广东省东莞市2025-2026学年高三上学期12月期中考试数学试卷

2025—2026一、单项选择题:8540.在每小题给出的四个选1．已知集合𝐴={x|𝑥2−3x≥0},𝐵={𝑥|−2<𝑥≤2}，则(𝐶𝑅𝐴)

zz已知复数z1i，zz2 B．

C． D． →若向量a(1,m)，b(2,1)，且ab，则cosab,b

充分不必要条 B．必要不充分条C．充要条 D．既不充分也不必要条CN所成角的余弦值为

已知cosα5π22，则sinπα 4

2

2

fxexax在定义域内不存在零点，则实数a A．1,e B．1,

F,已知双曲线E:a2b21a0,b0的左、右焦点分别为 2，直线l与E的条渐近线分别交于A,B两点，O为坐标原点，若2F2AAB,OAAB，则E的离心 ​

​

二、多项选择题:3618中，有多项符合题目要求.60下列结论正确的是 X的方差DX3，则D2X1Y服从两点分布，且PY11，则EY 若随机变量η服从二项分布B41，则Pη3 3 设a0，b0，且a2b2，则 abC．a2b2

ab的最小值为D．ab2 QABCD（含边界）A1QCA1DC，则 直线BP与平面BCCB1 点Q三棱锥QA1D1EAPλAE，且PQ∥ADDA，则λ的取值范围为1 1

三、填空题:3515(x22)6的展开式中，6的系数 已知圆Cx22y1236和不过第三象限的直线l4x3ya0，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数a 已知不等式exmlnxm0恒成立，则实数m的取值范围 四、解答题:57715（bcosC3bsinCac(1)求B(2)若b ，且∆𝐴𝐵𝐶的面积为23，求∆𝐴𝐵𝐶的周长16（乙每局获胜的概率为5(2)XX17（N是PC上的一点.AMD平面PBCNA和PBNMAC18（17）已知椭圆Cx2y21ab0的右焦点为F1,0 心率为1A在C上，且位于第二象限，点P40AP与C在第一象限交于点B.求C若BAPAPA作直线l1yF作直线l2xl1l2交于点Q19（本小题满分17分）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图136n1层球数比第n层球数多n1，设各层球数构成一个数列an.

1

若数列bn满足bn ，对于nN*，证明ln2anbbbLbn2n1 【详解】当a0fxex0fx当a0fxexa0xRfx在Rxfx∞xfx∞fx存在一个零点，不符当a0fxexa0xlnafx0xlna所以f(x) flnaelnaalnaa1lna，因为函数fxexax不存在零点，f(x)mina1lna0，可得lna1，解得0aefxexax0aeE:x2y21a0b0ybx 因为2F2AABOAAB，所以OAAF2 a2ab在Rt△OAF2OF2ctanAOF2a，AF2b,AOaAc,c Q2F2AAB即2xAcyAxBxAyByAxB3xA2c

3a2

,yB3yA

PAGE28 3a2By

x

，解得c23a2，可 ec A选项，由基本不等式可得2a2b22ab，可得ab1当且仅当a2b1时，等号成立，AB选项，由a2b2可得02b2，解得0b1ab2b12，B错；C选项，由a2b2可得a22b，则a2b22

b25b28b45b

4

44 当且仅当b4时，等号成立，故a2b24，C Dab2aba2b2ab12 baa因为121a2b125ba5baa 当且仅当ab2ab29，D对. 又ABBπBPBCCBπA 1 BAB的中点M，延长CMDANBC∥ADBC

1ANBCADANDAD1ADD1A1，所以CDAD1，

因为平面A1QC平面A1DC，所以QMC（不含端点C，易得所以点Q的轨迹长度 ，故B正确对于C，取D1C1的中点F，取A1B1的中点G，易证C1GA1F，所以MGBB1且MGBB1，又CC1∥BB1且CC1BB1，所以

MG且CC1MG，所以四边形CC1GM是平行四边形，所以GC1CM，所以A1FMC所以三棱锥QA1D1EC错误；A1(202E(02,1A(200B,(220) 所以λ1y[1,1，故λ的取值范围为[1,1D正确 12．60【详解】二项式展开式的通项公式： Crx26r22rCrx123rr

x PAGE48424231令123r6，解得r2x6的系数是22C241560.13．26【详解】因为Cx22y12424231所以圆心C到直线l的距离为3，即d 3，解得a4或a26又因为直线l4x3ya0a0，即a0，所以a2614,1【详解】由不等式exmlnxm0exxlnxmxm，即exxlnxmelnxmfxxexfxflnxm，Qfx在R上单调递增，xlnxm，mexx，gxexxxmgxex1，memm，即em0g g01，0m1m15所以sinBcosC3sinBsinCsinAsinC 1因为𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，所以sinBcosC3sinBsinCsinBCsinC0 2sinBcosC3sinBsinCsinBcosCcosBsinCsinC03sinBsinCcosBsinCsinC0sinC3sinBcosB10 4因为sinC0，所以3sinBcosB10 5即2sinBπ1，所以sinBπ1 6 6 6 因为0Bπ，所以πBπ5π，所以有Bππ，所以B 7 （2）因为b ，且∆𝐴𝐵𝐶的面积为23232a2c22acacac所以有

ac

2a2c2

11 所以ac236，即ac6，所以∆𝐴𝐵𝐶周长为6 1316（1）2231 3 3

3

3221 3 3

6

故比赛四局结束的概率为72162 7 （2）X的可能取值为123X1则PX12 9X2则PX2326 115 3 23

55

13 所以X的分布列 14故EX12263949 15 17（1）因为PA平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD 1PAABAPAABPABPAGE68所以AD平面PAB，又PB平面PAB，所以ADPB 3又PAAB,M是PB中点，所以AMPB，又AMADA,AM,AD平面AMD，所以PB平面AMD 5又PB平面PBC，所以平面AMD平面 6（2）AABADAPxyz建立空间直角坐标系如图所示 7过C作CE⊥AB，因为ABC60，所以CE3A0,0,0,M1,0,1,C1,3,0,P0,0,2,B2,0,0，设Na,b,c 8PBAN202abc2a2c0，即ac,所以ac2,b23，即N2,23,2 9 3 2232则AM1,0,1,AN3,3,3,AC1,3,0， 10 AMmx1z1 –––→

2

，取z11，可得m1,0,1 12ANm3x1

y13z1xAMnx2z2

又–––→ ，可得

ACnx2

3y2

取x ，可得n3,1,3， 13AMNAMC的夹角为223则

m → m

14所以sinθ1 7，即二面角NMAC的正弦值为 15 cc118（1）

2解得

24,

3，所以C

4 设直线AP的方程为xmy 5（A13，即m43Ax1y1Bx2y2 x2y2 联立直线与椭圆方程 得3m24y224my36 6当m43242m24363m24144m25760y1

24m3m24

3m2

8因为B是AP的中点，所以y2y，结合①解得y

,y

16m 6代入②，解得m65（m 舍去666

3m2

3m2APx65y4x

y40(或5x6y

11由①②可得，myy 324m3yy 121 3m2 23m24 Q1yBQyy2y1x1

y2y1xy2y1 x

x

x y2y1xy2y1y1x21y2y1xy24y1my1x2 x2y4y3yy

x25

x2yy2y1x 2y2y1x 1y2y1x5 16x

x

x

x

x1 2 所以直线BQ过定点5,0 17 19（1）a11a23a36a410,L，则有a2a12a3a23,Lanan1n当n2ananan1an1an2La2a1nnnn1n2L21

3 又a1也满足，所以

nn 4

1

的定义域为(1,) 5f(x)

1

(1

(1

6当1x0f(x0x0f(x)0则函数f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，因此f(x)minf(0)0，所以函数f(x)的最小值为0. 9分（3）由（2）x0ln1x

1

x1