用样本估计总体（讲义）-2026年高考数学一轮复习解析版

专题9.2用样本估计总体(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1百分位数的求解】.............................................................................3

【题型2样本的数字特征】.............................................................................5

【题型3总体集中趋势的估计】.........................................................................6

【题型4总体离散程度的估计】........................................................................10

【题型5分层抽样中的方差问题】......................................................................12

【题型6其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】.................................................14

1、用样本估计总体

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第9题，从近几年的高考情况来看，高考对

5分用样本估计总体的考查比较稳定，多以

⑴会用统计图表对总体进行

2023年全国乙卷(文数、理选择题、填空题的形式出现，考查百分

估计，会求〃个数据的第"百

数)：第17题，10分位数、平均数、中位数、众数、方差等

分位数

2025年全国二卷：第1题，5知识，难度不大；在解答题中出现时，

⑵能用数字特征估计总体集

分•般会与其他知识结合考查，综合性强，

中趋势和总体离散程度

2025年上海卷：第17题，14难度中等，需要灵活求解，复习时要加

分强对相关知识的理解.

知识梳理

知识点用样本估计总体

1.总体百分位数的估计

(1)8^

一般地，一组数据的第〃百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有〃％的数据小于•或等于这个值，

且至少有(10()-〃)％的数据大于或等于这个值.

(2)求解步骤

可以通过下面的步骤计算一组〃个数据的第p百分位数：

第I步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=〃xp%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为/,则第〃百分位数为第/项数据；若「•是整数，则第〃百分

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位数为第，.项与第（汁1）项数据的平均数.

2.频率分布直方图的数字特征

⑴众数:众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，

最高小长方形的底边中点的横坐标；

（2）空位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等：

⑶平均数:平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.

3.总体集中趋势的估计

在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画

了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下：

名称概念

如果有〃个数巾，X2,…，X”，那么!⑶+方+…+2）就是这组数据

平均数

-1

的平均数，用土表示，即2=%（为+/2+…+四）.

将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据

中位数（当数据个数是奇数对）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶

数时）称为这组数据的中位数.

一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称

众数

为这组数据的众数.

4.总体离散程度的估计

（1）方差和标准差

假设一组数据是而，不，…，X”,用工表示这组数据的平均数，则我们称5s［（为-为这组数据的

n=I

方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成:自看2-7的形式

FJ=1

我们对方差开平方，取它的算数平方根1）2,称为这组数据的标准差.

（2）总体（样本）方差和总体标准差

①一般式:如果总体中所有个体的变量值分别为匕，力，…，Y”，总体平均数为匕则总体方差S2==

£＞匕一歹）2.

/=|

②加权式:如果总体的N个变量值中，不同的值共有"（AWN）个，不妨记为匕，匕，…，八,其中匕出

现的频数为/泊=1，2,…，％）,则总体方差为（匕一歹尸.

总体标准差：s=，尹.

（3）标准差与方差的统计意义

①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大;标准差越小，数据的离

散程度越小.

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②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是•样的，但在解决实际问题时，•般多采用标准差.

③标准差（方差）的取值范围为［0,+8）.若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准

差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相笠.

5.频率分布直方图中的统计参数

（1）频率分布直方图中的“众数”

根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐标为这组数据的众数L般用中点

近似代替.

（2）频率分布直方图中的“空位数”

根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此,

在频率分布直方图中，中位数左逅和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.

（3）频率分布直方图中的“平均数”

平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直

方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.

【方法技巧与总结】

1.若为K2,…4的平均数为天,那么/叼+凡〃曝+〃，，\%”+〃的平均数为“1+".

2.数据R甩,…现与数据汇=莺+。,4=4十4二,,匕=乙+。的方差相等，即数据经过平移后方差不变.

3.若XIK2,…K"的方差为$2,那么+瓦。0+6,…,+〃的方差为42s2

举一反三

【题型1百分位数的求解】

【例1】（2025•河北秦皇岛•三模）数据16,22,13,14,25,17,18,19,21,10的第70百分位数是（）

A.18B.19C.20D.21

【答案】C

【解题思路】将给定数据由小到大排列，再利用第70百分位数的定义求解.

【解答过程】将给定数据由小到大排列为：10,13,14,16,17：18,19,21,22,25,

由10x70%=7,得第7（）百分位数是等1=20.

故选：C.

【变式1-1］（2025•广西・模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放

强度（单位：吨/人•年），得到数据如下：2,4,5,7,8,9,II,12,13,15.则该组数据的30%分位数

是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解题思路】将已知数据按从小到大的顺序排列，求10x30%,结合百分位数定义求结论即“J.

3/31

【解答过程】数据从小到大为:2,4,5,7,8,9,11,12,13,15,

又10x30%=10x0.3=3,

所以该组数据的30%分位数是乎=6.

故选：A.

【变式1-2](2025•甘肃定西•模拟预测)某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况,

进行了问卷调查，从中抽取了1。0位车主进行抽样分析，得出这IOU位车主每人在10()次驾驶途中使用辅

助驾驶功能的次数的频率分布直方图，则样本中车主使用辅助驾驶功能次数的40%分位数为•)

【答案】C

【解题思路】先判断出40%分位数所在的区间，并设为工,再利用概率之和也就是小长方形的面积之和等于

0.40,求出％即可.

【解答过程】因为(0.005+0.020)x10=0.25<0.40,

(0.005+0.020+0.025)x10=0,50>0.40,

所以样本中车主使用辅助驾驶功能次数的40%分位数位于[60,7C)内，

设样本中车主使用辅助驾驶功能次数的40%分位数为，

贝IJ0.005x10+0.020x10+(%-60)x0.025=0.40,

解得x=66.

故选：C.

【变式1-3】(2025・四川巴中•二模)以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：(单位：分)

82,75,76,88,90,83,85,86,96,87,60,100,89,92,93,贝ij这15人成绩的第80百分位数是()

A.92B.92.5C.93D.91.5

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，利用第80百分位数的定义直接求解.

【解答过程】将15人的成绩从小到大排列为:60,75,76,82,83,8586,87,88,89,90,92,93,96,100,

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由15x80%=12,所以第80百分位数为第12个数与笫13个数的平均数，即平=925

故选：B.

【题型2样本的数字特征】

【例2】（2025•全国二卷•高考真题）样本数据2,8,14,16,20的平均数为（）

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【解题思路】由平均数的计算公式即可求解.

【解答过程】样本数据2,8,14,16,2。的平均数为2+8+：+16+20=.=12.

故选：C.

【变式2-1]（2025・山东聊城•三模）已知数据%,9,7,9的中位数和平均数相等，那么工的值为（）

A.5B.7C.5或9D.7或11

【答案】D

【解题思路】根据平均数的计算及中位数的定义，分类讨论，列出方程即可求解.

【解答过程】平均数为X+7+9X2x-25

44

将这组数据排序，若，7,9,9,则中位数为等=8,

所以于="*=7,符合题意;

将这组数据排序，若7,x,9,9,则中位数为等,

所以*=8=X=7,符合题意;

若7,9,9,%,则中位数为9,

所以等=9="=11,符合题意；

4

综上所述，x的值为7或11,

故选：D.

【变式2-2]（2025・辽宁•二模）某同学测得连续7天的最低气温（均为整数）分别为-6,1,-2,t,2,1,

5（单位：℃）,若这组数据的平均数与中位数相等，贝宾二（）

A.5B.6C.10D.11

【答案】B

5/31

【解题思路】求出平均数，对t的取值进行分类讨论，求出这组数据的中位数，根据题意可得出关于珀勺等式,

解之即可.

【解答过程】这组数据的平均数为+55'=可,

除矽卜,将剩余的6个数据由小到大排列依次为-6,-2,1,1,2,5,

若Y1,则这组数据的中位数为1,

若t>l,同理可知，这组数据的中位数也为1,

因为这组数据的中位数和平均数相等，故舁=1,解得t=6.

故选：B.

【变式2-3]（2025•河北张家口•一模）数据2,3,8,5,4,2的中位数和平均数分别为（）

A.3.5和2B.3和4C.4和2D.3.5和4

【答案】D

【解题思路】利用中位数和平均数的计算公式即可求解.

【解答过程】将数据2,3,8,5,4,2按照从小到大的顺序排列为：2,2,3,4,5,8,

所以中位数为浮=3.5；

平均数为"2+3+4+5+8=4

6

故选：D.

【题型3总体集中趋势的估计】

【例3】（2025•山西•二模）4正悄然改变着我们的生活.某在线平台利用4技术为学生提供个性化学习路径,

为了解学生对平台的满意程度，随机抽取使用该平台的学生.进行打分，将收集到的分数数据按照

[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)/90,100]分组，画出频率分布直方图如图所示,则这些数

据的中位数约为()

八频率/组距

0.030------……-……

0.025■

0.020--------------------

0.015--------------------

0.010------------------

0.005—1—~

^30405060708090100

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A.85B.8()C.77.5D.75

【答案】C

【解题思路】根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等

于中位数，然后解题即可.

【解答过程】由于(0.005+0.005+0.010+0.015)x10=0.35,(0.005+0.005+0.010+0.015+0.02)X

10=0.55,

因此中位数落在区间［70,80)内，设中位数为X,

由0.35+0.02XQ-70)=0.5,得％=77.5,因此，中位数约为775

故选：C.

【变式3-1］(2025•河南郑州•三模)4月23口是“世界读书口”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读

好司，善读书的浓厚氛闹.某中学共有300()名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随

机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估

计中正确的是()

(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)

本频率/组距

A.阅读量的众数估值为8B.阅读量的中位数估值为6.5

C.阅读量的平均数估值为6.76D.阅读量的第70百分位数估值为8.86

【答案】D

【解题思路】利用频率分布直方图性质分别计算众数、中位数、平均数、第70百分位数，即可得到答案.

【解答过程】众数估值为等=6,A错误；

中位数%在［4,8］内，所以0.06x4+0.1x(%-4)=0.5,解得％=6.6,B错误；

平均数元=0.24x2+0.4x6+0.28x10+0.06x14+0.02x18=6.88,C错误：

第70百分位数y在［8,12］内，所以0.06x4+0.1x4+0.07xQ-8)=0.7,

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解得y=£*8.86,D正确.

故选：D.

【变式3-2］（24-25高一下•甘肃平凉・开学考试）为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养

和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵・风雅平凉"彦军杯诗词

大赛决赛在剧院成功举行.为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机

调查了几名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分IOU分）统计如下表所示:

分数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数51020b35

频率0.05a0.200.300.35

+频率/组^

0.040

0.035

0.03()

0.025

0.020

0.015

0.010

0.095

O5060708090100分数

（1）分别求a,b,n的值,并在图中画出频率分布直方图;

（2）估计n名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）.

【答案】（l）a=0.10,n=100,b=30,作图见解析

⑵众数为95分；平均数为83分；第75百分位数是93分.

【解题思路】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得。的值；结合频数、频率的关系即可

求得b,n的值，并作图;

（2）结合众数、中位数和第p百分位数的含义即可求得它们的值.

【解答过程】(1)由0.05+。+0.20+0.30+0.35=1,解得a=0.10,

"盛=100-=100X0.3。=30.

而每组的频率/组距分别为0005、0.010、0.020、0.030、0.035,

所以频率分布直方图如下所示:

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（2）由题意，众数为频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点，

即众数为95分；

平均值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘枳之和，

即55x0.05+65x0.10+75x0.20+85x0.30+95x0.35=83,

所以估计平均值为83分：

前四组频率和为0.05十0.10+0.20+0.30=0.65<0.75,

所以笫75百分位数在［90,100］内，设第百分位数为，

贝I」0.65+（工一90）x0.035=0.75,解得x*93,所以估计第75百分位数是93分.

【变式3-3］（2025•内蒙古呼和浩特•一模）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试

验：将100株同种绿植随机分成48两组，每组50株，其中4组绿植喷甲农药，B组绿植喷乙农药，每株

绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分

比，根据试验数据分别得到如图直方图：

频率频率

［丽薪

0.30........

S20

S15

10

OS.O5

01.52.53.54.55.56.57.5百分比02.53.54.55.56.57.58.5

甲农药残留百分比直方图乙农药残留百分比直方图

记C为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5",根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

（1）求乙农药残留百分比直方图中G,b的值；

（2）估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）：

（3）估计乙农药残留百分比的中位数.（保留2位小数）

【答案】（l）a=0.35,b=0.10；

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(2)4.05：

⑶6.07.

【解题思路】（1）由的估计值为0.70,可得。+0.20+0.15=0.7,求得。值，再由整体频率为1即可求得;

（2）根据平均数的定义，取组区间的中点值进行计算即可得解；

（3）中位数在使得直方图面积为0.5处取得，经计算即可得解.

【解答过程】（1）。为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，

根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

则由频率分布直方图得.1Q+0,20+0,15=0,7解得=0,35

所以乙农药残留在表面的百分比直方图中a=0.35,b=0.10.

（2）估计甲农药残留百分比的平均数为：

=2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.204-6x0.104-7x0.05=4.05.

（3）设乙农药残留百分比的中位数为，则

（0.05+0.10+0.15）X1+0.35x（x-5.5）=0.5,解得无《6.07,

所以估计乙农药残留百分比的中位数约为6.07.

【题型4总体离散程度的估计】

【例4】（2025•山东•三模）某班成立了力、8两个数学兴趣小组，力组10人，4组30人，经过一周的补习

后进行了一次测试，在该测试中，力组平均成绩为130分，方差115,8组平均成绩为110分，方差为215,

则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（）

A.115分，105B.115分，265

C.120分，105D.120分，265

【答案】B

【解题思路】利用各层平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式可求全班学生的平均数和方差.

【解答过程】依题意，xA=130,s]=115,如==215,

所以全班学生的平均成绩元=而着X130+恐X110=115（分）；

全班学生成绩的方差为s2二痛为氏+（当-x）2]+盛;窗+（如一元尸]

=：x（115+225）+3x（215+25）=85+180=265.

故选：B.

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【变式4-1](2025•广东深圳•二模)下列各组数据中方差最大的一组是()

A.6,6,6,6,6B.5,5,6,7,7

C.4,5,6,7,8D.4,4,6,8,8

【答案】D

【解题思路】根据数据的波动越大，方差越大：数据越稳定，方差越小.通过观察数据的离散程度以及计算平

均值和方差来得出答案.

【解答过程】对于A：

数据全部为6,相等，没有波动,所以方差为0.

方差为$2—2X(5-6)2+(6-6)，2X(7-6)2_Qg

对于B：平均数为S+S+；+7+7=6,

方差为S?=(4-6)2乂(5-6)2+(6-6>+(7-6)2+(8-6)2_?

对于C：平均数为4+5+?+7+8=6,

对于D：平均数为4+4+.8+8=6,方差为$2=2X(4-6)2+(6；6)2+2X(8-6)2=?

通过比较可知，选项D的方差最大.

故选：D.

【变式4-2](2025・湖北•模拟预测)若一组数据%,的平均值%=5,方差S2=32,若删去一个数之

后，平均值没有改变，方差变为“，则这组数据的个数九=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解题思路】由题意得到删除的数为5,再利用方差公式求解.

【解答过程】由题意得到删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5,

由题意s2=1S"(项一5）2=32,得W"（修一5）2=32九,

删除一个数后的方差为：=[W：(，—5)2—(5-5)2=40,

得券=40,BPn=5.

故选：A.

【变式4-3](2025•江西•二模)甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的

统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是()

甲同学：中位数为22,众数为20

乙同学：中位数为25,平均数为22

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丙同学：第40百分位数为22,极差为2

丁同学：有一个数据为30,平均数为24,方差为10.8

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解题思路】利用中位数、众数、平均数百分位数及方差的意义逐项分析判断.

【解答过程】甲同学的5个数据的中位数为22,众数为20,则数据中必有20,20,22,余下两个数据都大

于22,

且不相等，所有数据一定都不小于20；

乙同学的5个数据的中位数为25,平均数为22,当5个数据为17,18,25,25,25时，符合题意，而有

小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20；

丙同学的5个数据的第40百分位数为22,极差为2,则5个数据由小到大排列后第二和第三个数只可能是

22,22或21,23,由极差为2知，所有数据-一定都不小于20：

丁同学的5个数据中有一个数据为30,平均数为24,设其余4个数据依次为勺》2，右，与，

2222

则方差s2=1[36+(/-24)+(x2-24)+(x3-24)+(x4-24)]

2

=7.2+"(%1-2守+(冷-24尸+(%3-24y+g-24)],若卬如叼打中有小于20的数，

s2>7.24-5=12.2>10.8,不符合题意，因此—物孙/均不小于20,5个数21,21,24,24,30可满

足条件.

所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三拉同学.

故选：C.

【题型5分层抽样中的方差问题】

【例5】(2025•浙江•模拟预测)为调行中某校学生每天学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样,

现抽取高一学生400人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5,抽取高二学生600人，其每天学习时

间均值为9小时,方差为0.8,抽取高三学生1000人，其每天学习时间均值为10小时,方差为1,则估计

该校学生每天学习时间的方差为()

A.1.25B,1.35C.1.45D.1.55

【答案】C

【解题思路】根据题意结合平均数、方差的计算公式运算求解.

【解答过程】由题意可得：抽取的总人数为400+600+1000=2000,

12/31

则高一，高二，高三学生抽取的人数的频率分别为就=0.2，募=0.3,端=0.5,

可得该校学生每天学习时间的平均数土=0.2x8+0.3x9+0.5x10=9.3,

方差52=0,2x[0.54-(8-9.3)2]+0.3x[0.8+(9-9.3)2]+0,5x[1+(10-9,3)2]=1.45.

故选：C.

【变式5-1】(2025•浙江•三模)在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的

分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生I2U人，其力差分别为15,10,由此

估计样本的方差不可用为()

A.11B.13C.15D.17

【答案】A

【解题思路】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为总女生的平均数为歹，总体的平均数为瓦方差为s2,

结合方差的公式，分析选项，即可求解.

【解答过程】设男生体质健康状况的平均数为七女生的平均数为％总体的平均数为江，方差为S2,

.i—80-,120—2-.3—

则mw=^/+诉尸=齐+资

s2二[15+叵―记)2]+口。+(歹一刃)2]

80+120L'7180+120L7J

=|[15+^(x-y)2]+|[10+^(x-y)2]=12+^(x-y)2>12,

结合选项，可得A项不符合.

故选：A.

【变式5・2】(2025•江西鹰潭•一模)某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中

抽取了一个容量为80的样本.其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方

差为159,男女人数之比为5:3,则单位职工体重的方差为()

A.166B.167C.168D.169

【答案】D

【解题思路】利用分层抽样的平均数和方差公式即可得解.

【解答过程】依题意，单位职工平均体重为3=64+^x56=61,

08

则单位职工体重的方差为s2=1[151+(64-61)2]+1[159+(56-61)2]=169.

故选：D.

【变式5-3】(2025•全国•模拟预测)已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为

13/31

九i，n2»n3,样本平均数分别为河，石,西，样本方差分别为sj,s专，s彳，若《1：的：沟=1:2:3,则（）

C.总体样本平均数了=*+2石+3石

D.当行=耘=石时，总体方差s2=[s：+专+9专

OJ4

【答案】D

【解题思路】根据样本平均数以及方差的定义，即可判断A、B项；计算可判断C；根据分层抽样，总体方

差的求解，计算即可得出D.

【解答过程】对于A、B项，由于样本容量与样本平均数、样本方差之间并不是成某种比例关系，所以选项

A,B错误；

对于C项，设=k,n2=2k,n3=3/c,6N+,

则总体样本平均数无二”有+“2无+”3石=k五+2：1+3k石二；:；所以选项C错误；

«1+«2+«36k6*3Z2>

对于D项，当五二双二石时，总体样本平均数5=五=双=石，

所以总体方差S2=启上{/1卜+叵7—目2]+九2卜；+e一工）2]+几3归+可一元）[}="1胃衿”1

21212

S+S+S

-一

13223所以选项D正确.

故选D

【题型6其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】

【例6】（2025•宁夏银川•模拟预测）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取

5位同学参加环保知识测试，得分（十分制）情况如图所示，则下列描述不正确的是（）

f频数

3-

2~

t,■■■■■一

0345678910得分

甲组

A.两组数据的平均数都是6分

B.两组数据的中位数都是6分

C.两组数据的极差相等

D.甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差

14/31

【答案】B

【解题思路】分别计算甲、乙两组数据的平均数、中位数、极差和方差，然后逐一判断各选项的正确性.

【解答过程】甲组数据的平均数元=3*(4+5+6+7+8)=m=6分.

乙组数据的平均数无2=：x(5+5+5+6+9)=U=6分.

所以两组数据的平均数均为6分，A选项正确.

将甲组数据4、5、6、7、8从小到大排列为4、5、6、7、8,数据个数5是奇数，最中间的数是6,所以

甲组数据的中位数为6分.

将乙组数据5,5,5,6,9从小到大排列为5,5,5,6,9,数据个数5是奇数，最中间的数是5,所以

乙组数据的中位数为5分.B选项错误.

甲组数据中最大值是8,最小值是4,则甲组数据的极差为8-4=4分.

乙组数据中最大值是9,最小值是5,则乙组数据的极差为9-5=4分.

所以两组数据的极差相等，C选项正确.

对于甲组数据，xi=6,n=5,贝!Sj=^[(4-6)24-(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=^(4+1+

o+1+4)=2.

22222

对于乙组数据，x2=6,n=5,贝⑸=^[(5-6)+(5-6)+(5-6)+(6-6)+(9-6)]=1(1+1+

1+0+9)=2.4.

因为2V24,所以甲组的方差小于乙组的方差，D选项正确.

故选：B.

【变式6-1】(2025・四川绵阳•三模)某家电公司生产了4B两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024

年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据,

下列说法不正确的是()

——4型号

$0：-8型号

45：

0一月二月三月四月五月六月月份

A.4型号空调月俏售量的极差比B型号空调月俏售量的极差大

15/31

B./1型号空调月平均销出量比B型号空调月平均销售量大

C.4型号空调月销售量的上四分位数比8型号空调销售量的上四分位数大

D.4型号空调月销售量的方差比8型号空调月销售量的方差小

【答案】D

【解题思路】结合题中数据，根据极差、平均数、上四分位数、方差的定义求解判断即可.

【解答过程】由图可知，力型号空调月销售量的极差为50-25=25,

8型号空调月销售量的极差为45-22=23,故A正确；

力型号空调月平均销售量为*25+28+27+42+38+50)=42,

B型号空调月平均销售量为*22+25+30+37+40+45)=39.8,故B正确；

将4型号空调月销售量数据从小到大排列为:25,27,28,38,42,50,

由6x75%=4.5,贝3型号空调月销售量的上四分位数为42,

将B型号空调月销售量数据从小到大排列为：22,25,30,37,40,45,

由6X75%=4.5，贝必型号空调月销售量的上四分位数为40,故C正确；

4型号空调月销售量的方差为

非(25-42)2+(28-42)2+(27-42)2+(42-42)2+(38-42)2+(50-42)2]=158,

B型号空调月销售量的方差为

[[(22-39.8)2+Q5-39.8)2+(30-39.8)2+(37-39.8)2+(40-39.8)2+(45-39.8)2]=133.368,

故D错误.

故选：D.

【变式6-2](2025•湖北武汉,模拟预测)某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电

动汽车的销量(单位：百辆)，得到如下折线图:

百辆「

600

528

500398好/

400■--aj--d-・二•••・・・・・•・

366

300

221/々98312

200......丙丁⑹二彳…

12b--e-182

100

k,62111r

20172018201920202021202220232024年份

…•…新能源纯电动

16/31

现对2021年至2024年这4年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差

分别为4和新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为m和P2,则（）

2

s1

AC.>sj»Pi<Pz

B.

D.2

S1

>S：，P1>Pz

【答案】B

【解题思路】利用方差公式计算可得£和0的大小，计算出两类车的年增长率，进而可得年均增长率，可得Pi

和电

【解答过程】因为2021年至2024年这4年新能源汽车的销量数据为221,398,412,528,

平均数为*221+3984-412+528)=389.75,

22

所以£=1((221-389.75)2+_389.75)+(412-389.75)?+(528-389.7S)]

=:[28476.5625+68.0625+495.0625+19113.0625]=12038.1875,

2021年的年增长率为空浮x21.43%,2022年的年峭长率为巴祟«80.09%,

loZ//I

2023年的年增长率为笔衿«3.52%,2024年的年增长率为电誓«28.16%,

398412

这四年的新能源汽车的销量数据和年平均增长率分别为Pi=*21.43%+80.09%+3.52%+23.16%)=

33.33%：

因为2021年至2024年这4年纯电动汽车的销量数据为121,298,312,366,

平均数为[(121+298+312+366)=274.25,

所以£=^[(121-274.25)2+(298-274.25)2+(312—274.25)?+(366-274.25)2]

=i[23485.5625+564.0625+1425.0625+8418..0625]=8473.1875,

2021年的年增长率为竺守«42.35%,2022年的年增长率为笔/«146.28%,

85121

2023年的年增长率为3与y4.70%,2024年的年增长率为强芋«17.31%,

298312

这四年的纯电动汽车的销量数据和年平均增长率分别为P2(42.35%+146.28%+4.70%+17.31%)=

52.66%；

所以£><P2-

故选：B.

17/31

【变式6-3】（2025・四川成都•一模）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮

助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路

里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是（）

A.甲走路里程的极差等于11

B.乙走路里程的中位数是27

C.甲下半年每月走路里程的平均数大于乙下半年每月走路里程的平均数

D.甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差

【答案】C

【解题思路】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数

据稳定性之间的关系求解.

【解答过程】由图可知,7・12月甲走路的里程为：31,25,21,24,20.30,

乙走路的里程为:29,28,26,28,25,26,

所以甲走路里程的极差等于31-20=11,故A正确；

乙走路里程的中位数是卓羽=27,故B正确；

甲下半年每月走路里程的平均数为3*25+21：24+20+30=等，

OO

乙下半年每月走路里程的平均数为2"28+26；28+25+26=与，

故C错误；

由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，

所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差,

18/31

故D正确.

故选:C.

过关测试

一、单选题

1.(2025•河北唐山•模拟预测)数据：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的30%分位数是()

A.2.5B.3C.3.5D.4

【答案】C

【解题思路】根据百分位数的定义求30%分位数.

【解答过程】由10x30%=3,结合己知数据从小到大，30%分位数是第3、4位两个数字的平均数，

所求分位数为中=35

故选：C.

2.(2025•河北保定•三模)一组数据按从小到大排列为2,4,6,m13,14,如果该组数据的中位数与这

组数据的第6()百分位数相等，则该组数据的平均数为()

A.7.5B.6C.4.5D.3

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用中位数、第6()百分位数的定义求出必进而求出平均数.

【解答过程】这组数据的中位数为等，由6x60%=3.6,得这组数据的第60百分位数为m

因此学=a,解得Q=6,所以这组数据的平均数为2+4+6+?13+14=75.

26

故选：A.

3.(2025•海南省直辖县级单位•模拟预测)某中学从高一学生中抽取了50名男生，50名女生调查高一学生

身高的情况.其中50名男生身高的平均数为172.5cm,方差为16,50名女生身高的平均数为162.5cm,方差

为30,那么这100名学生身高的方差为()

A.3()B.38C.48D.58

【答案】C

【解题思路】根据分层抽样计算平均数及方差公式计算求解.

【解答过程】所有100名学生身高的平均数元=；x172.5+；x162.5=167.5(cm