特殊平行四边形综合问题与最值问题（8种类型48道）原卷版-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

特殊平行U!边形综合问题&最值问题

（8种类型48道）

：考点归纳

考点01菱形相关综合问题

考点02矩形相关综合问题

考点03直角三角形斜边上的中线相关综合问题

考点04正方形相关综合问题

考点05菱形相关最值问题

考点06矩形相关最值问题

考点07直角三角形斜边上的中线相关最值问题

考点08正方形相关最值问题

考点专练

考点01菱形相关综合问题

1.如图，菱形/3CO的周长为40,对角线为C,8。相交于点O,DE1AB,垂足为E,DE:AB=4:5.下

列结论；①DE=8；@BE=4；③BD=4#；④%“K”=2°.其中正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

2.如图，在菱形48CO中，N4=60。，点E,产分别在边力8,力力上，且力E=O/，连接"，交。E于点

G,连接GC.现有下列结论：①N4GQ=120。：②GC平分/4G。：③CG=DG+BG；

④与边防四c=4CG2.其中正确的结论有（）

DC

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，菱形"C。中，/BAD=60。，AC与BD交于•点、O,E为CD延长线上一点，且。=。£，连接

BE,分别交AC,力。于点尸、G,连接。G,则下列结论正确的有（）个.

（T）OG=^AB.②由点力、B、。、E构成的四边形是菱形；③小成形ODGF=S^ABF：@S^CD=4S^BOG.

4.如图，在菱形力8C。中，乙8=60",E是4C的中点，连接4E,DE,DE与AC交于点、G、以。£为边作

等边三角形连接心交。E于点M交OC于点下列结论：①DE=qAB;②乙£4N=45。；

③AE=2丛CM;④点M为力厂的中点.其中结论正确的序号有（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

5.如图，在边长为26的菱形中，点”为边力。的中点，8/与对角线4C交于点G,过点G作GE_L43

于点E,且N1=N2.则以下结论：①②/历/。=60‘；③CG=24G；④S.®是的白

倍；⑤若，为4。上一动点，连接尸〃，则的最小值为3,其中结论正确的为（）

C.①②④⑤D.①②③⑤

6.如图，0是菱形48C。的对角线力的交点，E,F分别是Q40C的中点给出下列结论:

①S,QE=S.EOD；②四边形"。夕也是菱形；③四边形”8的面积大小等于EFI。：

④NADE=NEDO；⑤△£）£尸是轴对称图形.其中正确的结论有（）

考点02矩形相关综合问题

7.如图，在矩形力8c。中，AD=6AB，的平分线交4c于点E,DH上AE千点、H,连接并延

长交C。于点尸，连接OE交储于点O,有下列结论：①EO平分/4EC；②OE=；DE；③HE=DF；

@BC-CF=2EH-®AB=FH.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.如图：四边形/BCD是矩形，点尸在8c边上，G平分NBAD且4D=4F\DE工AF垂足为点七,

连接在并延长交CQ于点G,连接。厂交8G于点〃，连接EC交。少于点/,有下列结论：

①/4FD=/CFD；②0〃垂直且平分EC：③AEFC/EHD；④川？=EG.其中正确的结论有（）

个.

A.①③④B.③④C.①②D.①②④

9.如图，在△/18C中，48c=90。，8/=AC,把△力AC绕点力逆时针旋转得到zvlOf,点。与点4对

应，点。恰好落在4C上，过E作"'〃力8交8C的延长线于点尸，连接8。并延长交"'于点G,连接CE交

BG于点、H.下列结论：①BD=DG；②CE=&D;③CH=EH；④FG=6EG.其中正确的有

)

A.4个B.3个C.2个D.1个

10.如图，在矩形46C。中，AD=y/2AB^/BAD的平分线交BC丁点E,DH1AE,垂足为〃，连结6〃

并延长，交CD于点F,连结DE交BF于点、O.下列结论：①DE平分NHDC；②BH=HF：

®AOLDE,@BC-CF=2HE-其中正确的结论有（）

11.如图，已知8。是矩形48。。的对角线，［8=6,BC=8,HE,尸分别在边力。，8。上，连结8E,

DF.将“4E沿3K翻折，将AOCT沿。"翻折，若翻折后，点A,C分别落在对角线40上的点G,〃处,

连结GF.则下列结论：①8。=10；②〃G=2；@EG//FH；@GF1BC,其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.在矩形48C。中，对角线/C、8。相交于点O,AE平分NBAD交BC于点、E,ZCAE=\5°,连接OE,

则下面的结论中正确的有（）

①△QOC是等边三角形；②△8。£是等腰三角形；③BC=®4B；④/4OE=135。；@S^OE=S^BOE.

A.①②③B.①②③④C.①②④D.①②③④⑤

考点03直角三角形斜边上的中线相关综合问题

13.如图，在等腰直角△4BC中，N/C3=90。，AC=BC,CFL4B于点”,点。，£分别在边力。,“。上,

连接OE,CE=AD,下列结论：①4B=2CF；②DF=EF；③NQEr=45。，其中正确的结论的个数

有（）

14.如图，在口［8c。中，对角线力C,8。相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,的

中点，连结环、FG、EG,EG交BD于点、N.以下结论：①反7二^8。；（2）AE±GF.③。平分

NBCD；@GN=NE.其中正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

15.如图，平行四边形/8CO中，对角线/1C、8。相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、

OD.的中点，下列结论：@BE1AC；②EG=EF；③4EFGe△GBE：④£;1平分NGE产；⑤

四边形A8G是菱形.其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

16.如图，在o/BCO中，对角线4C,8。交于点O,BD=2AD,点E,F,G分别是3,OB,CD的

中点，EG交FD于前H.有下列4个结论：①EDJ.C4；②EF=EG：③FH='D；

@&卬0=35久加，其中说法正确的有（）

D

A.①②③B.①③④C.②④D.①②③④

17.如图，已知。中，AB=AC,N8ZC=90。，EPlPF,点P是8C中点，两边PE,所分别交

AB,4c于点、E,F,当/£所在△川?。内绕顶点尸旋转时（点£不与X,8重合），给出以下四个结论：

®AE=CF,②△£■;¥■是等腰直角三角形；③2加边切£"=Swc；®BE+CF=EF.正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

18.如图，在白△"C中，4%'=90。，点。是48的中点，延长CD至点£,使得NC4B=/B4E,过点

E作EF14B于点、F,G为CE的中点，给出结论：

①CZ）f"；

@BG=FGi

③四边形5G是平行四边形；

④NCE+/8G尸=180°.

其中说法正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点04正方形相关综合问题

19.如图，四边形48CO是正方形，点。为对角线力。的中点，E、尸分别是48、4。边上的点，且

NEOF=90。，BF与CE、4C分别交于点〃、G,。£与8。交于点/,有下列命题：①BFLCE；②

NOHC=45。；③OG=O/；④O，=；/C；®OE=()F-⑥CH-BH=6()H.其中正确的有

()

A.5个B.4个C.3个D.2个

20.如图，在正方形/BCD中，彳8=4,七为对角线4C上的一个动点（不与点4。重合），过点E作

于点/，EG_L8c于点G,连接OE,FG.给出下列结论：①DE=FG；②NFGB=NEDC；（3）DE=AE

时，四边形是正方形；④DE+/G的最小值为8.其中正确的结论有（）

21.如图，在正方形48CO中，尸是48上一动点（不与A、4重合），对角线彳C、8力相交于点O,过点Q

分别作力。、80的垂线，分别交4。、BD于点E、F,交AD、8C于点M、N,下列结论：

①△APEgA/IME；②PM+PN=AC；③PE，+PF'=PO2;0）4POF在丛BNF；⑤当P是的中点

时，△PWN是等腰直角三角形.其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

22.如图，在正方形的对角线力。上取一点E,使得NCQE=15。，连接此并延长到凡使

CF=CDf8”与相交于点〃，有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF、③/AED=NDEH；

④NHFC=NEDC,则其中正确的结论有（）

D

A.1个B.2个C.3个D.4个

23.如图.在正方形48。）中，。是力夕上一动点（不与A、4重合）.对角线/。、相交于点。，过点?

分别作47、W）的垂线，分别交/。、BD于点E、尸，交AD、BC于悬M、N,下列结论：

①2APE9AAME；②PM+PN=AC；（3）PE2+PF1=PO1;④△尸。尸0△8N尸；⑤当夕是力4的中点

时，APMNWAAMP.其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

24.在正方形"CQ中，AB=2亚,£是对角线力C上的一动点，连接8E,作火_L8K交直线0c于点兄

以EF,BE为边作平行四边形,G尸与彳。相交于点H,连接CG.下列结论正确的是：①四边形E8G产

是正方形：②CG+CE=2BE：③正方形E8G”的面积最小侑是4：④当CG=g石/时，

"EC=225。.其中结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

、考点05菱形相关最值问题

25.如图，在菱形48。。中，48C=60。，48=4,连接8。，点尸是8。上的一个动点，连接4，PC,

则PA+PB+PC的最小值是.

26.如图，在菱形力比。中，AB=AC=6,对角线/4C、4。相交于点0,点加在线段力C上，且4"=1,

点P为线段8。上的一个动点，连接加尸，则+的最小值是.

27.如图，在菱形"CQ中，NB/D=60。,AB=2,0是力C上的动点，求8P+g4P的最小值

28.如图，菱形49C。的边长为2,ZD=60°,E为力。的中点，P为CE上一动点，则力。+4。的最

小值为.

29.如图，在菱形45C。中，ZJ=60°,AB=4,E是CD上一动点，连接8E,则8£的最小值为

30.如图，四边形处?CD是边长为8的菱形，44C=60。，M是对角线8。上的一个动点.

（1）若N是48边上一点，AN=2,连结力M,A/N,则+A/N的最小值为.

（2）变式：若N是//边上一个动点，连结力M,MN,则4M+MN的最小值为

考点06矩形相关最值问题

31.如图，矩形力4。。中，AB=6,BC=8,点、E在BC边（不包含端点）上运动，点尸在4Q边（包含端

G,〃分别为EF,3E的中点，则GH长度的最大值与最小值的差为.

32.在矩形中，AD=2,45=4,M为线段6。上一动点，必尸_LC。丁点〃，。丁点0,则线

段也的最小值为.

33.如图，在矩形48CO中，48=3,8C=4.点E在边力。上，且EO=3,M、N分别是边力从4C上的点,

且8M=4N=2,夕是线段CE上的动点，连接PM/N.

（1）当点P为£C的中点时，PM+PN=；

（2）PM+PN的最小值为.

34.如图，在矩形48co中，月8=2,8c=4,£是边8C上的一动点，产是对角线8。上的一动点，连接

DE,CF.

（1）若E,b分别是5C,8。的中点，则。石+。尸=

⑵若BE=DF,则。E+b*的最小值为.

D

35.如图，矩形力3C。中，/1B=2,力。=3,点七是边力。上的动点，点尸在边C。上，CF=DE.连接

AF.CE,则力尸+CE的最小值为.

36.如图，在矩形中，。。=2石，/D4c'=30。，。是边力。上一个动点，过点P作尸G_L4C,垂足

为G,连接8户，取5尸中点E,连接EG,则线段EG的最小值为.

考点07直角三角形斜边上的中线相关最值问题

37.如图，已知RS4CB丝RQOFE,.且NC=90。，AB=10,8C=8,点。、E分别在4C、力C上滑动.点

M是/出的中点，点N是。厂的中点，则MN的最小值是.

38.如图，ZU8C中，ZC=90°,"=8C,点。是边相的中点，点。是上的动点，过点。作

DEJ.AC,交.AC于点、E,作。b_L4C,交BC于点、F,连接），点G是小的中点，若力8=12.

（1）以7的最小值为;

（2）连接OG,当OG=O。时，EF长为

39.如图，在△力5c中，NC4B=90。，AC=S,AB=6,点P为平面内一动点，尸C=2,连接4尸，点。

是8P的中点，则线段力。的最小值为,最大值为

40.如图，在Rt△48c中，N/CB=90。，AC=2,BC=3,点D,E分别在边8C,4C上运动，F为DE

的中点，若BD=CE,则C/的长的最小值为.

41.如图，在△力8c中，/力8c=90。，AB=BC=2,。是8C边上的任意一点，连接力力，£是力。上一

点，连接8E,使得N1=N2,连接CE,则磁的最小值是.

42.如图，在Rt△力04中，乙4。8=90。,。/=