；

(2)请直接写出点。的坐标，并求出直线8c的函数关系式：

(3)若点夕是x轴上的一个动点，点。是线段。4上的点(不与点8、。重合)，是否存在以C、D、P、Q

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的。点坐标.若不存在，请说明理由.

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备用图

【分析】（1）利用同角的余角相等可得出NO8C=/EC。，由旋转的性质可得出8C=CO,结合N80C=N

C£D=90°即可证出△80。g△C£Q（AAS）；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点4的坐标，设OC=〃?，则点。的坐标为（切+3,〃?），利

用一次函数图象上点的坐标特征可求出〃?值，进而可得出点C,。的坐标，由点8,C的坐标，利用待定系

数法可求出直线〃。的解析式；

（3）设点0（x,-3x+3）,由题意得。。〃？。，DQ=PC,则点。的纵坐标=点。的纵坐标=1,求出x=

|,则0C=Q0=与，设点尸的坐标为（〃，（）），分两种情况，由平行四边形的性质得出方程，解方程即

可.

【解答】（1）证明：,：/BOC=NBCD=/CED=90"，

：.NOCB+NOBC=90°,/OCB+/ECD=90°,

/.ZOBC=ZECD,

•・•将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,

:,BC=CD,

ZBOC=ZCED

在Z\8OC和中，\/.OBC=/-ECD,

[BC=CD

:.△BOC9XCED(AAS)；

(2)解:在y=-；xi3中，令x=0,则y=3；

令y=0,则x=6,

，点B的坐标为(0,3),点力的坐标为(6,0),

设OC=m,

由(1)得：△8OC0△CEO,

：・0C=ED=m,BO=CE=3,

中考撤号

，点。的坐标为（而+3,〃?），

•••点。在直线0=一夕+3上，

/.m=弓（〃?+3）+3,

解得：川=1,

•••点。的坐标为（4,1）,点。的坐标为（1,0）,

设直线BC的解析式为），=云+力，

将B（0,3）、C（1,0）代入解析式得：

解得：仁「，

・•・直线4c的解析式为y=-3x+3；

（3）解：存在，理由如下：

•・•点。在线段。8上，直线4c的解析式为j，=-3.什3,

工设点。（x,-3x4-3）,

•・•点尸在x轴上，以C、。、P、。为顶点的四边形是平行四边形,

：.DQ//PC,DQ=PC,

，点。的纵坐标=点D的纵坐标=1,

；・-3x+3=1,

解得：x=1.

210

：.PC=DQ=4--=~,

设点。的坐标为（。，0）,分两种情况:

①如图1所示：

中考撤号

解得：〃=5，

:.P（-：,0）；

②如图2所示:

图2

则4・1=?，

贝I」a=*

13

:.P（―»0）；

综上所述，存在以C、。、P、0为顶点的四边形是平行四边形，P点坐标为（-《，0）或（?，0）.

«53

【点评】本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、全等三角形的

判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识：本题综合性强，熟练掌握

全等三角形的判定与性质和平行囚边形的性质，由待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系xQv，中，已知直线48：y=f+4交X轴于点力，交y轴于点8.直线CZ）：y=-

$T与直线力“相交于点交x轴于点C,交y轴于点。.

（1）直接写出点8和点。的坐标.

（2）若点P是射线AW的一个动点，设点夕的横坐标是x,△汽讣/的面枳是S,求S与x之间的函数关系，

并指出x的取值范围.

（3）当S=10时，平面直角坐标系内是否存在点E,使以点8,E,P,股为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，共有几个这样的点？请求出其中一个点的坐标（写出求解过程）；若不存在，请说明理由.

中考撤号

【分析】(1)令x=0和.y=(),可求点力，点4,点C,点。坐标；

(2)分当2点在y轴左侧和当2点在y轴右侧两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解:

(3)分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解.

【解答】解：(1):直线力4：y=|x+4交x轴于点力，交y轴于点4,

，点/(-6,0),点B(0,4),

:直线。。：y=-1-1交x轴于点C,交y轴于点。.

工点C(-3,0),点D(0,-1)；

(2)•・•直线CDy=-£-1与直线相交于点M,

.1=4+4

・％=一*1，

fx=-5

解得：,2,

[vy-3

点的坐标是(-5,

,・,点8(0,4),点D(0,-1),

••・80=5,

•・•点尸的横坐标是羽

:.点P坐标为(X,-1),

如图1,点P当P点在y轴左侧时,

中考撤号

・•・2PBM的面积是S=S△9-S=；x5Xx5X(-x)=今+法

4乙乙/

如图2,当尸点在)，轴右侧时，

.•.△尸西的面积是S=S△的m-S△的=4x5X5+g*5X(x)=学+短

综上所述，所求的函数关系式是S=?+I(Q-5)；

(3)存在，共有3个：

当5=10时，

/.10=y+1x,

，x=-1,

2

，尸点为(-1,七)，

设点E(a,b),

若MB,MP为边时，

•・•西边形是平行四边形,

中考撤号

，8尸与ME互相平分，

♦-1+0_-5+a-.+4_.+b

22-2-2'

，。=4,/7=1,

8

:.E点为（4,-）；

若MB,8P为边，

•・•四边形BMEP是平行四边形，

:・MP与BE互相平分，

,-5-10+a-|+f4+6

**2=~~2~f~T^=~2~'

・、Q=-6,b=-4,

:.E点为（-6,-4）；

若MP,BP为边,

:四边形E8PA/是平行四边形，

•••8M与尸f互相平分，

.-5+°_—1+a41+b

-2=2'2=2

/.d=-4,b=等

：・E点为（-4,当）；

综上所述：点E的坐标为（4,g）或（・6,-4）或（・4,引.

【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，利

用分类讨论思想解决问题是本题的关犍.

II.如图所示，抛物线y=f-2x+c的顶点力在直线/：y=x~5±.

（D求抛物线顶点4的坐标；

（2）设抛物线与），轴交于点8,与x轴交于点C、D（C点在。点的左侧），判断△48。的形状，并说明理

rti；

（3）将抛物线沿直线/的方向平移，平移后抛物线的顶点为〃，是否存在点,使以点/T、力、4、Q

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求平移后所有满足条件的抛物线的函数表达式；若天存在，说明

理由.

中考撤号

【分析】(1)先求得抛物线的对称轴，从而得到点4的横坐标，然后可求得点4的纵坐标；

(2)先求得点8、。的坐标，然后再依据两点间的距离公式求得8。、力8、4。的长，然后再依据勾股定理

的逆定理进行判断即可；

(3)首先证明8。〃/,则构成的平行四边形只能是44。〃或4力8。，则44=8。=3的,设4(x,x-5),

最后，再依据两点间的距离公式列方程，可求4的坐标，即可求解.

【解答】解(1)•・•抛物线的对称轴为x=-/=1，

・•・顶点力的横坐标为x=l,

:•点、A的纵坐标为y=1-5=-4,

：,A(L-4)；

(2)△16。是直角三角形，

理由如下：将力(1,-4)代入y=N-2x+c中，可得到1・2+c=-4,解得：c=-3,

，抛物线的解析式为-2x-3,

当y=0时，x2-2x-3=(),解得：x=-1或x=3,

•"(-1,())、。(3,0).

\,BD1=OB2+OD2=\S,力於=F+(-4+3)2=2,AD2=(3-1)2+42=20,

,'.Biy+AB^AD2,

/.ZABD=90°,

即△4〃。是直角三角形；

(3)存在.

由题意知：直线y=x-5交y轴于点E(0,-5),交x轴于点/(5,0),

：・OE=OF=5,

中考撤号

又・：OB=()D=3,

：.NOEF=NOBD=45°,

：,BD//l,BPA'A//BD.

则构成平行四边形只能是A'ADB或AXBD,

:・AA=BD=3®

设4(x,x-5),两点间的距离公式口J得到(1-x)2+(l・x)2=18,x2-2x-8=0,解得：工=・2或工=

4,

・•・点卬(-2,-7)或4(4,-1).

・•・存在点4(-2,-7)或4(4,-I)使得以点4,A、B、。为顶点的四边形是平行四边形，

・•・平移后的抛物线的函数表达式为尸(x+2)2-7或尸(x-4)2-1.

【点评】本题是二次函数的综合应用，考查了二次函数的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，平行线

四边形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.

12.如图，