四川省成都市2025-2026学年高二年级上册入学测试数学试题（含答案解析）

四川省成都市2025-2026学年高二上学期入学测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合力={门-14工43},4=*卜40,工£2},则/蛆4=（）

A.{.r|-l<%<0}B.{0,1,2,3}C.{.r|0<X<3}D.{-!,()}

2.命题“3X£R,f-2x-2>0”的否定是（）

A.txWR,r-2v-2<0B.3xGR,?-2v-2<0

2

C.XZreR,-2x-2>0D.3AeR,x-2x-2<0

3.cos200cos250-sin20°sin25°=()

A.；B.—C.®D.1

272

21

4.已知实数xj>0,且一上一=1,若法+卜>〃，・8m恒成立，则实数小的取值范围为()

xy

A.(-9,1)B.(-9,-1)C.(-1,9)D.(-8,-1)-(9,+8)

5.命题,a40”为真命题的一个充分不必要条件是（）

B.a<0C.a>6D.67>8

6.已知。=log,3,b=log,4,c=ab,5PJa,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.a>b>c

C.b>c>aD.a>c>h

7.已知力=(4,-2),7=(cosasina),若G_L，，则sm%+cos"=(:

cin<y-

9977

A.---B.—C.—D.----

551515

8.记锐角三角形48c的内角48,。所对的边分别为ab,c,己知8=2C,4=2,则b+c的

取值范围是()

A.(2,^+1)B.(6+1,司C.(2,26+2)D,便+1,2及+2)

二、多选题

9.已知函数/（M=2si«0x+g卜。>0）的最小正周期为兀，则下列结论正确的是（）

试卷第I页，共4页

A.直线是函数/（x）图象的一条对称轴

B.函数/G）在区间0,三上的最大值为

C.函数/⑴在区间0,看上单调递增

D.将函数/（X）图象上所有的点向左平移营个单位，得到），=2sin2x的图象

10.在矩形46a）中，AB=2,AD=\,P,。分别为线段月3,CO_L的动点，M,N分别为

线段分:您的中点，则下列说法正确的是（）

—>——►

A.AD.PQ=1

---~

B.MV//AH

C.当P,0分别为线段48,CO的中点时，S的〃=2SAQ@

D.若/C=mAM+nAN,则，/+/的最小值为2

11.（多选）在棱长为2的正方体力8CQ-481GQ中，E为48的中点，户是侧面BRGC内

的一点（包含边界），则以下结论正确的是（）

A.若AF=«,则2的轨迹长度为微

B.所与小力所成角的最大值为二

C.若F在线段3c上，则七尸±BD、

417c

D.若尸在线段CG上，则三棱锥4-8当厂的外接球表面枳的取值范围是丁［2兀

三、填空题

12.若复数z满足（l+2i）z=3+i,i是虚数单位，则z|=.

13.已知方二（1,2）,方二®,-3）且万/分,则实数机=.

14.如图，在四棱锥尸-4BCO中，底面/8C。是正方形，〃/，底面/^。。，PA=AB=

则二面角8・PC-。的大小

试卷第2页，共4页

p

D

B

C

四、解答题

d,O§38

15.(1)计算：21g5+1/一记©;

,\—l-2sinxcosx.....

(2)已知tan(TT+X)=2,求---------的值.

9pnc-v—cm*Y

16.已知0<a<2，0<6<Z.tana=Lcos6=7x/2

2T310

(1)求sin2。的值：

(2)求2a+B的值.

17.如图，在四棱锥中，底面48C。为平行四边形，CD=4,AD=4Ji、4PCD

为等边三角形，平面04CJL平面尸CO,PA±CD.

(1)设G,〃分别为尸以力。的中点，求证：G"〃平面PC0：

(2)求证：均,平面”。；

(3)求直线力。与平面产力。所成角的正弦值.

18.在V/8C中，角力，B,C的对边分别是a,b,c,向好=(cosC,2Z>-c),7=(q,-coM),

FL，>1_L%・

⑴若/一万二2ZTJI叫二%求v/5c面积的最大值：

(2)若“=26,求2/>・c的取值范围.

19.如图，我们把由平面内夹角为60。的两条数轴。x,”构成的坐标系称为“完美坐标系”,

设6，e；分别为。％,0y正方向上的单位向量，若向量0P=xe^+ye,则把实数对卜,了］叫

试卷第3页，共4页

做向量5)的“完美坐标

。尚句量3万的'完剃麻为34]，求。P|；

(2)已知[XIM],卜2g]分别为向量5,6的“完美坐标”，证明：不.5=*两+丁必+弓(王必+》2必卜

(3)若向ai,片的“完美坐标”分别为[2sinx,l],[2cosx,l],设函数/Q)二5.5,若对任意

/\

的xw0,g,不等式〃"(x)2sin2x恒成立，求实数〃？的取值范围.

I2)

试卷第4页，共4页

《四川省成都市2025-2026学年高二上学期入学测试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DABCDABDADABD

题号11

答案AD

I.D

【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案

【详解】因为集合8是所有非正整数组成的集合，所以={-1,0}.

故选:D.

2.A

【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案.

【详解】命题“3x£R,f・2x・2＞0”为存在量词命题，它的否定为全称量词命题，

即\7x£R,r-2x-2＜0,

故选：A

3.B

【分析】利用两角和的余弦公式即可求解.

【详解】由cos20°cos25°-sin200sin250=cos(20'+25°);cos45°=.

故选：B.

4.C

【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解.

2]7r2xl2vlx

【详解】实数＞0,贝ij2x+y=(2x+yX-+-)=5+式+—N5+2j°•一=9,

xyxyNxy

当且仅当x=y=3时等号成立，

由+歹＞m2-X〃/恒成立，得苏-8m＜9,解得-1＜加＜9,

所以实数m的取值范围为(T,9).

故选：C

5.D

【分析】求出命题[-2,1],/40”为真命题时。的值，再结合充分不必要条件

的定义即可得解.

答案第1页，共13页

【详解】若命题"Vxw[—2,1],r—戈—。40”为真命题，

则a2/_x,、ZrW[-2,l]恒成立.

令g(x)=f_x=x--__,xw[-2,l]，

<2)4

则函数g(x)在(一2,孝上单调递减，在佶,1上单调递增，且g(—2)=6,g(l)=0<6,

\2>k2,

所以在当x=-2时，g(x)取得最大值6,可得。26,

所以各选项中只有Z28是>8｝是｛力。>6｝的一个充分不必要条件，

即8是“2,1],r—x—a<0”为真命题的一个充分不必要条件.

故选:D.

6.A

【分析】应用作商法及基本不等式比较。"大小，由对数的运算性质求C,再由对数的性质

比较a，c大小，即可得.

【详解】因为上臀二嗨4.呜2<(也产>]粤粤)；，所以

alog,3I2)\2J\2J

a>h,

因为c=ab=log23xlog；4=log23x2log32=2,Xa=log23<log,4=c,故c>a>b.

故选：A

7.B

【分析】根据向量垂直的坐标表示可得tana=2,再结合齐次式问题运算求解.

TT

【详解】因为a_Lb，M4cosa-2sina=0»可得tana=2,

sin'a+cos'asin3a+cos5atan'a+18+19

则----------------=------------------------------------=-------------------------=---------------=—

sina-cosa(sin:a+cos:«)(sintz-cosQf)(tan2a+l)(tan«-l)(4+1)(2-1)5

HnSin'a+cos3a9

即一：--------------=—.

qin。一S

故选：B.

8.D

【分析】根据三角形内角和得力=兀-3C,结合正弦定理计算3+c=2sm2c.sinC,利用两

sin3c

角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得Q+c的取值范围.

答案第2页，共13页

【详解】因为5=2C,所以力=JI-3C.

由正弦定理二=々=三7,有/)=2sin2C2sinC,2sin2C+2sinC

sinV"一-——所以)+c=-----：--------

smJsin«sinCsin*'

2

因为sin3c=sin(2C+C)=sin2CcosC+cos2CsinC=sinC(2cos2c+cos2C)=sinC(4cosC-l).

又2sin2c+2sinC=2sinC(2cosC+1),

2sinC(2cosC+l)2(2cosC+l)2

所以人+c=sinC(4cos2C-l)-4cos2C-l_2cosc-1,

因为V,是锐角三角形,所以。＜。除。＜2。喙。〈兀-3«

所以cosCe(孝，同

所以

64

2

所以b+c=即力+c的取值范围是(6+1,2五+2),

2cosC-1

故选：D.

9.AD

【分析】根据周期公式先算出w,由代入检验法判断A选项，根据正弦函数的最值，单调

性判断BC,先求出平移后的解析式然后判断D.

【详解】因为函勘("=2.3+：)(0＞0)的最小正周期为兀，所以丁=*71,解得W=2,

所以/(x)=2sin2x+/)t则=2sin(2x得+§=2sin，=一2,

所以直线x=器是函数/(.V)图象的一条对称轴，故A正确：

当xw0,—j,则2"+g，

所以当2》+三=：,即x=「时/(工)取得最大值2,故B错误；

..7T八冗冗27r_，冗2支

当xw°，工则2、+彳€不丁，因为y=sinx在7,工-上不单调，

_oJ_J3_

所以/G)在区间|"o,二上不单调，故c错误；

将函数”)图象上所有的点向左平移尚”单位得到"2sin[2(x+高+?=2sin2x的图

象，故D正确.

故选：AD

答案第3页，共13页

10.ABD

【分析】建立平面直角坐标系，给出点的坐标可以判断ABD各项，对于C项，由四边形4P0。

与四边形心C0均为边长为1的正方形，即可判断.

【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：

则/(0,()"(2,0),。(2,1),。(0,1),

由于尸，0分别为线段48,。。上的动点，

可设尸Q,o),0(/d),(0<a<2,0</7<2),

对于A项，AD=(0,1)»PO=(/?-«,1),

则7"尸--0=O.Ga)+lxl=l,故A项正确;

对于B项，由于M,N分别为线段外的中点,

b+21।-r^r

则^―，力得小二,0

MJ52;,N空

■♦1■

而/8=(2,0),则ZM7/77,故B项正确:

对于D项，因为/c=fnAM+,M方，

aVp+2n

所以(2,1)=加+〃

£3)

得〃，+〃=2,

由〃『+YT>2mn，等号成立时，小二〃二1,

则/+)+4+//>m+/T+2mn，

得2(m2+w2)>(m+n)2,

得2(“/+//')>4,得M+n2>2,

则加2+4的最小值为2,故D项正确：

对于C项，如图所示：

答案第4页，共13页

DC

APB

四边形/尸。。与四边形尸质°均为边长为I的正方形，

1

则£«0M4=S&CNQ二W1故C项错误.

故选：ABD

11.AD

【分析】对于A,由力/=闻知//为圆锥的母线长相等，从而可得产的轨迹为四分之一

圆弧长即可求解：对于B.利用这两条异面直线可以证明垂直，故最大角就是冷，便可判断

2

错误；对于C,通过举反洌，可得到不成立，从而可得到判断；对于D,把这个

三楂锥的外接球问题转化为三角形防尸的外接圆半径的范围，然后可求得外接球的半径范

围，从而可作出判断.

【详解】

对于A,取F为8。的中点，如图1,此时满足力下=石，

因为点b在侧面88c。内，且肝=人，

所以”的轨迹为以彳为球心，、门为半径的球面与侧面880。的交线，为以点6为圆心且以

1为半径的四分之一圆弧，即长度为!x2兀xl=g,故A正确.

答案第5页，共13页

DiG

AEB

图2

对于B,如图2所示，连接BC，EB、,EC,在RiZ\6g中，平EB'BB：=非同理

可求得EC二逃，所以百EC。为等腰三角形，

当点尸为8〈的中点时，EF上BC，易知8€7/小。，故EF_LA,D,

此时E厂与小。所成角为二，故B错误.

对于C,举反例，当点产与点8重合时，EF上平面BCGBI，BDI)平面BCC四,

所以所与8n不垂直，故C错误.

对于D,如图3,设上8汽&=6,当点产为CG的中点时，6最大，取8科的中点尸,

0B.P_\,U_PF_2

连接尸F,如图4,则sin上4/P=sin不二万元二-^4os上8日尸=8$5=万万=天，

所以sin6=2sin2cosg=2当点”与点C或点G重合忖，6最小,

99S

此时sin9=迫"，所以sin。w

?

因为3,&F在球面上，所以△加/的外接圆直径2火=毁就=二而万w[5,2V2]

所以三棱锥力•防下的外接球的直径为2〃=>/AB\2R)2=4+4霜』”,2,

答案第6页，共13页

所以三棱锥力-88/的外接球的半径，Ji:

「4E

所以三极锥4-68尸的外接球的表面积S=4兀厂屋—,127：,故D正确.

故选：AD.

12.J2

【分析】先根据复数除法算出复数值，然后根据模长公式求解.

3+i(3+i)(l-2i)5-5i

【详解】由题知，z=r=]<八<=f

1+21(1+21)(1-21)5

于是|二|=J『+(-1)2=V2.

故答案为：

【分析】利用向量平行坐标公式，即对应分量成比例或叉积为零，建立方程求解机.

【详解】因为1=(1,2),b-二(私-3)且区，

所以lx(-3)=2x〃？，解得也=-：.

故答案为：一口.

14.空

3

【分析】过8作4EJ.PC交PC于E,连接。£8Z)〃C,由线面垂直的性质结合勾股定理可

得SCB坐PCD,则OEj_QC,再根据二面角的定义可知上8£7)即为二面角A-PO。的平

面角，求上8EQ即可.

【详解】如图过8作8E_LPC交尸。于E,连接。及4Q,4C,

因为P/1_L底面4SCZ),底面,所以P/1_L，48,PAA_AD,PA±AC,

因为底面40CN＞是正方形，AB=AD，

答案第7页，共13页

所以由勾股定理可得JPA*=J»即P8=PD,

又BC=DC,尸C=PC,所以APC8也4PCD,所以OE±PC,

因为平面尸灰TI平面POC=PC,所以上8£。即为二面角A-PC-。的平面角,

因为尸/=48=1,由勾股定理可得力C=8。=姮，PC=y]PA^S-

PB=JPA*2+AB2=x/2-

设尸E=x,则EC=J5-X,所以由J测(及)'--=12_(67)

解得x=拽，

彳

所以BE=DE=JP产=四,

22c

।BE?+DE?-BD?j+3-21

在△BE。中由余弦定理可得cos上­..DE—=一瓜瓜=~2,

2x-^—X——

33

因为上4£。£（0,兀），所以上方E。=

2

即二面角4・2。・。的大小为T，

故答案为：Y

⑸⑴7；(2)4

【分析】（1）利用对数的运算法则求解即可;

（2）由已知利用诱导公式得tanx=2,运用1=sin2x+cos2x化成关于sinx、cosx的齐次分式,

再弦化切代入计算即可得解.

【详解】(1)21g5+lg4-詈|=膜Sg4

咽2

<2)由kni(乃"+人)=2,得Unix三2,

l-2sinxcosxsin,x+cos'x-2sinxcosxtan,x+l-2tanx

7cnq2r-qin2r7cn<;2r-qin2r?-tan2r

22+I-2X21

=-----------------=-----

7-727,

16.⑴

答案第8页，共13页

【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出sin夕，利用二倍角公式即可求得答案;

（2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案.

【详解】（1）由题意知0<3<N,cos8=拽^故Sing=丫-交

9in~10

故sin1B-1sin0cos8=2x^~x7

ll101025

（2）由于0<。<?，且tana=-<l,则0<a<?,

744

结合0<6<-,可得0<2a+/?<n,

2

8

结合（1）可得tan8=^二；

10

2x-i

、2tana?3

而tan2a=,=--=-

l-tan-«|_£4

-9

3

-+-

,,jtan2a+lan647=|

故tan（加+8）=匚引

Z।31

1——x-

47

由于0<2。+0（兀，故2a+6=2.

4

17.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）连接8。，则/KTI8。=〃，利用三角形中位线定理证明G〃/〃7）,由线线平

行即可证得线面平行;

（2）取PC中点£,连接AE,证明。EJ-PC,利用平面P/CJL平面PCT）证明。£j_平面PNC,

得DE1.P4,结合条件，再由线线垂直即可证得4平面PCO；

（3）由（2）已得O£_L平面PIC,则上即直线4）与平面21c所成角，则可借助于

RtAJ£,D,利用三角函数的定义即可求得.

【详解】（1）如图，连接8。，因底面/8CO为平行四边形，则BH=HD,

因8G二G尸，则GH//PD,因G/7丈平面尸CQ,尸。U平面PCQ,故G”〃平面PCO.

（2）取尸C中点£,连接。E,因△尸C。为等边三角形.则。*_L"C.

答案第9页，共13页

又平面P/ic_L平面PCQ,平面尸/icn平面a?。=PC,DEL平面PCQ,

则。E_L平面aic,又尸4c-平面4C,故。

因产力_LCD,CDQDE=D,CD,DE（~平面PC。，故PA±平面PC。.

（3）由（2）已得平面产力。，连接4T,则上ZME即直线与平面0/f。所成角,

因△PCO为等边三角形，C。二4,则。《=避。。=26，

7

.DE2>/3y/6

又力3=4j2,在中，sin±.DAE=---=—产=---.

AD4x/24

即直线彳。与平面pic所成角的正弦值为渔.

4

⑵卜2国6）

【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，acosC-（2/>-c）cosJ=0,利用正弦定理及和差公

1___—.|—.2—■

式可得sin月=2$in«co&4,进而得854=5求得角八，由万=2。-7,得到力。二^//+工力。，

两边平方，结合力4二4和力二三，可得16=：°2+*n：加：利用基本不等式即可求解：

,2冗、

（2）由正弦定理可得6=4sin8,c=4sinC=4sin--B=2及os4+2sin3,再利用和

13/

差及辅助角公式得到2b-c=4Ssin（8j）由8的范围即可确定26-c的范围.

【详解】（1）因为后J_7,所以三二，即。35。-（2炉,）85>1=0,

由正弦定理得sin/fcosC-(2sinZ?-sinC)cosJ=0,

所以sin/IcosC+cosJsinC=2sinBcosA.

即sin(力+C)=2sinAcos/

因为4+8+C=7T,所以sin8=sin(4+C)H0,

所以sin8=2sin8cos彳，所以cos4=].

答案第10页，共13页

因为0<4<兀，所以力=1.

___2_____2_____2____

因项-万=2p7,所以BD=QBC=Q4C-Q4B

———1一2一

所以力。=/18+8。=518+742,

2

uuir,/1uur0uuir\IIUT、4UUTUULT4uuur,

所以40-=—48+—力。-AB+-ABAC+-AC

U3999

因为=4,且/!=：,

।C4C

所以16=—d+—bc+—/2—6c-bcT24,当且仅当2Z)=c=4\/反寸，等号成立,

9993

则VABC的面积S=-bes.nA=—be<6A5"：

74

即v/AC面积的最大值为6J3

(2)由正弦定理可得>二二-^=—J=4,

sinAsinRsinC

则6=4sinB>c=4sinC=4sin4)=2\5cosB+2sinB,

故2〃-c=8sin8-(2y5cos8+2sin@3si,8?

在V/3c中，力==，所以0<8<幺，

32

所以所以一:<sin(B_gvI,

667