2025-2026学年江苏省南京师大附中宿迁分校九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2025-2026学年江苏省南京师大附中宿迁分校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝AB，连接AC，BD，若∠EAB＝30°，AB＝2（）A．6 B．4 C． D．22．（3分）如图，A，B为4×4方格纸（每个小正方形边长为1）中格点上的两点，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形（）A．C1 B．C2 C．C3 D．C43．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，△ABC的面积为10，点P是AB上一动点（不与点A，B重合），BC的垂线，垂足分别为点E，F（）A．4 B．5 C．10 D．随着点P位置的变化而变化4．（3分）过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上任意一点的（）A．横坐标都是2 B．纵坐标都是2 C．横坐标都是﹣1 D．纵坐标都是﹣15．（3分）如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，BD．若∠EAB＝α，∠DBE＝β（）A．a＝β B．α+β＝90° C．α+β＝60° D．α+β＝60°6．（3分）已知点A（a，3）和点B（4，b）关于y轴对称（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣77．（3分）如图，在△ABC中，，BC＝14，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，M（0，a），N（3，3），P（2a﹣1，0），0＜a＜3，若MN＝NP（）A．1 B． C．1或 D．1或2二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．9．（3分）的算术平方根是．10．（3分）如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆EF的倾斜角为65°．如果晾衣杆底端不动，此时晾衣杆EF′的倾斜角为55°，那么FF′的长是米．11．（3分）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点A恰好落在边BC的中点F处，则BD：AD＝．12．（3分）若点A（a+2，a﹣4）在第四象限，且到x轴和y轴距离相等．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），线段A1A2＝1，A2A1⊥OA1垂足为A1；线段A2A3＝1，A3A2⊥A1A2垂足为A2；线段A3A4＝1，A4A3⊥A2A3，垂足为A3，…，按此规律，点A2025的坐标为．14．（3分）如图，∠ABC＝30°，点D在BC上，，以BP为边作等边△BPE，M是EP的中点．若．15．（3分）若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为．16．（3分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P是CA延长线上一点，连接CQ，若PC＝7．17．（3分）若点M（a﹣3，a+4）在x轴上，将M向左平移2个单位，则N的坐标为．18．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝2，如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处．三、计算题：本大题共1小题，共8分．19．（8分）求下列各式中的x．（1）4x2﹣25＝0；（2）．四、解答题：本题共9小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（9分）如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在与地面垂直的墙AO上（垂足为O），此时AO为2米．（1）求梯子底端到墙的距离BO的长；（2）如果梯子的顶端点A向下移动0.5米至点C处，那么梯子的底端向右移动的距离BD是多少米？21．（9分）已知，如图，∠CAB＝90°，点O在线段AE上，过点O作直线MN，分别交AC，BC于点M，N（1）请借助直尺和圆规确定点O与直线MN的位置（保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）的条件下，若AB＝6，△CMN的周长为．22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD，BE是△ABC的角平分线，PG⊥AC，PH⊥BC，H．（1）求∠DPE的度数；（2）求证：EG＝DH；（3）若PG＝1，则CE+CD的长为．23．（9分）如图，BD是△ABC的角平分线，DH⊥BC，BC＝5，DH＝224．（9分）小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线，经量角器圆心O处（此处放置平面镜）反射后（C也在量角器的边缘上，O为量角器的中心，C、O、B三点共线，AB⊥BC，CE⊥BC）．小丽在实验中还记录下了AB＝6cm，BC＝12cm．依据记录的数据25．（9分）如图，，AM＝1，BM＝2，．（1）求证：△ABM是直角三角形；（2）求证：∠B+∠C＝45°．26．（9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥AE于点D，交AC延长线于点F．（1）求证：△ACE≌△BCF；（2）连接CD，求∠ADC的度数；（3）若CE+DF＝AD，求的值．27．（9分）如图，琪琪在离水面高度5m的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸（1）开始时，小船距岸A的距离为m；（2）若琪琪收绳5m后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离BD的长．28．（16分）【问题发现】（1）如图1，在△ABC中，以AB为边向外作等边三角形ABD，连接CD，为了证明这一结论，小明决定延长BC到M，连接AM，通过证明△ACD≌△AMB【深入探究】（2）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，则AC、BC、CD满足什么样的数量关系？并给出证明．【启发应用】（3）如图4，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，点E，F在边AB上2+AE2＝EF2，在射线CE上取一点P使得CP＝CF，直接写出DP2的最小值．

2025-2026学年江苏省南京师大附中宿迁分校九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDAAABCC一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝AB，连接AC，BD，若∠EAB＝30°，AB＝2（）A．6 B．4 C． D．2【解答】解：∵AD＝AB，CD＝CB，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，∴AE⊥BD，又∠EAB＝30°，AB＝2，∴BE＝1，在Rt△AEB中，根据勾股定理AE＝，故答案为：C．2．（3分）如图，A，B为4×4方格纸（每个小正方形边长为1）中格点上的两点，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形（）A．C1 B．C2 C．C3 D．C4【解答】解：A、△ABC1是以AB为底的等腰三角形，故此选项不符合题意；B、△ABC2是以AB为腰的等腰三角形，故此选项不符合题意；C、△ABC4是以AB为腰的等腰三角形，故此选项不符合题意；D、△ABC4不是等腰三角形，故此选项符合题意；故选：D．3．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，△ABC的面积为10，点P是AB上一动点（不与点A，B重合），BC的垂线，垂足分别为点E，F（）A．4 B．5 C．10 D．随着点P位置的变化而变化【解答】解：如图，连接CP，由题意可知，PE⊥AC，∵S△ACP+S△BCP＝S△ABC，∴AC•PE+，即×5×PE+，∴5（PE+PF）＝20，∴PE+PF＝4，即PE+PF的值是2，故选：A．4．（3分）过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上任意一点的（）A．横坐标都是2 B．纵坐标都是2 C．横坐标都是﹣1 D．纵坐标都是﹣1【解答】解：过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上所有点的横坐标都等于﹣8，故选：A．5．（3分）如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，BD．若∠EAB＝α，∠DBE＝β（）A．a＝β B．α+β＝90° C．α+β＝60° D．α+β＝60°【解答】解：∵△ACD和△BCE为等边三角形，∴AC＝DC，CE＝CB，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠DCB＝∠DCE+∠ECB，∴∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠AEC＝∠DBC＝∠CBE﹣∠DBE＝60°﹣β，∵∠CAE+∠AEC＝∠ECB，即α+60°﹣β＝60°，∴a＝β，故选：A．6．（3分）已知点A（a，3）和点B（4，b）关于y轴对称（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【解答】解：∵点A（a，3）和点B（4，∴a＝﹣2，b＝3，∴a+b＝﹣4+6＝﹣1．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，，BC＝14，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解答】解：过点A作AE⊥BC，如图，∵∠B＝45°，∴BE＝AE＝＝8，∴CE＝8，AC＝，∴8≤AD＜8，∵线段AD长为正整数，∴AD＝7或9或10或11，∴根据对称性AD可以是8，6，10，9，故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，M（0，a），N（3，3），P（2a﹣1，0），0＜a＜3，若MN＝NP（）A．1 B． C．1或 D．1或2【解答】解：如图，过点N作NJ⊥y轴于点J．∵∠NJM＝∠NKP＝90°，NJ＝NK，∴Rt△MJN≌Rt△NKP（HL），∴JM＝PK，∵M（0，a），3），8），∴3﹣a＝3﹣（3a﹣1）或3﹣a＝2a﹣1﹣3，解得a＝8或．故选：C．二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．9．（3分）的算术平方根是2．【解答】解：＝4，故答案为：2．10．（3分）如图，有一根长2.4米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆EF的倾斜角为65°．如果晾衣杆底端不动，此时晾衣杆EF′的倾斜角为55°，那么FF′的长是2.4米．【解答】解：如图，∠FEF′＝180°﹣65°﹣55°＝60°，∵EF＝EF′，∴△FEF′是等边三角形，∴FF′＝EF＝2.4米，故答案为：2.4．11．（3分）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点A恰好落在边BC的中点F处，则BD：AD＝2：1．【解答】解：由折叠的性质可得S△ADC＝S△DFC，∵点F是BC的中点，∴S△BDF＝S△DFC，∴S△BDF＝S△DFC＝S△ADC，∵△ABC的面积为18，∴S△BDF＝S△DFC＝S△ADC＝6，∴S△BCD＝12，∴BD：AD＝S△BDC：S△ADC＝12：6＝4：1；故答案为：2：7．12．（3分）若点A（a+2，a﹣4）在第四象限，且到x轴和y轴距离相等1．【解答】解：∵点A（a+2，a﹣4）在第四象限，∴a+2＝﹣（a﹣4），解得a＝1，故答案为：7．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），线段A1A2＝1，A2A1⊥OA1垂足为A1；线段A2A3＝1，A3A2⊥A1A2垂足为A2；线段A3A4＝1，A4A3⊥A2A3，垂足为A3，…，按此规律，点A2025的坐标为（1013，1012）．【解答】解：∵点A1的坐标为（1，4），点A2的坐标为（1，6），点A3的坐标为（2，2），点A4的坐标为（2，7），点A5的坐标为（3，4），..．∴点A2025的坐标为：（1013，1012），故答案为：（1013，1012）．14．（3分）如图，∠ABC＝30°，点D在BC上，，以BP为边作等边△BPE，M是EP的中点．若2或6．【解答】解：连接BM，延长EP交BC于Q，∵△BEP为等边三角形，∴∠BEP＝∠EBP＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠EBC＝90°，∠EQB＝30°，∵M是PE中点，∴BM⊥EP，∴DF∥EQ，∴∠BDF＝30°，∵BD＝4，∴BF＝5，DF＝6，∴FM＝＝，∴BM＝BF±FM＝2或，∴BP＝BM＝6或4．故答案为：2或6．15．（3分）若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为1．【解答】解：因为a﹣b＝1，a2﹣b4﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b＝a+b﹣7b＝a﹣b＝1，故答案为：1．16．（3分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P是CA延长线上一点，连接CQ，若PC＝75．【解答】解：∵△ABC和△BPQ均为等边三角形，∴AB＝BC，PB＝BQ，∴∠ABC+∠PBA＝∠PBQ+∠PBA，即∠PBA＝∠QBC．在△PAB和△QCB中，，∴△PAB≌△QCB（SAS），∴PA＝CQ，∵PC＝PA+AC，∴PA＝PC﹣AC＝7﹣2＝7，∴CQ＝5．故答案为：5．17．（3分）若点M（a﹣3，a+4）在x轴上，将M向左平移2个单位，则N的坐标为（﹣9，1）．【解答】解：由题知，因为点M在x轴上，则a+4＝0，解得a＝﹣2，则a﹣3＝﹣7，所以点M坐标为（﹣2，0），则﹣7﹣7＝﹣9，0+6＝1，所以将M向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到点N的坐标为（﹣9．故答案为：（﹣9，7）．18．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝2，如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，由折叠的性质，可得BF＝BC＝AD＝2，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝EF，设AE＝x，则EF＝x∵ED2＝DF8+EF2，即（2﹣x）6＝12+x8，解得x＝，∴S△DEF＝•EF•DF＝＝．故答案为：．三、计算题：本大题共1小题，共8分．19．（8分）求下列各式中的x．（1）4x2﹣25＝0；（2）．【解答】解：（1）移项得4x2＝25，两边都除以6得x2＝，由平方根的定义得x＝；（2）两边都乘以2得（x+5）3＝﹣8，由立方根的定义得x+2＝﹣2，解得x＝﹣5．四、解答题：本题共9小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（9分）如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在与地面垂直的墙AO上（垂足为O），此时AO为2米．（1）求梯子底端到墙的距离BO的长；（2）如果梯子的顶端点A向下移动0.5米至点C处，那么梯子的底端向右移动的距离BD是多少米？【解答】解：（1）在Rt△ABO中，AB＝2.5米，根据勾股定理得：BO＝＝＝1.5（米），答：梯子底端到墙的距离BO的长为2.5米；（2）在Rt△COD中，CD＝2.4米，根据勾股定理得：OD＝＝＝7（米），∴BD＝OD﹣BO＝2﹣1.5＝0.5（米）．答：梯子的底端向右移动的距离BD是2.5米．21．（9分）已知，如图，∠CAB＝90°，点O在线段AE上，过点O作直线MN，分别交AC，BC于点M，N（1）请借助直尺和圆规确定点O与直线MN的位置（保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）的条件下，若AB＝6，△CMN的周长为18．【解答】解：（1）如图，点O和MN为所作；（2）∵∠CAB＝90°，AB＝6，∴BC＝＝10，∵MN∥AB，∴∠OAB＝∠AOM，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠OAB＝∠OAM，∴∠OAM＝∠AOM，∴AM＝OM，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝CM+OM+ON+CN＝CM+AM+BN+CN＝AB+BC＝2+10＝18．故答案为：18．22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD，BE是△ABC的角平分线，PG⊥AC，PH⊥BC，H．（1）求∠DPE的度数；（2）求证：EG＝DH；（3）若PG＝1，则CE+CD的长为2．【解答】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵AD，BE是△ABC的角平分线，∴∠CBE＝∠ABE＝45°，∠BAD＝∠CAD＝15°，∴∠ADB＝∠CEB＝75°，∵PH⊥BC，∴∠DPH＝15°，∠BPH＝45°，∴∠DPB＝∠DPH+∠BPH＝60°，∴∠DPE＝180°﹣∠DPB＝120°，即∠DPE的度数为120°；（2）证明：过点P作PF⊥AB于点F，∵AD，BE是△ABC的角平分线，PH⊥BC，∴PF＝PG，PF＝PH，∴PG＝PH，∵PG⊥AC，PH⊥BC，∴∠PHD＝∠PGE＝90°，∵∠ADB＝∠CEB，∴△PGE≌△PHD（AAS），∴EG＝DH；（3）解：连接CP，∵∠ACB＝60°，PG＝PH，PH⊥BC，∴∠PCG＝∠PCH＝30°，∵PG＝1，∴PC＝2，∴CG＝，在Rt△PCG和Rt△PCH中，，∴Rt△PCG≌Rt△PCH，∴CG＝CH，∴CE+CD＝CG+EG+CH﹣DH＝CG+CH＝8CG＝2．故答案为：3．23．（9分）如图，BD是△ABC的角平分线，DH⊥BC，BC＝5，DH＝2【解答】解：作DF⊥AB于点F，∵BD是△ABC的角平分线，∴BD平分∠ABC，∵点D在∠ABC的平分线上，且DF⊥AB于点F，∴DF＝DH＝2，∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC＝15，且BC＝5，∴×2AB+，解得AB＝10，∴AB的长为10．24．（9分）小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线，经量角器圆心O处（此处放置平面镜）反射后（C也在量角器的边缘上，O为量角器的中心，C、O、B三点共线，AB⊥BC，CE⊥BC）．小丽在实验中还记录下了AB＝6cm，BC＝12cm．依据记录的数据【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，设OA＝OC＝xcm，∵BC＝12cm，∴BO＝BC﹣OC＝（12﹣x）cm，在Rt△ABO中，AB＝6cm，∴AB2+OB6＝OA2，∴36+（12﹣x）2＝x5，解得：x＝7.5，∴OA＝OC＝3.5cm，∴量角器的半径OC长为7.3cm．25．（9分）如图，，AM＝1，BM＝2，．（1）求证：△ABM是直角三角形；（2）求证：∠B+∠C＝45°．【解答】证明：（1）∵，AM＝1，∴AM4+BM2＝1+6＝5＝（）3＝AB2，∴∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形；（2）设BM的中点为N，连接AN，∴MN＝BN＝BM＝1，∵∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形，∴△AMN为等腰直角三角形，∴∠ANM＝45°，∴∠ANM＝∠B+∠BAN＝45°，在△ABN和△CAM中，，∴△ABN≌△CAM（SSS），∴∠C＝∠BAN，∴∠B+∠C＝45°．26．（9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥AE于点D，交AC延长线于点F．（1）求证：△ACE≌△BCF；（2）连接CD，求∠ADC的度数；（3）若CE+DF＝AD，求的值．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠BCF＝90°，AC＝BC，∴∠DAF+∠F＝∠CBF+∠F＝90°，∴∠CAE＝∠CBF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（ASA）；（2）解：如图1，在AE上取点G，连接CG，过点C作CH⊥AE，∴∠CHG＝∠CPF＝90°，∵△ACE≌△BCF，∴∠AEC＝∠F，CE＝CF．∵CE＝CG，∴∠CEG＝∠CGE＝∠F，CG＝CF，在△CHG和△CPF中，，∴△CHG≌△CPF（AAS），∴CH＝CP．∵CD＝CD，∴Rt△CDH≌Rt△CDP（HL），∴；（3）解：如图2，在AD上取一点I，连接CI，由（2）得：∠IDC＝∠FDC＝45°，CD＝CD，∴△IDC≌△FDC（SAS），∴CI＝CF＝CE．∵CE+DF＝AD＝AI+DI，∴AI＝CI＝CE，∴∠CAI＝∠ACI，∠CIE＝∠CEI．∵∠CIE是△ACI的外角，∴∠CIE＝∠CEI＝∠CAI+∠ACI＝2∠CAI，∴∠CAI+∠CEI＝∠CAI+8∠CAI＝90°，解得：∠CAI＝30°．在Rt△ADF中，∠CAI＝30°，∴，即．27．（9分）如图，琪琪在离水面高度5m的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸（1）开始时，小船距岸A的距离为12m；（2）若琪琪收绳5m后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离BD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，，故答案为：12；（2）∵琪琪收绳5m后，船到达D处，∴CD＝13﹣5＝7（m），∴，∴．28．（16分）【问题发现】（1）如图1，在△ABC中，以AB为边向外作等边三角形ABD，连接CD，为了证明这一结论，小明决定延长BC到M，连