2025-2026学年四川眉山仁寿一中(南校区)高二上学期9月考数学试题含答案

高中2027届高二上学期9月月考数学试题考试时间：120分钟试卷总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题58分）一、单选题单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设（为虚数单位），则（）A B. C. D.22.已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.3.如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，.则以下正确的有（

）A. B.等腰直角三角形C. D.的面积为4.在中，已知，，，则（）A. B. C.3 D.5.要得到函数的图象，只需的图象A.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C.向左平移个单位，再把各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）6.如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（）A B. C. D.7.已知，，且，，则（）A.1 B.0 C.-1 D.8.如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（）A. B.C. D.10.三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（）A. B.若面积为，则周长的最小值为12C.当，时， D.若，，则面积为11.如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（）A.平面平面 B.C.二面角的大小为 D.与平面所成角的正切值为第II卷（非选择题92分）三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，且，则与的夹角为___________.13.如图，货轮在海上以40海里时的速度由向航行，航行的方向角，处有灯塔，其方位角，在处观察灯塔的方位角，由到需航行0.5小时，则到灯塔的距离是___________海里.14.如图，已知边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，二面角的大小为60°，则直线与平面所成角的正弦值为______.四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求在方向上投影向量的模．16.在中，的对边分别为.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.17.如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.18.已知函数（其中，，，）的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点.若，，.（1）求的大小；（2）求函数的解析式；（3）若，，求的值.19.欲在某湿地公园内搭建一个形状为平面凸四边形的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中（单位：百米），（单位：百米），为正三角形.建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为科普宣教文化的区域.（1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域面积的最大值.

2027届高二上学期9月月考数学试题考试时间：120分钟试卷总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题58分）一、单选题单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设（为虚数单位），则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据复数代数形式的乘法运算法则化简，再根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以；故选：B2.已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积.【详解】解：由题意在圆锥中，设底面半径为圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形∴解得：由几何知识得圆锥的高：∴圆锥体积：故选：C.3.如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，.则以下正确的有（

）A. B.是等腰直角三角形C. D.的面积为【答案】ABC【解析】【分析】根据直观图画出原图，逐一分析，计算判断，即得正确答案.【详解】画出原图如下图所示，根据斜二测画法的知识可知：，则,即三角形是等腰直角三角形，面积为.故A,B,C项正确，D项错误.故选：ABC.4.在中，已知，，，则（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根据两角和差的正弦公式计算，再结合正弦定理即可.【详解】由题意可知，，又，则由正弦定理可得，.故选：D5.要得到函数的图象，只需的图象A.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）【答案】D【解析】【分析】先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.【详解】，因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：（1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.6.如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，将异面直线与所成的角转化为或其补角，即可求解．【详解】在三棱柱中，，异面直线与所成的角为或其补角，连接，底面，平面，，又，，平面，又平面，，由，可得，，，又，，在△中，，即异面直线与所成角的余弦值为．故选：A．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7.已知，，且，，则（）A.1 B.0 C.-1 D.【答案】B【解析】【分析】判断，的范围，求得，，将化为，利用两角差的余弦公式即可求得答案.【详解】因为，,所以，,因，所以,因为，所以,所以,故选：B8.如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为、高分别为，得，即，得到圆柱的侧面积，求得圆柱的侧面积最大值，进而可求解球的表面积与圆柱的侧面积之差，得到答案．【详解】由题意知，球的半径，所以球的表面积为.设圆柱的底面半径为、高分别为，则，得，即，所以圆柱的侧面积，所以当，即时，圆柱的侧面积最大，最大值为.此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是.【点睛】本题主要考查了球的表面积和圆柱的侧面积公式的应用，以及组合体的性质的应用，其中解答中根据组合体的性质，得到圆柱的底面半径和高的关系，求得圆柱的侧面积的表示是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】对A，B，由向量的加法法则即可判断；对C，D，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.【详解】解：如图所示：对A，，又，即，故A正确；对B，，故B错误；对C，设为与的交点，由题意可得：是的重心，故，，故C正确；对D，，故D错误.故选：AC.10.三角形三边所对的角为，，则下列说法正确的是（）A. B.若面积为，则周长的最小值为12C.当，时， D.若，，则面积为【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.【详解】因为，由题意可得，整理得，由正弦定理边角互化得，又由余弦定理得，所以，A正确；当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，B正确；由当，时，，解得，C错误；由，得，由正弦定理得解得，又因为，所以，D正确；故选：ABD.11.如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（）A.平面平面 B.C.二面角的大小为 D.与平面所成角的正切值为【答案】ABC【解析】【分析】先证明平面，得，再结合，即证平面，所以平面平面，判断A正确；利用投影判断，判断B正确；先判断即为二面角的平面角，再等腰直角三角形判断，即C正确；先判断为与平面所成的角，再求正切，即知D错误.【详解】由题易知，又，，所以，所以，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；在平面内的射影为，又为正方形，所以，，故B正确；易知即为二面角的平面角，又，，所以，故C正确；易知为与平面所成的角，又，，，所以，故D错误.【点睛】求空间中直线与平面所成角常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.第II卷（非选择题92分）三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，且，则与的夹角为___________.【答案】##【解析】【分析】根据数量积的运算律求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，，且，所以，即，即，所以，设与的夹角为，所以，因为，所以；故答案为：13.如图，货轮在海上以40海里时的速度由向航行，航行的方向角，处有灯塔，其方位角，在处观察灯塔的方位角，由到需航行0.5小时，则到灯塔的距离是___________海里.【答案】【解析】【分析】根据已知条件求解出，的大小，然后根据正弦定理求解出，则到灯塔的距离可求.【详解】因为，，所以，又，所以，所以，所以，又因为海里，且，所以海里，故答案为：.14.如图，已知边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，二面角的大小为60°，则直线与平面所成角的正弦值为______.【答案】【解析】【分析】由，可算得点C到平面的距离为d，又由直线BC与平面所成角的正弦值为，即可得到本题答案.【详解】∵四边形是菱形，，，为二面角的平面角，，是等边三角形.取的中点，连接，则.，平面，又平面，平面，平面，，，的边上的高，，设点到平面的距离为，则.，，∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查立体几何与折叠图形的综合问题，其中涉及到直线与平面所成角的求解.四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求在方向上的投影向量的模．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据数量积的运算公式即可求解，向量的模，结合数量积公式，可解得；(2)利用向量投影公式计算模.【小问1详解】由已知，得．；【小问2详解】，在方向上的投影向量的模为．16.在中，的对边分别为.（1）若，求值；（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；【小问1详解】已知，由正弦定理可得，，，，，即，.【小问2详解】由（1）知，由，则.设，，，，.17.如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）先求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可；（2）取线段的中点，求证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；（3）求出各边长，利用棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】连接，因为平面，平面，所以，因四边形为菱形且，则为正三角形，又为的中点，则，又，平面，则平面.【小问2详解】设为线段的中点，连接、，因为的中点，则，且，又且，为的中点，则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面；【小问3详解】∵，为正三角形，∴，∵，为的中点，∴，∴，故三棱锥的体积为.18.已知函数（其中，，，）