集合（4大考点+9大题型）原卷版-2026年新高考数学一轮复习讲义

1.1集合

录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、集合的含义与表示.............................................................3

二、集合间的基本关系..............................................................3

三、集合的基本运算................................................................3

四、常用二级结论..................................................................4

03探究核心题型....................................................................5

题型一：集合的含义与表示..........................................................5

题型二：元素与集合的基本关系......................................................5

题型三：集合元素的特征............................................................6

题型四：集合间的基本关系..........................................................7

题型五：集合的基本运算............................................................7

题型六：集合与排列组合的综合应用.................................................8

题型七：韦恩图表达集合的关系及运算...............................................9

题型八：容斥问题.................................................................10

题型九：集合中的创新问题.........................................................11

1/11

01课标要求

1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义.

2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.

3、会求两个集合的并集、交集与补集.

4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系

和基本运算.

2/11

02落实主干知识

一、集合的含义与表示

1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合.集合中的元素具有:

确定性，互异性，无序性.

2、元素。与集合力的关系：e,£；

3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图图）.

4、常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

二、集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合力、B,如果集合4中任意一个元素都是集合8中的元素，我们就说

这两个集合有包含关系，称集合4为集合8的子集，记作力£4（或,读作“4包含于8”（或

“3包含4”）.

直子集：如果集合力仁8,但存在元素xs8,且x区力，我们称集合/是集合后的直子集，记作

43（或8*力）.读作“A真包含于B”或“B真包含A

（3）相等：如果集合/是集合8的子集（AqB,且集合8是集合力的子集（BqA）,此时，集合

力与集合8中的元素是一样的，因此，集合力与集合8相等，记作4=8.

（4）空集的性质：我们把不含任何元素•的集合叫做空集，记作0；。是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

三、集合的基本运算

1、①并集：A^B={x\xeA,或rw8}；

②交集：/inB={x|xe4且xe团：

③补集：={X\XGU,且

④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U

2、运算律

3/11

①交换律力U8=8U4，=

②结合律（/u“）uc=/iu（4uc）,（/n3）nc=/n（4nc）；

③分配律（力nA）uc=（/iuc）n（4uc）,（ju^）nc=（.4nc）u（2?nc）；

④德摩根律视/U8）=（"i）n（®,-C5）=（"）u（心）.

四、常用二级结论

（1）若集合力中有〃个元素如,°2,…，/｝，则集合力的所有子集个数为23所有非空子集的个数是

2”-1,所有其子集的个数是2”7,所有非空真子集的个数是2"-2.

（2）包含关系的各种等价表示：①4U8=8=/q8；②408=/=力08；③

力fl（电8）=0=；④（q,，4）U8=U=力q8；⑤d0

（3）容斥原理

Card（AuB）=Card（A）+Card（B）-Card（AcB）.

（4）牢记两个注意点

①在应用条件AuB=B=力cB=Ao4q8时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先

进行讨论.

②在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.

4/11

03探究核心题型

题型一：集合的含义与表示

【例1】（2025•重庆•三模）已知集合力={1,2},8={2,4},则。={k|工£4），£用的元素个数为

（）

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧与总结】

（1）确定集合中的代表元素.

（2）确定元素的限制条件.

（3）理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素

的互异性相矛盾.

【变式1-1]（2025•广东揭阳•二模）已知集合力=＜（》,y）?+则4中元素的

个数为（）

A.7B.9C.11D.13

【变式1・2】（2025•四川成都•模拟预测）现有1、3、7、9四个数，从这四个数中任取两个相加，

可以得到多少个不同的数（）

A.5B.6C.7D.12

【变式1・3】（2025•甘肃平凉•模拟预测）已知集合力={0,2},8={-1,1,2},C={ab\a^A.beB],

则集合。的子集有（）

A.64个B.63个C.16个D.15个

题型二：元素与集合的基本关系

【例2】（2025•重庆•二模）已知全集。={1,2,3,4,5},集合〃满足Q4={1,2,5},则（）

A.3任MB.C.5eMD.41M

【方法技巧与总结】

5/11

明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则

元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。

【变式2・1】（2025•辽宁•二模）设集合<={x|2x-l网若25,则机的取值范围是（）

A.m<3B.m>3C.m<3D.tn>3

【变式2・2】（2025•河南•三模）已知集合/=卜产<1},。"工8,则（）.

A.一1比8B.-1任力C.IwBD.

【变式2・3】（2025•陕西汉中•二模）已知集合/={2m+石〃帆CZ,〃€N},则（）

A.Ji史力B.一2+5上任力C.4eJD.7+26wA

题型三：集合元素的特征

【例3】（2025•广东深圳•二模）已知等差数列{叫的公差为牛，集合S=kosa“l〃eN},若

S={a,b,c},则a+b+c=（）

A.-1B.0C.1D.x/3

【方法技巧与总结】

利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性.

【变式3-11（2025•高三•安徽宣城•期末）已知集合4={0,4//},8={O,4,3。-2},若力=B,则

。的值是（）

A.1或2B.-1或()C.1D.-1

【变式3-2】（2025•全国•模拟预测）已知集合彳=,〃2},={1,4},若1£儿则力UB中所有元

素之和为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式3-3]已知集合[={〃7+2,2〃?2+〃"，若364，则〃？的值为（）

333

A.1B.--C.1或一三D.-1或7

222

6/11

题型四：集合间的基本关系

【例4】已知集合人丹=E+兀rrKTL+了7TP，则（）

4

A.M=NB.M口NC.N=MD.McN=0

【方法技巧与总结】

（1）在判定两个集合之间的关系时，我们通常会采用两种主要方法。第一种是逻辑分析法，此方法

要求我们先对集合的表达式进行化简处理，再通过分析化简后的表达式来明确两个集合之间的逻辑关系。

第二种方法则是列举法，具体操作是分别将两个集合中的所有元素列举出来，然后通过对比这些元素来直

观地判断两个集合之间的关系。

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为

参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

【变式4-1］（2025•北京•二模）已知集合/=卜|/+2%=0},集合8={小+1>0},那么（)

A.力DB=0B.A^BC.BqAD.(4加8.0

【变式4・2】（2025•河北保定•二模）已知集合力={(X，MP=(xT)(x-5)},8二{(xj)l£=4*,则

4c8的真子集的个数为（）

A.3B.4C.7D.15

【变式4-3］（2025•四川成都・三模）已知集合力={刈<x<3},B={x\x<m},若/qB,则实数

的取值范围是（）

A.{m\m<1}B.C.{w|w<3|D.{〃?加23}

【变式4・4】（2025•辽宁・模拟预测）已知复数z=a+〃i(%/)eR),若集合X={(〃⑼卜)+2z+2=o},

则A的子集个数是（）

A.1B.2C.4D.8

题型五：集合的基本运算

【例5】（2025•宁夏银川♦三模）已知全集/={xeN|x«10},集合

M={XGN|X2-4X+3<()},N={2,4,6,8,10},则0(MuN)=()

A.{5,7,9}B.{1,2,3,4,6,8,10}C.{0,5,7,9}D.{0,1,2,3,4,6,8,10}

【方法技巧与总结】

7/11

在处理集合的交、并、补运算时，可视元素特性选择合适表示方法。若元素为离散型，可借助Venn

图直观展示集合关系；若元素连续分布，则宜用数轴表示，同时需特别留意数轴端点的包含或排除情况。

1

【变式（2025•山西朔州•二模）若集合力={小<4},8=x-Nl,则/c（48）=（）

X

A.（5]B.（0,1]c.（-oo,0）u（0,i]D.（-O>,0]u（l,4）

【变式5・2】（2025•湖南长沙•二模）已知全集U=4U8=&eN|0«xS4},/lc08）={1,2,3},

则集合〃=（）

A.{0}B.{4}C.{0,4}D.{1,2,3,4）

【变式5-3]（2025•黑龙江辽宁•模拟预测）已知集合A={xeZ||x-l|<2）,B={x|x2-3x+2<o）,

则Nc（44）=（）

A.{0}B.{-1,0,3}C.{1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【变式5-4]（多选题）（2025•江西萍乡•二模）已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合=

且满足：/I5={3,5},（瘠4"（胆）={2,4},则下列说法正确的为（）

A.4eAB.6eAUB

C.集合A可能是{1,3,5,6}D.（瘠N）U（uB）={l,2,4,6}

题型六：集合与排列组合的综合应用

【例6】（2025•北京朝阳•模拟预测）己知集合"={1,2,3.4},若集合小B满足:力qBqU,则集

合对（48）共有（）个.

A.36B.48C.64D.81

【方法技巧与总结】

在运用排列与组合理论处理集合相关问题，或求解集合中元素数量时，关键在于灵活运用分析与转化

的策略。通过深入剖析问题本质，将其转化为排列组合模型，从而高效地找到解决方案。

【变式6-1]（2025-山西-模拟预测）现从一含10个元素的集合S的子集中随机选出2个不同的子集,

被选山的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有种.

【变式6-2]设集合力是由所有满足下面两个条件的有序数组«,七,七,.％,%,无6）构成：①茗€{-1,0,1}；

②14W|+同+闯+k4|+|再|+闻43；则集合4中的元素共有个.

【变式6・3】设集合/={1,2,3,4,5,6},若/的非空子集4〃满足力口4=0,我们称有序集合对（40

8/11

为/的“互斥集合对“，则集合/的“互斥集合对”的个数为一.（用数字作答）

题型七：韦恩图表达集合的关系及运算

【例7】（2025•山东枣庄•二模）已知全集为U,集合48是U的两个子集，若力D8/0,则下列

运算结果为A的子集的是（）

A.B.（%4）cB

C.月0（”）D.（肿）u（a）

【方法技巧与总结】

Venn图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区

域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助Venn图的直观特性，

可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。

【变式7・1】（2025•安徽合肥•三模）已知集合力={0,1,2,3,4,5},8={0,2,4,6,8},则图中阴影部分所

【变式7・2】（2025•广东佛LI•二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

C.D.（力u〃）c（AuC）

【变式7・3］（多选题）（2025•湖南长沙-模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A.Bc(AuC)B.JuC)

C.BcCjAuC)D.(4C5)58CC)

【变式7-4］（多选题）（2025•福建泉州•模拟预测）已知集合48均为R的子集，若/口5=0,则

9/11

()

A.力B.除AqB

C.JuB=RD.(驯)WR8)=R

题型71：容斥问题

【例8】（2025•江苏・一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或

楼F的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有1。%的学生第二天会到楼下食堂用午

餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15%的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼

上食堂用午餐的学生数大约为（）

A.700B.800C.900D.1000

【方法技巧与总结】

容斥原理

card（/\^=cardA+card3+cardC-card（A^\B）-card（B[yC）-card（A^\C）+cardiA^yB^C）.

【变式8-1]（多选题）（2025•河北石家庄•三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加

100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加

“1500米比赛”,“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人,“400米和1500米”

都参加的有3人，则下列说法正确的是（）

A.三项比赛都参加的有2人B.只参加100米比赛的有3人

C.只参加400米比赛的有3人D.只参加1500米比赛的有1人

【变式8・2】“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课

堂分为球类项目4径赛项目从其他健身项目C该班有25名同学选择球类项目A,20名同学选择径赛项目

从18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择力和用4名同学同时选择力和C,3名同学同

时选择8和C.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是

（）

A.51B.50C.49D.48

【变式8-3】学校举办运动会，高三⑴班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参

加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比

赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同

学只参加田径一项比赛的概率为（）