数列求和（讲义）-2026年高考数学一轮复习解析版

专题6.5数列求和（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1公式法求和】..................................................................................3

【题型2错位相减法求和】.............................................................................5

【题型3裂项相消法求和】.............................................................................8

【题型4分组（并项）法求和】........................................................................11

【题型5倒序相加法求和】.............................................................................14

【题型6含有（-1）”的类型求和】.....................................................................17

【题型7奇偶项问题讨论求和】........................................................................20

【题型8先放缩再裂项求和】..........................................................................24

【题型9新定义、新情景下的数列求和】..............................................................28

1、数列求和

考点要求真题统计考情分析

数列求和是高考的重点、热点内容，

2023年新高考I卷：第20题，12分

命题形式多种多样，大小均有，属于高考

2023年新高考H卷：第18题，12分

的必考内容之一.从近几年的高考情况来

2023年全国甲卷（理数）：第17题，

看，数列求和在选择、填空题中考查较少，

12分

（1）熟练掌握等差、等比难度不大；数列求和往往以解答题的形式

2024年新高考II卷：第12题，5分

数列的前〃项和公式考查，难度中等或稍难，往往在解决数列

2024年全国甲卷（文数）：第17题，

（2）掌握非等差数列、非基本问题后考查数列求和，数列求和问题

12分

等比数列求和的几种常有时会与不等式、函数、导数等问题综合，

2024年全国甲卷（理数）：第18题，

用方法此时难度较大，数列求和方法多种多样，

12分

需要灵活求解.

2025年全国一卷：第16题，15分

近年高考压轴题中出现数列的新定

2025年全国二卷：第7题，5分

义、新情景题，综合性强，荒度大，需要

2025年天津卷：第19题，15分

灵活求解.

知识梳理

知识点1数列求和的几种常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.

①等差数列的前〃项和公式：

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n(n-\)

S“=---------=na{+------------d.

②等比数列的前〃项和公式：

〃0,g=i

{i-q-q

2,分组求和法与并项求和法

(1)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后

相加减.

(2)并项求和法

一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如%=(-1)"/(〃)类型，可兴用两项合并

求解.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前〃项和即

可用此法来求，如等比数列的前八项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可■以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项技巧：

⑴〃(〃+1)-〃〃+1,

⑵―!_=

+2)-2*〃+21

⑶(2/?-1)(2n+1)=2(2//-1-2/74-1),

(5)______!_______=!______________!________

+1)(〃+2)2]〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)「

5.倒序相加法

如果一个数列{小}的前〃项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的

前〃项和即可用倒序相加法求解.

知识点2特殊数列求和

1.奇偶项讨论求和

通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：c”=4产鬻常.

[儿，〃为仙数

角度1：求c"={J；"'的前2〃项和4；

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角度2：求°"=jj'〃为偶数的前〃项和

2.通项含有(・1)"的数列求和

通项含有(・1)"的类型;例如：cn=(-1)X.

【方法技巧与总结】

常用求和公式：

⑴1+2+3+4+…+〃=

(2)1+3+5+7+-+(2〃-1)=/.

(3)12+22+32+…+〃2="〃+乎+1)

(4)13+23+3，+•••+/=〃(丁).

举一反三

【题型1公式法求和】

【例1】（2025•全国二卷•高考真题）记S”为等差数列｛时｝的前〃项和,若53=6,55=—5,则§6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【解题思路】由等差数列前〃项和公式结合题意列出关于首项力和公差d的方程求出首项的和公差d,再由

等差数列前〃项和公式即可计算求解.

【解答过程】设等差数列｛%｝的公差为"，则由题可得［5J+lod=-5=］；=1：，

所以56=6al+15d=6x54-15x（-3）=—15.

故选：B.

【变式1-1］（2025•黑龙江吉林•模拟预测）等比数列｛4｝的前ri项和为Sn,且%+/=%取+。4=8,则S5=

（）

A.B.20C.号D.当

【答案】C

【解题思路】设等比数列｛斯｝的公比为q,根据已知条件可得出关于由、q的方程组，解出这两个量的值，结

合等比数列的求和公式可求得S5的值.

【解答过程】设等比数列｛斯｝的公比为q,则,解得卜

（。2+。4=。19（1+0‘）=8（q=2

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因此,$5=暗=簪审

故选：C.

【变式1-2】(2025・河北•模拟预测)等比数列｛即｝的公比为2,且满足由2—。2=8,则｛%｝的前10项和为

()

A.4B.32C.84D.128

【答案】A

【解题思路】根据等比数列通项基本量的关系，结合前几项和公式求解即可.

【解答过程】因为数列｛即｝为等比数列，公比为2.

由52—。2=8得力•211—2al=8,则%•210—%=4,

所以｛册｝的前10项和为“式二：°)=%•210一%=4.

故选：A.

【变式1-3](2025•山东泰安・模拟预测)已知等差数列｛QJ的公差为2,a2,%，。6成等比数列，则｛%｝的

前K项和为()

A.n(n—2)B.n(n—1)C.n2—2D.n(n4-1)

【答案】A

【解题思路】根据等差数列的通项公式表示出。2,。3,即，再结合等比中项的性质列出关于首项内的方程,

求出首项最后根据等差数列的前八项和公式求出｛即｝的前八项和.

【解答过程】设等差数列｛%｝的首项为小，公差为d=2,

可得。2=%+d=%+2,。3=+2d=%+4,a6=%+5d=%+10.

因为。2,。3,。6成等比数列，

所以砥=a2a6,即(%+4>=(a1+2)(由+10).

展开等式左边可得(4+4)2=Q；+8al+16,展开等式右边可得(即+2)(QI+10)=域+12al+20.

贝ija：+8Q1+16=aj+12QI+20,

可得-4al=4,解得a1=—1.

根据等差数列的前几项和公式，将为=-1,d=2代入可得：

22

Sn=—n+，x2=—n+n(n-1)=n—n—n=n—2n=n(n—2).

｛Q,J的前几项和为九(n-2).

故选：A.

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【题型2错位相减法求和】

【例2】（2025•云南昭通•模拟预测）已知数列｛%｝是等差数列,且%=2%+1,数列协」的前n项和为Tn,

且7n=2"-1,a2=2b2-l.

⑴求｛斯｝和｛%｝的通项公式:

（2）求数列｛"的前几项和Qn.

【答案】（1）即=2九一1,0=2。-1

（2）Qn=（-2n-3）G）+6

【解题思路】（1）利用力可求数列｛九｝的通项公式，利用等差数列通项公式、可求得

Un1n-1/

%,*即可求得｛即｝的通项公式；

（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和即可.

【解答过程】（1）由数列｛九｝的前n项和为7\二2兀-1,可知&=7\=1,

nn1

bn=Tn-7\_i=(2-1)-(2--1)=2"-1(九>2,nGN),

经检验当九=1时，瓦=1也满足上式，所以刈=2"T.

在等差数列｛%｝中，因为。2=2/92-1=2X2-1=3,a2n=2an+1,

所叫％+(2n-l)d=2[a^+(n-l)d]+1,解得｛胃匚2,

月不以a4=a1+(八一l)d=2n—1.

(2)由⑴知，患=留二(2n—l)O'i,

所以Qn=1xQ)°+3x+5x(I)2+…+(2n-3)(旷,十(2”1)(旷:

则也=1x(3’+3x(02+5xUY+...+(2n-3*)1+(2n-1)(0\

两式相减，得

2\2///l\n/l\n-2,zl\

=1+2・—J-(2n-1)(-)=3-(-)-(2n-1)｛-)

1-2

化简得：Qn=(-2n-3)G)'I+6.

【变式2-1］（2025•海南•模拟预测）已知数列｛斯｝的前n项和Sn=13n—n2,数列｛九｝是首项为一2的等比数

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列，且有的+%=0.

（1）求数歹U｛册｝，｛aJ的通项公式;

（2）设％=册.bn求数列｛|cn|｝的前n项和7\.

【答案】⑴0ra=-2n+14,以=（一2尸或以=一2兀

(8-n)-2M+2-32,n<7

⑵〃=(n-8)-2n+24-992,n>81J

【解题思路】（1）根据斯与品的关系即可求解｛%｝,进而可求外，进而可求公比，进而得到｛%｝；

（2）利用错位相减法求解即可.

（解答过程]（1）九=1时，Si=ai=12,

九22时一Sn-i=13n—?t2—13(n—1)+(?i—l)2=-2n4-14,

n=1时符合上式，，册=—2n+14.

2n

b3=-a3=—8,.*./?!Q=b3=-8>q=±2,；也=(一2)"或8n=-2.

(-2n+14)-2n,n<7

(2)\c\=

n(2n-14)-2n,n>8'

设dn=（-2九+14）•2%设其前71项和为D”,则

123n-1n

Dn=12x24-10X2+8X24--+(-2n+16)-2+(-2n+14)-2,①

234nn+l

2DR=12x2+10x2+8x2+-4-(2n+16)-2+(-2n4-14)-2,②

①-②得

34nn+1

D„=24-2(22+2+2+…+2)-(-2n+14)-2

=24-2x-(-2n+14)-2n+1=2n+2(n-8)+32,

・•・Dn=(8一九)・2"+2—32,

n+2

nW7时，Tn=Dn=(8-n)-2-32,

n+2

n>8时，Tn=D7-(Dn-O7)=2D7-Dn=(8-n)-2+992,

(8-n).2«+2-32,n<7

综上

Tn=5—8)•2-2+992,TiA8I).

2

【变式2-2]（2025•辽宁盘锦•三模）已知数列｛即｝的前n项和为又，其中。3=3,Sn=^n+An.

（1）求人的值以及数列｛即｝的通项公式;

（2）若匕=a5n-4,3"，求数列｛b,J的前几项和7\.

（答案】（1）入=g,an=n

⑵(L5

6/47

【解题思路】(1)由。3=$3-52=3可求得的勺值，可得出S〃的表达式，再利用斯=卜可求

9nMV，

得数列｛斯｝的通项公式：

(2)求得儿=(5n-4)x3n,利用错位相减法可求得7\.

【解答过程】(1)依题意，%=$3-$2=?+34—2—22=[+4=3,解得2=3，所以九.

2

当M工2时，an=Sn-Sn.｝=(、2+")—L(n-I)+1(n-l)]=n,

当?1=1时，Q]=Si=l,满足上式，

综上所述，an=n.

n

(2)依题意，bn=(5n-4)x3,

123n

故7n=1x34-6x3+11x3+-+(5n-4)x3,

故37\=1x32+6x33+…+(5n-9)x3n+(5n-4)x3n+1,

两式相减可得，-27\=1x314-5x32+5x33+•­•+5x3n-(5n-4)x3n+1

=5x31+5x32+5x33+-+5x3n-(5n-4)x3n+1-12

=.皆)—(5n-4)x3n+1-12=(y-15n)x3n-y,

则〃=怎n—F)x3”率

【变式2-3](2025・海南•模拟预测)已知各项均为正数的等差数列｛%｝的前n项和为S〃，(%+1)3"1+1)=

4(S“+n)(nEN)数列｛瓦J为等比数列,首项比=3,b2=a5.

(1)求数列｛册｝和｛九｝的通项公式；

(2)设q=an-bn,求数列｛金｝的前n项和7\.

【答案】(1)%=2九一l,bn=3"

n+1

(2)7n=3+5-1)•3

【解题思路】(1)根据数列通项公式与数列前八项和S”之间的关系，求出数列｛斯｝的公差，再根据九=1求

出首项，写出数列｛%｝通项公式，根据々=。5,求出公比，写出｛分｝通项公式.

(2)写出数列｛0｝的通项公式，根据错位相消法求出前71项和7\.

【解答过程】(1)由(即+1)(册+1+1)=4(Sn+71),当nN2时，(Qn.1+1)(册+1)=4(Sn-]+九-1),

相减得(册+1)3〃+1-册-1)=4(%+1)，

已知数列｛斯｝各项均为正数，即%+1工0,可化简得册+1—*=4,即数列｛%｝的公差d满足2d=4,解

得d=2,

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当n=l时，（cq+1）（%+2+1）=4（即+1）,解得力=1,则数列｛册｝通项公式为斯=2九一1,

可得的=2x5—1=9,则匕2=叼=9,

由数列｛公｝为等比数列可得匕2=&V=9，由名=3,求得q=3,

则数列｛九｝通项公式为以=3•3nT=3n.

(2)由(1)知%=2n-1也=3%则呢=%•%=(2九-1)，3n,

所以7\=Cl+C2+C3+…+。=1•31+3•32+5•33+…+(2九-1)•3",

贝lj37\=1•32+3•33+5•34+…+(2n-3)•3"+(2n-1)-3n+1,

作差的-27“=1•31+2•32+2•33+-+2-3n-(2n-1)-3n+1=2(31+32+33+…+3”)-3-

(2n-l)-3n+1,

化简得-27\=2至上P—3—(2n—1)•3n+1=-6-(2n-2)•3n+1,

1-3

解得7n=3+5-

【题型3裂项相消法求和】

【例3】(2025•四川成都・模拟预测)已知数列｛%｝的首项%=3,且满足%+i=2%-l(nGN)

(1)求证：数列｛%-1｝为等比数列；

(2)记以=log2(%—l),数歹“六｝的前〃项和Sn，证明：S“<1.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解题思路】(1)由等比数列的定义即可求证；

(2)由裂项相消法求和，可求解得配=瓦+打+/+…+%=1-击，根据单调性，即可求证结论.

【解答过程】(1)由%+i=20n-l(neN*)得,an+1-1=2(%-1),(n€N)

乂4—1=2,

所以｛%-1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知，%—1=2x2”-1=23所以％=logzS,-1)=九，

所以‘一=」一=,

bnbn+\n(n+l);in+1

Sn=bi+bo+63+,,,+bn=1-[+：­；+,,,+工=1——<1.

n1z571223nn+1n+1

【变式3・1】(2025•辽宁鞍山•一模)设｛%｝是各项都为正数的递增数列，已知的=1且%满足关系式晨+】

2即+〔+ai-2an+l=2anan+1,neN+.

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(1)求。2，的及数列｛斯｝的通项公式;

____x^?+3____

(2)令%=，求数到｛4J的前71项和S”.

V«nan+7an+15n+9

2

【答案】(1)电=4,的=9,an=n

5n2+13n

*2^2n2+60n+72

【解题思路】(1)利用平方差公式，完全平方公式整理，结合各项都为正数的递增数列，利用等差数列的

定义证明出数列为等差数列;

(2)先得出4的通项公式，再利用裂项相消法进行求解.

［解答过程］(1)a„+1-20n-%+i+成一2(0n+i-即)+1=4%

=(%+1-%-1)2=4%

=册+i=册+2支I+1

2

=%+1=(行+1)

=y/an+l—V^n=1，=1

令。=何，则｛0｝为首项为1,公差为1的等差数列

cn=1+(n—1)=n

即、怎=九=a”="2；

。2=4,。3=9：

<2)%="7温计9

n+3

=(n+l)(n+3)2

1

(n+l)(n+3)

=;岛-+)

由累加法，得：5“=笑+卜+_京)=/次磊.

【变式3-2](2025•河南驻马店•模拟预测)已知数列｛即｝的前几项和为工,即工0,%=会S”=%Qn+].

(1)求｛%｝的通项公式：

(2)若瓦=1,且勾+1+垢=4或+1，求数列出“｝的通项公式；

(3)在(2)的条件下，若%=、一芈；[求｛ej的前几项和「八.

【答案】(1)0r,=：

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⑵夙=亨

on+l

⑶心=2-审

【解题思路】（1）由即与S”的关系仿写后作差，再由等差数列的性质可得；

（2）将已知等式变形为4+i+-=（HD：+2）+”再移项证明｛以一丝坐｝为常数列可得；

（3）由裂项相消法求和即可.

【解答过程】（1）由Sn=%%+1可得&-1=%-1%，n>2,

以上两式相减可得当-Sn_i=53计1一时-1），即时=%（即+】一时-1），

因为即H0,所以册+1-即_1=1，即。1，。3，的，…，。2"1是公差为1的等差数列，从而Q2k-1=；+（k—1）X

«2k-l

1=~f

由S]=aAa2=。2=1，所以。2，。4，。6,…,是公差为1的等差数列,从而a2A=1+（A-1）x1=A,

所以%=j.

22

（2）因为/?n+i+bn=4成+1=（九+l）,所以"+1+bn=（n+I）=空竽出十小罗,

2

SPtn+1-=（n+l）=-[bn-学],

因为瓦=1出一与=0,所以佃一”24为常数列，即以=""

（3）以="匕所以空=%篙

所以7“=停畛+仔-力•+（$常=2一鲁

【变式3-3]（2025•四川绵阳•模拟预5«）已知数列｛%｝的首项为2,前n项和为又，且Sn+i+2=%+3n+Sn.

（1）求数列｛即｝的通项公式；

（2）已知九二,：记数列｛bn｝的前ri项和为7\,求证：一/7\<一：.

oan-t-on-ZUZ5

【答案】（1）册二土产

（2）证明见解析

【解题思路】（1）根据即+i=Sn+i-S”可得册+i-%=3建-2,再结合累加法可得通项公式；

（2）利用裂项相消法可求和，再结合不等性质可得证.

[解答过程]⑴由已知Sn+i+2=册+3n+S”得即+i=S“+i-S”=册+3n—2,

即a“+ian=3n2,贝ija”a“_i=3n5,0nan_2=3n8,•••»a2ax=1,

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等式左右分别相加可得

zx,zc\।(3n-5+l)(n-l)3n2-7n+4-

%-Q1=(o3n-5P)4-(o3n-8)+…+1=---------=---'

r.i.i3n2-7n+4.3n2-7n+8

则册=—2—+%=—2—；

(2)依题意得，

bn=6%+6“-20=9n2-15n+4=(3n-4)(3n-l)=3(sn-4-3n-l)，

又f，所以七«o,小所以4=｛一e6卜热_》

即-拉G<-1.

【题型4分组(并项)法求和】

【例4】(24-25高二下•重庆・期末)数列｛%｝中,ax=-2,满足0n+1+3%=4n+1.

(1)证明:数列｛%-n｝为等比数列:

(2)求数列｛即｝的前〃项和又.

【答案】(1)证明见解析

6c_2n2+2n-3(-3)n+1

UN--4-

【解题思路】(1)由等比数列的定义即可证明：

(2)由题意册=九+(-3)”，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解.

【解答过程】(1)由即+i+3%=4几+1,得%+1-(几+1)=-3(即一九)，又%—1=-3,

所以｛即一〃｝是首项为由-1=一3,公比为一3的等比数列.

n-1nn

(2)由(1)得(0„-n=(-3)x(-3)=(-3),an=n+(-3).

所以S”=1+2+-+n+(-3)1+(—3)2+…+(-3)n

_(l+咖-3-[-3严1_zM+zn-3_(-3严]

―—2-1-(-3)-24—44—

【变式41](2025•河南•模拟预测)己知数列｛%｝和Sn｝满足4=2,02=5,瓦=2也=3,｛册+以｝是等比

数列，｛斯一是等差数列.

(1)求｛即+Q｝和｛%-Q｝的通项公式:

(2)求｛4｝和｛心｝的通项公式：

(3)求｛即｝的前n项和方.

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【答案】(1)册+%=2-i,an-bn=2n-2；

nn

(2)an=2+n—1,=2-n4-1；

(3)Sn=2n+1+1^21

【解题思路】（1）根据已知求｛斯+以｝、｛时-"｝的基本量，再由等比、等差数列的定义写出通项公式;

（2）由（1）所得通项公式求｛Q“｝司｛九｝的通项公式;

（3）应用分组求和，结合等差、等比数列的前〃项和公式求为.

【解答过程】(1)由%+儿=4,Q2+力2=8,%-=0,a2—=2,

因为｛册+b｝是等比数歹L

则公比为鬻=2,所以%+%=2m,

因为｛%—%｝是等差数歹。，

则公差为（。2-匕2）-（%-瓦）=2,所以%—8n=2n-2.

即+b=2"+i,

（2）由（1）得n

an-bn=2n-2'

On=2n+n-1

则

n

,bn=2-n+l,

(3)由(2)有Sn=(2i+22+…+2川)+(1+2+…+九)一"

2(1-2n)+n(n+1)

n

1-22

―2“+l+”tl4

【变式4・2】（2025,贵州黔东南•三模）已知等差数列｛斯｝的前〃项和为5„，等比数列出〃｝的首项为2,且牝+即=

10,S5=3a4»匕4一。5=353・

（I）求｛%｝,｛b）J的通项公式;

（2）设%=（-l）na+9求数列｛cj的前2n项的和以•

n%

［答案］⑴%=2n-3,b”=2n

(2)&n=2n+l-^

【解题思路】（1）根据等差数列通项公式和前〃项和的公式，求出公差,在求出等比数列公比，求出两个数列的通

项公式.

（2）采用分组求和的方式，分为两个部分，分别求和.

【解答过程】（1）设等差数列｛a,J公差为d,

12/47

根据题意得解得一:=,1,

(5%+10a=3al+9dId=2

所以an=-14-(n—1)x2=2n-3,

可知Os=7,S3=3,

设等比数列｛b｝的公比为q,带入得2q3_7=9,解得q=2,

可知b=2-2n4=2n.

(2)有第一问可知斯=2n-34=2",则7=(-l)n(2n-3)+/

T2n=C1+^2++c2n=(-1)^1+—+(-I)2%+员]+…+(-l)2，，a2n+

分组得T2n=[(-Ql+a2)+(-。3+。4)+…+(-。2“-1++('+^+…+氏)

计算(一%+做)+(一。3+。4)+…+(-«2n-l+«2n)=2凡

1111111

算

计+++-+++=1

河

声

百----

幻2

223

则72n=2n+1一沟.

【变式4-3](2025•陕西安康•模拟预测)已知等差数列｛%｝的前〃项和为且为=7,58=92.

(I)求数列｛%｝的通项公式以及

(2)记数歹耳上｝的前n项和为7\,求满足7\的九的最小值；

⑶若数列｛九｝满足：求数列｛b｝的前14项和.

【答案】(1)0n=3n—2；5“=若9

(2)8

(3)498

【解题思路】(1)求等差数列的基本量％,d即可求解；

⑵令“击=X热一高)，利用裂项相消法即可求解：

(3)由题意先求数列九，利用分组求和即可求解.

【解答过程】⑴设公差为d,所以卜的：：：篇=[=竹=2，

(S8=8al+28d=92Id=3

所以即=l+(n-l)x3=3n-2,S“=心广)=

(2)令4=—^―=--------=-(—----—\

n(3n-2)(3n+l)3\3n-23n+l/

13/47

所以Tn=q+C2+…+金=总-：+»畀…++_击=总一舟,

所以〃二乂1一看)解得n>7,所以满足7\>/勺〃的最小值为8；

(3)由题意有小二心勺/<„<<+]'^am=3m-2=n,

所以当n=l时、m=1,所以瓦=1,

当3m—2V几V3m+1,m=l时，1<n<4,所以打=九二3,

当T=2时，7九=4,所以%=2,当m=2时，4<n<7,所以氏=2?6=32,

35

同理得勿=3,%=")=3,比0=4也1=bl2=3<力丁=5,%=3,

设数列的“｝的前几项和为4“，

所以414=瓦+%卡+d4=1+3+3+2+32+…+3，

=(1+2+3+4+5)+2x(3+32+33+34)+35=15+2X4-35=498,

1-3

所以数列｛%｝的前14项和为498.

【题型5倒序相加法求和】

【例5】（24-25高二上•全国,课后作业）已知数列｛%｝中，斯=/二荷，则S=%+。2+…+佝7+。98=（）

A.96B.97C.98D.99

【答案】C

【解题思路】利用倒叙相加法求和即可.

【解答过程】S=+02+…+%7+098=]+,+…+眨+^©，

S=。98+。97+…+。2+=^+黄+…+葭+，

0野加=得+*T.+偿+*..+£+蜘

=（/方96+方98\）+（/诟94+着96\+…+/（运96+话94\）+（/赤98+马96\

=2+2+…+2+2=98x2,

所以S=98.

故选：C.

【变式5-1】（2025•四川成都・模拟预测）已知/（%）二炉一3/，则/）+/（嘉）+…+/（黑）=（）

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8094

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【答案】D

【解题思路】先得到/（%）+/（2-乃=-4,然后利用倒序相加来求和即可.

【解答过程】/（I-％）+/（I+x）=（1-x）3-3（1-1）2+（1+r）3-3（1+X）2=-4,

RP/（x）+f（2-x）=-4

设M=f（短）+f（虑）+…+，（黑）+f（翳）①，

则M=f（翳）+f能）+…+，（岛）+f（总②

◎②得2加=［/岛）+f（黑）］+［/隔）+f（黑）］+…+［f（黑）+f隐）］+［，（翳）+，（总〕

=-4x4045,

所以M=-8090,

又/（翳）="2）=8-12=-4,

所以/岛）+，（急）+…+，（翳）-8。9。-4=-8094.

故选：D.

【变式5-2】（2024・上海•模拟预测）已知/Xx）2+1x,数列｛斯｝的前n项和为S“，点（n,Sn）（ncN）均

在函数、=/（%）的图象上.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若g（%）=*，令以=。（最）5EN）求数列｛九｝的前2024项和T2024.

【答案】（1）%=九

（2）1012

【解题思路】⑴由题意得5“=那+",再利用时=［可求出％,

（2）先求得g（x）+g（l-x）=1,bn=g（^）（nGN）然后利用倒序相加法可求得结果.

【解答过程】（1）因为点（几5八）（八£2）均在函数“幻=^X2+^x的图象上，

所以Sn+gn,

当九=1时，Si=g+g=l,即Q］=1,

2

当71之2时，an=Sn-Sn^=1n-+|n-［|（n-I）+1（n-1）］

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=1n2+1n-Qn2+|+-1）=几,

因为aI=1满足上式，

所以以=n；

（2）因为g（x）=六三，

.4X41-x4X44X2

协以9（%）+9（1-乃=在工+产7=工+无诉=五+诉=1,

因为%=n^所以％=g（羲）=g（凝）SGN）

所以丁2024=瓦+电+b3T---卜%23+^2024

9999

=g（短）+（短）+（急）+…+（黑）+（黑）①，

又丁2024=^2024+匕2023+^202282+力1

一（蓊+。（绘）+9第）+»（嬴）+“募）②，

©+②，得272024=2024[g（募）+g（翳）]=2024,

所以72024=1012.

【变式5-3]（24-25高二下•四川成都•阶段练习）已知数列｛%｝满足:（+劈+居+…+翳=n（n£AT）,数列

｛"J满足勾二岛舒

（1）求数列｛%｝的通项公式：

（2）求匕+bioof的值;

（3）求b[+匕2+匕3T---卜匕99的值•

【答案】⑴册=2"

（2出

【解题思路】⑴根据题意，当n二2时，可得手+墨+号+-+耨=〃一1，两式相减，求得斯=23再

由「=1,得到的=2,即可求得数列｛斯｝的通项公式.

（2）由（1）得以=$,结合指数累的运算法则，即可求得几+比00刃的值；.

4ILt

（3）由（2）知"+瓦00、=套，结合倒序相加法，即可求解.

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【解答过程】（I）由数列｛%｝满足:9+墨+墨+-+*=八（九6N）

当乳N2时，可得多+,+嘉小---卜粉｝=n-1,

两式相减，可得笠=1，所以0n=2%

当n=l,可得当=1,所以%=2,适合上式，

所以数列｛斯｝的通项公式为%=2t

（2）由数列｛"｝满足垢二岛而=$，

M.I,.,_I,I_I.2n_12n_2-25°__1_

--,nn—n-

人Jn100-M2n+2，02]00_n+2502"+2s02^^+2^2-2"+2'0（2+2^^）2^^（2+2^^）2^^2^^,

（3）由（2）知％+bioof=*,

可得瓦+82+匕3+…+比9=^50+^50+…+299+250»

9850

则仇9+b9Q+b97+…+仇=299：2二0+2+2+…+2r+2^'

两式相加可得2（瓦+62+63+,•,+加9）=券，所以与+力2+%----+优9=茶.

【题型6含有（-1）”的类型求和】

【例6】（2025•湖北武汉•模拟预测）数列｛（一1）21・切（71£”）的前2025项和为（）

A.1012B.-1012C.1013D.-1013

【答案】C

【解题思路】通过将数列的前2025项和进行分组，根据相邻两项的规律，并项求出和.

【解答过程】设数列｛（一I）”1•八｝的前n项和为又，则$2025=1-2+3-44-5-6+-+2023-2024+

2025.

可以将相邻两项看作一组，即（1-2）,（3-4）,（5-6）,…，（2D23-2024）,一共有2024+2=1012组,

还剩下最后一项2025.

每一组的值都为一1,例如1-2=-1,3-4=-1,5-6=-1,以此类推.

因为一共有1012组，每组的值为-1,所以前2024项分组后的和为1012x（-1）=-1012.

S2025等于前2024项分组后的和加上最后一项2025,即S2025=-1012+2025=1013.

故选：C.

【变式6-1】（2025•河北衡水•模拟预测）已知数列｛%｝满足时=（-1）%2,某同学将其前20项中某一项正负

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号写错，得其前20项和为82,贝!写错之前这个数为()

A.64B.-81C.100D.-121

【答案】A

【解题思路】由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案.

【解答过程】即=(一1)，2,则其前20项和为S=-12+22-32+42----192+202=(22-I2)+(42-

32)+•••+(202-192)=3+7+11+15+•••+39=210.

设写错项为％,则S-x-x=82,解得无=64,

故写错之前这个数为64.

故选：A.

【变式6-2】(2025•广东佛山•三模)已知数列｛%｝,｛九｝满足%=1,且一%,,/是关于%的方程七一2N一期

=0的两个根.

⑴求即；

(2)设Cn=W+(—l)%n，求数列｛。｝的前21项和

【答案】(1)即二2九-1

⑵-20套

【解题思路】(1)由韦达定理和等差数列的定义即可求解；

(2)由分组求和法、裂项相消即可求解.

【解答过程】(1)因为一是关于”的方程%2-2%一0=0的两个根，

所以一an+an+1=2.

所以数列｛斯｝是一个首项为1，公差为2的等差数列.

因此时=l+(n—l)x2=2n—1.

(2)由(1)知册=271—1,对于方程—2x-%=0,

由韦达定理得即时+1=bn，即勾=(2n-1)(2〃+1).

所以金=小(T)"％=+㈠广.37

=(_ir.(2n_1)+(_L__L),

所以S21=(-1+3)+(—5+7)+…+(—37+39)-41+(1—g+g—(+…+■一卷)

=2x10-41+(1-^)=-203

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【变式6-3](2025•河南•模拟预测)己知数列｛斯｝的首项为1,其前n项和为3,等比数列也｝是首项为1的

递增数列，若3n%+i-6Sn=n(n+l)(n+2'),8b2+2b4=b6.

⑴求证：数歹是等差数列：

(