任意角和弧度制（解析版）-高中数学必修第一册题型考点突破

任意角与弧度制

知识点总结

考点1任意角的概念

1.任意角

定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

构成要素始边、顶点、终边

常用大写字母4B,C等表示腊字母a,0,y等表示；特别的，当角作为变量时，

表示

常用字母X表示.

2.角的分类

分类定义

正角按逆时针方向旋转形成的角叫做正角

负角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角

零角一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角

考点2象限角与非象限角

1.象限角

当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限,

就称这个角为第儿象限角.

2.象限角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角{x\k-3600<a<h360。+90/eZ}

第二象限角

{x\k-360。+90。vavh3600+180。MwZ}

第三象限角

{x|kTGOo+lSO。vaV〃・3600+270°MGZ)

笫四象限角

{x\k-360°+270°<a<k-360°+360°,AGZ|

3.非象限角

当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个

角不属于任何一个象限.

4.非象限角的集合表示

角的终边位置集合表示

物

X轴的非负半轴|77=2x360Fez}

X轴的非正半轴Ml6=1x360'+180°,Zez}

X轴上加1/7=1x180°,Aez}

y轴非负半轴加|"=4x3600+90°,攵ez}

），轴非正半轴物|〃=&x360'-90Fez}

），轴上,R="xl8Cr+90Fwz}

考点3终边相同的角

一般地，所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合5=加|4=。+八360、,壮2},

即任一与角。终边相同的角，都可以表示成角。与整个周角的和.

考点4弧度制的概念

1.角度制

规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

360

2.弧度制的定义

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单

位来度量角的单位制叫做弧度制.

3.弧度制与角度制的区别与联系

（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；

区别

（2）定义不同.

联系不管以“弧度”还是以“度''为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.

考点5角度与弧度之间的互化

1.角度制与弧度制的换算

角度化弧度---------------------k弧度化角度

360°=2^rad<-----------------------------------^^rad=360°

180°=nradrrad=180。

1°=—rad=0.01745rad◄-------------------Hrad=(-)°«57"18

180/i

2.•些特殊角的度数与弧度数的对应表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

n乃2不3n5不3K

弧度0n2乃

77TTT~6T

考点6扇形的弧长与面积公式

设扇形的半径为r,弧长为/，a(0<a<2^)或〃。为其圆心隹，则弧长公式与扇形面枳公式如下:

类别/度量单位角度制弧度制

n7TT

扇形的弧长,f=而1=8

01,12

扇形的面积S=------S=-lr=­ar-

36022

题型考点一象限角，轴线角，对称角，区域角与集合的关系

例1、（I）、（2021•福建省福州延安中学高三开学考试）已知点a=130。，则角。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据象限角概念求解即可.

【详解】因为90°＜130。＜180°,所以。的终边在第二象限.

故选：B

（2）、（2023春•广西钦州•高一统考期末）若。是第二象限角，则-。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【分析】先判断角-伞终边的位置，然后再判断出角-终边的位置.

【详解】由。与一。的终边关于x轴对称，可知若。是第二象限角，则一。是第三象限角,

所以-是第二象限角.

故选:B.

（3）、（2023•全国•九年级随堂练习）已知角。二-130。，则角。的终边落在第象限.

【答案】三

【分析】直接由-18（）。＜-1300＜-9（）。结合象限的定义即可求解.

【详解】因为一180。〈一130。＜—90°,所以角。二一130。的终边落在第三象限.

故答案为：三.

（4）、（2023春•上海静安•高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原

点，始边与x轴的正半轴重合的角.

①小于90。的角一定是锐角；

②第二象限的角一定是钝角；

③终边重合的角一定相等；

④相等的角终i力一定重合.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】对于①②③举例判断，对于④利用角的定义分析判断

【详解】对于①，-60°的角是小于90。的角，但不是锐角，所以①错误，

对于②，48伊的角是第二象限的用，但不是钝角，所以②错误，

对于③，48伊的角和120。的角终边相同，但不相等，所以③错误，

对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，

所以④正确，

所以真命题的个数是1,

故选：A

【变式训练1-1】、（2023秋•江西吉安•高二江西省万安中学校考开学考试）（多选题）已知下列各角：①

-120，@180;@-240;④495。，其中是第二象限角的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】CD

【分析】求出给定的各个角与0到360响终边相同的角，即可伍答.

【详解】对于①,-120=-36（）+240,而240是第三象限角，①不是；

对干②，180角的终边为x轴非正半轴，②不是；

对于③，-240。=-360+120。，12（X是第二象限角，③是；

对于④，495=360+135,135是第二象限角，④是.

故选：CD

【变式训练1-2】、（2022•全国•高一课时练习）下列说法中正确的是（）

A.第二象限角大于第一象限知

B.若公360。＜。＜公360。+180。（人2）,则Q为第一或第二象限角

C.钝角一定是第二象限角

D.三角形的内角是第一或第二象限角

【答案】C

【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可.

【详解】对A选项，如-210。＜30。，故A错误.

对B选项，a为第一或第二象限角或终边落在），轴正半轴上的角.故B错误.

对C选项，因为钝角大于90。且小于180。，所以钝角一定是第二象限角，故C正确.

对D选型，当三角形的一个内角为90。时，不是象限角，故D错误.

故选:C.

【变式训练1-3】、（2。23•全国•高三专题练习）若。是第四象限角，则乃十。是第（）象限角

A.一B.二C.三D.四

【答案】B

【分析】由题可得自+2及乃＜4+1＜3万+2女乃，&wZ,即得答案.

【详解】a是第四象限角，则当+2左万＜。＜2"+22不，kcZ,

则与+2%4＜/r+a＜34+22乃，kwZ,在第二象限.

故选：B.

【变式训练1-4】、（2023秋•全国•高一随堂练习）集合式|"80。4。4h180。+45。水£2｝中角表示的范围

（用阴影表示）是图中的（填序号）.

【答案】@

【解析】当女取偶数时，确定角的终边所在的象限；当k取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选

项即可确定结果.

【详解】集合9伙180。44«左」80。+45。,无€2｝中,

当我为偶数时，此集合与｛a|00«aW45。｝表示终边相同的角，位于第一象限；

当我为奇数时，此集合与｛m180吃。4225。｝表示终边相同的角，位于第三象限.

所以集合｛a|&•18。°KaKhl80。+45。MeZ｝中角表示的范围为图②所示.

故答案为：（2）.

【点睛】本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想.

题型考点02与终边有的角的问题以及对称问题2a,L-

23

例2.（1）、（2022春•高一单元测试）（多选题）已知。是第三象限角，则功不可能是第几象限角（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】CD

【分析】根据给定条件，由。的范围，求出2。的范围作答.

【详解】因为。是第三象限角，则2E-7T<av2E-与k?Z,

于是4尿・2兀v2av4E-R,k2Z,显然2a终边在x轴上方，

所以2a不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.

故选：CD

（2）、（2021•安徽省蚌埠第三中学高一月考）己知a为第三象限角，则;所在的象限是（）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

【答案】D

【分析】

用不等式表示第三象限角0，再利用不等式的性质求出言满足的不等式，从而确定角言的终边在的象限.

【详解】

由已知a为第三象限角，则2&兀+冗＜。＜2A兀+与MeZ

则也加十2v4〈攵江+包，2©z

224

当/:=2〃,〃tZ时

2〃万+g＜[v2〃乃+手,〃wZ,此时！在第二象限.

2242

当A=2"+1,〃€Z时，

2〃”+W＜W＜2〃;r+M，〃wZ,此时三在第四象限.

2242

故选：D

（3）、（2022•全国•高一课时练习）终边落在直线丁=底上的角）的集合为（）

A.{距="80。+30。入2}B.{a|a=Jtl800+60°,A：GZ）

C.同。=攵­360。+30。/£2}D.\a\a=k-360°+60°,A:GZ|

【答案】B

【分析】先确定y=向的倾斜角为60,再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.

【详解】易得），=&的倾斜角为6U,当终边在第一象限时，。=60。+公360。，AcZ；当终边在第三象

限时，==240。+上360。，keZ.所以角。的集合为物故=6180。+60。,壮2}.

故选：B

【变式训练2-1】、（2022•全国•高三专题练习）若。是第一象限角，则-£是（）

A.第一象限角B.第一、四象限用

C.第二象限角D.第二、四象限角

【答案】D

【分析】根据题意求出-今的范围即可判断.

【详解】由题意知，入360°＜。＜&-360。+90。，AeZ,

则2/80。＜4＜%180。+45。，所以一人•180。-45。＜一名〈一心180°,k«7.

22

当上为偶数时，为第四象限角；当〃为奇数时，为第二象限角.

22

所以埸是第二或第四象限角.

故选：D.

n

【变式训练2-2】、（2023秋•高一课时练习）5的终边在第三象限，则夕的终边可能在（）

A.第一、三象限B.第二、四象限

C.第一、二象限或），轴非负半轴D.第三、四象限或丁轴非正半轴

【答案】C

【解析】根据题意得出乃+2我乃＜g＜当+2版•伏£Z）,求出。的范围，据此可判断出角。的终边的位置.

【详解】由于号的终边在第三象限，则4+2觊＜5吟+2版•（%Z）,

所以，2万+4攵乃＜。＜3乃+4&乃（〃EZ）,

因此，。的终边可能在第一、二象限或N轴非负半轴.

故选：C.

【点睛】本题考查角的终边位置的判断，一般利用不等式来判断，考查推理能力，属于基础题.

【变式训练2-3］、（2022•宁夏•银川唐稼回民中学高一期中）若角a=3rad,则角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【分析】根据象限角的定义判断.

【详解】因为擀＜3＜万，所以3rad是第二象限角.

故选：B.

题型考点03弧度制的概念、角度与弧度的互化、弧度制与弧长

例3.（1）、（2022•全国•高一课时练习）兀的角化为角度制的结果为

【答案】-300°

【分析】利用角度与弧度的互化即可求得-g兀对应角度制的结吴

【详解】一步一住呵=-300

故答案为：-300

（2）、（2021•全国•高一专题练习）675。用弧度制表示为（）

A.-71B.-7TC.

444

【答案】C

【解析】根据弧度制与角度制的关系求解即可.

【详解】因为180。=乃弧度，

所以675。=675x」-=空，

1804

故选：C

（3）、（2022秋•陕西商洛•高一校考阶段练习）（多选题）下列转化结果正确的是（）

310

A.67。3（）'化成弧度是三兀B.-丁兀化成角度是-600。

o3

C.-150。化成弧度是一，冗D.已化成角度是15。

【答案】ABD

【分析】根据角度制与弧度制之间的互化即可逐一求解.

【详解】对于A,67。30'化成弧度是:r'67.5=%，故A正确，

对于B,-y7C=-yX18O=-600,故B正确，

对于C,-150°=-I50°X-2L=-\,故C错误,

1806

对干D,-^=-^xl80=15°,故D正确，

故选：ABD

（4）、（2021秋•高一课时练习）将下列各弧度换算成角度：①;=______；②彳二______；③

43

一兀=______；④~^-=______；=______:⑥y=______；®~T=______；⑧_至=______；

3624J

@2«（精确到1度）；⑩2万=.

【答案】45°60°-180°300°-150°90°315°-120°115°

360°

【分析】根据弧度和角度的进率即可求解.：1rad=^j.

【详解】①£=尊=45。；

44

②生=幽=60。；

y3

④*乎=300。；

x-x5万5x180°

=―—―="150

OO

⑥>*90。；

有二兀7x1800

⑦了=315°；

4

⑧苧士=一3

©2=2x—»115°；

乃

@2^=2xl80°=360°；

故答案为：45°,60°,-180°,300°,-150。，90°,315°,-120°,115°,360°.

【变式训练3-1】、（2023•全国•高一专题练习）若角。=方，则角。对应的角度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】利用弧度制与角度制的互化公式即可得出结果.

【详解】根据弧度制与角度制的互化可知，^=-x—=60\

371

故选：C

【变式训练3-2】、（2023春・贵州遵义•高一遵义二十一中校考阶段练习）（多选题）下列弧度与角度的转化

正确的是（）

A.-2400=---B.二二330。

33

C.225°=—D.--=-310°

44

【答案】AC

【分析】利用角度与弧度的转化关系即可判断各选项.

471

【详解】对于A,-2400=-y,A对；

对于B,y=300°,B错;

对干C,225°=—,C对；

4

对干D,-^=-315%D错.

4

故选：AC

【变式训练3-3】、（2023春・安徽六安•高一校考阶段练习）若。角的终边落在第三或第四象限，则"的终

边落在（）

A.第一或第三象限B.第二或第四象限

C.第一或第四象限D.第三或第四象限

【答案】B

【分析】根据。角的终边落在第三或第四象限，可得•兀+2Evav・5+2E或・阮，

AeZ,进而得到多的取值范围，进而求解.

【详解】因为。角的终边落在第三或第四象限，

所以.兀+2kitva<--+2hr或.—+2krc<a<2/at,kwZ,

22

所以--+ht<—<-工+E或-—+kn<—<kit,keZ,

22442

当上一2〃，〃eZ时，，的终边落在第四象限，

当上=2〃+1,〃eZ时，5的终边落在第二象限，

综上所述，券的终边落在第二或第四象限.

故选：B.

【变式训练3-4】、（2023•高一课时练习）将下列各弧度化成角度.

T.3兀

---=•--=・

12----------------，4----------------，

7兀a

T=----------------:-----------------.

【答案】-150135°210°-171o54f

【分析】根据弧度制与角度制之间的转化关系可得答案.

【详解】-△=-'xl8O=-15；—=-xl8O=135；

121244

――=-x180=210；—3=—3x70=—17154,

66兀

故答案为：-15。；135°；210°；-171054;

题型考点04扇形的周长与面积

例4.（1）、（2021•高一课时练习）已知扇形的弧长/为彳，圆心角。为:，则该扇形的面积S为（）

n八2乃八44一8

A.-B.—C.—D.一

6333

【答案】B

【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积.

【详解】解：•••扇形的圆心角a为、7T，弧长/为2今7r，

••・扇形的半径，M/UZ,

a

•••扇形的面积S=:"=：X2X¥=子.

故选:B.

（2）、（2021•山西省长治市第二中学校高一月考）《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年II刻的

青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力

的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约肩宽约

4

为箭，“弓”所在圆的半径约为1.25m,则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（）

0

A.—mB.5忘mC.—mD.2m

248

【答案】B

【分析】

由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长.

【详解】

由题得：弓所在的弧长为：/=£+£+[=苧；

4488

所以其所对的圆心角。=令=g;

4

两手之间的距离d=2Rsin石=夜x1.25A=—m.

44

故选:B

【变式训练4-1】、（2023秋•山东•高三校联考阶段练习）（多选题）小夏同学在学习了《任意角和弧度制》

后，对家里的扇形瓷器盘（图I）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇

形中，NAOB」,OB=OA=2,则()

3

C.扇形。居的周长为与+447r

D.扇形的面积为7

【答案】BC

【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案.

【详解】ZAOB=^=60°,所以A错；

AB=ar=-x2=—,所以B对：

33

扇形0/由的周长为g+4,所以C对；

119IT27r

面积为S=；/r=]x'x2=^,所以D错;

故选:BC

【变式训练4・2】、（2022•浙江•高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”,形象

象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧4。长度是4,弧8c长

度是L几何图形A8CO面积为s,扇形BOC面积为邑，若5=2,则去=（）

<2

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据弧长公式，可得出两个扇形的半径之比，从而可求出面积之比.

【详解】设40力=夕，0A=0B=r2,「"=6x4,/2=0xr2,

而上=2,.•.4=2,即3是。4的中点，

l2r2

乙乙乙

,工=3

W•

故选