相似三角形的判定（6大题型）（专项训练）-北师大版九年级数学上册（附答案）

专题02相似三角形的判定

目录A题型建模.专项突破

题型一、两角对应相等，两个三角形相似

题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似

题型三、三边对应成比例，两个三角形相似

题型四、判断两三角形是否相似

题型五、添一个条件使两个三角形相似

题型六、相似三角形的判定和性质

B综合攻坚-能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、两角对应相等，两个三角形相似

（24-25九年级上•云南•阶段练习）

1.如图，NB=ND,N1=N2.求证：AABC〜4ADE.

（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•开学考试）

2.己知：如图，在等边中，点D为4c上任意一点，且4。尸=60。，求证:

△CDESAAFD

（2025九年级上•全国•专题练习）

3.如图，点。、E、尸分别在等边△"C的三边/8、AC、8c上，且DELEF,

NO网=60。.求证：2BFSAFCE.

试卷第1页，共12页

A

（23-24九年级上•陕西咸阳・期末）

4.如图，在△力8C中，4c8=90。，CO是48边上的高，8E平分/48C,且分别

与力C,CD相交于点区F.求证：AAEBs^CFB.

题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似

（24-25九年级上•全国•期中）

5.如图，在正方形48CQ中，P为CD中点,0为8c上一点，且尸C=2C。.求证:

△PCQs^ADP.

（24-25九年级下•江西宜春•阶段练习）

6.如图，在△相。中，点。在48上，连接CQ.已知/C=6,/O=4,8Q=5,求证,

△力CQs△力8c.

（24-25九年级下•广东汕头•阶段练习）

7.如图，在△力8c中，D为BC上一点、,BC=6AB=3BD,求证：4ABHCBA.

试卷第2页，共12页

（24-25八年级下•吉林长春•期末）

8.如图，在四边形中，AB=AD,4=/。，七是力。的中点,

CD=；DE.求证：LABEs4DEC.

B

题型三、三边对应成比例，两个三角形相似

（25-26九年级上•全国•课后作业）

9.如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形力£尸。.求证:

△BCESRBED.

（24-25九年级下•上海•假期作业）

10.如图，在边长为1个单位的方格纸上，有MBC与GEF.求证:

△ABCSAFDE.

（24-25九年级上•广西・期中）

11.如图所示，在5x8的网格中，和小斯的顶点都在边长为1的小正方形

的顶点上.

试卷第3页，共12页

（1）填空：NBAC=,EF=；

（2）判断△48C与力防是否相似？并证明你的结论.

（24-25九年级上•安徽黄山・期中）

12.根据下列条件，判断△褴C与是否相似，并说明理由：

（1）48=10cm,BC=12cm,AC=15cm,A'B'=150cm,B'C'=180cm,

JV=225cm；

（2）/4=70。，Z5=48°,/H=70。，ZCf=62°.

题型四、判断两三角形是否相似

（25-26九年级上•北京•课后作业）

13.下列条件：①/力=45。，48=12,JC=15,Z/ir=45°,4B'=16,WC'=20；

②//=47°,4B=1.5,AC=2fN8'=47。，A'B'=28,B'C=2.\；③4B=BC=2,

AC=3fA'B'=BC=4,AC=6,其中能判定△川?C与心■（?相似的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

（2025九年级上•北京•专题练习）

14.如图，小正方形的边长均为1,则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）

与△相。相似的是（）

（25-26九年级上•北京•课后作业）

15.如图，Z1=Z2,添加一个条件能判定△480的是（）

试卷第4页，共12页

①NC=/E；

②N4=/ADE；

ACBC

AE~DE

ABAC

7D~^4E

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

（24-25九年级上•甘肃嘉峪关•期末）

16.下列条件中，不能判定以H、B'、C为顶点的三角形与△相。相似的是

()

,f

A.ZC=ZC=90°,N8=NH=50。B.AB=ACtA'B=A'C,ZJ=ZJ

ABBCABBC

C.AB=/B，D.4=NH

AB'B'C

题型五、添一个条件使两个三角形相似

（25-26九年级上•全国•课后作业）

17.如图，已知"-90。，请添加一个条件使A49C与△OCE相似：（不

添加字母及辅助线）.

（2025•石南•模拟预测）

18.如图，。是ZUBC的边8C上一点，添加一个条件，使△C4）s^c84你添

加的条件是______.

试卷第5页，共12页

（24-25九年级下•江西九江•阶段练习）

19.如图，在△月4。中，若48=5,40=4,点。为4C的中点，则当力E=时,

△ADEs^ABC.

（24-25九年级上•甘肃白纸•期末）

20.如图，在四边形帅CO中，对角线4c平分/B4）,48=9,AC=6,则要使

△ABCs"CD,只要40=.

题型六、相似三角形的判定和性质

（24-25九年级上•山东青岛•期中）

21.如图，点。、力在线段初上，是等边三角形，APLPDXPLBP.

（1）证明：MCPs^PDB；

（2）线段4。、CD、8。之间有怎样的数量关系？请说明理由.

（24-25九年级上•浙江温州•阶段练习）

22.如图，在中，4c8=90。，。是边4B上一点，且要=£.

ACAD

(1)求证：AACDs4ABC.

试卷第6页，共12页

（2）若4=60。,AD=2,求力8的长.

（24-25九年级匕四川巴中•阶段练习）

23.如图，在△力4c中，点。、E分别在边4C、48上,AB=2AD,AC=2AE.

S

（2）若力。=3,AE=2,求法"的长.

（24-25九年级上•河南新乡•阶段练习）

24.如图，在四边形”8中，月是4F的中点，DB、CE交于点、F.DF=FB,AF//DC.

(1)求证：△BEFSABAD

(2)若DB工5血=4,斯=3EF,求4C的长.

B综合攻坚•能力跃升、单选题

（25-26九年级上•北京•课后作业）

25.如图，小正方形的边长均为1,则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）

与ZUBC相似的是（）

A-tsb-辛弋c-

试卷第7页，共12页

（25-26九年级上•北京•课后作业）

r

26.下列条件：①NE=45。，4B=12,AC=\5fZJ=45°,力力'=16,<'C'=20；

②N/=47°,48=1.5,JC=2,ZZ?r=47°,48'=2.8,Z?V=2.1；③4B=BC=2,

4C=3,H*=*C=4,4C=6,其中能判定△45C与“EC相似的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

（25-26九年级上•北京•课后作业）

27.如图，己知△力8c中，。为边ZC上一点，P为边4B上一点,AB=\2f

4c=8,AD=6,当"的长度为（）时，和相似.

（2025•浙江•模拟预测）

28.如图，在4x4的正方形方格中，△"（7的顶点4,〃都在边长为1的小正方

形的顶点上，边AC上的点。也在小正方形的顶点上，则△/4C的面积等于（）

（2025•江苏常州•二模）

29.定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角

形，那么称这样的四边形是“全相似四边形如图，418。和△4OC关于直线4C

对称，下列条件能使四边形48。。成为“全相似四边形”的是（）

试卷第8页，共12页

B.48C=90。

D.ZCPJ=60°

二、填空题

（2025・山东济宁•二模）

30.如图，MBC中，P是48上一点,连接CP.请你补充一个条件,使

△ABCs^ACP.

（25-26九年级上•全国•课后作业）

31.在RtZUNC中，/。=90。,4?=10,4。=8.若在Rt“bC'中，

NC=90o,"r=4,HU=3,则RtA48。与Rx^A'B'C（填“相似”或“不相

似”）.

（25-26九年级上•全国•课后作业）

32.已知的三边长分别为3,石,至，△44C的两边长分别为1和6.当

△44G的第三边长为时，5BC与△48£相似.

（24-25九年级上•全国•期末）

33.如图①，一张正三角形纸片48C,4B=32cm,点。在边力8上，4O=10cm,点E

是边8c上的一点.如图②，将ABOE沿。石翻折得到AB'DE，△B'OE与△力8c的边AC相

交于点〃和点N.若4W=l6cm,W=8cm,则CN的长度为cm.

试卷第9页，共12页

AA

34.如图，己知△力8C中，力8=8,8C=7,JC=6,E是48的中点，尸是力。边

上一个动点.将△*以*沿）折叠，使点力落在H处，如果△力）与原△力8c相似,

那么灯的长为.

三、解答题

（23-24九年级上•广东广州•阶段练习）

35.如图，力。,兑＞相交于点O,求证：△AOBS^DOC.

（24-25九年级上•安徽滁州•期中）

36.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△力6C和尸的顶点都在网格

（22-23九年级上•全国•期中）

试卷第10页，共12页

37.如图，在R/44c中，4亿3=9（）。，是48边上高，若力C=I2,BC=5.

⑴求证：△48Cs△。孙

（2）求。的长.

（25-26九年级上•全国•课后作业）

38.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△N8C和AD£F

的顶点都在边长为1的小正方形的格点上:

⑴贝l]48C=_。，BC=_；

⑵判断08。与是否相似，若相似，请说明理由.

（2025•上海徐汇•一模）

39.如图，在梯形/14C。中，40〃8cB。是梯形对角线，BD2=ADBC.

a（1）求证：ADCD=ABBD；

Q）以CD为一边作NCDE=/4DB,DE交边BC于点E,求证：盥=空.

BD~AD

（24-25九年级上•湖南湘潭•期末）

40.如图，在△/AC中，力。是角平分线，点上是边AC上一点，且满足

/ADE=/B.

试卷第11页，共12页

A

E

B

DC

(1)求证：“DBs“ED.

(2)若48=10,AD=6,求4E的长.

(24-25九年级上•广西贵港•期末)

41.如图，在矩形/3CD中，点E在48边上，点尸在对角线。8上，连接AF

交于点0,且乙4DE=NB4F,

⑴求证：AF1DE；

(2)判断△%O£与是否相似，并说明理由；

⑶若片。=4,4B=6,DF=2FB,求的的长.

(24-25九年级上•安徽马鞍山•期末)

42.如图所示，RtA48C和RL4"中，ZACB-90°,=90°,且/。平分

/BAD.

⑴求证：AC2=ADAB；

(2)点E是边"的中点，连接。石和CE,。石和4c交于点凡若48=6,^=|,

Cr3

求力。的长.

试卷第12页，共12页

1.见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得/84C=/。/E,再根据相似

三角形判定定理即可证明.

【详解】证明：•.•N1=N2,

Zl+Z.CAD=Z2+NCAD,

ZBAC=ZDAEt

又。ZB=ZD,

：."BCfADE.

2.证明见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判

定是解题关键.先根据等边三角形的性质可得NC=/N=60。，再根据三角形的外角性质、角

的和差可得ZCED=ZADF,然后根据相似一:角形的判定即可得讦.

【详解】证明：•・・△Z8C是等边三角形，

ZC==60°,

.•ZDE=ZC+Z-CED=60。+Z.CED,

又•：NADE=AEDF+ZADF,Z.EDF=60°,

.-.ZJDF=60°+ZJDF,

VZADE=NC+ZCED=60。％ZCED,

；.NCED=/ADF,

在ACOE和△力汽。中，

ZC=NA

'/CED=/ADF'

:.△CDES/\AFD.

3.见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的

性质得到N8=NC=60。，再由三角形内角和定理和平保的定义证明N8O产二NCEE,即可

证明/S4/TCE.

【详解】解：•.・△力4c是等边三角形，

NB=NC=60°,

NALW+N=120°

答案第1页，共22页

NDFE=60°,

NBFD+NCFE=120°,

4BDF=4CFE,

:.△DBFs^FCE.

4.见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的

判定定理是解题的关键.

根据互余可得/。。9=/么=90。一/48。，再由角平分线得到=即可证明

△4EBsMFB.

【详解】证明：是48边上的高，

.-.ZCM=90°

vZJC5=90°.

ADCB=4=90°-/.ABC,

•••BE平分NABC,

ZABE=Z.CBF,

:.LAEBS4CFB.

5.见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出

AD=CD=2PD,ZC=ZD=90%结合已知条件得出黑=?,进而即可得出

PDAD

4PCQS“DP.

【详解】证明：•.•四边形X8C。是正方形，P为CD中点、,

AD=CD=2PD,ZC=ZD=90°,

­.PC=2C0,

CQCP

••而一布’

X---ZC=ZD=90°,

:.APCQsdDP.

6.见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对•应相等的两个三角形

答案第2页，共22页

ADAC

相似.通过计算可得=加上N力为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断

ACAB

△ACDs"BC.

【详解】证明：vJC=6,AD=4,BD=5,

AD42AC62

••=—=—，==­，

AC63AB4+53

.ADAC

''AS'

ZDAC=ZCAB,

：AACDS"BC

7.见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握用似三角形的判定定理解题关键.

由题意得到两边对应成比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即

可得讦.

【详解】解：BC=超AB=3BD,

,AB16BDV3

AC63AB3

.ABBD

,■正一下一

又•••N8=N8,

△ABDs^CBA.

8.见解析

CDAF1

【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得三=不=「，再结合乙4=/。

DEAB2

即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键.

【详解】证明：•:E是/1Q的中点，

AE——AD,

AB=AD，

:.AE--AB,

-CD=-DE,

2

CDAE1

DEAB2

答案第3页，共22页

•••ZJ=Z£>,

:./XABES/\DEC.

9.证明见解析

【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关

键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例.

根据正方形的性质和勾股定理求出AE的长，得出线=4与，再根据相似三角形的判定方

BEBD

法即可证明&BCES&BED.

【详解】证明：由题意可知，BC=\,BD=2,EF=3.庄勾股定理，得

BE=yl\2+\2=y/2,CE=yj\2+22=>/5,ED=yl\2+32=VlO.

_BC\41BEy12CE_y/2

'茄一正一丁而一丁而一前一3

BCBECE

,~BE~~BD~~ED'

.FBCES^BED.

10.见解析

【分析1本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据

三边对应成比例的两个三角形相似证明即可.

【详解】证明：由图知：^c=l,JC=V12+12=V2»48=万乔=石，

DE=y/\2+12=y/2»EF-2，DP—能:+/=VFo•

..BCACAB41

•D£=£F=DF=T，

:."BCS^FDE.

11.(1)135°；Vio

Q)AABCSADEF,证明见解析

【分析】此题考查了相彳归角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识,

解题的关键是掌握以上知识点.

(1)取格点G,连接G8,GA,根据勾股定理得到G8=.48,GB2+AB2=AG?,得到“8G

是等腰直角三角形，求出/8ZG=45。，进而求出N历fC=135。根据勾股定理即可求出及…

(2)首先根据勾股定理求出ZUBC与AD£尸各边长，然后得到"="=竺=巫，即

ABACBC5

答案第4页，共22页

可证明出△/BCSADEQ.

【详解】(1)解：如图所示，取格点G,连接G8,GA,

由网格得，点G,A,。三点共线

-GB2=\2+22=5,AB2=\2+22=5,JG2=I2+32=1()

:.GB=AB,GB2+AB2=AG2

.•.A/18G是等腰直角三角形

:.NBAG=45°

=180°-Z5/4G=135°；

由勾股定理得，EF=A/12+32=Vio；

(2)解：•••在4E厂中，DE=S+12=6,DF=2,EF=Jfs=屈，

22

・•,在dABC中,AB=yj\+2=x/5»JC=>/代+3?=A/10,BC=5

.DEDFEFM

'^4B~^4C~~BC~~T

：AABCS4DEF.

12.(1)AJ5C^AJ,5,C\理由见解析

(2)4ABCS”EC,理由见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法,

通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键.

(1)通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论；

(2)由三角形内角和定理求出NC,得出乙4=/4'，ZC=ZC\即可得出结论.

【详解】(1)解：/\ABCs/\#BC,理由如下：

..Jg_10_1BC_\2_\AC_\5_\

•市一助一土正一丽-1P正一赤一百‘

••_A__B___B__C___A__C_

44BCs"EC；

(2)解：△力8cs理由如下：

答案第5页，共22页

•/Z.A=70°,N4=48。，

/.ZC=180°-ZJ-=62°,

vZ-A=70°,ZC=62°,

.•Z=NH,ZC=ZCf,

AABCsAA'B'C.

13.D

【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，即可判断.

【详解】解：①由乙4=-^=4^=7＞可判定△48CSAH8'C',故①符合题意；

A8AC4

ARAC5

②由乙i=N8'，怒=97二/可判定"8Cs》cw,故②符合题意；

13CBA7

③由嗡=怒=会=；,可判定△48Cs△力Tre,故③符合题意♦

ADDCACZ

二能判定XABC与的有3个.

故选：D.

14.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三角形的一个角为135。判断即可，解题的关

键是掌握相似三角形的判定方法.

【详解】解：由题意乙48C=135。，BC=2,AB=g，

,AH&

BC2

选项A中的三角形有一个角为135。，且该角度的邻边之比为3符合题意.

V22

故选：A.

15.B

【分析】本题考查了相似三角形的判定，热练掌握相似三角形的判定是解题的关键.

先证出NA4C=N。4E,再由相似三角形的判定方法即可得出结论.

【详解】解：vZl=Z2,

.­.Z1+ZD^C=Z2+ZDJC,

："BAC=Z.DAE,

添加NC=NE,利用两角对应相等可判定△ABC〜△4DE,故①符合题意；

添加4=/力£应，利用两角对应相等可判定△48C〜故②符合题意；

答案第6页，共22页

添加空二经，无法判定△48cs△4OE，故③不符合题意；

AEDE

JJ?Ar

添加-7X=-7>利用两边对应成比例及其夹角相等可判定△力5cs△4OE，故④符合题

ADAE

意;

故选：B.

16.D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理.

利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可..

【详解】解：A.由两个角对应相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意；

AfiAC

B.因为=H"=.4'C,即*=令7,根据两边对应成比例及其夹角相等的三角

ADAC

形相似可知，该选项正确，不符合题意；

C.由两i力对应成比例及其夹角相等的三角形相似可知,该选项F确，不符合题竞：

D.该选项条件中，相等的角不是对应成比例两边的夹角，故不能证明三角形相似，该选项错

误，符合题意.

故选：D.

17.Z.A=ZDCE（答案不唯一）

【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键.

根据三角形相似的判定定理去添加条件（答案不唯一）.

【详解】解：添加4=NOCE,

vZ5=ZZ）=90°,乙4=NDCE,

CABCSACDE.

故答案为：NA=NDCE:答案不唯一）.

rAco

18.或乙4。。=/84c或==—（任选一个）

CBCA

【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的

判定定理是解题的关键.

【详解】解：在A。。和△CA4中，vZC=ZC,

「A「八

:.当NCAD=N8或ZADC=ABAC或一=—时，ACAD^CBA,

CBCA

故答案为：NCAD=NB或NADC=/BAC或工=凄.

CBCA

答案第7页，共22页

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解.

【详解】解：•••点。为4C的中点，力。=4,

•••AD=2,

vzLDAE=乙BAC,

jnAp

.••要使△IDEs△45C,则=

ABAC

…ACAD4x28

AB55

Q

故答案为：

20.4

【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相

似，进行求解即可.

【详解】解：•.YC平分

=NDAC,

当空=生时，"BCS&ACD,

ACAD

即:AC2=ABAD,

•:AB=9,AC=6t

•••62=94。，

•••AD=4,

故答案为：4.

21.(1)见解析

(2)AC=BD=CD

【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定.

(1)由等边三角形性质得PC=PQ=CQ,NPCD=NPDC=NCPD=60。,从而有

ZPCA=NBDP：由AP工PD,CP工BP得N<PC=NBPD=30。,由相似三角形的判定得证;

(2)根据NPCQ=/PQC=N"Q=60。，AP1PD,CPIBP,求出

NA=NAPC=ZDPB=N6=30°,由等角对等边即可得出结论.

【详解】(1)证明：••・△尸。。是等边三角形，

答案第8页，共22页

PC=PD=CD,NPCD=NPDC=NCPD=60°,

.-.ZPCA=ZBDP=120°：

•:APIPD,CPIBP,即：/APD=NBPC=9G°,

:"APC=NBPD=90°-60°=30°,N4=/B=30°,

ZJ=Z.BPD,/APC=NB,

：.AACPsaDB；

(2)结论：4C=BD=CD.

证明•••N/IPO=NBPC=90°,NPCD=NPDC=60。

.­.ZJ=Z5=30°；

•••ZA=NAPC=ZDPB=，B=30°,

：•AC=CP,BD=PD,

又•:PC=PD=CD、

.-.AC=IiD=CD

22.(1)证明见解析

⑵8

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，30。直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形

的判定方法和性质是解题的关键.

(1)直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可；

(2)先利用相似性质得出4。。=4。8=90。，再分别在两个30。直角三角形△力CQ和△力8c

中，利用30。角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.

【详解】(1)证明：・•・当=黑，4=4,

ACAD

二△月CQS2\/BC；

(2)解：•:AACDSAABC,ZACB=90°,

ZADC=ZACB=90°,

•••ZA=60°,

ZJCD=90°-60°=30°,NB=90°-60°=30°,

又•••40=2,

.，.AC=2AD=4,

,AB=2AC=8.

答案第9页，共22页

23.(1)见详解

1

(2)6

【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识.熟练掌握相似三角形的判

定是解此题的关键.

ARAC

⑴首先得到而二方,然后结合4=4即可证明;

(2)由已知条件可得出4C-CO=1,BE=AB-AE=4,根据等高三角形面积比等

S些w黑侬AD3.

于三角形的底比可得出：7—=7=3,进一步即可得出答案.

\BDEBE42'So

【详解】(1)证明：•.•44=24。，AC=2AE

AB、ACn

ADAE

ABAC

访.标，

又,:ZJ=ZJ,

:.△ADEsAABC.

(2)解：AE=2,力。=3,AB=2ADyAC=2AE,

•••AC=4,AB=6,

,-.DC=AC-CD=\,BE=AB-AE=4,

S4E21

根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：苴「年=3

S-4ED四、二3

S^CDECD1

二SdCDE=§Sa/EQ,S^BDE=2s/ED

Ls

：•D/\CDE_3

S&BDE2S“ED6

24.(1)证明见详解

(2)2713

【分析】(1)证明EF是AABD的中位线，得EF//AD,EF=^AD,继而推出NBEF=/BAD,

NBFE=NBD4,根据相似三角形的判定即可得证:

(2)根据三角形中位线的性质推出/司用=408=90。，EF=^AD=2,继而得到

Z5FC=90°,BF=3EF=6,由平行四边形的性质得C尸=力。=4,最后利用勾股定理可得

答案第10页，共22页

出结论.

【详解】（1）证明：必，

二点户是。8的中点,

又•:点E是4B的中点，

二所是△48。的中位线，

EF〃AD,EF=gAD,

Z.BEF=/.BAD,NBFE=NBDA,

ABEFSABAD；

（2）解：•••Q8_LCE,

.♦.N4DB=90°,

由（1）知：EF//AD,EF=gAD,

2

NBFE=NADB=90°,ZBFC=180°-NBFE=90°,

又•••力。=4,BF=3EF,

.•.EF=-JD=-x4=2,BF=3EF=3x2=6,

22

又•.•力产〃。C,

四边形AOC/为平行四边形；

:.CF-AD-4,

在RS4W中，BC=dCF、BF2="2+62=2用,

.•・4。的长为2jil.

【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股

定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第

三边，并且等于第三边的一半.

25.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三角形的一个角为135。判断即可，解题的关

键是掌握相似三角形的判定方法.

【详解】解：由题意乙440=135。，BC=2,AB=6,

•.•AB,

BC2

答案第11页，共22页

选项A中的三角形有一个角为135。，且该角度的邻边之比为=符合题意.

V22

故选：A.

26.D

【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，即可判断.

JPArq

【详解】解：①由44=乙r,券=玲7=；，可判定AXACSAHZTU,故①符合题意：

②由//=/*,综=《="可判定△力ACSAB'CW,故②符合题意；

DCbA7

③由45=痣=会=!，可判定△NBCsadB'CL故③符合题意•

ABBCAC2

••・能判定△/8C与"EU的有3个.

故选：D.

27.C

【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键.

分别根据当力尸：AB=AD：/1C时，尸s“C8,当/ip：Ac=AD：时，

△/QQs△44C,求出/P的长即可.

【详解】解：・；/PAD=NBAC,

当AP：AB=AD：力。时，AAPDS^ABC,

'''AB=\2,AC-8,AD—6,

.\JP：I2=6：8,

:.AP=9-

当力尸：AC=AD：48时，"PDs"CB,

AP：8=6:12,

二.AP=4,

答案第12页，共22页

AADP和。相似.

28.A

【分析】本题考查相似三足形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定

CFFD

相似是解题的关键.由图，利用CE〃9"判定ACDESABDF,得出丁二中，即可求出

B卜DF

11Q1

CE=-,则可求出力。=熊-匿=3-5=鼠再利用5尼=54086,即可求解.

【详解】解：如图，

由图可知，ED=1,DF=3,BF=1,AE=3t8G=4,CE//BF,

•••ACDES^BDF,

CEED

,,丽一而'

CEI

即Hrl丁二3，

解得：CE=；,

1Q

：.AC=AE-CE=?>一一=-,

33

c_118.16

:・S&ABC=2^^^=2><3><4=~3",

故选：A.

29.B

【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质.如图，连接4C,8。交于点0.证

明△48CgZ\45C,推出乙4”C=/月"C,A8=AD,8C=DC,再证明当乙4%C=90°时符

答案第13页，共22页

合题意即可.

【详解】解：如图，设/C，8。交于点0.

vLABC和△4QC关于直线AC对称，

:.△ABCgAADC,

："ABC=NADC,AB=AD,BC=DC，

当/48C=90。时，ZJZ）C=90°,

vAB=AD,BC=DC,

：.ACJ.BD,

.•.ZABO+ZBAO=90°,N4CB+NBAO=9D0,

："ABO=/ACB,

•••408=N8OC=90°,

:.△AOBsABOC,同法可证△力OOsaooc,故选项B符合题意.

当/BAD=90°或ZBCD=60°或NCDA=60°时都不符合题意.

故选：B.

30.ZACP=/B（或/4PC=//C8或出■=江或4二江）（答案不唯一）

ACAPACAB

【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、、两边

成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案.熟记两个相似三角形的判定定理是

解决问题的关键.

【详解】解：在△/SC和△/IC尸中，/月=4,

AAPC是ABPC的一个外角，

:"APC=NB+/BCP,

即N/1PC>N8,且NJPC>N〃CP,

•/N4CB>NACP,

•••当=时，△/BCs^/cp：或当/力QC=N,4C8时，△ABCsfCP；或当

答案第14页，共22页

^―=---时，AABCs^ACP；

ACAP

ADACAPAC

故答案为：4cp=4B（或4PC=4C8或喂=2或笠=*）（答案不唯一）.

ACAPACAB

31.相似

【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关

键.

【详解】解：•••在RtZU8c中,ZC=90°,^=10,BC=8.

•••AC=>!AB--BC2=71O2-82=6,

AC63A'C'3

•%=—=-9*.*--=-1

BC84B'C4

ACA'C'

-^c7,

•.•ZC=ZC=90°,

.•.RIAABCSRJA'BC.

故答案为：相似.

32.VJ

【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比

例.

设第三边长为x,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可.

【详解】解：•••△力8。的三边长分别是3,6,而，

“ABC三边长的比为3:、自:岳=有:1:二.

△48C“48C,月.△/（£«的两边长分别是1和石，需要分情况进行讨论：

①若；=半=乌解得x=g

1币x3

②若'=乎=乎，•.•专工乎，，该情况不成立

③若2=半=当，解得x=G

XV51

经检验，当x=6时，"MG与"8C的三边对应成比例，两三角形相似；当工=无时，

答案第15页，共22页

△44C与A/BC的三边对应不成比例，两三角形不相似；

故答案为：也.

33.9

【分析】本题考查了翻折变换(折叠问题)，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质,

熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.根据等边三角形的性质可得

JZ?=JC=32cm,4=NB=60。，从而可得4Q=22cm,再利用折叠的性质可得：

BD=B，D=22cm，NB=NB，=60。,从而可得/4=/*,0M=14cm,然后证明8字模型相

似“MD”从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系

进行计算，即可解答.

【详解】解：•.•△力8。是等边三角形，

/.AH=AC=32cm,Z.A-Z.B=60°,

AD-10cm,

Z?D=JZ?-JD=22(cm),

由折叠得：BD=B'D=22cmt=/*=60。，

B'M=8cm,

DM=B'D-B'M=22-8=14(cm),

•••NAMD=4B'MN,

IAAMDSHB'MN,

.AMDM

1614

..—=——,

8MN

.♦.MN=7,

:.CN=AC-AM-MN=32-\6-l=9,

故答案为：9.

“7T14

34.二或

23

【分析】本题考查了相似三角形的性质，分①当△力时，②当时,

再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

答案第16页，共22页

【详解】解：①当"s△48C时，,

ABBC

•・♦£为48中点,

•••AE=EB=4,

EF1

•**=—，

BC2

：.EF=-BC=-；

22

②当时，*=然，

ACoC

4EF

—=---,

67

综上,所的长为,7或丹14,

714

故答案为：弓或彳.

35.见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定.根据相似三角形的判定定理解答即可.

【详解】证明：•.•4C*。交于点。，

ZAOB=ZDOC,

vZJ=ZZ),

：.4A0Bs4D0C.

36.证明见解析.

【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知48=5,AC=5

BC二M,EF=2,DE=M,DF=42,再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可

求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.

【详解】证明：根据勾股定理，得力8=5,AC=5BC=M，EF=2,DE=M,

DEV10EF2MDFaM

AB5BCM5AC455

DEEFDF

:.---=----=----,

ABBCAC

SABCs4DEF.

答案第17页，共22页

37.（1）见解析

【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似.

（2）先利用勾股定理求出斜边力4的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立

等式求出CO的长.

本题主要考壹了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的

判定定理和利用面积法求高是解题的关键.

【详解】（I）证明：•••NdC8=90。，CDLAB,

："ACB=NCDB=9。。，

•••N8=N8,

:.△ABCS^CBD；

（2）解：••ZCB=90。,

•••AB=\IAC2+BC2=]3,

•.SARC=-x4CCB=LxABCD,

&/ioc22

八cACCB60

:.CD=-----------=—.

AB13

38.（1）135°,272

Q