锐角三角函数（高效培优讲义）-浙教版九年级数学下册（原卷版）

专题L1锐角三角函数

1.借助相似直角三角形的性质，探索并理解锐角三角函数(sinA、cosA.tanA)的

定义，能准确表述直角三角形中边角的比值关系；

教学目标2.熟记30。、45。、60°角的三角函数值，能直接进行特殊角的三角函数计算；

3.能在给定直角三角形中，根据边长求锐角的三角函数值，或根据三角函数值判断边的

关系

1重.点

(1)锐角三角函数(sinA、cosAxtanA)的概念建立;

(2)30。、45。、60。角的三角函数值及应用。

2.难点

(D理解"三角函数是锐角与比值的对应关系”，突破“边的比值与角的大小无关”

教学重难点

的抽象认知；

(2)特殊角三角函数值的推导过程(如利用等腰直角三角形、含30°的直角三角

形性质)及记忆规律；

(3)避免求三角函数值时“对边、邻边”的对应关系混淆。

知识清单

知识点oi锐角三角函数的概念

如图所示，在RtZXABC中，ZC=90°,NA所对的边BC记为a,叫做NA的对边，也叫做/B的邻边,

NR所对的边AC记为b,叫做NB的对边，也是NA的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.

注意:

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比

值.角的度数确定M,其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.

（2）sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成义。•工，COS•工，tan•工，

不能理解成sin与/A,cos与NA,tan与/A的乘积.书写时习惯上省略NA的角的记号“N”，但对三个

大写字母表示成的角（如NABC）,其正切应写成“tan/ABC"，不能写成“tanABC"；另外，（血（COS力）1

（tan力尸常写成sin'力、cos2tan2

（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.

（4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°</A<90°间变化时，0<smH〈l，0<cos^<b

tanA>0

【即学即练】

1.在RtaABC中，Z.ACB=90°,CDLAB,垂足为。，则下列式子中正确的是（)

C

2.如图，在/?向48。中，杷锐角A的对边与邻边的比叫做团4的正切，记作且a、b、。分别是财、回8、

团。的对边，则tanA等于（）

A色B.-c.-D.

•ba

知识点02特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30。、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:

锐角asinacosatana

£追在

30。

223

星1

45°正

2

显J

600

22

注意：

⑴通过该表可以方便地知道30,、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一

若知丑当，则锐角”45。.

个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：

⑵仔细研究表中数值的规律会发现：

亚走必

sin30\sm45\sin60°的值依次为2、2、2,而cos30°、cos45\cos60°的值的顺序正好

相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其变化规律可以总结为:

①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）；

②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）.

【即学即练】

1.下列三角函数中，值为:的是（）

A.cos30°B.tan30°C.sin45°D.cos60°

2.计算：

(1)tan45°=_；

(2)sin60°=_.

知识在（）3锐角三角函数之间的关系

如图所示，在RtaABC中，ZC=90°.

（1）互余关系：sinR=cos（90°-乙4）=cosB，

cosA=sin（9（T-44）=sin5.

（2）平方关系：sin2J4+COS2J4=1；

41

⑶倒数关系：'E'tanOT-乙4）=1或"tan5：

,sin力

tan^4=----

⑷商数关系：cosA.

注意：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数

的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便.

【即学即练】

1.在RtAABC中，乙C=90°,=a,BC=2,那么AC的长为（）

2

A.2sinaB.2cosaC.2tanaD.

tana

题型精讲

题型01锐角三角函数的概念

【典例1】如图，在中，Z-ABC=90°,BD为斜边4c的高，。为垂足，则下列结论中正确的是（）

【变式1】如图，在中，4c=90。，BC=a,AC=b,AB=c,则下列选项正确的是（）

.ACDAC_BCc8C

A.——ABB.——BCC.——ABD.——AC

【变式3】如图，一辆自行车竖直喋放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得48=50。,8c=70cm,

则点C到的距离为（）

A.70cos50°B.70sin50°C.—■

题型02求角的函数值

【典例2】在RtZkABC中，4C=90。,4B=13,4C=5,则sinB的值为（）

A.AC

13BT-卷D谒

【变式1】已知在内△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,那么下列等式正确的是（）

34

A.sinA=-B.coSi4=-C.tam4=-D.tanB=-

4

【变式3】在Rt△力BC中，Z.C=90°,AB=6,BC=4,则SinA的值为.

题型03已知函数值求边长

【典例3】如图，滑雪场有一坡角20。的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高

度48的长为（)米.

200

AA.-----200sin20°

COS200

【变式1】在RtaABC中，LC=90°,AB=6,sinB=芯则AC的长是（）

A.2B.3C.4D.6

【变式2】如图,在RtZi48C中，已知NC=90。，COS/1=7,AC=4,那么4B的长为（）

A.3B.5c禧D.

【变式3】在RtaABC中，4c=902BC=8,tanA=%则力C的值是（)

A.5B.6C.8D.10

题型04特殊角三角函数值

【典例4】计算cos60。的值为（）

V3V3

A--Bc.D.

♦2-122

【变式1】sin30°=（）

A，\B.1C.2D.4

【变式2】cos45。的值等于（）

1>/2V3八1

AA.—BD.—Cr.—D.1

222

【变式3】2tan60。的值是(：

A.-B.—C.—D.2A/3

223

题型05同角三角函数的关系

【典例5】在Rt△4BC中，ZC=90°,若sin4=；,则cosA的值为.

【变式1］已知0。<a<90。，如果cosa=j,那么sina=.

【变式2】已知sina=鼻a是锐角，则tana=.

【变式3】在Rta/WC中，ZC=90°,若cos4=±,则sin/1的值为________.

S

题型06特殊角三角函数值的混合运算

【典例6】计算

⑴2sin300+cos600—cos245°

(2)Q)T-(2009-V3)0+4tan45°-|-2|

【变式1】计算：(一l)2+，5tan30。一(3.14—4)°.

【变式2】计算下列各式：

(l)V3cos300-V2sin45°；

(2)tan45°-2(sin300-cos45°).

【变式3】计算：|-V3|+(7T-2024)°-2sin60°+Q)-1-V9

题型07三角函数的综合

【典例7】阅读下歹I」材料：如图1,在△力中，乙4,乙B,乙戊勺对边分别为a,b,c.求证：号=昌.

sinAsinB

证明：过点。作CD_L48于点D.

..CD.CD

vsin/1=—,smBn=

•••CD=bsinA,CD=asinB,

根据上面的材料解决下列问题：

⑴如图2,在△A3C中，乙4乙B,4c的对边分别为a,b,c.求证：—=—.

sinBsmC

⑵为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化，已知

乙A=67。，Z.B=53°,AC=160米，求这H区域的面积.（结果保留根号.参考数据：Sln53。40.8,

sin67°«0.9）

⑶你能直接写出图2中△ABC的面积吗？（用a,b,c及角的锐角三角比表示）

【变式1】如图，在RtAABC中，LC=90°,48=15,sinA=求8c的长和tan8的值.

3

【变式2】如图,在中,UCB=9如,CD1AB于点D

(1)若AC=3,4B=5,求tan4BCD的值；

(2)若BD=1,40=3,求tan,。。的值.

【变式3】如图，在448。中，AB=AC=13,BC=10,。是边4c上一点，且tan/DBC=*

4

A

（1）试求sinC的值；

（2）试求/BCD的面积.

强化训练

一、单选题

1.如图，在△48。中，若4C=90。,则（

..b

A.sinA=-B.sin/1=-D.cosB=-a

2.sin30。的值是（)

1

A.1B.C.D.V3

2

3.计算6tan45°—2cos60。的结果是（)

A.3B.4C.5D.6

4.若乙。的余角是30。，则cosa的值是（）

B.立D.V3

A.-2C.

二更,

5.在A中，A、B都是锐角，sinAtanfi=V3,下列说法正确的是（）

ABC