浙江省杭州市余杭市某中学2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题（含答案）

浙江省杭州市余杭市海亮教育集团2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题卷

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1.以下甲骨文中，是轴对称图形的是（）

2.小瑶想做一个三角形木框，现在她已经有两根长度分别为2cm和4cm的木条，那么她选择的第三根木棒长

可能是（）

A.11cmB.9cmC.7cmD.5cm

3.不等式无＞1的解集在数轴上表示正确的是（

B

'・3d9宣-a」d「十

D--2-1~6_12X

c--io

4.下列命题中，属于假命题的是（）

A.兀是有理数B.等腰三角形的两个底角相等

C.对顶角相等D.如果Q与b互为倒数，那么附=1

5.如图，△8==90。，Z.BAC=55°,贝iJ/BCO的度数为（）

A.90°B.80°C.70°D,60°

6.如图，小华书上的三角形被墨水弄污了一部分，他能在作业本上作一个完全一样的三角形，其根据为

A.SSSB.ASAC.SASD.AAS

7.学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元,

一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球,

则下列不等式中正确的是（）

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A.90x30+20%<3300B.90x30+20%<3300

C.20x30+90x<3300D.20x30+90x<3300

8.如图，在方格纸上，A,B是格点，网格中存在格点C使得△4BC是以々4BC为顶角的等腰三角形，这样

的格点C的个数为（）

B

A.4B.5C.6D.7

9.如图，在RCAABC中，4c=90。，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交48,AC于点M,N,再分

别以点M,N为圆心，大于;MN的长为半径画弧，两弧交于点P,射线4。交边BC于点D.以下说法中：

①48AD=4SD；②若CO=3,则点D至MB的距离为3；@S^ABD=2S^ACD,其中正确的个数为

（）

C.2D.3

10.如图，在A4BC中，Z.C=90°,AC=5,BC=12,线段OE的两个端点D,E分别在边和边BC所在

的直线上滑动，且OE=7,若点P,Q分别是的中点，则下列有关PQ说法正确的是（）

A.有最大值为13.5B.有最大值为13

C.有最小值为3.5D.有最小值为3

二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

11.命题“如果a+b=（）,那么a,b互为相反数”的逆命题为.

12.‘七与1的差大于b的2倍”用不等式表示为：.

13.如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数

第2页

14.如图，在△力8E和AOC/中，乙B=ZT,AB=DC,若要证明△48E三△OCR还需要添加一个条

件：.(写出一种即可)

AD

BFEC

15.已知等腰三角形的两边长为5和9,则该三角形的周长为.

16.若x>y,且(m-1)%>(m-l)y,则m的取值范围是.

17.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=3,BC=5,则△ABD的周长是,

18.如图，在的纸片中，ZC=90°,沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E

处，折痕为BO,AC=4,48=5,则4。的长为.

19.如图，在中，448c=90。，BC=6,乙4c8=30。，40平分4c48,点F为4c的中点，E是

AD上的动点，则FE+EC和的最小值是.

20.图①是一幅“吉朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理(/+廿二

c2).如图②，小明连结3E和肝后，得到阴影部分面积为18,则CG的长为.

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B

图①图②

三、解答题(本大题有5小题，共40分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)

21.解下列不等式(组)

(1)3%-1>%+1

(2)(2(%+2)<5

~I-2x<4

22.根据下列要求作图与求解：

(1)在方格图中画出△DEF,使其与△ABC关于直线，(图中虚线)轴对称；

(2)若每个小方格的边长为1,求△ABC的面积.

23.如图，在AABC中，40为4&4B的角平分线，E为力8上一点，且满足AC=AE.

(1)求证：AACD三△4£7)；

(2)若4c=110。,乙8=30。，求4EDB的大小.

24.八年级篮球赛中，4、B,C三班分在一组，争一个出线名额，此前A班对B班53：43;A班对C班

47：52,比赛规则规定：如果三队胜的场数相同，将按总得失分率(总得失分率二总得分/总矢分)的大小决

定名次，总得失分率最高者出线.(总失分指对手所得的分数和)

(1)求出A班的总得失分率;

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(2)当比赛还剩8秒，C班持球进攻且以50：57落后B班，此时A班已经在欢庆胜利了.

假定比赛结束，B班57分保持不变，C班最终得分为x.

①求出B班的总得失分率(用含x的代数式进行表示)；

②若最终A班出线，求x的取值范围.

25.在学习尺规作图的课堂上，早早完成任务的阿斌拿起手里的直尺和圆规在草稿纸上随意画了起来.

(1)阿斌按图示步骤，画「三个圆心在另外两个圆上且半径都相等的圆，发现将圆心连接起来后的△

A.三个角都相等的三角形是等边三角形

B.有两个角是60。的三角形是等边三角形

C.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形

D.三条边都相等的三角形是等边三角形

(2)发现等边三角形后，阿斌非常兴奋，他又按同样的方式画了两个圆，并且把一些交点都用直尺连接

了起来(如图).不过他发现，其中有两条线段(标粗的线段4E和4/)的长度与等边三角形的边长不一

(3)陷入亢奋状态的阿斌在水平方向上持续画圆，直到画到草稿纸边缘才停下.如图，阿斌发现图中的

圆心可以分成两层，于是他将某一个圆心在水平方向上的序号a与对应的层数b组成了一个有序数对

(a,b).例如点A是第1个点，位于第1层，因此可以用(1,1)表示；点B是第2个点，位于笫1层，因此可

以用(2,1)表示；点C可以用(1,2)表示等等……

如果他画的图中，点N可以表示为(m+1,2),且每个圆的半径为2,求点A到点N的距离(用含m的代

(4)停下作图的阿斌陷入了沉思.在刚才的作图与计算中，也发现刚才的计算方式可以推广到更多层圆

形成的图形中.若在推广后的图形中，圆心P可以用(x,y)表示，圆心Q可以用。•十?n,y+n)表示.在圆半径

为2的前提下，请直接写出P,Q两点间距离的表达式(用含m和n的代数式表示).

第6页

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，符合题意，正确B.不是轴对称图形，不符合题意，错误

C.不是轴对称图形，不符合题意，错误

D.不是轴对称图形，不符合题意，错误

故选:A.

【分析】本题考查的是轴对称图形的概念：指一个平面图形，如果它沿一条直线（称为对称轴）折叠后，

直线两旁的部分能够完全重合。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：设第三根木棒长为xcm,

由三角形的三边关系：两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边，

可知：4-2<x<4+2,即2VxV6，

在选项里ABCD中，只有D符合题意

故选：D.

【分析】本题考查的是三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：%>1在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，

因此，综合各选项，只有C选项符合；

故答案为：C.

【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空

心点）分析求解即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：A、4是无限不循环小数，属于无理数，该命题是假命题，符合题意；

B、等腰三角形的两个底角相等，该命题是真命题，不符合题意；

C、对顶角相等，该命题是真命题，不符合题意；

D、如果a与b互为倒数，那么M=该命题是真命题，不符合题意；

故选：A.

【分析】本题考命题与定理的定义，有理数和无理数的定义，等腰三角形的性质，对顶角的性质以及倒数的

概念，根据以上概念进行分析判断真假命题.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：♦:乙B=90。,断4。=55°,

・・・44。8=90。-55。=35。,

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:△ABC三△AOC,

：.^ACD=乙ACS=35°,

•"BCD=2/-ACB=70°,

故选：C.

【分析】根据在直角三角形中两个锐角互余求出44cB=35。，由全等三角形的性质，对应角相等推出

Z.ACD=Z.ACB=35°,进而可求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：根据图形，三角形的两角和它们的夹边是完整的，

所以可以利用“角边角''定理作出完全一样的三角形.

故答案为：B.

【分析】由图可知：被墨水弄污了一部分的三角形有两角和它们的夹边是完整的，根据全等三角形的判定

定理“ASA”即可画出一样的三角形.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：根据题意得，经费3300中，羽毛球拍花费买了90x30,其余全部都买羽毛球盒，这样

就能求出能购买最多羽毛球盒，由此可以求出不等式90X30+20%<3300.

故选:B.

【分析】

本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意，找出等量关系，在经费为定值的情况下，花费羽毛

球拍90x30=2700（元）其余全部都买羽毛球盒，即可求出最多羽毛球盒.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，这样的格点C的个数为5个，

c4.......G

C,c2

故选:B.

【分析】本题考查等腰三角形的判定，有两边相等的三角形是等腰三角形.利用圆规，以B点为圆心，AB

的长为半径即可画出所有的点.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：由作图过程可知，40为NB4C的平分线，

：-£.BAD=^CAD,

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故结论①正确；

•JA。为乙3AC的平分线，ZC=90°,

根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等

・••点D至MB的距离等于CD=3,

故结论②正确；

根据已知条件无法得出48=2AC,

即无法得到=2s4口，

故结论③不正确.

综上所述，正确的个数为2.

故选：C.

【分析】本题考查角平分线的尺规作图、角平分线的性质，由作图过程可知，4。为々B4C的平分线，可得

^BAD=^CAD;由角平分线的性质可得点D至必B的距离等于CD=3；根据已知条件无法得出50血=

2sMe。，即可得出答案•

10.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，连接CQ、CP,

在△力BC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,

•-AB=yjAC24-BC2=13，

•・・OE=7,点Q、P分别是DE、48的中点，

:・CQ=gDE=3.5,CP=\AB=6.5,

乙乙

•・・在△CQP中，两边之差小于第三边，QP>CP-CQ

・••当C、Q、P在同一直线上时，PQ取最小值，

・・・PQ的最小值为：6.5-3.5=3,

故选：D.

【分析】连接CQ、CP,根据勾股定理得到C8=VAC2+BC?=13,根据直角三角形的斜边上的中线的性质

得到CQ=£OE=3.5,CP=$AB=6.5,在△CQP中，两边之差小于第三边，QP>CP-CQ,当C、Q、P在

同一直线上时，PQ取最小值，于是得到结论.

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11.【答案】如果a,b互为相反数，那么a+b=O

【解析】【解答】逆命题为：如果a,b互为相反数，那么a+b=O.

故答案为：如果a,b互为相反数，那么a+b=O.

【分析】命题有题设和结论两部分外成，如果后面是题设，那么后面是结论，逆命题就是将原命题的题设和

结论互换即可.

12.【答案】Q-1>26

【解析】【解答】解：根据题意，得Q-1>2b.

故答案为：Q—1>2b.

【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住题目中“大于”的关键词.即可列出关于a的

一元一次不等式Q—1>2反

13.【答案】1

【解析】【解答】解：观察图形可知，我们只需I根木条，即对角线，就可达到不变形的目的.

综上可得，要使四边形木架不变形，至少要钉1根木条.

故答案为：1.

【分析】在平面图形中，三角形是最稳定的图形，也就是说，只要把任何一个多边形分割成若干个三角形，

这个多边形就是稳定的，据此只要添加的木条将四边形分成最少数目的三角形时，所需木条的数量即为最少.

14.【答案】BE=CF（答案不唯一）

【解析】【解答】证明:在△4BE和2DCF中，

AB=DC

Z.B=zC»

BE=CF

:・〉ABE任DCF（SAS'）,

；・要证明△力BE三△OCF,还需要添加一个条件：BE=CF（答案不唯一）.

故答案为：BE=CF（答案不唯一）.

【分析】本题考查全等三角形的判定，由题可得此题全等三角形的判定方法只能用：S4S,力弘，4AS,添

加任意一个角都可以，但是添加边为BE二FC,

15.【答案】19或23

【解析】【解答】解：等腰三角形的两边长为5和9,

当腰长是5时，5+5>9,符合题意，

此时周长为：5+5+9=19：

当腰长是9时，9+9>5,符合题意,

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此时周长为9+9+5=23；

・•・该二角形的周长为19或23,

故答案为：19或23.

【分析】

本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，此题先考虑5与9谁为腰，谁为底边，再两边之和大

于第三边，两边只差小于第三边，来判断能否构成三角形，其中等腰三角形只需要两腰之和大于底边即可.

16.【答案】m>1

【解析】【解答】解：1.-x>y,且(m->(m-l)y»

m-1>0,

­•m>

故答案为：m>1.

【分析】不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不改变，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求

解即可.

17.【答案】8

【解析】【解答】解：:DE是AC的垂直平分线，

/.AD=CD,

.\BC=BD+CD=BD+AD

・•・△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BO8.

故答案为：8.

【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到AD=CD,从而根据三角形周长计算方法、等

量代换及线段和差可将^ABD的周长转化为AB+BC,最后代值计算可得答案.

18.【答案】|

【解析】【解答】解：Vzc=90。,AC=4,AB=5,

:・BC=7AB2—AC2=V52-42=3,

由折叠可得：CD=DE,Z-AED=乙BED=Z.C=90°,BE=CB=3,

：.AE=AB-BE=2,

设CD=DE=xf则4D=AC-CD=4-x,

在直角三角形4DE中,AD2=AE2^DE2,

A(4-x)2=22+X2F

解得:%=I，

•/八，35

•*AD=4-5=5，

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5

-

故答案为:2

【分析】在RQABC中，先利用勾股定理求出=3,根据折叠的性质求出CO=0E,^AED=zC=

90°,BE=CB=3,设OD=DE=x,^\AD=AC-CD=4-x,在Rt^ADE中，根据勾股定理建立方

程，求解得出x,进而根据AD=AC-CD可算出答案.

19.【答案】6

【解析】【解答】解：•••在RtaABC中，4/BC=90。,44cB=30。，

•・•点F为4c的中点，

1

..AF=^AC,

：.AB=AF,

MO平分皿B,

，点B,点F关于力。轴对称，

如图，连接8E,

A

BDC

•・•点B,点F关于AO轴对称，

:.BE=FE,

:・FE+EC=BE+ECNBC,

AFE+EC和的最小值是8c的长，

：.BC=6,

.JE+EC和的最小值是6,

故答案为：6.

【分析】根据含30。角直角三角形的性质得出/8=劣/C,结合中点定义可推出AB=AF,再结合角平分线定

义及轴对称性质可得点B,点F关于AD轴对称，则BE=EF,由等量代换及三角形三边关系推出FE+EC和

的最小值是BC的长，从而得出答案.

20.【答案】6

【解析】【解答】解：如图，连接4E,

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B

2

由题意和图形可知：S△办8S正方形488=:房'S„AEF=jEFDE=^a,

'S阴影=S^EAB+SMEF=+前2=i(a24-b2)=^c2,

;阴影部分面积为18,

**»ic2=18,

乙

解得，c=±6,

・・・c为正数，

'•c=6,

：.CG=6.

故答案为：6.

【分析】连接AE,由平行线间的距离处处相等及三角形面积计算公式可得到S.EAB

合勾股定理，可得到S阴影=S△取B+S“E/=；C2,再根据阴影部分面积为18,可得到关于字母c的方程,

求解得出c的长，从而得到答案.

21.【答案】（1）解：3x-l>x+l,

3x-x>1+1,

2x>2,

%>1；

2(x+2)<5①

(2)解:

-2x<4@

由①可得：%

由②可得：%>-2,

・,・不等式组的解集为一2<x

【解析】【分析】（1）利用解小等式的步骤：移项、合并同类项，系数化为1即可得出小等式的解集;

（2）利用解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小

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小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.

（1）3x-1>x+1,

3%—%>14-1,

2%>2,

x>1；

0）（2（x+2）<5®

（2）（-2x<4@，

由①可得：x<|，

由②可得：%>-2,

・•・不等式组的解集为一2Vx

（2）解：△480的面积为=鼻（2+3）*5—另1*3—鼻4乂2=学一,一4=7.

【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于直线1的对称点D、E、

F,再顺次连接D、E、F三点可得所求的ADEF；

（2）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接直角梯形的面积减去周围两个直角三角形的面积，列式计

算即可求^ABC的面积.

（1）解:如图，ZkDEF即为所求.

(2)A48c的面积为=1x(2+3)x5-ixlx3-ix4x2=^-5-4=7.

23.【答案】（1）证明：・・・力。为4c48的角平分线,

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:.Z.CAD=Z.EAD,

在△力CO和△AEO中，

AC=AE

Z.CAD=乙EAD,

AD=AD

ACD三△4E0(S4S)；

(2)解：解：\,^ACD^LAED,Z.C=110°,

•••^AED=Z.C=110°,

•••Z.AED=ZF+乙EDB,乙B=30°,

••・ZEDB=ZAED-ZB=I1O°-3O°=8OO.

【解析】【分析】(1)由角平分线的性质得出乙CAD=4E4D,从而可用S4S证明△40三

(2)由全等三角形的对应角相等得出4/1£。=乙。=110。，再根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的

两个内角的和得出NEDB二NAED-/B可算出答案.

(1)证明：・・・40为4&48的角平分线，

•••Z.CAD=Z.EADy

在△4C0和△AEO中，

AC=AE

乙CAD=4EAD,

AD=AD

ACD三△AEO(S砌

(2)解：:AACO三△4ED/C=110。，

:.^AED=Z.C=110°,

,:Z.AED=+乙EDB,乙B=30°,

乙EDB=80°.

24•【答案】⑴解：A班总得失分率=||修=嘿=符

(2)解：①B班总得失分率=得学二要；

②C班总得失分率=焉第=喘,

1/IO/Av1

由题易知x之50,

，53+x>103>95,

・•・A班总得失分率大于B班总得失分率，

•；A班出线，

・•・A班总得失分率大于C班总得失分率，

・20_100、无+52

,-19=-95->^04-，

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敕而舛1040095x+4940

整理得'95SC1O4>95X104

A95%+4940<10400,

解得，x<57白，

♦.♦x为整数，

/.50<x<57,且x为整数.

【解析】【分析】（1）直接根据总得失分率公式代入计算即可；

（2）①直接根据总得失分率公式代入计算即可；

②先根据总得失分率公式表示出C班总得失分率，由“最终A班出线”可得A班总得失分率大于B班总得

失分率，A班总得失分率大于C班总得失分率，据此建立关于x的不等式求解即可.

⑴解：A班总得失分率二1|接=黑=符

（2）解：①B班总得失分率=要"=给；

②C班总得失分率=高兽=需，

由题易知x>50,

/.53+x>103>95,

・•・A班总得失分率大于B班总得失分率,

・・・A班出线,

・•・A班总得失分率大于C班总得失分率,

.20_100、x+S2

*,19--95->_104-

蚣理得1040095x+4940

/"倚'95x104>95x104

A95%+4940<10400,

解得，XV57小

・・・x为整数,

/.50<57,且x为整数.

25•【答案】（1）D

（2）273,2位

（3）解：如图，过A作4MJ.CN于点M,

由题易知CN=2m,

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••・MN=CM+CN=2m+l,

•'•AN=>JAM24-MN2=J3+（2m+1，=2Vm24-m4-1:

（4）解：PQ=yj7n2+4n4-1

【解析】【解答】（1）解：由题易得AC=A8=8C,

•••△ABC是等边三角形，

故答案为：D；

（2）解：如图，由题易知△ABC、ABCE、ABED、△EFD均为等边三角形,且边长均为2,过A作AMJL

CE于点M,

ABD

'：/-ACB=乙BCE=60°,

：./.ACM=60%

：./-MAC=30°,

*：AC=2