有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（5个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测）原卷版-2025-2026学年七年级数学上册

专题06有理数的乘方与混合运算重难点题型专训

（5个知识点+11大题型+3拓展训练+自我检测）

题型预览

题型一有理数幕的相关概念

题型二有理数的乘方运算

题型三有理数乘方的逆运算

题型四乘方运算的符号规律

题型五乘方的应用

题型六用科学记数法表示数

题型七将科学记数法表示的数变回原数

题型八与科学记数法有关的计算问题

题型九有理数四则混合运算的实际应用

题型十程序流程图

题型十一算24点

拓展训练一有理数乘方的规律计算探究

拓展训练二有理数四则混合运算综合

拓展训练三有理数四则混合运算实际应用综合

＞知识梳理

知识点一、有理数的乘方

求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做塞.

指数

t

Q”一暴

底数

一般地，------；------记作读作“。的n次方”，其中〃叫做底数，n叫做指数，当Q"看作。的n

n个

次方的计算结果时，也可以读作，的n次哥”.

1.乘方与幕不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幕是乘方运算的结果；

2.一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写：

3.底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来；

4,当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来；

5.一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方.

【即时训练】

1.（2025•吉林长春•二模）下列说法不正确的是（）

A.2x5可表示两个5相加B.2x5可表示五个2相加

C.可表示两个5相乘D.可表示五个2相乘

2.（2025•吉林长春•模拟预测）在（-2）3中，底数是.

知识点二、有理数乘方的运算

（1）正数的任何次暴都是正数：

（2）负数的奇次暴是负数，负数的偶次塞是正数；

（3）0的任何正整数次第都是0；

（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算•样，首先应确定累的符号，然后再计算哥的绝对值.

【即时训练】

1.（23-24七年级上•甘肃兰州•期中）下列式子中，正确的是（）

A.2?=（-2『B.23=（—2）'C.-22=|-2pD.-22=|-22|

2.（2025七年级上•全国•专题练习）计算：|-2『=,-（-；）'=,

A

-最=--------

知识点三、科学记数法

1.科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成QX10"的形式，其中⑷V10,n是正

整数，这种记数方法称为科学记数法.

2.如何确定科学记数法中的。和n

（1）。是一个整数数位只有一位的数，即10|。|<10：

（2）确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1：②按小数点移动的

位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于儿.

a）用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小；

b）用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致；

c）用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“一”号：

d）对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用。补齐），并把乘

号和10”去掉.

【即时训I练】

1.（2025•吉林长春•二模）截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预

售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（）

A.1.48xl09B.1.48xlO10C.1.48x10"D.14.8xlO10

2.（24-25九年级上•重庆垫江•期末）美丽的三合湖湿地公园完成蓄水后，蓄水量达到1400000m*把数据

1400000用科学记数法记为.

知识点四、有理数的混合运算顺序

1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；

2.同级运算，按照从左到右的顺序进行；

3.如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算：如需去括号，一般先去小括

号，再去中括号，最后去大括号.

PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些

计算是可以同时进行的.

【即时训练】

1.（24-25七年级上•浙江温州•阶段练习）下列算式中，计算正确的是（）

A.74-2270=70-70=1B.2x32=（2x3）2=62=36

C.6+（2x3）=6+6=lD.-（-2）-=1-8=-6^-

2.（24-25七年级上•安徽合肥•期末）计算：（-3『十2|=

知识点五、利用运算律简便计算

1.有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等:

2.一些计算优先结合会简便很多，如下所示：

（1）相反数结合；

（2）凑整结合；

（3）正、负分别结合；

y变式训练

1.（25-26七年级上•陕西西安•开学考试）/与（）相等.

A.QX2B.a+2C.axaD.2a

2.（2025七年级上•河北•专题练习）我们知道相同加数可以写戊乘法，如：5+54-5+5+5+5=5x6,这样

可以给我们解决问题带来方便.其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如5x5x5x5=51那么根据

上述提示计算3?=（）

A.3B.6C.9D.27

3.（24-25六年级上•上海宝山・期末）5个-，相乘用乘方的形式表示：.

4.（23-24七年级上•河南周口•阶段练习）仔细观察下列算式：（2x4）2=2x4x2x4=22x4。

（3X7）2=3X7X3X7=32X72.

⑴=_；

⑵（洞=_；

⑶㈣"=_.

国）【经典例题二有理数的乘方运算】

【例1】（25-26八年级上•全国•课后作业）化简[（-2尸丁的结果是（）

1

A.-64B.64C.---D.—

6/164

|2（1Y（3丫22

[例2]（2025七年级上•全国•专题练习）计算：1=—：[~2）=一；{7）=一："T=一

13,

事变式训练

1.（24-25七年级上•河北廊坊•阶段练习）对于（_2『与-23二列说法正确的是（）

A.它们的底数相同B.它们的结果相等

C.它们的底数不同，但结果相等D.它们的底数不同，并且结果也不相等

2.（23-24匕年级上•山东德州•阶段练习）下列各对数中，数值相等的是（）

A.一3?与一2?B.-2?与(-27

C.一32与（一3丫D.(-3x2『与-3x2?

3.（24-25七年级上•全国•课后作业）计算：（1）（-4）、（-4）x（-4）x（-4）=

⑵(-2)4=

(3)-32=,(-3『=

4.（24-25七年级上•全国•课后作业）计算:

⑴13)4：

(2)-34;

2J

(4)-y：

⑸㈠：T.

【经典例题三有理数乘方的逆运算】

【例1】（23-24七年级上•甘肃兰州•期中）《庄子•天下篇》讲到：“一尺之椀，日取其半，万世不竭”意思

是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完.一天之后“一尺之桎''剩;尺，两天之后剩;尺,

24

那么五天之后，这个“一尺之还剩（）

A.二尺B.A尺C.—尺D.—尺

481632

【例2】（24-25七年级上•贵州铜仁,期中）某学习小组学习了塞的有关知识发现：根据厂=人知道。，加

可以求人的值.如果知道。，人可以求，〃的值吗？他们为此进行了研究，规定：若则7（。1）=〃?.例

如：34=81,则”3,81）=4.

⑴填空：以2,2）=；

（2）计算：T（2,4）+r（—

a变式训练

1.（24-25七年级上•江苏盐城•期中）如果/=16,则〃是（）

A.8或一8B.-4C.4D.4或-4

.\33

2.（22・23七年级上•广东东莞•期中）62:36,（2仓可2=223?=49=36,由此你能算出236x=（）

12,

A.6B.8C.：D.十分麻烦

O

3.（24-25七年级上•江苏泰州•期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数.

/输入/

♦I

（一

[.

/输出25/

MV4

4.(24-25七年级上,上海奉贤•阶段练习)已知/=9,-犷=-2,-=-,其中。、〃?、〃均为正整数,

⑴9

(1)根据题意，可求得。=_,，〃=_，〃=_；

(2)计算*".川”的值;

厚【经典例题四乘方运算的符号规律】

【例1】(24-25七年级上•湖南湘潭•阶段练习)若(-a)?期>0,则一定有()

A.a>0B.。=0C.a<0D.«>0

【例2】(2025七年级上•全国・专题练习)判断下列各式计算结果的正负：

⑴闺2：

(2)1-0.0033)9；

(3)-5s；

11

事变式训练

1.（2024七年级上•江苏・专题练习）如果一个有理数的奇次幕是正数，那么这个有理数（）

A.一定是正数B.是正数或负数

C.一定是负数D.可以是任意有理数

2.（23・24七年级上•河北唐山•期中）通过计算器计算发现：“2=⑵，u]2=]2321,1111=1234321

按照以上的规律计算111111产的垢果是（）

A.123454321B.1234564321

C.1234567654321D.123456787654321

3.（24-25七年级上•四川南充•期中）己知y=-6）4+2024的最大值为.

4.（23-24七年级上•全国•课后作业）判断下列各式计算结果的正负：

（1）（

（2）（-0.0033）9；

（3）-58;

1【经典例题五乘方的应用】

【例1】（2025七年级上•山西大同•专题练习）把一张正方形的纸连续对折3次，折后的每一小份占这张正

方形纸的（）

II

・

A.4-B.8-一

16

【例2】（2024七年级上•全国・专题练习）计算一+，+7+……+萍.

国变式训练

1.（24-25七年级上•贵州遵义•阶段练习）如图是一张长20cm、宽10cm的长方形纸片，第一次裁去一半,

第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（）

A.12.5B.187.5C.25D.175

2.（23-24九年级上・甘肃兰州•期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏

合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示.请

问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（）

第一次第二次第三次

A.5次B.6次C.7次D.8次

3.（24-25七年级下•河南郑州•阶段练习）某种细菌每1分钟由1个分裂成2个，经过3分钟，1个细菌分

裂成23个，这些细菌再继续分裂f分后共分裂成一个.

4.（24-25六年级上山东东营期中〉阅读材料：

求值:1+2+22+2J+24+...+220.

解：^5=1+2+22+23+24+...+220®

将等式两边同时乘2,得2S=2+2?+2,+24+…+2"+2"②

②-①得，2S-S=23-1,

BP5=l+2+22+23+24+...+22O=221-1

请你仿照此法计算：

(1)：+2+22+23+...+2,O°；

(2)1+3+32+33+34+...+3I<10;

(3)：+3+32+33+34+-+3Z,.(其中〃为正整数)

国.【经典例题六用科学记数法表示数】

【例】】(2025•江西新余•三模)据商务部消息，2025年以米，电动自行车以旧换新取得积极议效.截至3

月11日，今年全国电动自行车售旧、换新各166.4万辆，超过2024年总和.数据166.4万用科学记数法表示

为()

A.166.4x104B.0.1664xl07C.1.664x10，D.1.664xl06

【例2】(2024七年级上•全国・专题练习)用科学记数法表示下列各数：

(1)1000000；

(2)30()()()()0()0；

(3)8000000000：

(4)10100000.

事变式训练

1.（24-25七年级上•安徽淮北•期末）2024年前三季度安徽省地区生产总值37257亿元，其中数据“37257亿”

用科学记数法表示为（）

A.3.7257xlO12B.3.7257x10"c.3.7257x10"D.0.37257xlO13

2.（24-25九年级上•北京•期末）推进美丽中国建设，绿色低碳生产生活方式加快形成.中国超额完成到

2020年碳排放强度下降40%至45%的目标，累计减排二氧化碳5800000000吨，建成全球规模最大碳市场和

清洁发电体系.将5800000000用科学记数法表示应为（）

A.5.8x6元B.5.8xl（）9元C.58x109元D.0.58xl（C元

3.（24-25七年级上•江苏南京・期末）2024年南京马拉松运动深受广大市民的欢迎，共有超过120000人报

名，将数据“120000”用科学记数法表示为.

4.（2024七年级上•全国•专题练习）已知Icn?的氢气质量约为0.00009g,请用科学记数法表示下列计算结

果：

（1）求一个容积为80000006!?的氢气球所充氢气的质量；

（2）一块橡皮重18g,这块橡皮的质量是Icn?的氢气质量的多少倍？

®［经典例题七将科学记数法表示的数变回原数】

【例1】（24-25七年级上全国课后作业）下列求原数不正确的是（）

A.3.56xlO4=35600B.4.67xlO6=467()()0()

C.2x1()2=200D.3x10'=30000

【例2】（25-26七年级上•全国•随堂练习）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？

1X107,4X103,8.5X106,7.04X105,3.96X107.

y变式训练

1.（24-25七年级上•全国•课后作业）若一个数用科学记数法表示为5.27x103则这个数是（）

A.527000000B.5270000

C.527000D.52700000

2.（2025九年级下•广西•专题练习）截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突

破1x106件，带动凤冠/尸全系列产品销售额跨越亿元.用科学记数法表示的数1x106原来是（）

A.100000B.1000000C.10000000D.0.000001

3.（24-25七年级上•河南洛阳•期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字4.7X10'

余个，则4.7X104的原数为.

4.（23-24七年级上•全国•课后作业）比较用科学记数法表示的两个数的大小：

⑴-3.65x10$与-1.02x106.

（2）1.45x102022与9.8x1。叫

国.【经典例题八与科学记数法有关的计算问题】

【例1】（2024七年级上•河南•专题练习）学习完有理数后，李老师留下了如下作业：

判断题（正确画7”，错误画“x”）.

1.数轴上表示-2的点与原点的距离是2；（）

25）000用科学记数法表示为0.5x102：（）

3.近似数1.50和1.5的精确度是相同的；（）

4.向东走了3km记作+3km,则向西走了36〃记作-6A???.（）

嘉嘉看完题后很快给出了答案：17;2.x；3.x；4.x.在嘉嘉给出的答案中，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例2】（24-25七年级上•辽宁铁岭•期中）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至

的挑食的同学会倒掉整碗米饭.针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已究称得5（）0粒

大米重约10克，请你来计算：

（1）一粒大米重约多少克？

（2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大

米多少千克？（用科学记数法表示）

（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元/千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示）

（4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？

&变式训练

1.（24-25八年级上•云南昭通•阶段练习）中国探月工程走过20年，九天揽月，探索不止.媾娥六号的飞

行速度约为1.12X10"m/s，从地球到月球需要飞行约3.5x10%,则地球与月球的距离（）

A.3.92xlOsmB.3.2x101C.3.92xl016mD.3.125x6m

2.（23-24九年级1山东威海•期中）我国发射的海洋I号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度

为79x1（/米/秒，则运行2x102秒走过的路程是米（用科学记数法表示）

3.（22-23七年级上•浙江宁波•阶段练习）用科学记数法表示：（4xlOx）x（8xlO3）.

4.（24-25七年级上•安徽蚌埠•期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，

后面的六天与10月I口相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加）

日期2日3日4日5日6日7日

人数变化（单位：万人）+0.6-0.4-0.3+0.3+0.1+0.1

（1）七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？

（2）据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约

为多少元？（结果用科学记数法表示）

【经典例题九有理数的四则混合运算】

【例1】（22-23七年级上•四川资阳•期中）计算2-22-23-2,——22以的结果是（）

A.6B.2C.-2-22023D.6-22023

【例2】（25-26七年级上•全国•阶段练习）计算：

(1)|-5)+9-(-6)；

(4)10^(-2)+(-7)x(-3)-(-4).

⑸T，21+[2—(一3月；

(6)-32-(5-7)X6+(-2)S-8.

y变式训练

1.（24-25七年级上•广东韶关•阶段练习）下列四个算式中，计算正确的是（）

A.（—2）+（+3）=-5B.23=6

5121

C.什'+（一:）=彳D.（-3）^（--）=1

6633

2.（24-25七年级上•全国•课后作业）下列各式计算正确的是（）

A.4x（-3『—6=30B.—+--j--=2

「436

C.0-2J4-（-4）3=--^D.16.8^f-|jx0=-25.2

3.（2025七年级上•全国•专题练习）计算：

（I）-15+（-2）-X!一斗：+3=_______.

163）2

(2)-22+|5-8|+24+(-3)x-=.

(3)-22-[2-(-4)2'=.

(4)H+3xl+(-4)=.

4.(24-25七年级上•四川成都・期末)计算:

⑴4+(—6卜2-(-3)+；

••

x(-48)-l2O25+fc)-2

厚【经典例题十有理数四则混合运算的实际应用】

【例1】（24-25七年级上•四川成都・开学考试）（商品问题）某商品有两种不同型号，这两种型号都卖了

64元，其中一件盈利20%,一件亏本20%,两种都卖出，商家：）

A.不赔不赚B.赔了C.赚了D.说不清

【例2】（24-25七年级上•陕西西安•阶段练习）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记

为正，不足的记为负，称重记录如表：

与标准重量偏差（单位：千克）-2-10123

袋数5103156

（1）这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？

（2）大米单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花多少钱？

事变式训练

1.（24-25七年级上•江苏无锡•阶段练习）已知长为120米的秋游队伍，以3米/秒的速度向东行进，在队

尾处的甲有一物品要送到队头，送到后立即返回队尾.若甲的往返速度均为5米/秒，则甲往返共用的时间

为（）

C.120

2.（24-25七年级上•山西吕梁•阶段练习）为了增强身体素质，刘老师每天早上都会在操场进行体育锻炼,

她沿着如图所示的学校操场边缘跑一圈是（兀取3.14）（）

100米

A.157米B.257米C.357米D.457米

3.（25-26七年级上•全国•课后作业）一种金属丝在温度是90。（：时，长75.4mm,温度每升高或降低1。€\

它的长度就随之伸长或缩短6005mm.当金属丝冷却后，长度变为75mm,则该金属丝的温度变化了一

4.（24-25七年级下•重庆・开学考试）8地在儿。两地之间.甲从8地到力地去，甲出发后1时乙从4地

出发到。地，乙出发后1时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从8地出发骑车去追赶甲和乙.已

知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从8地出发到最终赶回8地所用时间最少，

丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？

厚【经典例题十一程序流程俚】

【例1】（24-25七年级上•湖北襄阳•阶段练习）小勤设计了一个计算程序（如图），如果输入的数是4,那

么输出的结果是（）

输入数|------「乘-3~~「除以21~~输出结果

A.—6B.6C.-9D.9

【例2】（24-25七年级上•全国•课后作业）在图中输入7,按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后,

把结果输入下一个方框继续进行运算），并写出输出的结果.

书

y变式训练

1.（24-25七年级上•贵州遵义•期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机"，按如图所示的程序运

算，如果输入1，则输出的结果是（）

2.（24-25七年级下•浙江衢州・期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2,可以发现第一次

输出的结果为-），第二次输出的结果为-2,…，则第2025次输出的结果是（）

2

1

A.1B.2C.-2D.——

2

3

3.（25-26七年级上•全国•课后作业）如图所示的是一个简单的数值运算程序，当输入的数值x为1时.，其

输出的结果为.

入井外R二济网在出结果/

4.（24-25七年级上•江苏苏州・期末）如图，是一个数值转换机的示意图.

/输入（）2-►-1—输入V/

（1）若输入X的值是3,则输出y的值等于；

（2）若输出y的值是3,求输入工的值.

1【经典例题十二算24点】

【例1】（24-25七年级上•湖北武汉•开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算

得到24的是（）

A.1,1,7,7B.2,2,8,8

C.1,1,2,8D.1,1,4,6

【例2】（2024七年级上•全国・专题练习）小明和小刚玩扑克牌游戏.游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大

王，、，小王，，）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（四张牌必须都用且每张牌上的数字只能用

一次），使运算结果等于24.其中“J”代表11、“Q”代表12、“K”代表13.

（1）小明抽取的四张牌如图所示,请帮小明列出一个结果等于24的算式

（2）小刚抽取的四张牌分别是方块3,梅花3,黑桃7,梅花7,请帮小刚列出一个结果等于24的算式.

事变式训练

1.(24-25七年级上•浙江温州•期中)有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数(每

个数只能用一次)进行加减乘除运算，使其结果等于24.现有四个有理数：3,4,-6,10,运用上述规则，

下列算式中不巧聊的是()

A.4x3-(-6)+10B.4-(-6+3x10)

C.10-(-6x3)-4D.(4-6+10)X3

2.(23・24七年级上•广东佛山・开学考试)“算24点”的游戏规则是：用,-，x,四种运算符号把

给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24,例如，给出2,2,2,8这四个数，可以

列式(2+2+2)x8=24.以下的4个数用"+,-，x,+”四种运算符号不能算出结果为24的是()

A.1,6,8,7B.1,2,3,4C.4,4,1(),1()D.6,3,3,8

3.(24-25七年级上•福建宁德期中)“24点”游戏规则如下：将四个数用、、加、减、乘、除”进行混合运算，

(每个数必须且只用一次，可以添加括号)，使其运算结果等于24.如3,8,8,9进行“24点”游戏的算式

是(9-8)x8x3或(9-8+8)x3.现有-6,3,4,10,则列出一个求“24点”的算式是(写出一种即可).

4.(24-25七年级上•广东汕头・期中)红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问

题：

亘M口由巨

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是.

(2)从中取出2张卡片，使这2张々片上的数字相除的商最小，最小值是.

(3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24,写出一

种符合要求的运算等式.(注：每个数字只能用一次).

国【拓展训练一有理数乘方的规律计算探究】

【例1】（24-25七年级上•全国•单元测试）观察下列等式：3=3,3=9,3,=27,34=81,3'=243’••

根据其中规律可得32°M的结果的个位数字是（）

A.3B.9C.7D.1

【例2】（23-24七年级上•安徽合肥•阶段练习）探究规律：

（1）计算：

①2-1=_；

@212-2-l=_；

③23—22-2—1=_；

®24-23-22-2-l=_；

（2）根据上面结果猜想：

①22020-22019-22018一…一23-22-2—1=_；

②2〃一2〃一‘一2一…一23—22-2—1=_；

2n—210—29—28—27-26=:

Q变式训练

1.（24-25七年级上•全国•假期作业）观察下列算式：©（x-l）（.v+l）=x2-l；②（x-l）（x2+x+l）=/-l：

③。-1）（/+，+工+1）=/-1寻找规律，并判断2（2。“）+2<2。⑺+…+2?+2+1的值的末位数字为（）

A.1B.3C.5D.7

2.（23-24七年级上•福建厦门・期末）观察下列三组数的运算：（-2）3=-8,-23=-8;（-3）、=-27,―寸=-27

（—4）3=-64,—43=-64.联系这些具体数的乘方，可以发现规律.下列用字母。表示的式子：①当。<（）时,

/=（—4）3；②当a>0时，—/=（-4）3.其中表示的规律正确的是（）

A.①B.②C.①、②都正确D.①、②都不正确

3.（24-25七年级上•甘肃白银•期中）观察下列算式：

21=2,2?=4,2,=8,2,=16,2$=322=64,2,=128,2*=256,…根据上述算式中的规律，你认为

1+2+22+23+24+25+...+22023的末位数字是・

4.（22-23七年级上•湖北黄冈•阶段练习）观察下面三行数：

-3,9,-27,81…①

1,-3,9,-27…②

-2,10,-26,82…③

（1）认真观察第①行数的排列规律，若设第①行的第〃个数为。，则〃=_（用含〃的式子表示）

（2）分析第②®行数与第①行数分别之间的关系，解答问题：设八六z分别为第①②③行的2012个数，求

x+6y+z的值.

【拓展训练四有理数四则混合运算综合】

【例1】（24-25七年级上•湖北黄冈•阶段练习）如果对于任意两个非零有理数。、方定义运算⑭如下:

〃@力=£则（_4虑3的结果是（）

b

74

A.-12B.一一C.-13D.

33

【例2】（24-25七年级下,重庆,开学考试）计算

I14

(1)3.5x1—+125%+1--j--

八4716、

(2)o3xI-+-+—

317921J

1(53

(3)-x4.85+---3.6+6.15x3—

4IX5J

111111

(4)-+-+——+—+一

2612203042

12345+23451+34512+45123+51234

⑸

1+2+3+4+5

⑹LL'LL111

++

',2483162124248496

(7)20182018x20192018-20182017x20192019

11997

(8)987+988——+999——x——

986997998

y变式训练

1.（24-25七年级上•江苏泰州•阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3

加二1,若它是偶数，则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到I.例如：取自然数5.经过下面5

步运算可得1，即：5—^T163T8_j4_j2_jl.如果自然数机恰好经过7步运算可得到I,

则所有符合条件的小的值有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.（24-25七年级下・四川乐山•期中）已知：2+4+6+2〃=川〉+1）则

111+1=()

111•

22+42+4+62+4+6+…+4046

2023八2022〃20242023

B.-----C.-----D.

•2024202320232022

2。a>Z?

L则3^2-(-3«2)=______

{Zb-aa<b

4.(24-25七年级上•全国•期末)计算

⑴24x(，3)-12+(-6)

8

⑵㈠)2。-15-7|+(-

9

1【拓展训练五有理数四则混合运算实际应用综合】

【例1】（24-25七年级上•四川绵阳•开学考试）小明一家共有三口人，小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小

明全家人的年龄总和为71岁，8年前全家人的年龄总和为49岁.小明的爸爸今年（）岁

A.33B.34C.36D.40

【例2】（24-25七年级上•广东深圳•开学考试）张阿姨经营着一个体育用品商店.一次，她购进了一批皮

球，进价是每个6元，打算以每个X元的价格卖出.实际上她在原定卖价的基础上打九折卖出，当这批皮

球全部卖出后，张阿姨共获利润216元.问：张阿姨买进的这批皮球一共有多少个？

Q变式训练

1.（25・26七年级上•浙江金华•自主招生）公交公司59路车早上6：30发第一班车，以后每隔半小时发一班

车，最后一班车是晚上8：0（）.那么59路车一天共发了（）班车.

A.13B.25C.28D.27

2.（24-25六年级下•江西鹰潭•阶段练习）学校要买4（）盒彩笔，单价25元，三个商店的优惠方式各不相同,

甲商店“买10送2”，乙商店打八五折，丙商店每满100元返现金16元，选择（）商店最合算.

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

3.（24-25七年级上•湖北十堰•期末）李阿姨在超市选购了2袋大米、8盒牛奶和3盒果汁.正值超市举行“满

100元减5元”的活动，请你算一算，李阿姨最终只需要支付一元.

气9

大米果汁

32.5元/袋2.6元/盆10.8元/盒

4.（24-25七年级上•河南郑州•开学考试）【分段收费】王老师与钱老师一起从学校出发，合乘一辆出租车,

王老师去书店、钱老师去图书馆.如图，学校、书店、图书馆在同一条直线上，且书店离学校12千米.两

人商定：先由钱老师付车费，再按坐车路程的比例分摊.已知出租车的收费标准为：0-3千米（起步价，含3

千米）11元.3千米以上的部分每千米1.8元.到图书馆时钱老师付了41.6元车费.请你算一算：

学校12千米B店图行馆

k-

（1）学校与图书馆的距离是多少？

（2）与独自乘出租车相比，王老师节约多少元车费？

（\\

1.（25-26七年级上•全国•课后作业）对于式子-3?+（-2）+-上，正确的运算顺序是（）

<2）

A.乘方、加法、除法B.乘方、除法、加法

C.加法、除法、乘方D.除法、乘方、加法

2.（2025•河南焦作•二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一

音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度.如到。2、g到G.以频率来表示，相

邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为2:1.观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出"的振

动频率是4的（）

低音区中音区高音区

A.4倍B.8倍C.12倍D.16倍

3.（24-25七年级上•福建龙岩・期末）在-23至33的整数之间进行猜数字游戏，最快在（）次内一定能猜

中.

A.5B.6C.7D.8

4.（2025•河北•一模）在式子23c中，"C）'应填入的符号为（）

A.<B.=C.>D.以上都不对

5.（24-25八年级上•江苏南通•期末）定义:若正整数a,b,c满足4=62一。2,则称〃为梦想数例如「5=82-72,

40=72-32,则15,40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（）

A.98B.87C.76D.65

6.（24-25七年级上•四川成都・期末）下列数或式子在数轴上所对应的点一定在原点右边的是（）

A.（-I）20"B.同+1C.-52D.0

7.（24-25七年级上•北京•期中）求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我

国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机C919完成研发、制造、取证、

投运.2024年9月19bl中午，印有“C919”字样的南航CZ3539航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹

桥机场，C919（标准航程型）最大起飞质量72500kg,用科学记数法表示为（）kg

A.725x100B.7.25xl04C.7.25xlO5D.7.25xlO6

8.（24-25七年级上•云南昆明・期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都

使用二进制来表示数字和数据.二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1,并利用角标表示二进制数，

例如，（101£就是二进制数1011的简单写法.在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资

料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换.

以98为例:

方法一：因为98=64+