苏科版八年级数学上册《第3章 勾股定理》单元测试题【含答案】

苏科版八年级数学上册《第3章勾股定理》单元测试题

一.选择题（共8小题，满分32分）

1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）

A.25B.14C.7D.7或25

2.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.1.5,2,3B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15

3.如图，正方形网格中的△48C，若小方格边长为1,则△力8C的形状为（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.以上答案都不对

4.一个三角形的三边长分别为6,8,11,则这个三角形是（）

A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形

5.如果△川比•的三边长分别是〃尸-1、2〃?、〃产+1那么（）

A.△/8C是直角三角形，且斜边长为2”？

B.△/BC是锐角三角形

C.△ABC是直角三角形,且斜边长为m2+1

D.△48C是否为直角三角形，需看机的值

6.下列命题：

①如果a、b、c为一组勾股数，那么4八4b、4c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是3,4,那么斜边必是5；

③如果一个三角形的三边是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,（a>b=c）,那么Ap：J=2：1：I.

其中正确的是（）

A.①②B.①③C.①④D.②④

7.如图所示：是一段楼梯，高4c是3〃?，斜边力C是5小，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（

C.1mD.8〃?

8.如图，正方形48。的边长为2,其面积标记为S，以CO为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三

角形的一条直角边为边向外作王方形，其面积标记为S2,…按照此规律继续下去，则S9的值为（

）

A.(1)6B.(I)7C.(I)8D.(1)9

二.填空题(共8小题，满分32分)

9.如图，在中，ZJ=30°,AB=6,则8C=.

B

10.如图，半圆内数字分别为所在半圆的面积，则图中字母力所代表的半圆面积是

11.长方形零件尺寸（单位：〃〃??）如图，则两孔中心力和B的距离为mm.

12.如图由于台风的影响，一棵树在离地面6机处折断，树顶落在离树干底部8〃?处，则这棵树在折断前

（不包括树根）长度是fn.

13.如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路

”.他们仅仅少走了

14.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个

大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别

是q和6,那么ab的值为

15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形48CZ）,若

AD=3,BC=5,WOAB2+CD2=

16.如图是一块长、宽、高分别为4cm、2c〃?和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点

.4处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点/相对的顶点〃处吃食物，那么它需要爬行的最

理路径的长是

21.在一条东西走向的河流一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4B,其中44=/。，由于某种原因，

由C到力的路现在已经不通，该村为方使村民取水，决定在河边新建一个取水点D(片、。、8在同一

条直线上)，并新修一条路CD测得C8=6.5千米，CO=6千米，8。=2.5千米.

(1)求证：CDLAB；

(2)求原来的路线4C的长：

22.如图，已知力。平分N4/1O,CE±ABTE,CFLADF,且6C=CQ,

(1)求证：△BCE@ADCF：

(2)若48=21,AD=9,3c=8=10,求4C的长.

23.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方

形的面积有两种求法，一种是等于修,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即

鼻X4+(b-a)2,从而得到等式/=畀^+仕飞产化简便得结论。2+炉=上这里用两种求

法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.现在，请你用“双求法”解决

下面两个问题

(1)如图2,在中，ZACB=90°,CO是48边上的高，AC=3,8c=4,求CD的长度.

(2)如图3,在。中，力。是8。边上的高，AB=4,AC=5,8c=6,设求)的值.

24.如图，在Rl△44c中，ZC=90n,AB=\Ocm,AC=6cm.动点户从点台出发沿射线8c以2c〃?/s的

速度移动，设运动的时间为/秒.

(I)求8C边的长；

(2)当^力〃尸为直角三角形时，求/的值;

(3)当为等腰三角形时，求,的值.

参考答案

一.选择题(共8小题，满分32分)

1.解：分两种情况：(1)3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；

(2)3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为小.・••第三边长的平方是25或7,

故选：

2.解：4、1.52+22^32,不符合勾股定理的逆定理，故正确；

B、72+242=252,符合勾股定理的逆定理，故错误；

C、62+82=1()2,符合勾股定理的逆定理，故错误；

D、92+122=152,符合勾股定理的逆定理，故错误.

故选:A.

3.解：•・•正方形小方格边长为1,

：.BC2=52,

偌=13,

AB2=65,

在△力8C中，

V^C2+JC2=52+I3=65,AB2=65,

：,BC2+AC2=AB2,

・•・△48。是直角三角形.

故选:A.

4.解：62+82<112,不能构成直用三角形，是钝角三角形，

故选：C.

5.解:'I中的三边分别是〃?2-],2m,w2+l

又;(m2-1)2+(2w)2=(;n2+l)2,

；・△/SC是直角三角形，斜边为〃/十].

故选：C.

6.解：①正确，)72+y=»,・•・(4a)2+(4b)2=(4c)2,

②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3,4,那么斜边必是5"

③错误，•・•122+212^252,・•・不是直角三角形；

④正确，*：b=c,c2+b2=2b2=a2i.*.a2：b2t(?=2：1：1,

故选：C.

7.解：•・•△ABC是直角三角形，BC=3m,AC=5m

.\AB=4ni,

・•・如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为”+AC=7米.

故选：C.

8.解：在图中标上字母E,如图所示.

•・•正方形/8c。的边长为2,△CDE为等腰直角三角形，

:.DE2+CE2=CD2,DE=CE,

•'•Sr^S2=S].

观察，发现规律：SI=22=4,S2=N=2,53=枭=1,S4=、=£，

乙乙乙乙

当〃=9时，Sg=（­）97=（-1）6,

22

故选:A.

二.填空题（共8小题，满分32分）

9.解：VRtAJZTC,ZA=30°,AB=6,

：.BC=­AB=3,

2

故答案为：3.

10.解：•・•以EG为直径的半圆的面积等于400,即2口（变）2=400,

22

.^^2—3200

••LJ\J,

7T

•・•以FG为直径的半圆的面积为300,

TT（―>2=300,

22

“G2=,240°,

71

又•••△EFG为直角三角形，根据勾股定理得:

EG2=EF2+FG2,

：.EF1=EG1-FG2=^-,

n

则半圆的面积为：IT(—)2=_17T义工・£尸=100.

2224

故答案为100.

11.解：由题意得:4c=150・60=90(mm),5c=180・60=120(〃〃〃),

在△48C中，ZACB=90°,

由勾股定理,得:45=150(〃!加)，

故答案为：150.

12.解：由题解得8c=8mAC=6m,

在直角三角形43。中，根据勾股定理得：48=10(米).

所以大树的高度是10+6=16(米).

故答案为：16.

13.解：如图所示：AB=5(〃?)，

VJC+5C=3+4=7(/〃)，

・•・在草坪内走出了一条“路他们仅仅少走了：7-5=2(〃?).

故答案为：2m.

14.解：•・•大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,

・•・直角三角形的面积是(25-1)+4=6,

乂・・•直角三角形的面积是工ab=6,

2

(ib=12.

故答案为：12.

15.解：•・•四边形458为“垂美”四边形,

：,BDLAC,

・•・/AEB=ZAED=/BEC=ZDEC=90°,

在中，AE2+DE2=AD1=9,

在左△8EC中，BE2+CE2=BC2=25,

.\AE2+DE2+BE2+CE2=9+25=34,

在中，AE2+BE2=AB2,

在中，。炉+。E2=82,

：.AB2+CD2=AE2+DE2+BE2+CE2=9+25=34,

故答案为：34.

16.解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路

线.

（1）展开前面右面由么J股定理得/夕2=（2+4）2+口=37：

（2）展开前面上面由勾股定理得4?2=（1+4）2+22=29；

（3）展开左面上面由勾股定理得40=（2+1）2+42=25.

所以最短路径的长为

故答案为：5cm.

三.解答题（共8小题，满分56分）

17.解：连接力。，

在△N8C中，

VZ^=90°,AB=3,BC=4,

••AC=5

^△J5C=—^^C=—X3X4=6,

22

在△力。中，

\'AD=\3,力C=5,8=12,

：.CD2+AC2=AD2,

・•・△48是直角三角形，

・'・SaCQ='4C・CQ=，X5X12=30・

:.四边形ABCD的面积=5&4管电^00=6+30=36.

D

i'、、/

BC

18.(1)证明：:/8=13,力£>=12,BD=5,

：,AB2=AD2+BD1,

・•・△45。是直角三角形,即N.4Q4=90°；

(2)解：VZADB=90°,

・•・△力QC是直角三角形，

在Rt△力QC中，DC=9.

19.解：VJ(-1,5),8(-5,2),C(-3,1),

：.AB-=25,BC2=5,402=20,

：,AC2+BC2=25=AB2,

•••△/8C是直角三角形，NACB=90。.

20.解：连接4C,

在△4。。中，

VZZ)=90°,40=12,CD=9,

：.AC=\5,

SAABC=LD・CD="12X9=54,

22

在△48C中，R_£

J

VJC=15,AB=25,4C=20,/

：.BC1+AC1=AB2,/

•••△AC方是直角三角形，

:.S^ACB=^AC*BC=^-X15X20=150.

・•・四边形ABCD的面积=5乙4限电^8=150+54=204.

21.(1)证明：•••CA=6.5千米，CO=6千米，8。=2.5千米,

62+2.52=6.52,

222

：.CD+BD=CBt

•••△CDB为直角三角形,

CD

(2)解：设/C=x千米，则4。=(x-2.5)千米.

VCD-LAB,4QC=90",

：,CD2-^AD2=AC2,即6?+(x-2.5)2=/，

解得：x=8.45.

答：原来的路线ZC的长为8.45千米.

22.(1)证明：・.・4C平分/历1。，CE_L45于E,

：・NCFD=90°,ZCEB=90a(垂线的意义)

CE=CF(角平分线的性质)

*：BC=CD(已知)

ARtA^CE^RtADCF(HL)

(2)解：由(1)得，

RtA5C£^RtAZ)CF

:・DF=EB,设DF=EB=X

VZCFZ)=90°,ZCEB=90a,

CE=CF,AC=AC

：.RtAJFC^RtA/ifC(/〃J

：.AF=AE

即：AD+DF=AB-BE

\'AB=2\,AD=9,DF=EB=x

・・・9+x=21-x解得，x=6

在Rl^OC厂中，•・•。产=6,CZ>=10

:・CF=3

+»JC2=CF2+JF2=82+(9+6)2=289

：.AC=\1

答: