三角函数与解三角形 -2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）含解析

三角函数与解三角形

2026年高考数学一轮总复习课时检测训练(人教A版)

一、解答题

1.V48c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知。=2,r/cosC+—«sinC-b.

3

⑴求A；

(2)若点。在BC边上，平分/B4C,且A。二立，求VA8C的周长.

3

2.如图，四边形A8CO的内角。+。=兀，A8=3,DA=\,BC=CD,且AC=J7.

⑵若点P是线段/IB上的-点，PC=&,求EA的值.

3.在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,I-COS24=CQS(A-C)+COS4,

且AO=OC

⑴求证：b2=ac;

⑵当8。=/;时，求cos4BC.

4.VC的内角ARC的对边分别为—,满足管竽=震

(1)求证：4+28=1；

⑵求匚久的最小值.

c

试卷第2页，共4页

5.如图所示，在平面四边形/WCD中，AB=2.RD=43,^ABD=^ACD=^,设

⑴若。十求8的长；

(2)当。为何值时，△BC。的面积取得最大值，并求出该最大值.

6.如图，A、B、。三地在以O为圆心的圆形区域边界上，A8=30公里，4。=10公里,

血。=60。，。是圆形区域外一景点，NDBC=90。，ZDCB=60°.

D

（1）0、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）

⑵若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路A。行驶到。处.需要多少小时？（精

确到小数点后两位）

试卷第4页，共4页

参考答案

>.(Dy

⑵用+2

【分析】(I)利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出角A即可：

(2)利用角平分线分三角形面积等于两个小三角形面积之和得出等式，再用余弦定理联立

求解周长即可.

【详解】(1)由正弦定理得sinAcosC+@sinAsinC=sin8,

3

在NABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,

彳七简为正sinAsinC=sinCeosA,又sinCwO,

3

/.tanA=^»又Aw(O,a)

A=-；

3

(2)依题意得SABc=L从'sinA=LAOcsin/8AO+Ln£>/sinNC4。，

222

即6)be=(b+c),

由余弦定理得4=从+c2-be,

二.(Z?+c)~—p(Z?+c)=4,解得b+c=>/()

v3

MABC的周长为#+2.

2.(Dj

⑵2

【分析】(1)设笈C=CO=%>(),在VA5C、，46分另！利用余弦定理可得出关于x、cos^

的方程组，解出cosB的值，结合角〃的取值范围可求得角4的值；

(2)利用正弦定理可求得NBPC=2,利用勾股定理求出依，即可求得抬的长.

【详解】(I)设8C=8=x>0,

在VABC中由余弦定理得AC?=9+/一2x3xcosB=7,GPx2+2=6xcosB①,

又在..ACD中由余弦定理得AC2=\+x2-2xlxcosD=7,即V-6=2xcosD②,

因为占卜。=7t,则cosD=cos(九一〃)=—cosB,

答案第1页，共5页

联立①②可得x=2（负值舍去），cosB=1,因为8«0,兀），所以8=孑

BCPC

（2）在△P8C中，由正弦定理知,

sinZBPC-sinB

所以…智

又。<4BPC<R,故NBPC=（

在直角三角形△P8C中，由勾股定理知，PB=ylBC2-PC2=H

此时％=A3-P8=2.

3.（1）证明见解析

若

【分析】（1）依题意利用二倍角公式及两角和差的余弦公式得到sin?A=sinAsinC，再由正

弦定理将角化边即可；

（2）依题意力是边AC的中点，则BO=g（84+3C）,根据向晟数显积的运算律及余弦定

理得到从，最后由余弦定理计算可得：

2

【详解】（1）证明：因为l-cos24=cos（A-C）+cos/3

所以2siifZ?=cos（A-C）-cos（A+C）,

所以2sin'13=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC

所以sir?8=sinAsinC，结合正弦定理二=工=三二2R,

sinAsinBsine

可得/=，命题得证.

（2）解：由题意AO=/）C知，点。是边AC的中点，则8O=g（84+8C）

两边平方整理得43人=BA：+BC2+2BABC

即4从=c2+a2+2«ccosZ4BC

答案第2页，共5页

根据余弦定理方？=c2+a2-2«ccosZABC

两式相加得/+°2=|//，

再由余弦定理「1人於a2+c2-b2|〃一'3

cosZ/ADC=--------------=----；——=—

2ac2b24

4.(1)证明见解析，

(2)472-5

【分析】⑴根据题意，化简得到sin(4+B)=cosB=sin(»｝即可得证；

(2)由(1)知4=1-28且C=I+B,利用正弦定理得到二^1=48^8+一一-5,

22c2cos2B

结合基本不等式，即可求解.

【详解】(1)证明：由1sinA=sin3,可得Awq且sinAcos4+cosAsin/3=cos/3,

cosAcosB2

所以sin(A+/3)=cos8=sin(]-8,

因为AB为三角形的内角，可得A+4=]_3,即A+2B=],得证.

(2)解：由(1)知4=色一28,^C=n-A-B=-+B,

22

所以a2+lf_sin?A+si/8_cos228+si，4_Qcos?8-1)~+1-cos?A

c2sin2Ccos2Bcos2B

所以《注=4COS2B+——-5>4>/2-5,当且仅当cos?3=立时，等号成立，

c~cos-B2

所以“的最小值为4夜-5

c"

5.(1)CO=&

(2)0=9,面积最大值为亚

【分析】(1)利用余弦定理和正弦定理即可；(2)利用余弦定理和正弦定理并将面积表示为三

角函数求最大值.

【详解】（1）在△A3。中，由余弦定理得，

AD2=AB1+BD2Z?DcosZ/\BD=4+3-2x2>/3x—=l,

2

所以AO:1,

CDAD

在△4CO,由正弦定理得,

sinZCAD~sinZACD

答案第3页，共5页

lxsin—

所以CO=--------生=JI

・TC

sin—

6

(2)由第(I)问知，在△A3。中，AB=2,BD=6、AD=1,

所以4B2=%>2+A02,所以乙4OB=',

CDAD

在△由正弦定理得,

ACO,sinZCAD~sinZACD

1xsin00.八

所以℃---------=2sin。,

.7t

sin-

6

因为NBDC=7r-0----------=-----a

623

所以S.Rcn=-DCBD-sinZBDC=Gsin/sin(--0}

3.E•2c3加l-cos2^

=—sinJncos。----sin^=—sin20-------x-------------

22422

3•…6.，…叭&

=—sin2t/+——cos2夕----=——sin(2t/+—)------,

444264

因为0w(O,g),所以20+fe(£,些),所以当20+g=g，即0=g时,

3666626

sin(26+g)=l,此时△BCD的面积取得最大值为由.

64

6.(1)15.28公里

(2)1.25小时

【分析】（I）由余弦定理求出BC,由正弦定理得到VABC的外接圆半径，即可求出0、A

相距多少公里；

（2）求出8。，由正弦定理求出sinZA8C,由余弦定理计算出公路A。的长，根据汽车的

速度，即可■求出所需的时间.

【详解】（1）由题意，设圆的半径为R,

在VA4c中，48=30,AC=10,Zfi4C=60°,

由余弦定理，

BC=y/AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC=A/302+102-2x30xl0xcos600=1o/

由正弦定理,

BC―2R

sinNBAC'

答案第4页，共5页

解得：/?=—^i«15.28,

3

由儿何知识得，0、A间的距离即为半径R,

，OA=R=W⑸=15.28,

3

工。、A相距15.28公里

(2)