锐角的三角比易错训练（60题）解析版-九年级数学上册（沪教版五四制）

锐角的三角比易错训练（60题）

一.选择题（共26小题）

1.在R△力8C中，ZC=90°,AC=l,BC=3,那么N4的正弦值是（）

A,巫

C.3D

10BY-I

【分析】先在心△48C中，利用勾股定理求出力8的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可

解答.

【解答】解：在用△48C中，ZC=90°,JC=I,BC=3,

AB=J）。？+BC2=Vl2+32=V10，

/sinJ=^C3=3Vio

AB71010

故选：A.

2.已知在RtAABC中，ZC=90%AB=5,AC=4,那么下列式子中正确的是（）

4444

A.sinJ=—B.cosA=—C.tanJ=—D.cotJ=—

5555

【分析】先利用勾股定理求出8。的长，然后再利用锐角一:角函数的定义逐一判断即可.

【解答】解：在RtAARC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,

二.BC=JAB?-AC?=5/52-42=3，

.•.$in/=W=?,故力不符合题意；

AD5

Ar4

cos/=W==,故8符合题意；

AB5

tan4=空=：,故C不符合题意；

AC4

AC4

cotJ=-^=-,故。不符合题意；

oC3

故选：13.

3.已知在RtAABC中，ZC=90°,4、NB、NC的对边分别是〃、b、c,则下列关系式错误的是（）

h

A.a=btanAB.b=ccosAC.a=csinAD.c=

sinJ

【分析】先画出图形，根据锐角三角函数的定义，判断各选项即可.

【解答】解：

4、tan4=f,则”=/）tan4,选项表示正确;

b

B、cosA=—,则6=（:8$4,选项表示正确;

c

C、sinJ=—,则°=小皿力，选项表示正确;

c

。、cos/=2,则。=，一，选项表示错误.

ccosA

因本题选错误的，故选：D.

4.在RtAABC中，ZC=90°,若AJ8C的三边都放大2倍，贝!sin力的值（）

A.缩小2倍B.放大2倍C.不变D.无法确定

【分析】根据三边成比例的两个三角形相似可得把&4BC的三边都放大2倍后，所得的三角形与AJ8C是

相似三角形，从而可得//的大小不变，即可解答.

【解答】解：.••把A48C的三边都放大2倍后，所得的三角形与ZU8C是相似三角形，

二.乙4的大小不变，

二.sin力的值不变，

故选：C.

5.在RtAABC中，JC=8,8c=6,则cos力的值等于（）

A.3B.立C.士或立D.士或空

545457

【分析】因为原题没有说明哪个用是直角，所以要分情况讨论：①“，为斜边，②4C为斜边，根据勾股

定理求得力6的值，然后根据余弦的定义即可求解.

【解答】解：当A/出。为直角三角形时，存在两种情况：

①当44为斜边，ZC=90°,

v.4C=8,BC=6,

:.AB=y]AC2+BC2=V82+62=10-

cos小空-8-=一4

AB105

②当/C为斜边，ZZ?=90°,

由勾股定理得：AB=ylAC2-BC2=782-62=277»

AB25/7币

cosA=

综上所述,cos4的值等于2成史.

54

故选：C.

6.如图，RtAABC中，NC=90。，ZJ=29°,BC=8,则48为()

B.8sin29°C-1-D.8tan29°

sin29°tan29°

【分析】在RtAABC中，利用锐用三角函数的定义进行计算即可解答.

【蟀答】解：•.•NC=90。，/4=29。，BC=8,

8

AB~AB

—盛

故选：A.

7.如图，在平面直角坐标系中，菱形48。的顶点力，B,C在坐标轴上，若点4的坐标为(0,3),

tan48。=6，则菱形力88的周长为(

C.1273D.8G

【分析】根据点力的坐标为(0,3),可以得到4。=3,根据tanN48。=6，可以求出80,根据勾股定理

可以求HlAB,最后由菱形的性质可以求出菱形的周长.

【解答】解：:点/的坐标为(0,3),

....40=3,

「4T2⑺

D.-或----

57

【分析1分两种情况，力C为斜边，/力为斜边.

【解答】解•：分两种情况：

当力C为斜边，

在RtAABC中，AC=4,BC=3,

AB=>JAC2-BC2=V16-9=>/7,

・・cosA=-----=—，

AC4

当/B为斜边，

在RtAABC中，AC=4,BC=3,

AB=y/AC2+BC2=^42+32=5，

,AC4

cosA=----=—,

AB5

综上所述：cos%的值等于且或金，

45

故选：C.

11.在&48C中，Z.C=90°»给出下列式子，©«=ctanA；®b=cSinB：③b=cCosA；®a=btanA：

⑤c=btan8,其中能成立的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解.

【辞答】解：:在RtAABC中，ZC=90°,

,a.门bba_

/.tan/4=—,sinn=—,cosA4=-,tanJt=—,tanB=

bccb

:.a=htanA,h=csinB,h=ccosA,a=btanA,h=atanB.

「•②®④成立，

故选：B.

12.如图，一艘船从4处向北偏东30。的方向行驶10千米到8处，再从8处向正西方向行驶16千米到C

处，这时这艘船与力的距离（）

c.106千米D.56千米

【分析】根据直角三角形的三角函数得出/E,BE，进而得出CE,利用勾股定理得出4c即可.

【解答】解：如图：

「BC1AE,

乙AEB=9。。,

•../48=30。，/8=10千米，

.♦.BE=5千米，花=5行千米，

:.CE=BC-BE=\6-5=\\（千米），

AAC=VCE2+AE~=7112+（5>/3）2=14（千米），

故选：B.

13.—tan60。的倒数是（）

A.-\[3B.VJC.

3.3

【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.

【解答】解：一tan60。的倒数=—」==一半，

V33

故选：C.

14.下列运算中，值为'的是（）

4

A.sin450xcos45°B.tan450-cos230°

C.史也D.(tan600)-'

cos60°

【分析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算逐•判断即可解答.

【解答】解：A.sin45°xcos453=—x^=l,故力不符合题意；

222

B、tan45°-cos230°=1-(^)2=1-1,故B符合题意;

。、四".=q_=2jj,故c不符合题意；

cos60°3

2

。、师60。尸=(退尸=4,故。不符合题意;

故选：B.

15.cos60。的倒数是()

A.---B.--C.2D.

22月

【分析】首先知道cos60。的值，然后再求其倒数.

【解答】解：cos600=1,

cos60。的倒数是2,

故选：C.

16.三角形中，。,7为其三个内角，且满足|sinaI)?=0,则7=()

2

A.45°B.120°C.105°D.75°

【分析】根据非负数的性质、特殊角的三角函数值求出夕，根据三角形内角和定理计算即可.

【解答】解：由题意得，sina—；=0,tan/?-l=0,

解得，sina=；,tan/?=1,

则a=30。，0=45。,

.­.y=180o-300-45o=105°,

故选：C.

17.已知0。</a<90。，sina=cos30°,那么已为为()

A.30°B.45°

C.60°D.以上答案都不对

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答.

【解答】解：v00<Za<90°,sina=cos30°,

..sina=——,

2

「./a=60。，

故选：C.

18.若数轴上：sin60。的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在段()

①②③④

；丫¥；»

00.511.52

A.①B.②C.③D.④

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答.

【解答】解：•.■血60。=等,V3*1,732»

sin60°»0.866,

v0.5<0.866<1,

.•・若数轴上：sin60。的值用一个点表示，则这个点的位置可能落在段②，

故选：B.

19.在平面直角坐标系中，已知点4(2,1)与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为户，那么tan〃的

值是()

A.2B.-C.—D.石

25

【分析】过点4作力B_Lx轴，垂足为8,根据垂直定义可得/4?。=90。，根据已知可得。4=2,

AB=\,然后在RtAABO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解.：如图：过点力作力Blx轴，垂足为4,

/ABO=90°,

•••点4(2,1),

:.OB=2,AB=\,

AB1

在RtAABO中，tanp=,

20.如图，A48C的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tan4的值是()

»5八2V10八3而

D.—C.-----L).----

6310

【分析】在RtAABD中,根据锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.

在RtAABD中，BD=6,AD=5,

故选：A.

21.如图，？点4坐标为(-2,1),点8坐标为(0,4),将线段月8绕点。按顺时针方向旋转得到对应线段

45,若点4恰好落在x轴上，则/8WO的正弦值为()

C.—465D.—>/65

6565

【分析】如图，连接O力，OB',过点"作877lx轴于点”，过点力作于点7.解直角三角形

求出。力，4B,再利用面积法求出"〃，从而可得解.

【解答】解：如图，连接。4,OB',过点夕作6'〃_Lx轴于点H,过点力作“T_LO8丁•点7,.

•••点力坐标为(-2,1),点8坐标为(0,4),

:.AT=2,OT=\,OB=4,

.0=亚二不=后，BT=OB-OT=—=3.

OA=OA1=V5»AB=d展+S=布.

••,Sq，8,=SA38=；x4x2=4,

2

V55

乂NB'=AB=9，

875

sinNB'A'O=—==—765,

4'B'yf[365

故选：D.

22.阅读理解：为计算tanl5。三角函数值,我们可以构建RtAACB（如图），使得NC=90。,

/.ABC=30n,延KC8使BD=4B,连接力力，可得到ZD=15%所以

加—=（2+蔡，尸-6

类比这种方法，请你计算tan22.5。的值为（)

D.-

2

【分析】在RtAACB中，ZC=90°,N/8C=45。，延长C3使6。二川？，连接力。，得/。=22.5。，设

4C=BC=l,则力B=BD=6,然后在RtAADC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：如图:

在RtAACB中，ZC=90°,ZABC=45°,延长C8使〃。=力〃，连接4。,

/.ZBAD=ZD=22.5°,

设/C=8C=1,则AB=BD=y/iAC=g，

:.CD=BC+BD=1+应，

力CIL

在RtAADC中，tan22.50=—=—广=，2-1,

CD1+，2

故选：B.

23.如图所示，点力”,3）在第一象限，射线。片与x轴所夹的锐角为a,sina=±,则/的值为（）

4

C.4D.5

【分析】过点力作力8_Lx轴，垂足为8.根据已知可得08=/,AB=3,然后在RtAAOB中，利用锐角

三角函数的定义求出。力的长，最后利用勾股定理求出08的长，即可解答.

【解答】解：过点4作力轴，垂足为6,

丁点463),

OB=t,AB-3,

在RtAAOB中，sina=-,

4

sina2，

4

/.OB=yJOA2-AB2=V42-32=77，

故选：A.

24.如图，已知AJ8C的三个顶点均在正方形格点上，则cos/的值为（）

【分析】直接利用网格构建直角三角形，再利用勾股定理得出40,48的长，进而利用余弦值的定义得

出答案.

【解答】解：如图所示：连接CZ），

可得：乙4。。=90°,CD=4i，AD=2五，4C=丽，

/AD2>/225/5

^Ucos/1=—=-j==——

ACV105

故选：D.

25.己知直线4/〃2/4，且相邻的两条平行直线间的距离均等,将一个含45。的直角三角板按图示放置,

使其三个顶点分别在三条平行线上，则sina的值是（）

「2方

D

5-I

【分析】过点4作于。，过点B作于E,根据同角的余角相等求出NOO=N'BCE,然后

利用“角角边”证明A4CD和AC8E全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=/。，然后利用勾股定理

列式求出BC,然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.

【解答】解：过点4作力。_L4于。，过点8作4E_L/3于E,如图:

设4，4，A间的距离为”=1，

•/AD±/3,BE11.f

/ADC=^BEC=90°,

vZCJZ)+ZJCZ)=90o,

NBCE+N4CD=90。，

/CAD=/BCE,

在等腰直角A48C中，AC=BC.

在A/JCO和ACBE中，

ZADC=NBEC

<ACAD=ABCE,

AC=BC

；.MCD=ACBE(AAS),

CE=AD=2,

在RtABCE中，BC=dBE2+CE'=dl2+2?=后,

BE1V5

：.sina------=

BC"T

故选：A.

26.如图，点.4,B、。在正方形网格的格点上，贝hanNA.4c=（）

T

【分析】连接6C,先利用勾股定理的逆定理证明A48C是直角三角形,从而可得乙4c'8=90。然后在

RtAABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

JC2=12+22=5>

5C2=l2+22=5,

4相=12+32=10，

：.AC2+BC2=AB2，

・•.MAC是直角三角形,

/ACB=90°,

在RtAABC4'，tanZ.BAC==-j=-1,

故选：A.

二.填空题（共14小题）

27.如图，在4x4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，MBC的顶点都在格点上，则图中48。

的正弦值是一半

【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出A48C的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论.

【解答】解：由图可知，AC2=22+42=20，5C2=12+22=5，=32+42=25，

・•.M4C是直角三角形，且/力。8=90。，

..rAC2石

・・sinN4BC-----•

AB5

故答案为：平.

28.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点4、B、。都在格点上，则/。48的正弦值是_手

【分析】过点。作OCJL/IB的延长线于点C,构建直角三角形4cO,利用勾股定理求出斜边的长,

即可解答.

【解答】解・：如图，过点。作OC_L48的延长线于点C,

在RtAACO中，AO=\lAC2+OC2=>/42+22=720=275»

...””型二二五

0A2亚5

故答案为：—

5

29.在直角AJ8C中，ZC=90°./48C=30。，。是边4c的中点，Msin=——

26

DF

【分析】过点。作。E148于点E,将求sinNZ)84的问题转化到RtABDE中求解，即求百的值，设

BD

AB=2x,则力C=x,BC=^x，又MBC,A4OE都是30。的直角三角形，可求。E,用勾股定理可求

BD.

【解答】解：过点D作DE上48于点、E,

•••在RIAABC中，ZC=90°,Z^C=30°,

..sin——9

2

设AB=2x,则4C=x,BC=A/J.V»

又是边力C的中点，

：.AD=CD=-x,

2

在RtADBC中，BD2=BC1+CD1=—x2,

4

：,BD=­x,

2

在RtAADE中，DE=JD-sinA=—x,

4

V3-

DE_工_叵

在RtABDE中，sinZDZ?/l=—

DB一加一行

—x

故本题答案为：f.

B

L

CDA

3().等边A48C中，点。在射线。1上，且44=2/10,则tan/D8C的值为—立或3百_.

3

【分析】分两种情况讨论，并画出图形，①当。在力C之间，根据等边三角形的性质，求出

AB=AC=BC,ZC=60°,

再根据48=2/。，得出N8OC=90。，从而求出/如叱。8c的值；②当。在以延长线上时，过点。作

DhBC于E,设=l)HAB=AC=BC=2x,在R3DEC中用三角函数表示两条直角边，从而求出

tanNQ4C的值.

【解答】解：如图①，当。在/。之间

•••在等边A48c中，

AB=AC=BC,ZC=60°,

vAB=2AD,

AD=CD,

：.SDA.AC,

4BDC=90°,

.•.NQAC=30。，

iamZ.DBC=—；

3

如绍②，当。在C/延长线上时，过点。作。E_L4C于£,

D

AB=AC=BC,ZC=60°,

'：AB=2AD,

.,.设=贝i]48=4C=8C=2x,

•/DE工BC,

/DEC=90。,

:"CDE=30°,

EC=^-DC=}.5x,ED=—X,BE=0.5X,

22

/.tanZD5C=—=3>/3,

BE

故答案为：36或

31.如图，在RtAABC中，NC=90。，N8=a,N4Z)C=/7,用含a和4的代数式表示丝的值为二

ABsinp

【分析】分别放在RtAABC和RtAADC中，利用和N尸的正弦值，进行计算即可.

【解答】解：在RSABC中，sina=—,

AD

；.4B=4^-，

sina

AQ

在Rt^ADC中，sin/?=—,

AD

：..4D=^-,

sinp

ADACsinasina

ABsinpACsin/?

故答案为：当.

sinp

32.在根8C中，ZC=90°,a=3,b=5,则sin/=_^^_.

34

【分析】根据勾股定理求出斜边。的长，再根据三角函数的定义求解.

【解答】解：由勾股定理知，c=\ja2+b2=V32+52=>/34-

33.已知sina=2〃?-3,且a为锐角，则的取值范围_-<m<2—.

~2~

【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求机的取值范围.

【解答】解：Ya为锐角,

1>sina>0,

Ml>2w-3>0,

2〃?-3>0

变形为:

2w-3<l

3

解得2>小>].

34.在RiAABC中，AB=3,AC=4,贝4lanC的值为或迈

47

【分析】根据题意可分两种情况讨论：当点4为直角顶点时，tanC=W?，代入计算即可；当点8为直角

AC

顶点时，先根据勾股定理求出8C的长，贝iJtanC=黑，代入计算即可求解.

B（一

【解答】解：当点力为直角顶点时，如图,

当点8为直角顶点时，如图,

在RtAABC中，BC=y)AC2-AB2=742-32=不，

tanC=^3=3V7

BCy/l7

综上，tanC的值为1或也.

47

35.若sin(x+15o)=且，则锐角x=45。.

2

【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答.

【解答】解：•.•5皿》115。)=亭.

.\x+15°=60°,

解得：X=45。,

故答案为：45.

36.已知。是锐角，匕11(90。-&)-6=0,则a=30。.

【分析】利用特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.

【解答】解：,•,tan(9()o-a)-G=0,

/.tan(90°-a)=>/3,

A90°-«=60°,

/.a=30°,

故答案为：30.

15

37.在A48C中，若4,28满足|854-弓|+冈118-宁|=0,则NC的度数是_75。_.

【分析】根据绝对值的非负性可得cosZ-：=0,,sin4-巫=0,从而可得cos4=!，,sin5=—,进

2222

而可得4=60。，4=45。，然后利用三角形的内知和定理，进行计算即可解答.

【解答】解：,.,|cos4-g|+|sinE-*|=0,

cos"—!=0,,sin=01

22

cosJ=-,,sin5=—,

22

/A=60°,NB=45°,

.•./。=180。-乙”/4=75。，

故答案为：75°.

38.已知点4(1,2)在平面直角义标系x。，中，射线04与x轴正半轴的夹角为a,那么cosa的值为

V5

->

【分析】过点力作力”lx轴于H.利用勾股定理求出04,再利用余弦的定义即川.解决问题.

【解答】解：过点力作轴于

♦••・4(1,2),

:.0H=\,AH=2,

v/AHO=90°,

OA=y/OH2+AH2=Vl2+22=V5，

OH1V5

・,COSCt==-f==—,

OA4s5

故答案为：—.

5

39.如图，在R3ABC中，ZJCfi=90°,CO是斜边力4上的中线，过点4作力万_LCO,力尸分别与CO、

C6相交于点石、F,如果tan〃=2,那么任的值是-.

3EF-4一

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CQ=O6,从而可得/B=NQC8,再利用同角的余角相

2

等可得NC4E=NDCB,从而可得tanZ?=tan/OCB=tan/C4E=§,然后在RtAACE中，利用锐角三角函

数的定义可设CE=2x,则4E=3x,再在RtACEF中，利用锐角三角函数的定义求出后产=与，最后进行

计算即可解答.

【释答】解：•.•44。=90。，CQ是斜边48I：的中线，

：.CD=DB=-AB,

2

/B=NDCB,

vZJCT=90°,

?./ACD+^DCB=90°,

•：AF1CD,

:"CEA=90°,

/ACD+ZCAE=90°,

Z.CAE=Z.DCB,

:"C4E=NDCB=NB,

2

tanB=tanZ.DCB=tanZ.CAE=—,

CE2

{\：RtAACE'I1,tanZ.CAE———,

AE3

设CE=2x,^}AE=3x,

24x

在R3CEF中，EF=CE-tanZDCB=2x-=—,

AE_3x_9

••・丁=丁北，

一X

3

9

故答案为：—.

4

40.在RtAABC中，ZC=90°,tanJ=-,A^=\0cm,则葭记=24cm2.

【分析】在RtAABC中，根据锐侑三角函数的定义可设4C=4icm,则力C=3xcm,然后利用勾股定

理求出i/14=5xcm,从而列出关于x的方程，进行计算可求出8c和4C的长，最后利用三角形的面积公

式进行计算，即可解答.

BC4

【辞答】解：在RtAABC中，ZC=90°,tan/l=—=-,

AC3

...设8C=4xcm,则力。=3xem,

4B=y/AC2+BC2=J(3x)2+(4x)2=5x(cm),

.4B=1Ocm,

/.5x=IO,

解得：x=2,

BC=3cm,AC=6cm,

SMBC=|jC-5C=ix6x8=24(。/),

故答案为:24.

三.解答题(共20小题)

41,计算：cos?45°-近116°+cos30°.

3tan300

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算,即可解答.

【解答】解；c。-45。-兽桨+cos30。

3tan300

=1」G

-2-2+T

=在

cin2450-1

42,计算：---------+cot60°cos30°.

tan45°

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算,即可解答.

sin2450-1

【解答】解："士一-+cot60°cos30°

tan45°

=----14----

22

=0.

43,计算：8s45。一tan60。—cot45。.

1-sin30°

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算,即可解答.

【解答】解：/cos45°_tan60。—cot45。

1-sin300

72

T-g

1--

2

x/2

=+-6-1

2

=V2-V3-1•

tan45°

44.计算:-7(sin3O0-l)2+2cos245°.

sin60°cot30°

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

【解答】解：篇震而一而航7+2.45。

7

6

、八。2sin60。-tan450

45.计算:cot30°--------------；——

sin300+cos2450

【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.

_2sin600-tan45°

【辞答】解:cot30°--------------；——

sin300+cos2450

=后-(G-l)

=1.

2sin2600--cot45°

46.计算:2

tan260°+4sin45°*

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

【蟀答】解：2sM60。一纲45c

tan2600+4sin450

2x(§2-；xl

(如2+4x专

2x2-1

=42

3+2&

1

一S

=3-2&♦

仆』号sin450+cos30°._.，八。、

47.计算：---------------sin^0°o/(cos45°-sin600)

3-2cos60°

【分析】依据30。、45。、60。角的各种三角函数值，即可得到计算结果.

【解答】解：原式:2+j吟-与

3-2x—

2

V2+V3V2-V3

-44

2百

=----

4

二五

"T

48.求下列等式中的锐角a:

(I)2sin(or-10°)=>/3；

(2)4cos(a+20°)-2x/2=0.

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答:

(2)根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.

【解答】解：(1)2sin(a-10°)=5/3,

sin(tz-10°)=,

.\a-10°=60°,

a=70°；

(2)4cos(a+20°)-2x/2=0,

4cos(a+20。)=2及，

cos(a+20°)=孝,

a+20°=45°,

/.a=25°•

4

49.已知：如图，在&48C中，AB=AC=[5,tanA=-

3

求：⑴S&械.；

（2）的余弦值.

【分析】（1）过点。作CO148,垂足为。，在RtAABC中，利用锐角三角函数的定义设。。=必，则

AD=3k,从而利用勾股定理求H4C=5k,进而可得4=3,然后可得40=9,8=12,最后利用三角

形的面积公式，进行计算即可解答：

（2）在RtABCD中，利用勾股定理求出8C的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：C）过点。作垂足为

:.AC=dAD'+CD?=J(3A)2+(4%)2=5k,

v.4C=15,

.•.5左=15,

，x=3,

.；4。=9,CD=\2.

...S.iRC=-ABCD

=-x15x12

2

=90,

*'•48c=90；

(2)在RlABCD中，80=48-40=15-9=6,CD=12,

BC=y/CD2+BD2=Vl22+62=6>/5，

：.c°sB=^=事=先,

CB6755

.•・/8的余弦值为正

5

50.已知：如图，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=6,cotZABC=—,点D是4c的

2

中点.

(1)求线段BD的长；

(2)点E在边上，且CE=CB,求AJCE的面积.

【分析】(1)依据/_ACB=900,BC=6,y/2,即可得到4c=戈,再根据点D

cotZABC=——

2

是力C的中点，可得CD=-JC=->/6,再根据勾股定理可得RtABCD中，BD^BC"+CD2=-V2:

222

(2)过C作于H，根据8C=JJ,cot/48C=走，即可得到CH=JI，BH=1，再根

2

据勾股定理得出N8的长，进而得到4七，最后求得A4CE的面枳.

【解答】解：(1)RtAABC中，ZACB=90°,4。=6，cot/ABC=互,

2

:.AC=C，

丁点。是4c的中点，

:.CD=-AC=-j6f

22

「.RtABCD中，BD=^BC2+CD2=-；

2

(2)如图，过C作C"_L/8于〃,

♦:BC=C，cot/ABC=旦,

2

:.CH=叵，BH=\,

CE=CB,

：.EH=BH=1，

•.•乙4CB=90。,BC=BAC=&，

AB=3,

...J£=3-2=l,

CE的面积=，x/4ExCH=-x1x-x/2=

222

51.《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》.这本著作建立起了从直接测量向间接测量的

桥梁.直至近代，重差测量法仍有借鉴意义.

如图2,为测量海岛上一座山峰力〃的高度，直立两根高2米的标杆8c和OE,两杆间距8力相距6米,

D、B、〃三点共线.从点8处退行到点歹，观察山顶4,发现力、C、尸三点共线，且仰角为45。；

从点。处退行到点G,观察山顶4,发现力、E、G三点共线，且仰角为30。.(点尸、G都在直线“8

±)

(I)求产G的长(结果保留根号)；

(2)山峰高度力〃的长(结果精确到().1米).(参考数据：0~1川，百=1.73)

图1图2

【分析】（1）根据题意可得：CB人FH,EDLHG,然后分别在RtAFBC和RtADEG中，利用锐角三角函

数的定义求出8/和QG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；

（2）设力〃=尤米，在RtAAHF中，利用锐角三角函数的定义求出〃尸的长，从而求出〃G的长，再在

R心AHG中，利用锐角三角函数的定义可得HG=G/"，从而列出关于％的方程，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）由题意得：CBA.FH,EDVHG,

在RtAFBC中，NBFC=45。,50=2,

••・汗=~^=2（米），

tan45°

在RQDEG中，ZG=30°,DE=2,

•・DG=-^-=4=2VJ

tan30°也（米），

T

•.•80=6米，

.•.96=8。+。6-8尸=6+26—2=（4+26）米，

.•.96的长为（4+26）米；

（2）设4H=x米，

在RtAAHF中，/AFH=45。,

4H

:•卜H=——=x（米），

tan45

♦.♦EG=（4+2>/J）米，

:.HG=HF+FG=g4+25&

在RtAAHG中，ZG=30°,

:.HG="〃=半=百AH

tan30°V3,

T

X+4+2G=y/3x，

解得：X=5+3GH10.2，

.•..44=10.2米,

「•山峰高度AH的长约为10.2米.

52.如图，力处有一垂直于地面的标杆4%,热气球沿着与4M的夹角为15。的方向升空，到达8处，这

时在4处的正东方向200米的C处测得8的仰角为30。（40、5、C在同一平面内）.求4、8之间的距

离.（结果精确到1米，72^1,4：4）

【分析】过点/作力O_L8C,垂足为。，根据题意可得：47=200米，/氏1C=1O5。，ZC=30°,从而

利用三角形内角和定理可得/用?。=45。，然后在RtAACD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得

力0=100米，再在RtAABD中，利