山东省青岛市部分学校2025-2026学年高三年级上册10月阶段性检测数学试题（解析版）

2025年10月阶段性检测数学学科试题

本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.集合11J的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】先用列举法写出集合A={1,2,3},得出元素个数，再利用公式计算其子集个数.

【详解】由已知得集合A={1,2,3},共有3个元素，所以其子集个数为23=8.

故选：D.

2.函数/（x）=tan[2x—gj最小正周期为（）

711

A.—B.-C.兀D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据正切型三角函数的最小正周期的求法，求得函数的最小正周期.

【详解】/（耳=12«2%-0的最小正周期为|_,

故选：A.

3.命题"VXG[1,2],x2~a<0v为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>4B.a<4C.a>4D.a<4

【答案】C

【解析】

【分析】求出命题"Vxe[1,2],V—a<0”为真命题的充要条件，然后可选出答案.

2

【详解】由f—“wo可得：a>x,

当xe[l,2]时，(k)=4,所以

则。的取值范围为A={4a24},

满足其一个充分不必要条件的集合为5,贝h3为A的真子集,

故其一个充分不必要条件是：«>4.

故选:C.

4.设复数4=a+2i*2=l+3ai,其中aeR,若4-z2在复平面内对应的点位于第四象限，则。的取值

范围为()

B.IsC.|,+8

D.(1,+co)

13

【答案】D

【解析】

【分析】先表示复数4-Z2,再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求。的取值范围.

【详解】由题意Z]—z2=(a+2i)—(l+3ai)=(a—1)+(2—3a)i.

因为4-Z2在复平面内对应的点位于第四象限,

a—1>0

所以=>«>1.

2—3a<0

故选：D

5.已知向量M=(—1,3),&=(2,-1),若(2日—B)//(万+防)，则左=()

A.士B.--C.--

223

【答案】B

【解析】

【分析】用坐标表示条件中两个向量，根据平行条件列方程求解

【详解】2L—万=(—4,7),a+kb^(-l+2k,3-k).

因为（2万—加//（〃+防），所以T（3—左）=7（—l+2左），解得左=—g

故选：B

33

6.若sin(a—尸)=《，cos2(z=-j,且外尸都为锐角，则sin(a+0=)

241324

A.---B.—C.—D.1

252525

【答案】D

【解析】

【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得sin2c,cos（a-/?）,再根据a+/=2a—（a—尸），利

用两角差的正弦公式求值即可.

yrjr

【详解】因为。，尸都为锐角，所以0<%/<5,所以0<2&<兀，

所以—5<a一/<5,

因为cos2tz=—]。0<2a<7i,所以sin2a=Jl-cos22a=4

5

37rjr

因为sin(a一,)=不，~—<a~P<—,

23

所以cos(a-/?)=^l-sin(cif-/?)=Jl-

所以sin(a+尸)=sin[2a-(a—尸)]=sin2acos(a一万)一cos2asin(a—/?)

443x|二l.

=­X--

55

故选：D.

7.函数八％）的定义域为R,对任意的％%2w[l，+°°）a。X2），有/（%）一/（'）<。且函数+

马一石

为偶函数，贝I（）

A./(l)</(-2)</(3)B./(-2)</(3)</(l)

C./(-2)</(l)</(3)D./(3)</(l)</(-2)

【答案】B

【解析】

【分析】由条件推出/（九）在［1，+8）上单调递减，又由函数/（X+1）为偶函数，推出“X）的图象关于直

线x=l对称，由对称性和单调性即可得了（—2）,/（1）,/（3）的大小关系.

【详解】因为/（%）的定义域为R,

且对任意的不，％目1,+。）（玉WK?），有―""J<0,

%2—不

设石<々，则有/（%）>/（%2），所以/（X）在［1,+a）上单调递减.

又因为函数/（X+1）为偶函数，即/（x+l）=/（l—X）,

所以“X）的图象关于直线x=l对称，所以/（—2）=/（4）,

则〃-2）=/（4）</（3）</•⑴.

故选：B.

8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等.某星形线如图所示，已知该曲线上一点P（%,为）

的坐标可以表示为（acos3。，asin36>）（a>0）,若毛为=1|7且/+%="|，贝1（）

A.72B.73C.2D.75

【答案】D

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可.

…则、8后,9

【详解】Xoyo=>%+%—g，

x0>0,y0>0,

33

令/=acos0,yo-asin0,则cos9>0,sin，>0,

acos30-asin30=,BPsin0cos3=—

1255

,、？49

(sin。+cosOy=1+2sin6(cos=1+—=—

.,.sin，+cos，=迳,

5

33

x0+%=acos3+asin0=a（sin，+cos，）。一sin，cos，）=a-^—x—=—,

解得a=6，

故选：D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对平均得分，有选错的得0分.

9.记VA3C的内角A3,C的对边分别为a,6,c,若a=3//=3,A=g,贝ij（）

A.c=3B.sinC=

2

C.丫43。的周长为6+3岔D.VABC外接圆的面积为9兀

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先根据正弦定理求出然后可求得sinC的值，然后根据正弦定理求出c和外接圆半径，

从而得到三角形的周长和外接圆的面积.

c.2兀

✓7h3sin——

【详解】根据正弦定理〕一=——可得:6sinA_____3_

sinAsinBsinB=

a3A/32

JT

因为0<3<一,

3

所以sinC=sin

根据正弦定理,=3,所以A正确.

2

所以AABC的周长为a+b+c=3G+3+3=6+36，所以C正确.

a一cp二3也

因为sinA一6一，所以AABC外接圆的半径火=3・

所以AABC外接圆的面积为5=兀氏2=9兀，所以D正确.

故选：ACD.

10.己知函数/（》）=5诂（5+。）10〉0,附＜、）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.函数y=/（x）的图象可由y=sin2x图象向左平移;个单位得到

1［九

B.直线x=5是函数y=/（x）图象的一条对称轴

57r77c

C.函数y=/（X）的单调递增区间为kn-^,kn+—，左eZ

D.直线y与函数y=/（x）在0,等上的图象恰有7个交点

【答案】BD

【解析】

【分析】由题，求出函数/（尤）的解析式，根据三角函数的图象与性质及图象变换规律，分析各个选项,

即可求解.

【详解】由题，可得:==一（一二］=:，所以T=兀，则。=至=@=2,

4121614Tn

/(x)=sin(2x+0),

又=即sin1W+、|=l，|^|<f-所以9=］，

/(x)=sin2x+—

对于A,将y=sin2x的图象向左平移;个单位得到y=sin2[x+g71J=sin12%+2兀

的图象，故A错

3

误;

11兀n兀?!3兀117r

对于B,因为了=sin—+—=sin1,所以直线x=—｝金是图象/（%）的一条对

63

称轴，故B正确;

jrjrjrSjrjr

对于C,令----1-2kji<2x+—<—+2k7i,keZ,得-----\-kn<x<一+kn{keZ),

2321212

57rjr

所以函数/（九）的单调递增区间为-石+E,五+E，左eZ,故C错误;

10717171兀1

对于D,因为x£0,---,令，=2%HG—,7JI,又sin—>一,

_3J313」32

兀11

所以函数丁=5111。在fej,7TI上与y=5有7个交点，

即直线y与函数/（%）在0,当上的图象有7个交点，故D正确.

11.在平面直角坐标系中，将函数/（幻的图象绕坐标原点逆时针旋转e（0<aW90。）后，所得曲线仍然是

某个函数的图象，则称/（幻为“e旋转函数”.那么（）

A.存在90。旋转函数

B.80。旋转函数一定是70。旋转函数

C.若g（尤）=奴+工为45°旋转函数，则。=1

X

hx

D.若/z（x）==为45。旋转函数，则一e2W6<0

e

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,举例说明即可；对B,举反例判断即可；根据函数的性质，结合旋转函数”的定义逐个

判断即可；对CD,将45。旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线

的方程，分析零点个数判断即可.

【详解】对A,如y=x满足条件，故A正确；

对B,如倾斜角为20。的直线是80°旋转函数，不是70°旋转函数，故B错误；

对C,若g(x)=G+1为45。旋转函数，则根据函数的性质可得，g(尤)=以+，逆时针旋转45。后，不存在

XX

与X轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45。的直线与g(尤)=以+工的函

X

1

1y=ax+—

数图象有两个交点.即y=伍eR)与g(x)=ox+—至多1个交点.联立『X可得

[y=x+b

(6i-l)x2-Z?x+l=0.

当a=l时，—Zzx+1=0最多1个解，满足题意；

当awl时，(a—l)f—乐+1=0的判别式八二廿―4(。—1),对任意的a,都存在b使得判别式大于0,

不满足题意，故。=1.故C正确；

对D,同C,〃(幻=||与y=x+a(aeR)的交点个数小于等于1,即对任意的a,a=”—x至多1个

解，故g(x)=g-x为单调函数，即g<x)=’(I："_1为非正或非负函数.

ee

又g'⑴=一1,故也「。一1«0,即e、21)恒成立.

e

即丁=1图象y=—b(九—1)上方，故—620,即b<0.

当丁=^与丁=—b(x—1)相切时，可设切点(%,e^),对丁=F求导有y'=e*,故-^=e”,解得

X。—1

2,故—e?WbWO.故D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量万与石的夹角为:，w=i,忸—@=厢，则间=.

【答案】3x/2

【解析】

【分析】根据向量的模、向量夹角的余弦公式、向量的数量积等知识进行求解即可.

【详解】向量苕与5的夹角为：阁=1,忸—a=w,

所以〔25_W=J(25—万—=y/4b2-4a-b+d2=回,

即4—4|司•/+口|2=10,|万『一20|同一6=0，

同=2^±尸=应土2"

又同>0,所以同=30.

故答案为：3^/2.

13.直角梯形A3CD中，AB//CD,AB=BC=2,AD=6CD=1，点。，E为AB,5c的中点,

产在5c边上运动(包含端点)，则砺.砺的取值范围为.

【答案】

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设而=兄就,0<2<1,再利用向量的数量积的坐标运算即可求解.

【详解】建立平面直角坐标系如图,

则4(0,0),6(2,0),C(l,若),。(0,6)

因为点。，E为A58c的中点，则。(1,0),E

可得砺=BC=（-I,73）,方=（1,0）,

又因为点尸在3c边上运动（包含端点），设前=2配=卜4、须）,0＜丸＜1,

则砺=无+而=（1,0）+（-2,^2）=（1-2,732）,

可得加•砺=g（l—2）+¥xg4=；l+geI，|,

_"13"

所以OE-Ob的取值范围为-

"13"

故答案为：•

|_22J

14.若函数y=/（x）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数

y=/（x）具有T性质.若函数g（x）=ox—■|+0sinxcosx+ccos2x具有T性质，其中“，b,c为实

数，且满足廿+°2=i，则实数a+〃+c的取值范围是.

【答案】[-V2,V2]

【解析】

【分析】根据三角函数辅助角公式和〃+02=1将函数解析式中的》，C消去，再求出函数导数，根据题意

利用导数列式表示出T性质，将式子展开后把等式当作一个关于。的方程的有解问题，根据一元二次方程

有解条件化简等式求解出。值，再根据尸+°2=1将匕，c换元为三角函数形式代入求解出实数a+b+c的

取值范围即可.

【详解】由题意可得，g（x）=ax+gsin2x+/cos2x=axd——"sin（2x+o）.于是，

g'（x）=a+yjb2+c2cos（2x+°）=a+cos（2%+0）.设切点分别为片（七,％）,5（%2，%），则由函数

y=g（%）具有T性质，可得g'（Xi）g'（%2）=T，即[a+cos（2%+0）][a+cos（2%2+0）]=T,整理

得/+[cos（2x,+°）+cos（2%2+0）]a+cos（2%+^））cos（2x2+^＞）+1=0,

将上式视为关于。的方程，则其判别式：

A=[cos（2玉+0）+cos（2X2+0）丁_4[cos（2%+0）cos（2x2+0）+1]N0,

2

BPA=[cos（2x1+0）-COS（2X2+^）]-4>0,注意到—1Wcos（2%+^）<1,

-1<COS（2X2+^）<1,贝!J-2<cos（2%+0）—cos（2%2+O）<2,故

r、/、-12fcos（2x+69）=-l,fcos（2x+67）=1,

A=「cos（2X[+°）—cos（2%2-4=0,此时〈,、.或〈,、1，

LV7V

[COS（2X2+^）=1[cos（2w+夕）=—L

代入方程可得〃=o,因此，a=0

另一方面，由〃十/二],可设Z?=cos6,c=sin。，其中SwR,

则卜+。|=|cos6+sinq=后sin[e+?J<A/2,即_后+④.因止匕，〃+b+cw[—也,0].

故答案为：[-72,72].

【点睛】思路点睛：

对于函数新定义，解题第一步都是模仿定义列式求解，此题难度不在于新定义，而在于式子复杂性，一

方面需要根据题意优先化简函数解析式，为求导后的计算打下基础；另一方面，在求导后的计算中，要将

。作为主元进行求解，因此展开方程即便系数复杂，也能看出方程本质为关。的一元二次方程，最终按照

一元二次方程性质解题即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.己知VABC中，c分别为内角A,B,C的对边，>2asinA=（2Z?+c）sinB+（2c+Z?）sinC,

（1）求角A的大小；

（2）设点。为3c上一点，AO是VA3C的角平分线，且Z?=3,c=6,求AO的长度.

【答案】（1）—

3

（2）2

【解析】

【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案

（2）利用三角形的面积关系S,ABC=S.ABD+SQD解出AD即可

【小问1详解】

在VABC中，由正弦定理及2asinA=（2Z?+c）sin5+（2c+〃）sinC得：2/=（2b+c）b+（2c+b）c,

化简可得：b2+c2-a2=-bc，

序r2_21

由余弦定理得cosA=

2bc2

2死

又0<4<兀，所以4=寸

【小问2详解】

71

AD是VA3C的角平分线，则NR4D=NDAC=—,

3

12兀1兀171

S

由.ABC=S«ABD+S^CAD可得5人csin—=-cxADxsm-+-bxADxsin-

因为》=3,c—6,即有18=6AD+3AD,

故AD=2.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB±AD,AD//BC,

AD^AP=2AB=2BC=2,Q4_L平面A3CD,E为棱尸D上的动点.

P

（1）当E为棱尸。的中点时，证明：EC//平面R1B；

（2）若PE=2ED，求平面军C与平面PA3夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵逅

6

【解析】

【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行；

（2）建系后，写出相关点的坐标，出平面E4C和平面RW的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.

【小问1详解】

R

5t---V

取Q4的中点E，连接跖，BF,

因为E为尸。的中点，

所以跖//AD,EF=^AD,

2

因为AD//BC,AD=2BC,

所以EF//BC,EF=BC,

所以四边形跖BC为平行四边形，所以EC//BF.

又5尸u平面PAB,EC<Z平面Q45,

所以EC//平面R45.

因为AB，AD,PA，平面ABCD,即AB,AD,AP两两垂直，

故可以A为原点，AB,ARAP所在直线分别为苍％z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则4(0,0,0),P(0,0,2),。(0,2,0),C。,1,0),

因为FE=2即，所以E1o,g,g],

所以衣=(1,1,0),M=(0,2,0),通=10,g,.

设平面E4c的法向量为5=(x,y,z),

n-AC=%+y=0

则〈一►42

n•AE=—y+—z=0

[33

取y=l,得x=-l,z=_2,

所以元=(—LL—2).

因为ABJ_AD,AP_LAD,ABcAP=A,AB,APu平面PAB，

所以AD,平面八IB.

所以而=（0,2,0）为平面总的一个法向量.

设平面EAC与平面PAB的夹角为6，

I/___.।In-ADI2Jf

则cos。=cos（落AD）=--i——T=-T==一

I\/I\H\-\AD\2瓜6

所以平面EAC与平面PAB夹角的余弦值为逅

6

17.如图，在VABC中，已知NR4C=120°,AB=2,AC=4,点。在3C上，且BD=2DC,点、E

是AC的中点，连接AD,破相交于。点.

【答案】⑴AD=^—>BE=2退

3

力3^9

26

【解析】

【分析】（1）由忸后（=屉2屈），|瓦方［=4万2=（：/+；通）2,根据向量数量积的运算

即可求解;

（2）由通与丽的夹角即为NE0D,利用向量的夹角公式即可求解.

【小问1详解】

AC

解：由题意，AB=2.AE=——=2,NB4C=120。，

2

又屁=荏-丽」/-破

2

所以

BE[=BE2J^AC-

\=kAC-ACAB+AB=M-M-HcosABAC+|AB|

二12,

\BE\=273,即BE=2百，

__2__,__,9__►__►9__►1__,

■.■ADk=AB+BD=AB+-BC^AB+-(AC-AB)=-AC+-AB

3333

.•.|AD|2=AD2=(|AC+|AB)2

22

=1AC+2X^XAC-AB+-AB=-\^+2X^X\AC\-\AOSZBAC+-\A^=^,

93399'1331"l91I9

，国=半，即4。=平；

【小问2详解】

解：:BE=AE-AB=-AC-AB,

2

---►——►2---►1——►1---►——►1--->21---►——►1——d101/\1

:.ADBE=(-AC+-ABX-AC-AB)=-AC――ACAB――AB=-x42――x(-4)――x292=6,

332323321,3

•.•而与丽的夹角即为ZEOD,

彷而6_3屈

/.cosZEOD=RM

18.已知函数〃力=八一为2一2--l(aeR).

(1)若a=0,求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若a=；求证：当尤e(O,l)时，f(x)<0；

(3)若对任意的实数xe(O,+8),/(x)»O恒成立，求。的最大值.

e

【答案】(1)y=x；(2)证明见解析；(3)-—1.

2

【解析】

【分析】⑴当a=0时，f(x)=ex-x2-l,则/'(x)=e、—2羽/'⑼=1,由〃0)=0,利用导数的

几何意义即可得解；

(2)当时，/(x)<0e"<x2+x+l«1<%2+^+1,构造函数

e

g(X)=x2+：+l”(0,l),求导利用研究函数单调性，求得最值即可得解；

e

(3)由分析可得由(2)可知，当。2工时，e%—V—l<e]—%?—%—在0<]<1上恒成立，

2

所以，当。2工时，命题(3)结论不成立，所以a<-9

22

/\oex-X2ex-X2-]

Vxe(O,+^),eT-x2-2ax-l>0等价于——>2a，构造函数々(x)=~-一-,xe(0,+”)，

XX

利用导数研究函数妆工)即可得解.

【详解】(1)当a=0时，/(%)=/—M—1,

则/,(x)=e'-2x,/,(O)=l,由/(0)=0,

所以切线方程为：丁=，

(2)当a=g时，f(^x)-ex-x2-x-1,

当xe(0,l)时，/(x)<00e*<炉+x+l=1<*

e

设g(x)=X+(0,1).

(2%+l)e'—(冗2+x+])e*Y_Y2

则"~

当0<x<l时，g'(£»>0,g(x)单调递增；注意到g(O)=l；

所以，当x«0,l)时，g(x)>g(O)=l,结论成立.

所以当x«0,l)时，/(%)<0.

(3)由(2)可知，当时，

一九2-2ax-l<ex-x2一九一1<0在0〈尤<1上恒成立;

所以，当时，命题(3)结论不成立，所以以后遇到需要对。分类讨论的情形，我们就默认为

2

1

CL<一.

2

Vxe(0,+。),e，—f—2依一120等价于e—T>2a

X

e*—f_i

设函数/z(x)=--------,xe(0,+oo)

设f(x)=e*-x-l,贝=

A

当x>0/(x)>0注意到*0)=0,所以，e-x-l>0；

令〃(x)=0,解得％=1；

所以，当0<为<1时,"(x)<0/(x)单调递减；

当x>l时,〃(尤)>0/(力单调递增；

所以，h(x)^n=/z(l)=e-2.

由于/i(x)22a恒成立，所以2aKe—2=a<］—1.

所以对任意的实数xG(O,+^),/(%)>。恒成立，a的最大值是1-1.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了导数的几何意义，同时考查了转化思想和

恒成立思想，计算量比较大，属于难题.本题的关键点为：

(1)利用导数研究函数的单调性和最值以及证明不等式；

(2)参变分离构造函数求参数范围.

19.已知函数/(x)=ln(三已［一产彳(aeR).

kXJZX十1

(i)证明：曲线y=/(x)关于点［―中心对称;

(2)当x>0时，/(x)>0,求。的取值范围;

(3)证明：对于任意的“wN*,21n(〃!)+2〃<(2〃+l)ln(〃+l).

【答案】(1)证明见解析

(2)a<l

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出定义域后证明/(%)+/(—工―1)=0即可得；

(2)令/=1+工>1,则“X)=lnr—2""]」,构造函数g(x)=lnx-]I,求导后分aWl及a>l

讨论其单调性即可得；

(3)令/z(〃)=21n("!)+2〃-(2〃+l)ln(〃+l),借助(2)中所得，证明人(1)<0及当“22时，

h(n)<h[n-\)即可得证.

【小问1详解】

上,[—>0,

由题意可得《X，解得xv—l或x>。，

2%+1w0

即y=/(耳的定义域为(一8,—i)u(o,+”)，

x+12ai-x-1+12a

〃