三角形的内切圆（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

专题27三角形的内切圆（提优）

一.选择题

1.如图，已知等边△和?。的内切圆。0半径为3,则4?的长为（）

A.3A/3B.3或C.6褥D.6班

【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解即可.

【解答】解：过。点作OO_L8。，则。。=3；

:。是的内心，

：・NOBD=30°；

RtZ\08。中，ZOBD=30°,OD=3,

：.（）B=6,

:・BD=3B

：・AB=BC=2BD=&^.

故选：C

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，解决本题的关键是将正三角形的半径、

内切圆半径和正三角形边长的•半构成•个直角三角形，解这个直角三角形.

2.如图，在△力8c中，ZC=58°,点。为△48C的内心，则/力。8的度数为（）

A.119°B.120°C.121°D.122°

中考撤号

11

【分析】根据三角形的三个内角的平分线相交的点为内心，可知/840=5/以8,ZABO=-ZCBA,

由NC的度数和三角形内角和为180°,可求出/。8+/。84=122°,进而可求出N4O8的度数.

【解答】解：•••点。为△48C的内心，

二力。平分NC44,BO平分NCB4

11

AZBAO=-ZCAB,ZABO=-ZCBA,

1

・・・

NZO8=180°-T乙(NCAB+/CBA),

VZC=58°,

：,ZCAB+ZCBA=n2°,

・・・N/OB=180°-61°=119c,

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内心的性质.根据是根据内心的性质，得出三角形两内角平分线的夹角与

第三个角之间的等量关系是解题的关键.

3.如图，在△力8C中，点。为△48C的内心，ZA=60°,CD=2,80=4.则△Q8C的面积是()

A.4邓B.2小C.2D.4

【分析】过点8作8“_LCQ的延长线于点由点。为的内心，ZA=60°,得N8OC=120°,

则N8Q〃=60°,rhBD=4,求得根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：过点4作8〃_LCO的延长线于点〃.

•・•点。为△力8c的内心，ZJ=60",

11

：,ZDBC+ZDCB=-(ZABC+ZACB)=~(180°-ZJ),

乙乙

11

AZBDC=90°+-ZJ=90°4--x60o=120°,

则NBQ〃=60°,

•:BD=4,

:・DH=2,BH=2小,

中考撤号

VC£>=2,

11一厂

・•・/\DBC的面积=-CD*BH=-x2x2\'3=2®

乙乙

故选:B.

【点评】本题考查r三角形内心的相关计算，熟练运用含3（r角的直角三角形的性质是解题的关键.

4.如图，。0是等边△48。的内切圆，分别切48,BC,AC于点、E,F,D,P是静上一点，则NEPE的

度数是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

【分析】如图，连接（龙，OF.求出NEO厂的度数即可解决问题.

【解答】解：如图，连接O,OF.

是△48C的内切圆,1E,尸是切点,

：.OE±AB,OFA.BC,

:・NOEB=NOFB=90°,

•・•△44C是等边三角形，

中考撤号

••・N8=60°,

:.NEOF=T200,

1

：,ZEPF=-ZEOF=60a,

故选:B.

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆冏角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

5.下列说法正确的是（）

A.三角形的外心一定在三角形的外部

B.三角形的内心到三个顶点的距离相等

C.外心和内心重合的三角形一定是等边三角形

D.直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°

【分析】利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可.

【解答】解：4、三角形的外心不一定在三角形的外部，错误；

B、三角形的内心到三个边的距离相等，错误；

。、外心和内心重合的三角形一定是等边三角形，正确；

D、直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为135°,错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了三角形内外心的区别，正确把握相关性质是解题关键.

6.如图，在。中，ZC=90°,AC=6,BC=8,OO为△44C的内切圆，点。是斜边48的中点,

【分析】根据勾股定理可得18=10,再根据三角形内切圆的性质可得正方形CGOF,根据切线长定理可

求得内切圆半径，再根据勾股定理即可求得的长.

【解答】解：如图，

在中，NC=90°,AC=6,BC=8,

中考撤号

，45=10,

设OO与△川我?的三边的切点为2、F、G,

连接OE、OF、OG,

得正方形CGOF

设OF=OE=OG=CG=CF=x,

则/G=/E=6-x,BE=BF=8-x,

.*.6-x+8-x=10,

解得x=2,

:・AE=6-x=4,

•・•点。是斜边48的中点，

：.AD=5,

：,DE=AD-AE=\,

在RtaOQE中，根据勾股定理，得

OD=^OErTDE2=掰+封=依

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握一角形

的内切圆与内心.

7.如图，不等边△48C内接于。。，/是其内心，且加_L。/,48=2,BC=3,则/C的长为（）

3；2

A.4B.-C.2<2D.

22

【分析】延长力/交。。于。，连接04、OD、BD和B/,可得BD=ID=AL易证而=而，则OO_L〃C,

作/GJ•43于G,又NDBE=NL4G,则8。=4,所以RiZ\BQEgRlZ\4G,从而得出力8MC=29C,

中考撤号

代入数据即可得到结论.

【解答】证明：如图1,延长〃交于。，连接。1、BD和BI,

*：OA=OD,OHAD.

:・AI=ID,

乂/DBI=NDBC+NCBI=NDAC+/CBI,

1

=-QBAC+N4BC)=NDIB,

因此，BD=ID=AL

•・•/是其内心，

・・・力。是N8/C的平分线，

:.BD=CD,

：.OD±BC,记垂足为£

1

：,BE=­BC,

作/G_L48于G,*：NDBE=NL4G,BD=AI,

：・4BDE@4A1G(AAS),

1

：.AG=BE=-BC,

如图2,过。作OM_L/C,ONIBC,

图2

•・•/是其内心，

：,AG=AM,CM=CN,BG=BN,

：.AG=AC-CM=AC-(、BC-BN)=AC-BC^BN=AC-BC+(AB-AG),

中考核等

1

：.AG=-(AB+AC・BC),

乙

：.AB+AC=2BC,

•:AB=2,BC=3,

：.AC=4,

故选:A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关

强

8.如图，。0是△48c的外接圆，48是。。的直径，/为△/8C的内心，4的延长线交8。于。，若0/_1_

AD,则sin/。。的值为()

----

1更LL

走

走

-BC

A.222D.5

【分析】延长/。交OO于R,连接8/,BR,易证△8R/为等腰直角三角形，。/为△48R的中位线，设

J-

1q

01=a,贝I」5R=2q=/R=/l/,则。力=\区〃，贝ljsinN%。=sinNO//=卷.

【解答】解：如图，

R

延长力。交。。于H,连接3/,BR,

•・•/为△45C的内心，

/CAR=/BAR,^ABl=/CB1,

■:/CAR=/CBR,

・•・4RIB=ZIAB+ZIBA=ZCAR+ZCBI=ZCBR+ZCBI=/RBI,

•・14是OO的直径,

中考撤号

・・・N8/M=9(r,

为等腰直角三角形，

•二。是为8中点，O///BR,

：」是AR的中点,

：・OI为4ABR的中位线，

设0/=。，典］BR=2a=/R=</,

在RtZ\4O/中，根据勾股定理，得

0A=、1加2+0/2_、用〃，

01'5

sinZCAD=sinZOAI=—=R=—.

0A、/5a5

i15

所以sin/。。的值为

故选:D.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外接圆与外心、解直角三角形，解

决本题的关键是综合运用以上知识.

9.将线段04绕点。逆时针旋转60°形成扇形CO8,过C作。。_LO8,垂足为。，。石是AC'。。的内切

C.3陋+3D.足且

A.3小B.373-3

3

1

CD=中OdD?=V62-32=373,根据三角形内切圆的性

【分析】解直角三角形得到。。=5乙。。-3,

CD+OD-OC3i,3-3

质得到NER7=90°,NEOF=30°,EF=--------5--------=工^上，于是得到结论.

/-------2

【解答】解：,：CDIOB,

：.ZCDO=90°,

*：ZBOC=60°,OC=OB=6,

1

：,OD=~OC=3,

中考撤号

CD=ylOC2—OD2=、/6?-32=36,

•・・。4是△COQ的内切圆，点少是切点,

CD+OD-OC3、京+3-6_3也一3

，EF=

AZETO=90°,NEO/=30°2-2一~2~

：・OE=2EF=3邓一3,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，旋转的性质，蟀直角三角形，正确的识别图形是解题的关

10.如图，矩形月8C。，AD=6,48=8,点P为8C边上的中点，点。是△ACO的内切圆圆

。上的一个动点，点M是C0的中点，则PM的最大值是()

B.灰+1C.3.2D.3&

【分析】由矩形的性质得出NQ=90°,CD=AB=8,由勾股定理得出4C=\而斗而2=10,设△//)

1111

的内切圆O的半径为〃，则10〃+5乂8〃+5乂6厂=5x8X6,解得/«=2,连接8。，易证PM是△ACQ

1

的中位线，得出PM=5"。，当8。经过圆心。时，8。最长，则此时尸M最长，作OE_L/。于E,OF1.

AB于F,则BF=AB-AF=6,OF=AE=AD-DE=4,由勾股定理得出BO=+OF2=2、语，则BQ

=80+00=2^+2,即可得出结果.

【解答】解：:四边形48co是矩形,

/.ZZ)=90°,CD=AB=8,

：,AC=\AD2+CD2=、用2+82=1(),

设△力。的内切圆O的半径为r,

1111

则彳x10r+—x8r+-x6r=-x8X6,

乙乙乙乙

解得：/・=2,

连接BQ,

中考撤号

•・•/是8c边上的中点，点”是C。的中点,

是△4C0的中位线，

1

：,PM=-BQ,

当4。经过圆心。时，B。最长,则此时最长，

OELADTE,OFUB于F,

则BF=AB-力/=8-2=6,OF,=AE=AD-DE=6-2=4,

JBO=^BF2+OF2=芦+42=2VT3,

：.BQ=BO^OQ=2^+2,

1「

・・・PM=/0=713+1；

【点评】本题考查了三角形内切圆与内心、勾股定理、矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识;

熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键.

11.如图，△/8C内切圆是。0,折叠矩形/8CQ,使点。、O重合，/G是折痕，点尸在力。上，G在/8C

上，连接OG,DG,若0G垂直OG,且。。的半径为1,则下列结论不成立的是()

A.CD+DF=4B.CD-DF=2/-3C.8。+48=2下+4D.BC-AB=2

【分析】设。。与8C的切点为M,连接〃。并延长MO交力。于点N,根据折叠的性质得到OG=QG,

根据全等三角形的性质得到OM=GC=1,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.求得8。■力8=2.设

=a，BC=b,AC=c,。0的半径为r,根据勾股定理得到/+必=(a+b-2)2,求得BC+4B=2邓+

4.再设。户=x,在RtAON/中，EV=3+、5OF=X,ON=\+v'3,根据勾股定理得到CO-。尸=

中考撤号

F，CD+DF=、活.

【解答】解：如图,

设OO与8c的切点为例，连接MO并延长MO交AD于点N,

•・•将矩形/18C。按如图所示的方式折叠，使点。与点。重合，折痕为"G,

：・OG=DG,

•・・OG_LOG,

.•.NMGO+NOGC=90°,

•••NMOG+NA/GO=90°,

/.NMOG=NDGC,

(ZOMG=ZDCG=90°

在△OMG和△GCQ中，4MOG=NDGC,

[OG=DG

:.AOMG@XGCD,

：.OM=GC=\,CD=GM=BC・BM・GC=BC-2.

■:AB=CD,

：.BC-AB=2.

设BC=b,AC=c,。。的半径为广，

00是RtA48。的内切圆可■得厂=：（a+b-c）,

*.c=a+h-2.

在RtZ\48C中，由勾股定理可得。2+房=（。+力-2）2,

整理得2ab-4a-48+4=0,

又YBC-48=2即b=2+。，代入可得2。（2+。）-4。-4（2+。）+4=0,

解得。=1+、？或4=1-\?（不合题意舍去），

：,BC+AB=2^+4.

再设DF=x,在RtAONF中，FN=3+1-x,OF=x,ON=\+、&一1=、5

中考核等

由勾股定理可得(2+^-x)2+(羽)2=/,

解得x=4-0，

/.CD-DF=x''3+i-(4-\巧)=2A/3-3,CD+DF=平+1+4-\巧=5.

综上只有选项力错误，

故选：A.

【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性侦，折叠的性质，平行线的性质，平仃四边形的判定和

性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

12.如图，在△力8c中，NB/C=6()°,其周长为2(),。/是△力BC的内切圆，其半径为小，则△8/C的

外接圆半径为()

A7o7/?C7、？.7-3

A.7B.773C.D.

23

【分析】设△8/C的外接圆圆心为O,连接08,OC,作CDL力B于点、D,在圆。上取点凡连接心,

FC,作OE_LAC于点E,设48=c,BC=a,4C=4根据三角形内心定义可得=^x20x

乙乙

L1

^i3=-AB*CD,可得A=40,根据勾股定理可得8C=Q=7,再根据/是△48C内心，可得/8平分/

ABC,IC平分N4CB,根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得/4。。=120°,再根据垂径定理和勾股

定理即可求出08的长.

【解答】解：如图，设△8/C的外接圆圆心为O,连接04,OC,作COJ_"于点力，

在圆O上取点R连接所，FC,作OEJ_8c于点，

中考撤号

设/4=c,BC=a,AC=b,

•・•/氏1C=6()°,

1

.*.AD=­bf

t

CQ=4C・sin600=串,

1

BD=AB-AD=c-rb,

乙

•・•△力灰〕周长为/=20,AABC的内切圆半径为r=瓜

11p-1

:・S&ABC=2lr=2x20x\3=p8・C£),

L后

2O<3—--b・c，

2

：.bc=40,

在RtZkAOC中，根据勾股定理，得

BC2=BD2+CD2,

16

即『=(c--/>)2_|_(^_/?)2,

22

整理得：a2=c2+Z?2-be,

a+b+c=20,

：.a2=c1+b2-bc=(b+c)2-3bc=(20・a)2-3X40,

解得。=7,

**BC—a—1,

•・•/是△48C内心，

：.IB平分NABC,/C平分N/C8,

中考撤号

VZ5JC=60°,

AZABC+ZACB=120°,

：・NIBC+NICB=60°,

・・・N8/C=120°,

.\Z5FC=180°-120°=60°,

••・N8OC=12(T,

•：OE±BC,

7

：,BE=CE=~,ZBOE=60°,

乙

BE7,137J3

:.OB=.,NO=T-S--=-----.

si九600223

故选：D.

【点评】本题属于圆的综合，考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，

见内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识.属于中考选择题的

压轴题，很有难度.

二.填空题

13.如图，△48C是。0的内接三角形，力8是0。的直径，/是△/8C的内心，则/叫力的度数是

135°.

【分析】根据圆周角定理求出/C=90°,求出NCN8+NC8/=90°,根据三角形的内切圆得出=

111

-ZCAB,Z1BA=-/-CBA,求出N〃4+N/A>1=5(NC48+/C8力)=45°,根据三角形内角和定理求

出即可.

【解答】解：•••△48C是。。的内接三角形，力〃是OO的直径，

AZJC5=90°,

：・/C4B+/CBA=9O°,

是△XBC的内心,

11

：.ZIAB=-ZCAB,ZIBA=-/-CBA,

乙z«

中考核等

1

/.AIAB^-AIBA=~(ZCAB+ZCBA

乙)=45°,

・・・N4/8=180°-QCAB+/CBA)=180°-45°=135°,

故答案为：135.

【点评】本题考查了三角形的内切圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点

进行推理是解此题的关键.

14.如图，点。、/分别是锐角△48C的外心、内心，若NC"=8NCMC=48°,则N/O/-NC7O=

30°.

【分析】连接OC,如图，先计算出NO4C=6°,再利用外心性质和等腰三角形的性质得到/OC4=N

OAC=6°,则NZOC=168°,利用圆周角定理得到N/f8C=84°,接着计算出N4C8=48°,从而得

到BA=BC,利用等腰三角形的性质可判断BO垂直平分AC,OB平分乙I8C,所以△彳8C的内心/在08

上，延长80交力C于〃，如图，则4〃_L4C,然后分别计算出N4O/和NC/O,最后求它们的差即可.

【解答】解：连接OC,如图，

•；8NO/C=48°,

/.ZOAC=6°,

•・・。点为△48C的外心，

OA—OCt

：.ZOCA=ZOAC=6°,

AZJ(9C=180°-6°-6°=168°,

1

AZABC=-ZAOC=84°,

•・•ZACB+ZCAB+ZABC=\SO°,

：.Z/1C5=180°-48"-84°=48°,

：.BA=BC,

中考撤号

•「BO垂直平分力C,08平分4BC,

:./\ABC的内心/在04上，

延长80交力C于〃，如图，则8HJ_/iC,

AZAOf=ZAHO+ZOAH=9Q°+6°=96°,

・•・/为△48C的内心，

二。平分//C8,

1

:・/BCI=3/ACB=24°,

乙

1

同理可得NC8/=5N/8C=42°,

乙

・・・NC/O=NC8/+N8C7=420+24°=66°,

:・/AOI-/。0=96°-66°=30°.

故答案为30.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等：三角形的内心与

三角形顶点的连线平分这个内带.也考查了三角形的外心和圆周角定理.

15.如图，。的内切圆与8C,CA,分别相切于点O,E,F,且力4=5,8c=13,CA=\2,

则阴影部分的面积为26-211(结果保留n).

【分析】由勾股定理的逆定理得是直角三角形，ZJ=90°,证出四边形力EOF是正方形，得OE

=OF=^(AB+AC-BC)=2,正方形4EOE的面积=22=4,求出扇形EOb的面积=m得扇形OEZ"

的面积=3e求出的面枳=30,进而得出答案.

中考教号

a

【解答】解：：AB=5t8c=13,C力=12,

:.AB2+AC2=BC2,

・•・△/!〃。是直角三角形，N/=90°,

•.♦△/AC的内切圆OO与BC,C4,48分别相切于点。，E,F,：,OE1.AC,OF工AB,ODLBC,OE=

OF=OD,

・•・四边形4E。/7是止方形，

11、

；・NEOF=90：OE=OF=~(AB+AC-BC)=r(5+12-13)=2,正方形4E0产的面积=22=4,

二扇形EOF的面积=7xTtX22=n,

q

・••扇形OEDF的面积=TTX22-TT=3TT,

11

•••△48C的面积=y〃X/1C=5X5X12=30,

，阴影部分的面积=30-(4-n)-3n=26-2n；

故答案为：26-2n.

【点评】本题考查了直角三角形的内切圆与内心、切线的性质、勾股定理的逆定理、正方形的判定与性

1

质、扇形面积公式等知识；熟冻掌握勾股定理的逆定理，热记直角三角形内切圆半径=5(两条直角边

的和■斜边长)是解题的关键.

16.如图，点/是△49C的内心，连接4并延长交△49C的外接圆于点。，若/ACB=7Q：MZDBI=

55°.

D

【分析】由三角形的内心的性质可得NA4〃=NC/。，N4Bi=NCB1,由外角的性质和圆周角的性质可

得/B/D=NDBh由三角形内角和定理可求解.

【解答】解：丁点/是。的内心，

・•・ZBAD=/CAD,/ABI=ZCBI,

■:/CAD=NCBD,

:・/BAD=NCBD,

中考撤号

•・•ZBID=NBAD+NABI,Z1BD=ZCBI+ZCBD,

r.ZB1D=ZDBI,

VZJCB=7()°,

:,NADB=70°,

180。-70。

，/BID=NDBI=---------=55°

故答案为：55.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明N8/O=N

D8/是本题的关键.

17.如图，。/为△/BC的内切圆，点。，E分别为边48,4C上的点，且OE为。/的切线，DE//BC.若

△44C的周长为8,则OE的最大值为

【分析】根据。笈〃8C,可得△XOEs△48C,因为相似三角形周长的比等于相似比，可列出等式，设8c

=人再根据切线K定理可得，点月到O/的两切线之和为：8-2A,进而整理可得关丁。E的二次函数解

析式，根据二次函数的性质即可求出。£的最大值.

【解答】解.「DE//B3

：,△/QEs△44C,

因为相似三角形周长的比等于用似比，

DEC^ADE

即=7----，

oCC^ABC

设BC=x,

根据切线长定理可知：

点力到。/的两切线之和为：8-lv,

叱…。ECNDE点/到GU的两切线长之和

所以三=k=------------8------------

2(4r)

8

中考撤号

-11C

所以。E=-x(4-x)=--(X-2)2+1,

所以当x=2时，的最大值为1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质.

18.如图，在Rt△44c中，己知/。=90°,<C=6,BC=8,0。为△/AC的内切圆，点。是斜边的

中点，则tanNOD4=2.

【分析】设圆。与4c切于点F,与8C切于点”，与48切于点E,连接。尸、OH、OE,先由等面积法

算出内切圆半径,再求出DE即可得出答案.

【解答】解：如图，设圆。与4。切于点凡与8。切于点H,与48切于点E.

连接OF、OH、OE,则OFLACyOHIBC,OELAB,OF=OH=OE,

VZC=90°,

・•・四边形尸为正方形，其边长设为，

VJC=6,BC=8,

：.AB=\O,

•・•。是48中点,

：.AD=5,

11

■:S“CB=；BC・AC=;(43+8C+O1)r,

48

・1=6+8+10=2,

：.AE=AF=AC-CF=4,

：,DE=AD-AE=\,

OE2

tanZODA=—=-=2.

L/C1

中考撤号

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心性质、直角三角形斜边中线定理，三角形面枳公式、解

直角三角形等知识点.求出内切圆半径是解答本题的关键.

19.如图，44为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形。EFG的一边。G在直线上，另一边QE

过的内切圆圆心/,且点E在半圆弧上，已知。E=9,则△ABC的面积为」!_•

【分析】根据切线的性质得到彳。=4忆CM=CN=八根据圆周角定理得到N/C8=90°,根据勾股定

1

理得到力炉=4。2+8。2,于是得到4。・。8二齐。・8。，由射影定理得4。・。8=。。=81,根据三角形的

面积公式即可得到结论.

【解答】解：设O/切力。与切BC于N,半径为八

1

则4。=4必，CM=CN=r,BD=BN,r=-CAC+BC-AB),

乙

•・14为半圆的直径，

AZ/iCZ?=90°,

：.AB2=AC2+BC2,

11

:・AD・DB=AM*BN=(AC-r)(BC-r)=[AC-r(AC+BC-AB)][BC-z：(AC+BC-AB)]

乙乙

11c、、1

=-(AC-BC+AB)(AB+BC-AC)=~(AB2-AC2-BC2+2AC-BC)=~AC*BC,

442

由射影定理得AD^DB=DE2=^\,

1

・•・Szu5C=yC,8C=81,

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，射影定理，三角形的面积的计算，正确的理解

题意是解题的关键.

20.如图，是内切图，切点为。、E、F,NN=90°,ZC=30°,则/DFE度数是60

中考撤号

【分析】根据三角形的内角和定理求得N4=6（）°.根据切线的性质定理和四边形的内角和定理求得N

“犯=120。，再根据圆周角定理求得NO产E=60°.

【解答】解：・・・乙4=90°,ZC=30°,

AZ5=60°,

・・・NQOE=360°-90°-900・60°=120°,

r.ZDFE=60°.

【点评】此题综合运用了切线的性质定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和定理以及圆周角定

理.

三.解答题

21.已知：在△ABC中，ZC=90°,。/是RtZX/BC的内切圆，切点分别为。、E、尸，连接V、IF.

（1）四边形店（不是什么特殊的四边形？并说明理由.

（2）若力C=8,BC=6,求半径":的长.

【分析】（1）根据。/是对△/&?的内切圆，证明四边形/EC〃是矩形，由/E=/R可得结论；

（2）根据勾股定理可得/出的长，设半径山的长为x,根据切线长定理列出方程即可求得半径的长.

【解答】解：（1）四边形/EC尸是正方形，理由如下：

丁。/是Rt△48C的内切圆，即力C、8c都是0/的切线,

：・/IEC=/IFC=90°,

VZC=90°,

・•・四边形"3是矩形，

•：IE=IF,

中考撤号

，四边形/£3是正方形：

(2)在△45C中,ZC=90°,AC=S,BC=6,

：.AB=yiAC2+BC2=、/8、+6?=io,

由切线长定理可知：

AE=AD,BD=BF,CE=CF,

设半径/E的长为x,则CE=Cb=x,

：.AE=AD=S-x,BD=BF=6・x,

:.(8-x)+(6-x)=10,

解得x=2,

・・・/E的长为2.

【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心.

22.如图，△/8C内接于以48为直径的。。中，且点E是△力8C的内心，力E的延长线与8。交于点F

与。。交于点。，OO的切线PO交力8的延长线于点P.

(1)试判断△8OE的形状，并给予证明；

(2)若N/PO=30°,BE=2,求/E的长.

【分析】(1)如图，利用三角形内心的性质得到N1=N2,Z3=Z6,则利用圆周角定理得到N4=N6,

则可证明/5=NO8E,从而得到DB=DE,接着利用力8为直径得到/力。8=90°,从而可判断aBOE

为等腰直角三角形；

(2)连接。力，如图，先根据等腰直角三角形的性质得到=或，再利用切线的性质得到/。。?

=90°,则可计算出/尸00=60°,所以N21O=3()°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算

出力。，从而得到力月的长.

【解答】解：(1)△8OE为等腰直角三角形，

证明如下：如图，

中考极号

•・•点E是△力8c的内心，

平分N/18C,力产平分/⑸4C,

VZ1=Z2,Z3=Z6,

而N4=N6,

AZ2+Z3=Z1+Z4,

而N5=N2+N3,

・・・N5=N1+N4,即N5=NO8£,

:・DB=DE,

•・78为直径，

AZADB=90°,

为等腰直角三角形；

(2)连接OQ,如图，

•・•G。的切线PD交AB的延长线于点P,

：.ODSD,

：.ZODP=90°,

VZJPD=30°,

・•・/?。。=90°-NOPO=60°,

1

AZPAD=-ZPOD=3Q0,

中考核等

在Rt^ABD中，/。=y^BD=\口乂&=般,

:・AE=AD-DE=ql-也

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与

三角形顶点的连线平分这个内定.也考查了圆周角定理和切线的性质.

23.如图，点E是△48C的内心，4E的延长线和。的外接圆相交于点O,交BC于F.

(1)若N48C=4(T,ZC=8OU,求NC8D的度数；

(2)求证：DB=DE；

(3)若<8=6,AC=4,BC=5,求。E的长.

【分析】(1)根据N48C=40°,ZC=80°,利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可求NC8。

的度数；

(2)理解根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等/。以=/。4£,从而依据等角对等边即可

证明DB=DE；

ABBF3

(3)利用已知4?=6,AC=4,和角平分线性质可得:；：=左=77，由"7=5,可得8尸和尸。的值，再

ACFC2

证明△BOPs△力c/和再利用相似三角形的性质得到关于BD的方程，即可求DE的

长.

【解答】解：(1)・・・/力4。=40°,ZC=80°,

，N84C=180°-40°-80°=60°,

•・•点E是△力8C的内心，

1

乙CAD-々BAD=;乙BAC-3O。,

乙

・・・NC8Q=NC4)=30°.

答：NC8Q的度数为30°；

(2)证明：如图，连接4E,

中考撤号

AZ1=Z2.N3=N4,

VZ2=Z6,

AZ1=Z6,

VZ5=Z1+Z3,

/DBE=Z6+Z4=Z1+N3,

：・45=/DBE,

：.DB=DE,

(3)VZ1=Z2,AB=6,AC=4,BC=5,

tABBF3

力CCF2

:,BF=3,CF=2,

VZ6=Z2,ZD=ZC,

:.WDFsAACF,

.BDAC4BFDF

^DF~CF~2~Z，AF~CFf

1

：,DF=­BD.

DF*AF=BF・CF=6,

VZ1=Z2=Z6,NBDF=/ADB,

:•△DBFsADAB,

BDDF

=丽’

1

：.BD1=DF*DA=DF(JF+DF)=DF*AF+D碎=6+呼D)2,

乙

解得BD=2®

:,DE=BD=2&・

答：QE的长为2M.

【点评】木题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决木题的

中考撤号

关键是正确理解三角形的内心定义.

24.如图，。为等腰△力8。内一点，AB=BC,N4PC=108°,。为1C中点，4。与PC相交于点£,已知

P为AABE的内心.

（1）求证：NPEB=60°；

（2）求NP4c的度数;

【分析】（1）因点，为△X8E内心，所以P8、PE、"分别是N48E、/AEB、NA4E角平分线，再根

据三角形内角和定理即可证明；

（2）由（1）AABEgACBE可得/BEC=NBEA,进而可求出NHC的度数.

【解答】解：（1）因点尸为七内心，

所以尸4、PE、2力分别是N/6E、NAEB、N84E角平分线，

即：NPBE+NPEB+/PAE=90°,

又NBPC=108：

所以/PBE+/PEB=72。,

所以NP4£=18°,NBAE=36°,

因为力8=8C,且。是力。中点，

所以N/iBE=NCBE,

又BE=BE,AB=CB,

所以△44£'gZ\C8E,

即N8C£=36°,

又NBPC=108°,

所以NC8P=36°,

又/CBE=NABE=2/PBE,

所以NC8E=24°,

所以NPEB=NBCE+NCBE=50°,

中考核等

(2)由(1)AABE^^CBE,

所以NBEC=NBEA,

易知NCED=N4ED=NPEB=6U。,

所以/£40=30°,

所以/尸力C=30°+18°=48°.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切

员1与内心.

25.已知/为的内心，ZA=90°,BI,。的延长线分别交4C,48于点。，E,SAfirC=12,求S

四边形EDCB-

【分析】将△QC7分别沿30,CE翻折，点£1、。落在4c边上的£|、小处根据翻折的性质及

内切圆的性质可得，ZE/D=135°,ND］旧=45°,El=lEXiDI=1D「进而可以证明SZ^/D=

S&E1ID1，可得s四边形EDCB=2S&BIU

【解答】解：将△E8/,△OC7分别沿8。，CE翻折，点£、。落在BC边上的反、D｝处，

•・,/为RtZ\4?C的内心，

1

:.ZE1B=Z1BC+ZICB=~(^ABC+ZACB)=45°,

:・/E〃B=/EIB=45°,

AZE/D=135°,

同理：ZD/C=ZZ)|/C=45°,

...ND附=45°,

VE/=/EpDI=IDi，

作O，_LEC,。阳'上Eil于点H、H',

中考核等

，Q〃=Q/・sin450,

DiHr=D|Z-sin450,

11

SAEID=5X£/・O”=5x£/・Q/・sin450,

11

%=5XE］/・。］"'=-xf|Z-Z)|Z-sm450,

SA£/D=Sg/。］,

■:SABEI=S^E｛，S^C£)/=SZXCDI/，

；・S四边形EDCB=2S^B/C=