上海市上海大学附属中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市上海大学附属中学2026届高三上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。1.已知α、β是空间两个不同的平面，则“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“α//βA.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件2.某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为100分.如图所示的茎叶图为某班20名同学的测试成绩(单茎位：分).则这组数据的极差和众数分别是(

)

A.20，88 B.30，88 C.20，82 D.30，913.若函数y=3sin(x+θ)+cos(x+θ)的图像关于y轴对称，θ∈A.π6 B.π3 C.2π4.对于定义在R上的函数f(x)，若存在正常数a、b，使得f(x+a)≤f(x)+b对一切x∈R均成立，则称f(x)是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f(x)=x2+x+1；②f(x)=|x|；A.②③ B.③④ C.②③④ D.①②④二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。5.a为实数1+2ia+i为实数，则a=

．6.集合A={x|y=x−2}，B=y7.(x−2y)5的展开式中x2y3的系数为8.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标是

．9.已知sinα−cosα=3310.从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为

(用数字作答)．11.已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱与底面成角为π3，则该棱锥体积为

．12.中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若AB=2，则AC⋅AE=

；

13.已知点A(−3,−2)和圆C：(x−6)2+(y−6)2=2，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x−3后反射(入射点为B)，反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP14.已知定义在(−3,3)上的奇函数y=f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，y=f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式f′(x)x>015.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1−x)+f(1+x)=2，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−x2，若f(x)≥x+b对一切x16.已知数列an满足13an≤an+1≤3an，n是正整数，a1=1，若an是公比为q三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题13分)如图，三棱锥P−ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且(1)求证：AC//平面PDB(2)求二面角P−AB−C的余弦值．18.(本小题15分)已知在▵ABC中，∠A﹑∠B﹑∠C所对的边分别为(Ⅰ)求角A、B、C的大小；(Ⅱ)设函数f(x)=sin(2x+A)+cos2x−19.(本小题16分)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10，OB=x(0<x<10)，线段BA，CD与BC⌢，AD(1)求θ关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．20.(本小题17分)已知椭圆Γ:x2a2+y2b(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过点P的直线l与椭圆Γ交于两个不同的点C,D(点C在点D的上方)，试求▵COD(3)若直线m经过点M(1,0)，且与椭圆Γ交于两个不同的点A,B，是否存在直线l0:x=x0(其中x0>2)，使得A,B到直线21.(本小题17分)函数f(x)的定义域为R，若f(x)满足对任意x1,x2∈R，当x1(1)请写出一个函数f(x)是1连续的，并判断f(x)是否是n连续的n∈(2)证明：若f(x)是[2,3]连续的，则f(x)是2连续且是3连续的；(3)当x∈−12,12时，f(x)=ax3+12bx+1，参考答案1.B

2.B

3.B

4.C

5.126.[2,4]

7.−80

8.4

9.2310.1611.9412.8+413.13−14.(−3,−15.−116.1317.【详解】(1)解：因为AD⊥DB，且DB=1，AB=2，所以所以∠DBA=60因为▵ABC为正三角形，所以∠又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB//因为AC⊂平面PDB，DB⊂平面PDB所以AC//平面PDB(2)解：由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD所以PD⊥DA，如图，以D为原点，AD方向直线为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知B(0,1,0)，A(−3,0,0)，P(0,0,1)平面ABC的法向量n→=(0,0,1)，所以设m→=(x,y,z)为平面由m→⋅BA→=0m→⋅BP所以平面PAB的一个法向量m→=(1,−由图象知二面角P−AB−C是钝二面角，所以二面角P−AB−C的余弦值为−

18.【详解】(Ⅰ)由题设及正弦定理知：cosAcosB∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π当A=B时，有sin(π−2A)=cosA，即sinA=当A+B=π2时，有sin(π−∴A=B=π6，(Ⅱ)由(Ⅰ)及题设知：f(x)=sin当2x+π6∈[即f(x)=2sin(2x+π它的相邻两对称轴间的距离为π2

19.【详解】(1)解：根据题意，可算得BC⌢=θxm因为AB+CD+BC⌢+所以，θ=2x+10(2)解：根据题意，可知y==(x+5)(10−x)=−当x=52m综上所述，当x=52m

20.【详解】(1)点P(0 , 2)关于直线y因为(−2 , 0)在椭圆Γ上，所以a=2，又2c=2则b2=a2−(2)由题意，直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+2，由y=kx+2 ,x2由△=(16k2)−4设C(xC , yC)，S▵所以，S=64令4k2−3=t，则t因为t+16t≥8(当且仅当t=4时等号成立)所以，当且仅当t=4，即k2=74时，(3)当直线m的斜率不存在时，m的方程为x=1，此时dA=d等式dAd当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k(x−1)，由y=k(x−1) ,x2设A(x1 , y1由题意，x1与x2一个小于1，另一个大于1，不妨设则d=x===所以，2x0即2x0−综上，存在满足条件的直线x=4，使得dA

21.【详解】(1)函数f(x)=x是1连续的，也是n连续的．理由如下：由x1−x同理当x1−x所以f(x)=x是1连续的，也是n连续的．(2)因为f(x)是[2,3]连续的，由定义可得对任意x1当2≤x1−所以有f(x+6)−f(x)=f(x+6)−f(x+4)+f(x+4)−f(x+2)+f(x+2)−f(x)≥6，且f(x+6)−f(x)=f(x+6)−f(x+3)+f(x+3)−f(x)≤6，所以f(x+6)−f(x)=6，所以f(x+6)−f(x+4)=f(x+4)−f(x+2)=f(x+2)−f(x)=2，即f(x)是2连续的，又同理可得f(x+6)−f(x+3)=f(x+3)−f(x)=3，即f(x)是3连续的．(3)已知f(x)是[2,3]连续的，则由(2)可得f(x+2)−f(x)=2,f(x+3)−f(x)=3，两式相减可得f(x+3)−f(x+2)=1，即f(x+1)−f(x)=1,f(x)是1连续的，进一步有f(x+n)−f(x)=n，n∈N∗，f(x)由已知x∈−1若a=b=0时，f(x)=1，则f12=f又对任意x1,x2∈因为f(x)是[2,3]连续的，所以2≤fx又fx1+2所以0≤fx即对任意x1,x2∈故f(x)是[0,1]连续的．由上述分析可得f则当x∈−12,有a所以3