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2目录上册第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理及层数应用第0章预备知识第五章不定积分微积分学基本知识结构3目录上册第八章级数第九章常微分方程第十章差分方程第七章多元函数微积分学

第六章定积分微积分学教程（上册）5目录上册第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理及层数应用第0章预备知识第五章不定积分微积分学基本知识结构6微积分学基本知识结构微积分学（Calculus）是经典数学分析的主体内容.包含微分学与积分学两大部分.微分学（DifferentialCalculus）的主要内容包括一元函数、多元函数的导数、高阶导数、偏导数、微分、全微分的基本概念、运算法则及以此为基础对函数进行研究的一系列方法.求函数的导数或微分的方法统称为微分法（Differentiation）.积分学（IntegralCalculus）的主要内容包括一元函数的定积分、不定积分和多元函数的各种积分的概念、理论、计算，及以此为基础对函数的数量变化进行研究的方法.求函数各种积分的方法统称为积分法（Integration）.简而言之，微积分学的目标是研究函数的改变量：微分学研究函数在某一点（局部）的“微观”改变量；积分学研究函数在某一个范围内（整体）的“宏观”改变量.将函数在一个范围内的宏观改变量“细分”为每一点的微小改变量，这就是微分；反之，将函数在某个范围内每一点的微观改变量“累加”，成为这个函数在此范围内的总体改变量，这便是积分.7微积分学基本知识结构8第0章预备知识首先，在这一章中要回顾在中学已经学过的基础知识，对其进行简要的归纳总结，并将主要结果列出，以便于今后的使用.它们都是学习微积分课程所需的基本知识，因此要求对其熟练掌握.这些内容有：其次，除了以上这些大家比较熟悉的内容外，还将简单介绍一些在中学没有详细学习过（尤其是文科）的知识模块，便于今后相关知识的学习，这些内容包括：（1）实数集合的表示方法；（2）不等式及其性质；（3）本教材中常用的数集和逻辑符号；（4）常用公式集.（1）行列式；（2）极坐标；（3）复数.9第0章预备知识０.１集合０.２实数集０.３实数的绝对值与不等式０.４常用公式与符号集０.７复数简介０.６极坐标简介０.５行列式简介10§０.１集合集合也简称集，是数学中的一个重要的基础性概念，在数学中具有很重要的地位，发挥着重要的作用.定义0.1具有某种属性的事物或对象的全体称为集合（Set）.集合中的事物或对象称为元素（Element）.通常用大写的字母A，B，C，X，Y等表示集合，而用小写字母a，b，c，x，y…或数字1，2，3…或其他有确定含义的字符来表示集合的元素.如果a是集合A的一个元素，则称a属于A，或说元素a在集合A中，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，则称a不属于A，或说元素a不在集合A中，记作aA（或）.元素a对集合A的隶属关系是明确的，即a或者属于A，或者不属于A，二者必居其一.11§０.１集合请记住以下几个与集合相关的概念.12§０.１集合二、集合的表示方法（1）列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用大括号“{}”括起来.（2）描述法：用以下形式表示集合A（3）图示法：用曲线围成的封闭区域（圆、椭圆、矩形等）表示集合及相互间的关系.常用的是维恩图（也称文氏图）（VennGraph）和欧拉图（EulerGraph）.13§０.１集合三、集合的运算集合的运算有“并”，“交”，“补”，“差”，“乘积”，下面分别给出它们的定义.集合的并运算有下列性质.14§０.１集合三、集合的运算集合的运算有“并”，“交”，“补”，“差”，“乘积”，下面分别给出它们的定义.集合的交运算有下列性质.15§０.１集合三、集合的运算集合的运算有“并”，“交”，“补”，“差”，“乘积”，下面分别给出它们的定义.集合的补运算有下列性质.16316§０.１集合三、集合的运算集合的运算有“并”，“交”，“补”，“差”，“乘积”，下面分别给出它们的定义.集合的差运算有下列性质.关于差集，有的教材中采用A＼B来表示，请在阅读时注意书中的说明.本书采用A-B来表示差集17§０.１集合三、集合的运算集合的运算有“并”，“交”，“补”，“差”，“乘积”，下面分别给出它们的定义.举例18§０.１集合四、集合的混合运算律集合的交、并除了各自符合交换律、结合律等运算律外，集合的交、并、补的混合运算还符合下列运算律：差与笛卡尔乘积的运算不符合交换律、结合律.19§0.2实数集一、实数的表示以下是几个常用数集的表示符号，以后可以直接使用.自然数集(SetofNaturalNumbers)，记为N，N={0，1，2，3，…}；正整数集(SetofPositiveIntegers)，记为N+（或Z+），N+={1，2，3，…}；整数集(SetofIntegers)，记为Z，Z={0，±1，±2，±3，…}；有理数集(SetofRationalNumbers)，记为Q，,q互质且q≠0}；实数集(SetofRealNumbers)，记为R，R={x|－∞≤x≤+∞}；平面点集(SetofPointsInPlane)，记为R×R（或R2），R×R={(x,y)|－∞≤x≤+∞，－∞≤y≤+∞}；复数集(SetofComplexNumbers)，记为C，C={x+yi|x∈R,y∈R}.实数包含有理数和无理数，有理数又包含整数和分数.实际上，最大的数系统是复数，实数只是复数系统中的一部分（见本章§0.7复数简介）20§0.2实数集一、实数的表示数集之间的包含关系21§0.2实数集一、实数的表示实数可以用一个一维坐标系统表示.“一维坐标系（One-dimensionCoordinatesSystem）”这一名称用的较少，通常称之为“数轴”一条规定了原点、正方向和长度单位的直线称为数轴.这样每一个实数便与数轴上的一个点建立了一一对应关系.因此在实际应用时，常常对一个实数和它在数轴上的对应点不加区别，所以，说实数a，与说数轴上的点a没有区别，表示相同含义.实数a在数轴上对应的点也称为实数a的坐标.22§0.2实数集二、区间23§0.2实数集二、区间各种区间所表示的实数范围24§0.2实数集二、区间以上区间的右端点b与左端点a的差b－a，称为区间的长度（LengthofInterval）.长度有限的区间称为有限区间(FiniteInterval).在这里要注意有限区间不是含有有限个实数的意思.下列几种长度无限的区间，称为无限区间(InfiniteInterval).事实上，(－∞,+∞)=R这些区间的示意图，由同学们参照图0-2自己画出所有的区间实质上都是集合，因此它们都可以用集合的各种运算符进行运算.25§0.2实数集二、区间有两个区间(－1,3］和(2,20］，则(－1,3］∪(2,20］=(－1,20］；(－1,3］∩(2,20］=(2,3］；(－1,3］－(2,20］=(－1,2］；(－1,3］×(2,20］={(x,y)|－1<x≤3,2<y≤20}例

126§0.2实数集三、邻域邻域（Neighborhood）也用来表示一个实数集合27§0.2实数集三、邻域

从定义看，邻域就是一个开区间，为什么不直接用开区间，而要定义邻域、设置专用符号呢？这主要是考虑到方便今后的应用，才提出的这个概念.今后的应用中，若在一个整体范围内讨论问题时，就用区间；若在某一点处讨论问题，但不可避免地涉及到以这点为中心的附近的点，而且对该点附近的范围可大可小并无固定要求时，多用邻域.28§0.2实数集三、邻域x0点的任意一个邻域：U(x0)，如果在使用时对邻域半径没有要求时可以这样表示；x0点的任意一个空心邻域：U(x0)；正无穷远处的左邻域：U－(+∞)，表示+∞远处左侧的任意一个开区间.即U－(+∞)=(M,+∞)，M为一很大的正数；负无穷远处的右邻域：U+(－∞)，表示－∞远处右侧的任意一个开区间.即U+(－∞)=(－∞,－M)，M为一很大的正数；无穷远处的邻域：U(∞)，表示+∞和－∞附近的开区间.即U(∞)=(－∞,－M)∪(M,+∞)，M为一很大的正数.o29§0.3实数的绝对值与不等式一、绝对值由绝对值的定义可以看出，它的几何意义是：|a|表示点a与原点O的距离.进一步，设a和b为两个实数，由绝对值的定义可知它的几何意义是：|a－b|表示点a与点b之间的距离.30§0.3实数的绝对值与不等式一、绝对值|a|与|a－b|的几何意义如图31§0.3实数的绝对值与不等式二、不等式32§0.4常用公式与符号集一、基础公式1.对数恒等式33§0.4常用公式与符号集一、基础公式2.因式分解对任意正整数n都有

an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)；若将上式中的b换为－b，则当n为奇数时有

an+bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1)；则当n为偶数时有

an－bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1).34§0.4常用公式与符号集一、基础公式3.数列35§0.4常用公式与符号集一、基础公式4.求和36§0.4常用公式与符号集一、基础公式5.排列与组合37§0.4常用公式与符号集二、三角公式1.基本关系38§0.4常用公式与符号集二、三角公式2.两角和（差）39§0.4常用公式与符号集二、三角公式3.倍角与半角40§0.4常用公式与符号集二、三角公式4.积化和差以两角和与差的公式为基础（两式相加或相减），可得以下积化和差公式.41§0.4常用公式与符号集二、三角公式5.和差化积42§0.4常用公式与符号集三、常用符号43§0.5行列式简介一、行列式的定义定义0.14将4（22）个实数分别排成两行两列，再在两侧加上两条竖线所得到的式子为一个二阶行列式(SecondOrderDeterminant).44§0.5行列式简介一、行列式的定义这个“式子”与平时所熟知的“式子”在形式上有很大不同.既然是式子，那么它代表的是什么样的算术表达式呢定义如下.45§0.5行列式简介一、行列式的定义46§0.5行列式简介一、行列式的定义定义0.15将9（32）个实数分别排成三行三列，再在两侧加上两条竖线所得到的式子称为一个三阶行列式(ThirdOrderDeterminant).47§0.5行列式简介一、行列式的定义三阶行列式展开项正负示意图48§0.5行列式简介二、行列式的简单性质以下内容仅作参考、了解.下列性质是任意阶行列式都具有的，这里不加证明，只用二阶行列式的实例进行验证.（1）行列互换，其值不变.即49§0.5行列式简介二、行列式的简单性质（2）两行（或列）互换，其值变号.即（3）行列式中某一行（或列）有公因子时，公因子可提到行列式外，即（4）如果行列式的两行（或列）元素对应相等，则其值为0；如果行列式的两行（或列）元素对应成比例，则其值也为050§0.5行列式简介二、行列式的简单性质（5）行列式的某一行（或列）各元素乘以一个常数后，加到另一行（或列），其值不变，即请自己举出实例进行验证.51§0.6极坐标简介一、极坐标系此前，在平面上标定一个点时，用的是平面直角坐标系（RectangularCoordinatesSystem），也称为二维坐标系（Two-dimensionsCoordinatesSystem）或笛卡儿直角坐标系.在这个坐标系统中，用一个二元有序数组(a,b)来标定平面上的一个点A，其中a和b分别是点A的横坐标和纵坐标.另一个重要的表示平面上点的方法就是所谓的极坐标系（PolarCoordinatesSystem）那么极坐标系是什么样子？如何表示平面上的点？与直角坐标系相比有什么不同？有什么优点？它怎样表示函数？又怎样表示函数的图像？先看极坐标系的建立.52§0.6极坐标简介一、极坐标系在平面上设一固定点O（称为原点，或极点（Pole））从O点出发向右画一条射线（称为极轴（PoleAxis））.对于平面上任何异于O的点P，将O与P两点间的距离称为极径（RadiusVector），记为r；将线段OP与极轴的夹角称为极角（PoleAngle），记为θ.这时P点的位置可以用一个二元有序数组(r,θ)唯一地表示出来.(r,θ)称为点P的极坐标（PolarCoordinates），记为(r,θ)或P(r,θ)53§0.6极坐标简介一、极坐标系为了使用方便，这里做一简单规定：极点处，r=0，除极点外，r>0；极轴逆时针转动与极径形成的夹角θ是正值，极轴顺时针转动与极径形成的夹角θ为负值.具体使用时，正负均可，视方便而定54§0.6极坐标简介二、极坐标与直角坐标的关系将平面直角坐标与极坐标按照“原点重合，x轴与极轴重合”的规则放置在一起，这样平面上的一点P(x,y)也可用极坐标P(r,θ)来表示.如图所示55§0.6极坐标简介二、极坐标与直角坐标的关系显然x，y与r，θ相互之间有如下关系.这说明用直角坐标表示的点，可以转换成极坐标来表示，反之亦然.利用坐标变换，就可以使数学上一些本来很难解决、甚至无法解决的“疑难杂症”“手到病除”，既简单又方便.这一点在今后学到相关的知识时便会有所体会.56§0.6极坐标简介二、极坐标与直角坐标的关系在直角坐标系中，两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)间的距离公式为如图所示57§0.6极坐标简介二、极坐标与直角坐标的关系利用坐标变换公式（0.2）得到将它们代入（0.3）便得到（或用余弦定理也有相同结果）如图所示58§0.6极坐标简介三、直角坐标方程转化为极坐标方程为什么要采用极坐标系呢？它有什么优越性吗？此前都用直角坐标系来绘制函数的图形，同时也用含有x，y的方程来表示函数.从现在起，来看看如何用极坐标来表示函数.59§0.6极坐标简介三、直角坐标方程转化为极坐标方程60§0.6极坐标简介三、直角坐标方程转化为极坐标方程圆在不同坐标系下的方程61§0.6极坐标简介三、直角坐标方程转化为极坐标方程62§0.7复数简介一、复数及相关概念虚部为0的数显然是实数，可见，实数包含于复数之中.引入虚数后，我们便有=±i，于是对于实数a<0，也便有了意义.63§0.7复数简介一、复数及相关概念64§0.7复数简介二、复平面及复数的表示从复数的定义可以看到，一个复数对应一个二元数组(x,y)，即一个复数与平面上的点(x,y)一一对应.所以，以横轴（x轴）为实轴，长度单位为实数单位“1”；以纵轴（y轴）为虚轴，长度单位为虚数单位“i”而建立的平面，称为复（数）平面，如图010所示.可见实数对应实轴上的点，纯虚数对应虚轴上的点（原点除外），在复平面上，“复数z”也称“点z”.点z到原点的距离r称为复数z的模（或绝对值），记作|z|.当|z|≠0时，原点到z点的连线与正实轴所成的夹角θ称为复数z的辐角.当然，辐角不是唯一的，2kπ+θ,k∈Z都可以作为复数z的辐角.为了方便应用，规定辐角的主值区间为(－π,π］，记作argz（但还是用θ表示辐角更方便，以下多用θ）.当|z|=0时，辐角不确定.65§0.7复数简介三、复数的运算以下内容仅作参考、了解.66§0.7复数简介二、复平面及复数的表示67§0.7复数简介二、复平面及复数的表示2.复数的n（n为正整数）次方定义为：68§0.7复数简介二、复平面及复数的表示69微积分（一）主编谢小良刘春生

赵军产71目录上册第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理及层数应用第0章预备知识第五章不定积分微积分学基本知识结构72第一章函数73第一章函数函数是微积分学的主要研究对象.世界是变化的，世界上的一切事物也是变化的，事物的变化不是孤立的，变化着的事物之间是相互依赖、相互影响的，同时这些变化也是复杂的.而函数恰恰能够且善于刻画这些复杂的依赖关系.因此，将现实世界中的变量间的关系用函数表示出来，再对函数进行量化研究，进而达到研究客观事物的目的.因此可以认为函数是从现实世界中的自然现象或相关事物间的相互依赖关系中抽象出来的量化（或数学）表示形式.在这一章将系统总结和回顾函数的概念、函数的一般性质，介绍反函数与复合函数以及初等函数等基本知识内容，并使大家对这些知识的理解有进一步提高.74第一章函数§1.1函数的概念§1.２函数的性质§1.３反函数与复合函数§1.４基本初等函数§1.７综合与提高§1.６常用经济函数简介§1.５初等函数75§1.1函数的概念在对自然现象或客观事物的观察研究中，常遇到各种不同的量，其中有的量在整个变化过程中保持不变，这样的量称为常量（Constant）；还有的量在事物的变化中不断变化（从而可以取得不同的值），这样的量称为变量（Variable）.一、常量与变量例1已知一个物体从一定高度自由下落，其落下的高度H与下落的时间t的关系为其中的重力加速度g是一个不变的量，是常量；高度H随时间t的变化而变化，因此高度和时间都是变量.76§1.1函数的概念在本书中，常用a，b，c，m，n，α，β等符号表示常量，常用x，y，z，u，v，t等符号来表示变量.这只不过是大家认可的习惯用法，并不是绝对和不能改变的，当然可以在对一个符号加以说明的前提下，将其作为常量或变量来使用.一、常量与变量77§1.1函数的概念什么是函数？简要地说，函数是变量间的一种单值对应关系（或对应法则）.具体有如下定义.二、函数的概念函数是高等数学中非常重要的基础概念之一，因此要对它进行深入的了解，熟练掌握相关的基础知识.主要包括以下几个要点：78§1.1函数的概念二、函数的概念函数相关的符号79§1.1函数的概念二、函数的概念

函数的两个要素定义域D与对应规则f是一个函数的两要素.也就是说如果定义域D和对应规则f确定了，这个函数就确定了.这同时也表明，观察两个函数是否为同一个函数，只要观察它们的定义域是否相同，对应规则是否相同.若两者都相同则是同一个函数，否则就不是同一个函数.80§1.1函数的概念二、函数的概念

函数的表示方法（1）公式法

用数学表达式表示自变量与因变量的对应关系.特

点：对应规则明显，函数值的计算方便，但不易看出其变化规律.（2）图像法

用二维坐标平面上的图形表示自变量与因变量的对应关系.特

点：易于观察函数的变化规律和变化趋势，但对应规则不明显，且不易计算函数值.（3）表格法

用表格列出自变量与因变量的对应数值.特

点：自变量与函数值对应明显，但不易知道对应规则，且在理论上只能表示有限（但实际上只是少量）点的函数值.本书中常用的是公式法和图像法，且二者结合使用，优势互补.81§1.1函数的概念二、函数的概念

函数定义域的确定原则函数定义域的确定是研究函数的一个前提，由数学表达式（公式法）表示的函数的定义域，称为自然定义域（NaturalDomain），它的确定要综合考虑以下原则：（1）分式的分母不为零；（2）使函数的数学计算在实数范围内有意义；（3）满足某些函数（如反三角函数）自身的特殊要求；（4）由几个函数经一定的方式结合（如四则运算）而成的函数的定义域为这几个函数定义域的公共部分（交集）；（5）分段函数的定义域为各段中自变量取值范围的总和（并集）；（6）对于表述实际问题的函数，应综合考虑自然定义域和实际意义来确定函数的定义域.82§1.1函数的概念二、函数的概念

函数定义域的确定原则83§1.1函数的概念二、函数的概念

函数的四则运算将自变量x的“值”（可能是数值，也可能是一个式子）代入函数表达式f(x)中出现x的地方进行计算即可.84§1.1函数的概念二、函数的概念

函数的四则运算85§1.1函数的概念二、函数的概念

函数的四则运算86§1.1函数的概念三、分段函数有些函数在其定义域内无法用一个统一的表达式来表示，而是随自变量的不同取值范围而采用不同的表达式来表示，这种形式的函数称为分段函数(PiecewiseFunction).这里要注意两点：虽然分段函数用几个式子表达，但它表示的是一个函数而不是几个函数.

分段函数的定义域是各段定义域的并集.87§1.1函数的概念三、分段函数88§1.1函数的概念三、分段函数89§1.1函数的概念三、分段函数90§1.1函数的概念四、隐函数常见的函数都是y=f(x)的形式，即y是由x的表达式来表示的.这种形式的函数称为显函数(ExplicitFunction).如果将y=f(x)看作一个含有两个变量的二元方程y－f(x)=0，那么，对任意的x，按照“使方程成立”这一规则，有唯一y与之对应，因此这个方程就确定了一个函数.这种由二元方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数(ImplicitFunction).亦即“函数y=f(x)‘隐藏’在方程F(x,y)=0中”之意.91§1.1函数的概念四、隐函数关于隐函数要理解以下几点：92§1.1函数的概念五、建立应用问题的函数举例为了解决实际中的应用问题，先要将问题转化为一个能用数学方法求解的数学问题，这个过程叫做建立数学模型，也就是常说的数学建模.数学模型的种类很多，如概率模型、微分方程模型、线性规划模型等.在这里用的是一种最简单的模型，即函数关系模型，它是将一个实际问题表示为一个函数，通过对函数的讨论，进一步解决实际问题.93§1.1函数的概念五、建立应用问题的函数举例例8某公司生产一种设备，每年的总产量为a台，分成若干批生产，每一批的生产准备费为b元.设产品均匀投放市场（即常年平均库存量保持为每一批产量的一半），且库存费用为c元/（年·台）.试求一年中总费用（库存费与生产准备费的总和）与每一批的产量间的函数关系.在学习了函数的极值后（见第四章§4.3函数的极值），就可求出每一批的产量定为多少时，可使一年的总费用最少.此时每一批的产量称为最优批量.94§1.1函数的概念五、建立应用问题的函数举例例9有一家工厂A距一条铁路的垂直距离为akm，其垂足B到一港口C的铁路总长为bkm，工厂的产品经港口C转往国外.已知汽车的运费是m元/（T·km），火车的运费是n元/（T·km）.为节省运费，计划在BC间选一点D作为转运站，这样先将产品直线运至D，再由火车运往C港.这时运费的数量就与D的位置有关，如图所示.试将每吨货物的总运费表示为距离|BD|的函数.95§1.1函数的概念五、建立应用问题的函数举例例9有一家工厂A距一条铁路的垂直距离为akm，其垂足B到一港口C的铁路总长为bkm，工厂的产品经港口C转往国外.已知汽车的运费是m元/（T·km），火车的运费是n元/（T·km）.为节省运费，计划在BC间选一点D作为转运站，这样先将产品直线运至D，再由火车运往C港.这时运费的数量就与D的位置有关，如图所示.试将每吨货物的总运费表示为距离|BD|的函数.96§1.2函数的性质一、函数的奇偶性研究函数的奇偶性可了解函数的图形（关于原点或坐标轴）的对称性.定义1.3设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称，如果(1)对任意的x∈D（此时必然－x∈D），都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数（EvenFunction）；（2）对任意的x∈D（此时必然－x∈D），都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数（OddFunction）.对于偶函数，因f(－x)=f(x)，所以如果任意一点P(x,f(x))在图形上，则点P′(－x,f(x))也在图形上，显然P(x,f(x))与P′(－x,f(x))关于y轴对称，因此，偶函数的图形关于y轴对称.

对于奇函数，因f(－x)=－f(x)，所以如果任意一点Q(x,f(x))在图形上，则与它关于原点对称的点Q′(－x,－f(x))也在图形上.因此，奇函数的图形关于原点对称.97§1.2函数的性质一、函数的奇偶性奇、偶函数的图像特征如图98§1.2函数的性质一、函数的奇偶性例1

确定函数

的奇偶性.99§1.2函数的性质一、函数的奇偶性【思考与讨论】100§1.2函数的性质二、函数的单调性函数的单调性也称为增减性.它研究的是当自变量增加时，对应的函数值是增加还是减少的性质.定义1.4

设函数y=f(x)在区间I内有定义.对区间I内的任意两点x1和x2，若当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I内单调增加或单调递增，同时称f(x)为增函数（IncreasedFunction）；当x1<x2时，若有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I内单调减少或单调递减，同时称f(x)为减函数（DecreasedFunction）.单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数(MonotoneFunction).使得函数单调递增或单调递减的区间称为单调区间(MonotoneInterval).101§1.2函数的性质二、函数的单调性注：

定义中的x1和x2是区间I内的任意两点.

单调函数的图像在单调（递增、递减）区间内是单调（上升、下降）的.

有的函数在其定义域内不是单调增加的，也不是单调减少的，而在某个子区间上却是单调的.如f(x)=x2便是如此.因此，讨论一个函数的单调性时应注明函数在什么区间上单调，是单调增加还是单调减少.在单调性的定义中，直接给出了一个判定函数单调性的方法，即：在函数的定义区间中任取两点x1和x2，且假定x1<x2，进一步计算并比较f(x1)和f(x2)的大小，再由定义，即可知函数的单调性.102§1.2函数的性质二、函数的单调性103§1.2函数的性质三、函数的有界性函数的有界性刻画的是自变量在一定范围内变化时，相应的函数值是否有限的性质.注：

定义中的x必须是区间I内的所有点.

有界函数的图形一定处于两条水平直线之间.104§1.2函数的性质三、函数的有界性105§1.2函数的性质三、函数的有界性关于函数的有界性还可采用下述定义：106§1.2函数的性质三、函数的有界性综合两个定义，容易得到结论：一个函数在区间I内有界的充分必要条件为该函数在区间I内既有下界，同时又有上界.请同学们利用相关的定义给予证明.107§1.2函数的性质四、函数的周期性函数的周期性是考察随自变量的不断变化，函数出现规律性重复的性质显然，如果T是函数f(x)的一个周期，则按定义，对任何整数n，nT也是其周期.把所有周期中的最小者称为最小正周期(MinimalPositivePeriod)，也简称为函数的周期.108§1.3

反函数与复合函数一、反函数函数的周期性是考察随自变量的不断变化，函数出现规律性重复的性质关于反函数，应明确以下几个要点：109§1.3

反函数与复合函数一、反函数110§1.3

反函数与复合函数一、反函数但是，如果在应用中强调“反函数的自变量就是直接函数的因变量，反函数的因变量就是直接函数的自变量”的相互对应和等量关系时，一般不进行变量符号的变化.111§1.3

反函数与复合函数一、反函数112§1.3

反函数与复合函数一、反函数

图像特征反函数y=f－1(x)与直接函数y=f(x)的图形关于直线y=x对称，如图1-4所示.113§1.3

反函数与复合函数一、反函数114§1.3

反函数与复合函数二、复合函数115§1.3

反函数与复合函数二、复合函数复合函数在微积分学中有着非常重要的地位，也是一个较难理解的概念，下面对它进行全方位的讲解，请同学们认真体会和掌握其要点.

构成复合函数的一个关键点函数y=f(u)的定义域Df与函数u=g(x)的值域Zg的交集不为

，是二者构成复合函数的必不可少的条件.否则所谓的“复合函数”的定义域将为空集，也就不能成为“函数”，如图1-5所示.116§1.3

反函数与复合函数二、复合函数

复合函数与非复合函数的形象理解我们知道，函数y=f(x)是在对应法则f下，一个x对应唯一的y.若将函数f形象地比作一个“加工机器”，则对于输入的“原料”x，经f“加工”，最终输出“产品”y.而复合函数的这一“加工”过程则较复杂，首先输入的“原料”x，经第一道工序g“加工”成“半成品”u，再经第二道工序f“加工”成“成品”y输出，如图1-6所示.117§1.3

反函数与复合函数二、复合函数

复合函数的通俗理解函数的复合可通俗地理解为函数的嵌套，即函数套函数.它的明显特征是一个函数的“自变量”不是一个简单的自变量，而是另外一个函数，这样两个（或两个以上的）简单函数就复合成一个较为复杂的复合函数.118§1.3

反函数与复合函数二、复合函数

多层次复合上述复合函数为两个函数构成的两层复合，此外还有更多函数构成的更多层次的复合，如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)三个函数可以构成复合函数y=f{g[h(x)}，x是复合函数的自变量，u，v均为中间变量.119§1.3

反函数与复合函数二、复合函数

复合函数的分解给定一个复杂函数，能分析出它是由哪些简单函数复合而成，并能将这些简单函数通过中间变量表示出来，这是判别对复合函数掌握与否的一个重要标志.这项技能对今后函数的进一步学习（如函数的导数、函数的积分等）都有非常重要的作用.120§1.4

基本初等函数以下六类函数称为基本初等函数.121§1.4

基本初等函数一、常数函数常数函数（ConstantFunction）为

y=C.

对任意自变量x，函数值均为C；定义域为D=R，值域Z={C}；它是偶函数；有界；是周期函数，但无最小正周期；它单调不减且单调不增.图形为一条与x轴平行的直线.如图1-7所示.122§1.4

基本初等函数二、幂函数幂函数（PowerFunction）为

y=xa.其中参数a为实数，幂函数的定义域和值域随参数a的不同而不同，但不论a的取值如何，在x∈(0，∞)时，y=xa总有意义；图形都过点(1，1).幂函数y=xa的性质：当a>0时，图形都经过点(0，0)和(1，1)，在第一象限内是增函数；当a<0时，图形必经过点(1，1)，在第一象限内是减函数.幂函数一般都是无界函数且不是周期函数，它的单调性、奇偶性也随a的不同而有所不同.图1-8为几种常见的不同形式的幂函数.123§1.4

基本初等函数二、幂函数几种常见的不同形式的幂函数124§1.4

基本初等函数三、指数函数指数函数（ExponentialFunction）为

y=ax

（a>0，a≠1）；

y=expx=ex.其中，expx（或exp(x)）是指数函数ex的带有专属函数名的另一种表示形式（与sinx相似）.当自变量为一个规模较大的表达式时，这种表示方法用起来较为方便.如125§1.4

基本初等函数三、指数函数指数函数的定义域为R，即(－∞，+∞)，值域为(0，+∞)，它是无界函数，不是周期函数，且不具奇偶性；图形都经过点(0，1)，当a>1时，函数单调增加，如图1-9（A）所示；当0<a<1时，函数单调减少，如图1-9（B）所示.126§1.4

基本初等函数四、对数函数对数函数（LogarithmicFunction）为

y=logax

（a>0，a≠1）.对数函数的定义域为(0，+∞)，值域为R，即(－∞，+∞)，它是无界函数，不是周期函数，且不具奇偶性；图形都经过点(1，0)，当a>1时，函数单调增加，如图1-10（A）所示；当0<a<1时，函数单调减少，如图1-10（B）所示.127§1.4

基本初等函数五、三角函数三角函数（TrigonometricFunction）有如下几组.1.正弦函数与余弦函数正弦(Sine)函数y=sinx与余弦(Cosine)函数y=cosx的定义域都是R，值域都是闭区间[－1，1]；它们都是有界的，且都是周期为2π的周期函数；正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，如图1-11所示.128§1.4

基本初等函数五、三角函数2.正切函数与余切函数切(Tangent)函数y=tanx与余切(Cotangent)函数y=cotx的值域都是R，即(－∞，+∞)；都是无界的奇函数；都是以π为周期的周期函数.

它们的不同点：正切函数y=tanx的定义域为余切函数y=cotx的定义域为D={x|x≠kπ，k∈Z}.D={x|x≠kπ+

，k∈Z}；129§1.4

基本初等函数五、三角函数二者的图形如图1-12所示130§1.4

基本初等函数五、三角函数3.正割函数与余割函数它们的共同点：值域都是（-∞，-1］∪［1，+∞）；都是无界函数；都是以2π为周期的周期函数.它们的不同点：正割函数y=secx是偶函数，其定义域为余割函数y=cscx为奇函数，其定义域为131§1.4

基本初等函数五、三角函数二者的图形如图1-13所示.132§1.4

基本初等函数六、反三角函数反三角函数（InverseTrigonometricFunction）主要包括反正弦函数y=arcsinx、反余弦函数y=arccosx、反正切函数y=arctanx、反余切函数y=arccotx.它们分别是正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx、余切函数y=cotx的反函数.由正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的定义及它们的图形可以知道，它们的反函数是一个自变量对应多个因变量，因此不是我们所讲的单值函数.为此我们取三角函数的定义域的一部分，称为主值区间，使其在此区间内单调，因而存在反函数.具体约定如下：133§1.4

基本初等函数六、反三角函数这样，它们对应的反函数就定义为：134§1.4

基本初等函数六、反三角函数按上述反三角函数的定义，它们都是有界函数，都是单调函数，y=arcsinx和y=arctanx是奇函数，如图1-14、图1-15所示.135§1.4

基本初等函数六、反三角函数按上述反三角函数的定义，它们都是有界函数，都是单调函数，y=arcsinx和y=arctanx是奇函数，如图1-14、图1-15所示.136§1.5

初等函数初等函数是微积分（高等数学）的主要研究对象.定义1.11

基本初等函数经有限次的四则运算和（或）有限次的复合而得到的且可由一个表达式统一表示的所有函数，统称为初等函数（ElementaryFunction）.按照上述定义，分段函数一般不是初等函数.但由于分段函数在其定义域内的各个子区间上都是由初等函数表示的，所以研究分段函数时仍可使用一般初等函数的研究方法.137§1.5

初等函数一、多项式函数138§1.5

初等函数一、多项式函数n（n≥1）次多项式函数的一个共同特征，就是当x沿正方向或负方向无限增大（x→+∞或x→－∞）时，函数值f(x)也无限增大（|f(x)|→∞）.特别地，一次多项式函数，即

f(x)=ax+b，简称为一次函数（OneDegreeFunction）.它是一个简单而重要的函数，又由于它的图形是一条直线，故常称之为线性函数(LinearFunction).139§1.5

初等函数二、有理函数140§1.5

初等函数二、有理函数关于有理函数，要注意和掌握以下要点：141§1.5

初等函数二、有理函数形如F(x)=[f(x)]g(x)的函数称为幂指函数(Power-exponentialFunction).其中f(x)和g(x)都是初等函数.它是由一个初等函数为底（为保证函数有意义，设f(x)>0），另一个初等函数为指数构成的.从这个形式上看，它不符合初等函数的定义，但如果使用对数恒等式对它进行一下恒等变形，便可看出它是初等函数.142§1.6

常用经济函数简介一、需求函数与供给函数1.需求函数“需求量”是指在特定的价格基础上，消费者有能力购买的商品的数量.消费者对某种商品的需求是由多方面因素决定的，在这里我们假设其他因素不变，只考虑产品价格对需求量的影响，因此消费者对某产品的需求量便可表示为产品价格的函数.设P为商品价格，是自变量，Q表示需求量，是因变量，则函数

Q=Q(P),DQ=［0，+∞)称为需求函数.事实上，商品价格低，需求量就大，反之商品价格高，需求量就小，因此需求函数一般都是关于价格P的单调减少函数.143§1.6

常用经济函数简介一、需求函数与供给函数1.需求函数常见的需求函数的形式有如下几种：（1）线性函数Q=b－aP,a,b>0；（2）指数函数Q=ae－bP,a,b>0；（3）幂函数Q=aP－b,a,b>0,P≠0.对于线性函数Q=b－aP，Q=b为价格P=0时的最大需求量，而价格增加到P=

时，需求量将为0.对于指数函数和幂函数两种需求函数都是随价格的无限增加，需求量逐渐趋近于0.另外，需求函数Q=Q(P)的反函数P=Q－1(Q)或记作P=P(Q)称为价格函数.需求函数Q=Q(P)表示商品的价格相对稳定在某个值时的需求量，而价格函数P=P(Q)则表示需求量相对稳定在某个值时的市场价格.二者互为反函数.144§1.6

常用经济函数简介一、需求函数与供给函数2.供给函数“供给量”是指在一定的价格基础上，生产者愿意提供的商品数量.

与需求量的讨论类似，生产者对某种商品的生产供给也是由多方面因素决定的，在这里我们也略去其他因素，只讨论产品价格对供给量的影响.设P为商品价格，是自变量，Qs表示供给量，是因变量，则函数

Qs=Qs(P),DQs=［0，+∞)称为供给函数.

一般说来，商品价格低，生产者不愿意生产，供给量就小，反之商品价格高，供给量就大，因此供给函数一般都是关于价格P的单调增加函数.145§1.6

常用经济函数简介一、需求函数与供给函数2.供给函数常见的供给函数有如下几种形式：

（1）线性函数

Qs=cP－d,c,d>0；

（2）指数函数

Qs=cedP,c,d>0；

（3）幂函数

Qs=cPd,c,d>0.Qs146§1.6

常用经济函数简介一、需求函数与供给函数3.均衡价格某一种商品的市场需求量与供给量相等时的价格，称为均衡价格.假设均衡价格为P0，当市场价格P高于P0时，供给量增加而需求量减少；反之，当市场价格P低于P0时，供给量减少而需求量增加.市场价格的调节作用就是这样来实现的.【思考与讨论】试按照图1-17所示来分析市场价格P高于或低于均衡价格P0时，供给量Qs和需求量Q的变化，进而将会带动价格进行怎样的变化.147§1.6

常用经济函数简介一、需求函数与供给函数3.均衡价格148§1.6

常用经济函数简介二、成本、收入、利润函数所有经济活动的最终目的都是要追求经济利益，人们无论在生产或在销售等经济活动中，总希望能降低成本，增加收入和利润.因此成本（C）、收入（R）和利润（L）这些经济量的变化就引起了人们的关注，而这些量都与产品的生产量或销售量（x）有密切的关系.为了能从数量上表示它们之间的关系，可采用数学的方法，将成本、收入和利润看作产量或销量的函数，分别称为成本函数（记为C(x)）、收入函数（记为R(x)）、利润函数（记为L(x)）.对这些函数的量化研究可以知道什么时候成本最低，什么时候利润最大，做出什么样的决策可使利润增加等，同时也可避免做出错误的决策.149§1.6

常用经济函数简介二、成本、收入、利润函数1.成本函数成本是指生产一定数量的某种产品所需的全部经济资源的费用总额.成本由固定成本C0和可变成本C1两部分组成，因此成本也常称作总成本.固定成本是与产量x无关的费用，如设备维护维修、企业管理等费用，可变成本包含劳动力、原材料、电力等费用，因此可变成本随产量的增加而增加.通过上述分析，（总）成本函数C(x)是产量x的单调增加函数.其一般形式为

C=C(x)=C0+C1(x).150§1.6

常用经济函数简介二、成本、收入、利润函数2.收入函数收入也称收益，是指生产者出售一定量的产品时所得到的全部资金数量.收入函数的表达比较简单，若售出的产品数量为x，此时的市场价格是P，则收入函数为

R=R(x)=P·x.事实上，提供到市场的产品数量要考虑需求量，而需求量又影响着价格，如果当时的市场需求函数为x=x(P)，则销售价格可以由需求函数确定为P=P(x)，从而收入可表示为与销量有关的函数.当然也可以表示为与价格有关的函数.这里假设了一个理想市场状态时的等量关系，即

需求量=生产量=销售量.151§1.6

常用经济函数简介二、成本、收入、利润函数3.利润函数利润是指总收入减去总成本之后的纯收入.显然利润函数可表示为

L(x)=R(x)－C(x).例1

已知某产品的需求函数为x=50－5P，成本函数为C=50+2x，试将利润表示为产量x的函数.解：由已知的需求函数可得此时的价格为则销售总收入为于可得利润函数为152§1.7

综合与提高本书每一章的最后都设置了“综合与提高”一节，作为课外阅读内容，不纳入教学课时，供学有余力的同学扩展知识之用.153§1.7

综合与提高本书每一章的最后都设置了“综合与提高”一节，作为课外阅读内容，不纳入教学课时，供学有余力的同学扩展知识之用.154§1.7

综合与提高本书每一章的最后都设置了“综合与提高”一节，作为课外阅读内容，不纳入教学课时，供学有余力的同学扩展知识之用.155§1.7

综合与提高本书每一章的最后都设置了“综合与提高”一节，作为课外阅读内容，不纳入教学课时，供学有余力的同学扩展知识之用.156§1.7

综合与提高本书每一章的最后都设置了“综合与提高”一节，作为课外阅读内容，不纳入教学课时，供学有余力的同学扩展知识之用.157微积分学教程（上册）159目录上册第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理及层数应用第0章预备知识第五章不定积分微积分学基本知识结构160第二章极限与连续161第二章极限与连续极限思想的萌芽在中国古代很早就有记载，《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”含无限可分的思想.中国数学家刘徽的割圆术提出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”这等同于现代微积分中的极限思想.极限论的发展跨越了相当长的时间，在极限论的基础上建立了微积分理论.许多基本概念，如连续、导数、定积分、级数等都是建立在极限基础之上的.本章主要针对极限与连续的概念及计算进行讨论.首先讨论一种特殊函数的极限——数列的极限.162第二章极限与连续§2.1数列的极限 §2.２函数的极限§2.３无穷小量与无穷大量§2.4极限运算法则§2.8连续函数的运算与初等函数的连续性§2.7函数的连续性与间断点§2.6无穷小量的比较§2.5极限存在准则两个重要极限§2.10综合与提高§2.9闭区间上连续函数的性质163§2.1数列的极限 1数列的概念一、数列极限的概念例如，下面的(1)至(6)都是数列的例子.164§2.1数列的极限 对数列可作如下理解：一、数列极限的概念

数列就是按一定顺序排列的一列数.

数列{xn}可看作自变量离散地取正整数n的函数xn=f(n)，它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3,…等一切正整数时，对应的函数值就排列成数列{xn}，故数列也可记作{f(n)}.

作为特殊函数，它的图形是平面上一些离散的点.如果将数列{xn}在坐标平面上描出点的位置，能否发现点的位置的变化趋势呢？165§2.1数列的极限 一、数列极限的概念166§2.1数列的极限 一、数列极限的概念167§2.1数列的极限 一、数列极限的概念从上面的分析可知，数列{xn}随n的无限增大而呈现三种趋势：（1）{xn}无限接近常数A；（2）{xn}无限增大（－∞或+∞）；（3）{xn}的值交替或振荡变化，无确定的变化趋势.对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题.168§2.1数列的极限 一、数列极限的概念2数列极限的概念169§2.1数列的极限 一、数列极限的概念2数列极限的概念170§2.1数列的极限 一、数列极限的概念2数列极限的概念定义2.2设{xn}为一数列，A为常数.若对任意的ε>0（不论多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，|xn－A|<ε恒成立，则称常数A为数列{xn}的极限（LimitofNumberSequence），同时称数列{xn}收敛（Convergence）于A，记为

lim

xn=A，

或xn→A（n→∞）.

否则，称数列发散（Divergence）.n→∞171§2.1数列的极限 一、数列极限的概念关于数列极限的定义需要注意以下几点：

ε是衡量xn与A的接近程度的，它可以任意小.然而，尽管ε具有任意性，但一经给出，就应视为确定.（另外，ε具有任意性，那么,2ε,ε2等也具有任意性，它们也可代替ε）.

N是依赖于ε的，是ε的函数，随ε的变小而变大.在解题中，N等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N，使得当n>N时，有|xn－A|<ε就行了，而不必求最小的N.

有时找N比较困难，这时可把|xn－A|适当地变形、放大，若放大后小于ε，那么必有|xn－A|<ε.

若limxn=A，则对于以A为中心，任意小的正数ε为半径的邻域(A－ε,A+ε)，至多有N个点x1,x2,…,xN落在该邻域之外，其他的所有点xn都落在该邻域之内，如图2－5所示.n→∞172§2.1数列的极限 一、数列极限的概念数列极限的几何意义173§2.1数列的极限 一、数列极限的概念174§2.1数列的极限 一、数列极限的概念175§2.1数列的极限 二、收敛数列的性质定理2.1（极限的唯一性）若数列{xn}有极限，则极限值唯一.176§2.1数列的极限 一、数列极限的概念177§2.1数列的极限 一、数列极限的概念定理2.2（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界.根据上述定理，如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散.但是，如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛.例如，数列1，－1，…，(－1)n+1，…有界，但［例4］证明了这数列是发散的.所以数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.178§2.1数列的极限 一、数列极限的概念定理2.2（收敛数列的保号性）如果limxn=a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有xn>0（或xn<0）n→∞179§2.2函数的极限上节讨论了特殊函数——数列的极限.而实践中更关心的是一般函数的变化趋势，由于函数的变化趋势依赖于自变量的变化过程，因此关于函数极限主要讨论以下两种情形：（1）自变量x的绝对值|x|无限增大，即趋向于无穷大（记作x→∞）时，对应的函数f(x)的变化趋势.（2）自变量x无限趋向于有限值x0（记作x→x0）时，对应的函数f(x)的变化趋势.180§2.2函数的极限一、函数极限的定义1.自变量趋于无穷大（x→∞）时函数的极限观察函数f(x)=当x→∞时的变化趋势，如图2-6所示，易见，当|x|无限增大时，f(x)无限接近于零，即当x→∞时，|f(x)－0|无限小.可仿照数列极限的定义给出函数极限的定义.181§2.2函数的极限一、函数极限的定义1.自变量趋于无穷大（x→∞）时函数的极限定义2.3设函数f(x)在∞的某个邻域U(∞)内有定义，A是常数.如果对于任意给定的ε>0（无论它多么小），总存在着正数X，使得当|x|>X时，有|f(x)－A|<ε成立，那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限(LimitofaFunction)，记作limf(x)=A或f(x)→A(x→∞).n→∞（1）limf(x)=A的几何意义是：对于任意给定的正数ε，总存在正数X，只要变量x进入区域(－∞,－X)∪(X,+∞)之内，曲线f(x)上的相应点(x,f(x))必落在两水平直线y=A－ε与y=A+ε之间的带形区域内，如图2-7所示.x→∞182§2.2函数的极限一、函数极限的定义1.自变量趋于无穷大（x→∞）时函数的极限183§2.2函数的极限一、函数极限的定义（2）在上述极限定义中，x是同时向+∞和－∞两个方向变化，但有时可能出现x只向+∞或－∞一个方向变化的情况，这就引出了x→－∞和x→+∞时的极限.如果x>0且无限增大（记作x→+∞），那么只要把上面定义中的|x|>X改为x>X，就可得limf(x)=A的定义.同样，x<0而|x|无限增大（记作x→－∞），那么只要把|x|>X改为x<－X，便得limf(x)=A的定义.x→+∞x→－∞请同学们自己试着完整地写出这两个极限的数学定义.184§2.2函数的极限一、函数极限的定义1.自变量趋于无穷大（x→∞）时函数的极限定理2.4函数极限存在且等于A的充分必要条件是极限及极限都存在并且都等于A，即

185§2.2函数的极限一、函数极限的定义1862自变量趋于有限值（x→x0）时函数的极限§2.2函数的极限一、函数极限的定义187§2.2函数的极限一、函数极限的定义定义2.4

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当0<|x－x0|<δ时，|f(x)－A|<ε恒成立，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作或

188§2.2函数的极限一、函数极限的定义189§2.2函数的极限一、函数极限的定义例3证明limc=c，此处c为一常数.证明：这里|f(x)－A|=|c－c|=0，因此对于任意给定的正数ε，可任取一正数δ，当0<|x－x0|<δ时，能使不等式|f(x)－A|=|c－c|=0<ε成立.所以limc=c.□例4证明limx=x0.证明：这里|f(x)－A|=|x－x0|，因此对于任意给定的正数ε，总可取δ=ε，当0<|x－x0|<δ=ε时，能使得不等式|f(x)－A|=|x－x0|<ε成立.所以limx=x0.□例5证明lim(2x－1)=1.证明：由于|f(x)－A|=|(2x－1)－1|=2|x－1|，为了使|f(x)－A|<ε，只要|x－1|<ε2.所以，对于任意给定的正数ε，可取δ=ε2，则当0<|x－1|<δ时，

|f(x)－1|=|(2x－1)－1|<ε，从而lim(2x－1)=1.□x→x0x→x0x→x0x→x0x→1x→1190§2.2函数的极限一、函数极限的定义191§2.2函数的极限一、函数极限的定义192§2.2函数的极限一、函数极限的定义定理2.5函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是函数在该点的左极限与右极限都存在并且相等，即证明略.■193§2.2函数的极限一、函数极限的定义194§2.2函数的极限二、极限符号的使用约定195§2.2函数的极限二、极限符号的使用约定说明196§2.2函数的极限三、函数极限的性质利用函数极限的定义，可证明下列定理.197§2.2函数的极限三、函数极限的性质利用函数极限的定义，可证明下列定理.198§2.2函数的极限三、函数极限的性质推论199§2.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量1无穷小量的概念定义2.5

在自变量的某一变化过程中，极限为零的变量称为这一变化过程中的无穷小量(InfiniteSimal).200§2.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量1无穷小量的概念无穷小量是一个非常重要的概念，要深入理解.关于它的定义需要注意以下几点：

定义中的“变量”是指函数f(x)或数列{xn}.

定义中的“自变量的某一变化过程”是指以下七种变化趋向之一.

无穷小量是绝对值无限减小的一个变量，不能等同于一个很小的常数（如10－10000）.

一个变量是不是无穷小量，是和自变量的变化过程密切相关的，同一个函数在不同的变化过程中结论可能不同.

零函数（f(x)=0）是一个特殊（自变量可取任何变化过程）的无穷小量.而零数列（{0}）是n→∞时的无穷小量.

无穷小量的极限为0，因此，当自变量取定一个变化过程时，便可以给出它的数学定义.请同学们自己写一写.201§2.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量2无穷小量的性质性质1有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量；性质2有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；性质3有界函数与无穷小量之积为无穷小量.202§2.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量2无穷小量的性质下面只证性质3203§2.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量3无穷小量与函数极限的关系定理2.9在自变量x的某一变化过程中，函数极限存在且为A的充分必要条件是函数等于它的极限A与一个无穷小量α之和，即204§2.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量3无穷小量与函数极限的关系证明：对选取的情形进行证明，其他类似.205§2.3无穷小量与无穷大量二、无穷大量3无穷小量与函数极限的关系206§2.3无穷小量与无穷大量二、无穷大量3无穷小量与函数极限的关系207§2.3无穷小量与无穷大量二、无穷大量3无穷小量与函数极限的关系208§2.3无穷小量与无穷大量三、无穷大量与无穷小量的关系209§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则210§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则211§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则注意212§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则213§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则1.直接利用运算法则214§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则2.消去公因子化简215§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则3.利用无穷大量与无穷小量的关系216§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则4.分子、分母同时除以x的最高次幂217§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则4.分子、分母同时除以x的最高次幂218§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则5.利用分母有理化219§2.4极限运算法则一、函数极限的四则运算法则6.无穷项和的极限220§2.4极限运算法则二、复合函数的极限运算法则6.无穷项和的极限221§2.4极限运算法则二、复合函数的极限运算法则6.无穷项和的极限222§2.4极限运算法则三、幂指函数的极限运算法则6.无穷项和的极限223§2.5极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则1夹逼准则224§2.5极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则1夹逼准则225§2.5极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则1夹逼准则226§2.5极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则1夹逼准则

使用夹逼准则的关键是对函数或数列通项进行适当放缩，得到相应的不等式.

缩放时要把握“抓大头”的原则，即占绝对优势的量不可缩放，其他相对较小的“零头”可进行增减.227§2.5极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则2单调有界准则准则Ⅱ单调有界数列必有极限.由极限的性质知，收敛数列必定有界，有界数列不一定收敛.准则Ⅱ表明，如果一个数列有界，而且单调，则必定收敛.228§2.5极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则2单调有界准则229§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限230§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限231§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限232§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限233§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限234§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限235§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限236§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限237§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限238§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限239§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限注意：240§2.5极限存在准则两个重要极限二、两个重要极限241§