山东省德州市2025-2026学年高三年级上册开学考试数学试题（含答案解析）

山东省德州市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知向量。=（2,1）,b=（m-2,m）,若,〃B，则"?=（）.

A.-4B.-2C.2D.4

2.已知集合河={0,1,2},N=[y\y=T,x^M],则A/CN=()

A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

2

3.已知复数z=l+i（其中i为虚数单位），则二一

z-1

A.-2B.-1C.1D.2

4.在［+.］的展开式中，常数项为（）

A.6B.8C.12D.24

5.某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据分成6组，整

理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过。厘米，根据直方图

估计，下列最接近。的数是（）

A.93.5B.94.1

C.94.7D.95.5

6.某圆锥母线长为近，其侧面积与轴截面面积的比值为血兀，则该圆锥体积为（）

兀兀A/33

A.-B.-C.—7iD.一兀

12388

22

7.已知椭圆C:♦+斗=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳耳，以巴为圆心的圆经过点片,

ab

且与y轴正半轴交于点/,若线段的中点在C上，则C的离心率是（）

试卷第1页，共4页

A.V3-1B.V6-V5C.V3-V2D.V2-1

8.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球

放入乙箱中，以4，4分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球,

以2表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）

5113

A.4，4互斥B.尸（叫,C.——D.尸伊

二、多选题

9.已知函数/（x）=tan1|<r+Ej,则（）

A./（X）的最小正周期为2

B./（x）的定义域是］XXN；+左#ez1

C./（X）的图象关于点（go］对称

D.1（X）在区间［1,2］上单调递增

10.在正方体ABCD-44GA中，尸为棱上的动点（不包括两个端点），过点P作平面a,

使得尸平面a,则（）

A.平面aB.5Qi〃平面a

C.平面力CC/i，平面aD.平面C4A〃平面。

22

11.已知双曲线C:三-一=1（〃>0,6>0）的左、右焦点分别为斗鸟，过点片的直线/与。在

ab

7

第一、四象限的交点分别为48,与了轴的交点为。，I/闾=。闾=；闺闾，则（）

A,直线/g的斜率为35B.C的离心率为2

2

C.D到C上最近点的距离为孚aD.|/用：忸用=11:3

三、填空题

12.函数/（无）=/+111尤的图象在点（1,1）处的切线的斜率为.

试卷第2页，共4页

13.已知〃>0,函数/(X)='"一；：9"',若〃x)+〃-x)=O,贝I］加+〃=.

14.有三个袋子，每个袋子都装有〃个球，球上分别标有数字1,2,3,…,〃.现从每个袋子里任

摸一个球，用x,y,z分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事

件“x+y=z”的概率为.

四、解答题

15.已知等差数列｛%｝满足4+。2=4,4+4=8.

⑴求凡；

⑵求数列，(T)"'®］的前2"项和sm.

aa

In„+lJ

16.已知V/3C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且i=*-sin,

csinZ+smB

(1)求/;

(2)若V/BC的面积为4百，且NR4c的平分线交边2。于点。，求40的最大值.

17.已知函数/(x)=x-alnx.

⑴求;'(x)的单调区间；

(2)若关于x的方程x-aInx=0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为％,求证:

(a-1)%>a.

18.如图，在直三棱柱48C-44cl中，V4BC为边长为2的正三角形，AAX=3,D为AC

的中点，点E在棱CG上，CE=2CG，0<2<l.

2

(1)当时，求证：4E，平面5。石；

试卷第3页，共4页

(2)求直线A,C与平面BDE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时2的值.

19.过点7(5,-1)作抛物线C：尤2=2加(p>0)的两条切线，切点分别为4人

(1)若Z4_LK3,求0；

(2)求证：直线N8过定点(与。的取值无关)；

(3)记C的焦点为尸，求证：ATFA=Z.TFB.

试卷第4页，共4页

《山东省德州市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BCDDCBACACDBC

题号11

答案ABD

1.B

【分析】由向量共线的坐标表示可得.

【详解】a=(2,1),b=(m-2,m),

由可得2%=加一2,解得m=-2.

故选：B.

2.C

【分析】根据已知求指数函数的值域，再应用集合的交运算求结果.

【详解】因为像={0,1,2},所以N={1,2,4},则在

故选：C

3.D

【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解.

【详解】因为z=l+i,

所以£=(+i)2=]+2+产=2i=2_

z-1iii

故选：D

4.D

【分析】写出二项展开式通项，令》的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】[x+£|4的展开式通项为心=《切".1：]=《-2。43R=O,I,2,3,4),

令4-2左=0,解得左=2,所以，展开式中的常数项为C]2?=6x4=24.

故选：D.

5.C

【详解】根据给定的频率分布直方图，结合第90百分位数求出

【解答】观察频率分布直方图，得1-0.05x1=0.95,1-(0.05+0.15)xl=0.80,0.80<0.9<0.95,

答案第1页，共12页

则ae(94,95),(«-94)x0.15+0.8=0.9,所以a=94.67,与94.67最接近的数为94.7.

故选：C

6.B

【分析】根据给定条件，求出圆锥的高及底面半径，进而求出体积.

【详解】设该圆锥的高为〃，底面半径为,，则产+『=2,

由圆锥侧面积与轴截面面积的比值为8兀，得上亚=也兀，解得=

rh

1IT

所以该圆锥体积为V=：兀/〃=V.

33

故选：B

7.A

【分析】由对称性|/用=|/8|=2c,得//月用=三，设线段/月的中点为3得力片，时，

由椭圆的定义即可求解.

【详解】设月（。,0乂。＞0）,由题知圆巴的半径为2c,且用耳|=|/闾=2c,得△/大片为等

边三角形，

则设线段/片的中点为B,则";，%，且忸闾=6忸4|=6c,

因为点8在C上，所以啊|+忸用=2。得（百+l）c=2"，

即6=£=6-1,即C的离心率为百一1.

a

故选：A.

8.C

【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】因为每次只取一球，故4，4是互斥的事件，故A正确；

由题意得*4）=；,尸（4）=|，尸（3|4）=g，P（M4）=：

答案第2页，共12页

15?413

P（S）=jP（4S）+JP（45）=-Xy+jX-=-,故B,D均正确；

74«

因为p（45）=：xm=五，故c错误.

故选：C.

9.ACD

【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.

【详解】对于A,由〃x）=tangx+j可知其最小正周期，故A正确；

对于B,由/（x）=tan|—xH—|可知一xH—卡—nATinxw—i-2k,keZ,故B错误；

<24J2422

对于C,^—x+—=—,左eZ,可得x=左eZ,

2422

所以函数/（x）=tan［x+：］的对称中心为（后-；,o）,无eZ,

又g=3-g，3eZ，所以/（x）的图象关于点（g,o］对称，故C正确；

对于D,由/（X）=tan［万工+可知xE万％+,

7T371

又尸tanx在py上递增，故D正确.

故选：ACD

10.BC

【分析】利用反证法可判断A、D；由题设得到用口，尸£,再根据结合线面平

行的判定即可判断B；由面面垂直的判断即可判断C.

【详解】对于A,若/月，a,因为尸G，c,所以/与〃尸G,因为工4〃r>G，所以DQ〃PC,,

矛盾，所以A错误；

对于B,因为平面NG，所以用口，尸。，因为尸G且用Raa,所以耳R〃a,

所以B正确；

对于c,因为pqu平面/CG4,且尸所以平面/CG4，a,所以c正确；

对于D,若平面C"D1〃a,因为所以尸平面C8Q,又平面CBQ,

矛盾，所以D错误.

答案第3页，共12页

II.ABD

【分析】利用三角形全等来计算点/坐标，从而可判断A；通过点/坐标代入双曲线方程求

离心率，从而可判断B；通过点到直线的距离可判断C；通过联立方程组，利用坐标运算可

判断D.

77

【详解】对于A,记双曲线的焦距为2c,则6(c,0)"/工l=IMI=a归曰=,，

由1。阊=c,I理卜gc,根据勾股定理得|OD|=J斤二乎C,

如图过点/作x轴的垂线，垂足为

少°多(Mx

'|第=卬闯

由\NAF2M=ZDF2O,可得xAF2M^ADF2O,

ZAMF2=ZDOF2

因止匕|川|=|00=手，|咽|=|OF|=c,\MO\=2C,即N(2c,2常)，

35/5c_3卡c

所以7223下,选项A正确；

22r=c=2

(££)24c245c2,

对于B,将N(2c,巫)代入双曲线方程可得(2c)2

v2।，即^------=B

2▼一——=1a24b2

,4b245a245,

再将="+b2代入得402产-45/+4502=1,HnP4+-----------=1,

a24加a245b24

解得b=\/3a，所以。的禺心率为6=二=?—=jl+J1+3=2,选项B正确;

答案第4页，共12页

对于c,由|0q=当£可知0(0,一上常-),且双曲线c的渐近线方程为〉=±2》=±瓜,

a

则点D到双曲线C的渐近线的距离为

(—1)x(一

2

d=

V3+1

所以点。到C上最近点的距离大于芷°,

选项C错误;

2

对于D，由6=6a得。=yja2+b2=da1+3/=2a,

且双曲线。的方程可转化为3/_产=3/,

由瑞(2a,0),/(4a,3石0)得/:y=孚(x-2a)，

将/:y=3：(X—2")与C:3x2-y2=3a2联立并消去V得：1lx2-6Qax+64a2=0,

记8区,%)，则国.曲=齐，解得西=号=’

所以M闾:忸阊=-8Z=J,选项D正确.

c---

11

故选：ABD.

12.3

【分析】利用导数的几何意义可求出所求切线的斜率.

【详解】因为/■(xHV+lnx,则/(x)=2x+：,

故函数/(x)=f+lnx的图象在点(1,1)处的切线的斜率为/'(1)=3.

故答案为：3.

13.1

【分析】令x=0有/'(0)=0求参数相，再由=⑴求得〃=1,再验证所得参数是否

满足/(x)+/(r)=0,即可得结果.

【详解】令x=0,可得〃0)=巴产=0,所以机=0,

所以/(X)=2^1=3(2"-W-3T,又/(X)+/(-X)=0,

所以y(-l)=_/'⑴，则3「2"_3=_32"T+g,即3j+327=3+；,

答案第5页，共12页

Gx-1

因为〃〉0,所以2〃-1=1,n=l,经验证/（%）=万;=3"-3一、满足题设，

所以加+〃=1.

故答案为：1

n—\

14.—Y

【分析】归纳求出满足z=x+y的情况种数，根据古典概型的概率公式求解.

【详解】由题意，从三个袋子中摸出的球上所标记的数的总的情况为二种，

满足Z=X+y,贝（I24Z4",

当z=2时，对应的情况有1种；

当Z=3时，对应的情况有（1,2）,（2,1）,2种;

当z=4时，X,y对应的情况有（1,3）,（2,2）,（3,1）,3种；

L

当2=〃时，对应的情况有-2）,L”1种;

所以满足2=万+丫的情况有1+2+3+…-1）=叫＞种，

〃（〃一1）

故所求事件的概率为77-1.

r—---------=------

n32n2

〃一1

故答案为：2.

2n

15.（l）tz„=2n-l

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,由条件结合等差数列通项公式列方程求生,d,

代入等差数列通项公式可得结论，

（2）由（1）可得（T）”•2+“"+=，曰r\,利用裂项相消法求结论.

4%+i-12z?+1

【详解】（1）设等差数列｛见｝的公差为d,则。“=%+（〃-1”，

因为4+。2=4,。2+。3=8,

所以。1+。1+4=4,ax+d+a1+2d=8,

答案第6页，共12页

所以2al+d=4,24+3d=8,

所以6=1,d=2,

所以%=2〃—1,

(2)由(1)

i1

(-iy-册+%+i+

4A+iim

/、兀

⑹(不

(2)2A/3

【分析】(1)利用正弦定理边角转化后结合余弦定理可得，即可得/；

(2)利用三角形面积公式，结合基本不等式求解.

【详解】(1)在V/BC中，由正弦定理得号=—4=$

sin^4sinBsinC

^,a-bsinC-sin5，所以ic-b

因为----

sin/+sin5ca+b

整理得62+，2一。2=儿.

故cosA=

2bc2

又“£(0,兀)，故4=

(2)由VZBC的面积为4A回，4=V，得工加sin/=4\/5,解得6c=16,

324

jr

・・•4。为内角力的角平分线，，/氏4。=/。。=：,

6

由S&ABC=S.BAD+SQD,得4行+,

zo2o

因此16百=(c+b).40,

答案第7页，共12页

/。=3，43£=2如，当且仅当6=c时取等号.

c+b2Jeb

所以线段长的最大值为2百.

17.（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）求出AM的定义域和导函数/'（X）,再对。分类讨论，利用导数与单调性的关

系即可求解；

（2）由（1）可知当。>0时，/（x）=a-alnx=O才有两个不相等的实根，即可得到a>e,根

据函数的单调性与零点存在性定理可得/（x）在（0,。）上有唯一零点，即可得到

x-aln.r=O,xe(l,a)即证尤o-lnr。>1,再根

00o从而得到。='1n则要证

据（1）的结论即可得证;

【详解】（1）解：/（无）=x-alnx的定义域为（0,讨），Hx）=l--=^,

XX

当。•（）时，r（x）>o,“X）在（0,m）上单调递增；

当a>0时，令/'（x）>0,可得x>a,令八尤）<0,可得0<x<°,

所以f（x）在（0,a）上单调递减，在3+8）上单调递增.

综上可得：当时，/（x）在（0,y）上单调递增；当。>0时，在（0,。）上单调递减,

在（%+co）上单调递增.

（2）解：由（1）可知:

①当aWO时，/（X）在（0,+e）上单调递增.

所以/（切=0至多有一个实根，不符合题意.

②当.>0时，/（X）在（0,。）上单调递减，在伍,内）上单调递增.

所以/1（尤）的最小值为/（。）="。1血.

若/⑷20,则/（x"0,

所以/（x）=0至多有一个实根，不符合题意

若〃a）<0,BPa-aIna<0,得a>e.

X/（l）=l>0,且/（x）在（0,。）上单调递减,

答案第8页，共12页

所以/'3在(o,a)上有唯一零点.

因为方程“-olnx=0有两个不相等的实数根，且较小的实数根为%,

所以/'(x)在(0,。)上的唯一零点就是吃.

所以aIn%=0,%e(l,o).

所以a=

lnx0

所以“(a-l)%>a”等价于“(广匚一［%>1^-”，BPx0-lnx0>1.

1111.XnI111人0

由(1)可知当a=l时，/(x)=x-lnx的最小值为"1)=1.

又因为所以%-In.%>1.

所以(a-l)%>a.

18.(1)证明见解析

2

(2)1；A=-

【分析】(1)连接4。，利用勾股定理证明4E,瓦)，然后利用等边三角形和直三棱柱的

性质证明助，4£，即可得出结论；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量将直线4c与平面所成角的正弦值表示成关

于力的函数，然后分析函数最值即可.

【详解】(1)

直三棱柱/8C-4耳G中，平面/8C,所以NCG4是矩形，

22

又当儿=—时，CE=-CC,AA=CC,=3,

33{l

答案第9页，共12页

所以CE=2,CXE=\,4E=Jqc；+CE=.

因为。为/c的中点，连接4。，

所以CA=1,DE=NcD。+CE?=#)，Afi=^AA^+AD2=V10.

所以4£2+£。2=4。2,所以4ELEO.

因为//1_!_平面48C,5Ou平面48C,所以44]_LBD,

又因为。是正三角形4BC边/C的中点，所以

XAAl^AC=A,N4，NCu平面/eq4,

所以BD1平面NCG4,又4£u平面NCG4,所以

因为4E_LED,ED^BD=D,ED,BDu平面BDE,

所以4£_L平面

(2)取4G的中点n，以｛丽，灰，西｝为正交基底，建立空间直角坐标系.

因为CE=4CG，£(0,1,32),8(百,0,0),4(0,T，3),C(0,l,0),55=(73,0,0),

瓦=(0,1,32),设成=(x,y,z)为平面8Z)E的一个法向量，

,m-DB=0[也x=0,

则n｛一,所以《

m-DE=0[y+3Az=0.

取玩=(0,-341),丞=(0,2,-3),设4c与平面BDE所成角为。，

4c•司3(22+1)

所以sin。=/,).

同V13V9A+1

令2X+l=tc(l,3),

答案第10页，共12页

.八3t26161

sin"=--j=>—-------------=-i==-/=-1==-=

V134%2—18/+13V131318V13

\一4―#"7+9n

因为江(1,3),所以;eg,1；

192

所以当-=—，即几=—时，sin。取到最大值，最大值为1.

t139

19.⑴P=2

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)先求出抛物线的导数，得到切线斜率，再根据两切线垂直其斜率之积为-1来

求解P;

(2)设出切点坐标，求出切线方程，进而得到直线48的方程，分析其过定点情况;

(3)通过向量的数量积来证明cosN7K4=cos/7F8,从而证明N7K4=N7