因式分解-2024华东师大版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

1L5因式分解华东师大版（2024）初中数学八年级上册同步练习

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.计算：1252-50x125+252=（）

A.100B.150C.10000D.22500

2.小强是一位密码编译爱好省，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b.x-y,x+y.a+b.x2-

V、。2一力2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将。2一丫2）小一。2一丫2»2因式分解,

结果呈现的密码信息可能是（）

A.我爱美B.中华游C.爱我中华D.美我中华

3.下列各式因式分解正确的是（）

A.（x+y）2=x2+2xy+y2B.%2—5x+6=x(x-5)+6

C.x2+2x-3=x（x+2-g）D.x2+6xy+9y2=(%+3y)2

4.将多项式一6a3庐一3a2b2+12砂匕3分解因式时，应提取的公因式是（）

A.-3a2/72B.-3abC.-3a2bD.-3a3b3

5.卜・列各式从左到右的变形，因式分解正确的是()

A.必一2a+1=a(a-2)+1B.a(6-1)+d-1=(a-l)(b-1)

C.a2-2a-8=(a-2)(a+4)D.ax+bx+ayby=(a+d)(x+y)

6.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.m(a+b)=ma+mbB.3x2—3x+1=3x(%—1)+1

C./+3%+2=(X+l)(x4-2)D.(a+2)2=a2+4a4-4

7.将多项式4/y-4xy2-/分解因式的结果是()

A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2

C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)

8.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如Q+8+C就是完全

对称式(代数式中。换成b,b换成a,代数式保持不变).下列三个代数式：①(a-b)2；(2)ab+be+ca；

@\a-b\+\b-c\+\c-a\,其中是完全对称式的是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.a(a4-1)=a2+aB.(a+l)(a—1)=a2—1

C.a2—2a+1=(a—l)2D.(a+l)(a-2)=a2—a—2

10.已知a=2024%+2021,b=2024x+2022,c=2024x+2023,则a?+炉+/一帅一以一be的值

是

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

11.已知实数m满足血2—血一1=0,则2n?-3m2-m+9的值为.

12.因式分解：Q2(Q-匕)-4(。-/))=.

13.因式分解：a/??-2ab+a=.

14./+6严+6%+1因式分解后，一个因式为4+1,则另一个因式是________.

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题8分)

已知a是整数，试说明：。2+。一定能被2整除.

16.(本小题8分)

阅读：分解因式/+2%一3.

解：原式=x2+2x+l—1—3

=(x24-2x+1)-4

=(x+I)2-4

=(%+1+2)(x+1-2)

=(x+3)(x-l)

此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方

法”，此题为用配方法分解因式.

请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：

分解因式：

(l)4a2+4a-15：

(2)2a2+4Q—6.

17.(本小题8分)

已知Q、b为整数，％3+。/+匕工+8可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为工+1和x+2,

求a+b的值.(待定系数法)

18.(本小题8分)

分解因式：

(l)25(7n+n)2-9(m—n)2；

(2)4a2—b2—4a+1.

19.(本小题8分)

阅读材料：把代数式/-6%-7因式分解，可以如下分解：

X2-6X-7=X2-6X+9-9-7

=(x-3)2-16

=(x-3+4)(%-3-4)

=(x+l)(x-7)

(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式32—8%+7因式分解:

(2)拓展：若代数式/-8%+7=0,则％的俏二.

20.(本小题8分)

已知实数a,m,"满足7n(m+a)="(九+1).

(1)若a=l,求m,n的数量关系；

(2)若m,n为正整数，则a的值能否等于3?请说明理由.

【解析】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下：

Aa2-2a+l=a(a-2)+l,不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；不符合题意；

B.a(b-1)+b-1=(a+l)(b-1)H(a-1)(6-1),所以因式分解错误，不符合题意：

C/_2a-8=(a+2)(a-4)工(a-2)(。+4),所以因式分解错误，不符合题意；

D.ax+bx-Vay+by=(a+b)(x+y)从左到右的变形属于因式分解，符合题意.

故选：D.

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可.

本题考查了因式分解的定义，熟练掌握该知识点是关键.

6.【答案】C

【解析】【分析】根据多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可.

【详解】解.：力、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

B、不是积的形式，不是因式分解，故本诜项不符合撅意：

C、是因式分解，故本选项符合题意；

。、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：4x2y-4xy2-x3

=-x(x2-4xy+4y2)

=-x(x-2y)2,

故选:B.

本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.

先提公因式-％,再运用完全平方公式进行分解即可得到答案.

8.【答案】D

【解析】解:①因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2,故①是完全对称式;

②因为8aac+cb=ab+ac-I-be=ab+be+CQ,故②是完全对称式；

③|a-b\+\b-c\+\c-a|中a换成b,b换成a得|b-a\+\a-c\+\c-b\=\a-b\+\c-a\+\b-c\,

故③是完全对称式；

是完全对称式的有①②③.

故选：D.

把各代数式中a换成b，b换成a,整理得到①(匕-a)2；(2)ba+ac+cb=ab+ac+be；@|ZJ-a\+\a-

c|十|c—〃，然后根据完全对称式的定义进行判断.

本题考查了绝对值，比较代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形，然后计算，最后利用整体思想

进行比较是解题关键.

9.【答案】C

【解析】解：/、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；

B、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；

C、将多项式式分解成几个整式积的形式，属于因式分解，满足题意；

。、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；

故选：C.

根据因式分解的定义逐项分析判断即可.

本颍考杳了因式分解的意义，熟练掌樨因式分解的定义是关键.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了因式分解的应用，关键是将多项式配成完全平方形式.

先求出a-b=-l,b-c=-1,a-c=-2,然后把多项式a?+川+一一儿一ac分解成;[(a-

b)2+(Q_c)2+Q_C)2],再代入计算即可.

【解答】

解：由题意可得：a—b=-1,b—c=-1,a—c=-2,

va2+b2+c2-ab-be-ac

1

=](2a2+2b2+2c2—2ab—2ac—2bc)

=；[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2],

1

=5x(l+4+1)

=3

11.【答案】8

[解析]解：m?一小一1二0,二Hi?-m=1,

•••2m3-37n2一根+9=(2?n3-2m2)-m2-m+9

=2m(?n2-m)-m2-m+9=2m-m2-m+9=-m2+m+9=-(m2-m)+9=-14-9=8.

12.【答案】(a-b)(a-2)(a+2)

【解析】解：a2(a-b)-4(a—b')

=(a—b)(a2—4)

=(a-b)(a-2)(a+2),

故答案为：(a-b)(a-2)(a+2).

先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可.

本题考杳的是因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式法进行因式分解是解题的关键.

13.【答案】a(b-I)2

【解析】【分析】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

原式提取a,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】

解：原式=—2力+1)=a(b—1产.

14.【答案】解：/+5%+1.

【解析】【分析】

本题考查的是因式分解的应用有关知识，

设另一个因式为(M+bx+c),根据因式分解得/+6%2+6x+1=(%+l)(x2+bx+c),将等式的右边

整理可得：x3+(b+l)x24-(b+c)x+c,所以有b+1=6,b+c=6,c=1,解方程即可得出结论.

【解答】

设另一个因式为(/+bx+c),则/+6/+6%+1=(x4-1)(/+bx+c),

(x+l)(x2+bx+c)=+(6+l)x2+(b+c)x+c

••・b+l=6,b+c=6,c=1,

•••/7=5>c=1,

•••另一个因式为二十5人十1.

2

15.【答案】解：a+a=a(a+1),Q是整数，

•••4+Q是两个连续整数的乘积.

•••任意两个连续整数中，必有一个是偶数(即能被2整除)，

•••a2+a一定能被2整除.

【解析】略

16.【答案】(2a+5)(2。-3)；

2(Q+3)(Q-1)

【脩析】利用配方法整理式子得：

4a之+4a—15

=4a2+4tz+l-l-15

=(2a+l)2-16

=(2a+l)2-42

=(2Q+1+4)(2a+1-4)

=(2Q+5)(2Q-3)；

(2)先提取公因数2得：

2a之+4Q—6

=2(a2+2Q-3)

=2[(a2+2a+l)-3-l]

=2[(a+l)2-4]

=2(a4-1+2)(。+1—2)

=2(a+3)(a—1).

(1)先加上一个适当的数与多项式的前两项配成完全平方式，再利用平方差公式得结论.

(2)先把原式提取公因数2,再仿照题意得到2[(a+I)2-4],最后利用平方差公式分解因式即可.

本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键.

17.【答案】21.

【解析】解：设/+ax2+bx+8=(x+l)(x+2)•M(其中M为一次整式)，

由材料可知，x=-1,%=-2是方程，/+。X2+以+8=0的解，

,r-l+a-b+8=0

1-8+4a—2b+8=0

解硼二3

a+b=7+14=21.

根据材料，利用待定系数法求解即可.

本题考查了分解因式，熟练掌握待定系数法求解是解题的关键.

18.【答案】解：(l)25(m+n)2-9(m-n)2

=[5(m+n)]2—[3(m-n)]2

=[5(m+n)+3(m-n)][5(m+n)-3(m-n)]

=(5m+5n+3n-3n)(5m4-5n-3m+3n)

=(8zn+2n)(2m4-8n)

=4(4m+n)(m+4n)；

(2)4Q2-b2-4a+1

=(4a2—4a4-1)—d2

=(2a-l)2-b2

=(2a-1+b)(2a—1—b).

【解析】(1)先利用平方差公式，再提取公因式；

(2)先分组利用完全平方公式，再利用平方差公式.

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法及分组分解法是解决本题的关键.

19.【答案】(工一1)(工一7)：

1或7

【解析】(1)为2-8%+7

=A2-8x+16-16+7

=(x-4)2-9

=(%-4-3)(%-4+3)

=(%-7)(x-1)；

(2)x2-8x+7=0

(x-l)(x-7)=0,

x-1=。或x-7=0,

•••x=1或％=7,

故答案为：1或7.

(1)用配方法分解因式即可；

(2)用因式分解法解方程即可.

本题考查因式分解法-十字相乘法，关键是掌握十字相乘法分解因式的方法.

2().【答案】解：(1)当Q=1时，

m(m4-1)=n(n+1),

m2+m=n2+n,

m2—nz+m—n=O,

(m+n)(m—n)+(m—n)=0,

(m+n+l)(m—n)=0,

，nt-n=0或m+n+1=0,

•••rn=ri或m+n=—1：

(2)a的值不能等于3,理由如下:

假设a=3,

把a=3代入7n(m+a)=n(n+1)中，

•••ni(m+3)=n(n4-1),

展开得到：m2+3m=n2+n,

移顶可得：m2+3m