正比例函数（解析版）分层作业-2024八年级数学上册（浙教版）

5.3.1正比例函数

工分层练习宝

的基础题

考查题型一正比例函数的定义

I.若函数y=/叫+（巾+1）是正比例函数，则m的值为（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根据正比例函数的定义进行求解即可.

【详解】解：•••函数，=3刈+（加+1）是正比例函数，

-f|m|=1

•%+l=0'

.*.Kl=­1,

故选B.

【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如y=kx（kH0）的函数叫做正比例函数.

2.已知y=（4-4万+6是正比例函数，则kb应满足的条件是（）

A.k主4且b=0B.k=4且匕HOC.kH4且bHOD.k=4且b=0

【答案】A

【分析】正比例函数的解析式为丫=k刈其中kWO,据此求解.

【详解】解：•.•、二*-4）无+8是正比例函数，

•••k-4羊0且b=0,

：,kH4且6=0.

故选A.

【点睛】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中•次项系数不能为0,无

常数项.

8.若函数y=x+b—2是关于％的正比例函数，则〃的值为一.

【答案】2

【分析】根据正比例函数直接求解即可.

【详解】解：•・•函数y=x+b—2是关于％的正比例函数，

/.t-2=0,

解得：b=2,

故答案为：2.

【点睛】此题考查了正比例函数的定义，正确理解正比例函数的定义是解题的关键.

4.已知y关于x的正比例函数关系式为：y=(m-2)x+m2-4,则m=.

【答案】-2

【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义得出｛■二计算出m的值即可得到

答案，熟练掌握正比例函数的定义：”一般地，两个变量％,y之间的关系式可以表示成形如y=h(k为常数,

且AHO)的函数，那么y就叫做工的正比例函数”，是解此题的关键.

【详解】解：•.•函数y=0-2)%+/一4是正比例函数，

(m-20

A3-4=0'

解得：m=-2,

故答案为：-2.

5.下列选项中，y与x的关系为正比例函数关系的是()

A.正方形的周长y(cm)与边长x(cm)的关系

B.圆的面积'(cm?)与半径x(cm?)的关系

C.直角三角形中一个锐角的度数)，与另一个锐角的度数x的关系

D.矩形的面积为20cm2,长犬cm)与宽x(cm)之间的关系

【答案】A

【分析】根据正比例函数的定义：形如：y=kx(kW0)的函数为正比例函数，列出题目中的函数关系，判

断即可.

【详解】A、依题意得到y=4,所以正方形周长y(厘米)和它的边长x(厘米)的关系成正比例函数，

故本选项正确；

B、依题意得到丫=兀/,则与x不是正比例函数，故本选项错误；

C、依题意得到y=90-则y与x是一次函数关系.故本选项错误；

D、依题意，得到'=,，则y与x不是正比例函数.故本选项错误；

故选：A.

【点睹】本题考查了正比例函数的定义，熟记定义以及正确列招相关函数关系式是解本题的关键.

6.下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）

A.正方形的面积S随边长x的变化而变化

B.面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长。的变化而变化

C.正方形的周长C随着边长K的变化而变化

D.水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间/（单位：min）的变

化而变化

【答案】C

【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，kHO）

的函数叫做正比例函数，进行判断即可.

【详解】解：A、S=/不是正比例函数，故此选项不符合题意；

B、九=竺，故此选项不符合题意：

a

C、54%是正比例函数，故此选项符合题怠；

D、设水箱有水aL,MV=a-0.5t,不是正比例函数，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键.

考查题型二求正比例函数解析式

7.某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价y（元）与数量％（个）

之间的关系表，下面能表示这种美系式的式子是（）

数量（个）12345••・

售价（元）1.803.605.407.209.00・・・

A.x=1.8yB.y=1.8xC.y=1.8+xD.y=—

【答案】B

【分析】观察表格可知y是％的1.8倍，即得出y=1.8%.

【详解】解：由表格可知售价y（元）是数量%（个）的1.8倍，

（元）与数量%（个）之间的关系为y=1.8%.

故选B.

【点睛】本题考查正比例函数的实际应用.由表格得出y是3的1.8倍是解题关键.

8.下表中x和），两个量成正比例关系，则表格中的“？”处应填（）.

A.2B.-C.-

92

【答案】B

【分析】设x和），的关系式为y=kx,把（3,7）代入，求出），和x的表达式，再将％=卷代入，即可求出,，的

值.

【详解】解：设x和），的关系式为y=kx,

把（3,7）代入得：7=3k,

解得：

，式和y的关系式为y=^x,

把“》弋入得：>=念5=全

故选:B.

【点睛】本题主要考查了正比例函数，解题的关键是掌握用待定系数法求正比例函数表达式的方法和步骤.

9.已知y=依是正比例函数，且当％=2时，y=4.

（I）求y与％的函数关系式；

（2）当力一泄，求y的值.

【答案】（l）y=2x

⑵-1

【分析】（1）把已知条件直接代入解析式求出左值即可得；

（2）直接将％=一夕弋入求出答案.

【详解】（1）解：y是％的正例函数，且）/=kx,

当x=2时，y=4.

所以，4=2k,

所以，k=2,

所以y=2x；

(2)当％=-：时，y=2x(-1)=-l.

【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确进行计算是解题的关键.

10.在同一时间、同一地点测得树高(m)和影长(m)的数据如下表：

树高(w)23469・・・

影长G影1.62.43.24.87.2•・•

(1)在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们按顺序连起来，并描述形成的图象的特点;

(2)树高和影长成比例关系(填“正”或"反”)；

⑶当树高11.5m时，影长是多少米？

【答案】(1)见解析

⑵王

⑶当树高11.5m时，影长是9.2m,

【分析】(1)根据表格的对应数据描点，然后连线即可;

(2)根据树高和影长的比值一定可得答案；

(3)根据(2)的结论列比例计算即可.

【详解】(1)解：描点，连接直接这些点，如图所示:

▲影长(m)

形成的图象是一条直线；

(2)解：由树高和影长的比值一定，可得树高和影长成正比例关系.

故答案为：正；

(3)解：设当树高11.5m时，影长是工米，

则噌=%

x1.6

解得％=9.2,

答：当树高11.5m时，影长是9.2m.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握画函数图象的步骤与方法是解答本题的关键.

考查题型三根据正比例函数定义求解

11.下列式子，哪些)，是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数女的值.

(1)『=一()."

⑵了=；

(3)y=2r

(4)/=4x

(5)y=—4x+3

(6)y=2Cx—x2)+2A2

【答案】(1)是正比例函数，正比例系数是-0.1

(2)是正比例函数，正比例系数是:

⑶不是正比例函数

(4)不是正比例函数

(5)不是正比例函数

(6)是正比例函数，正比例系数是2

12.已知y+4与x-3成正比例，且x=l时，y=0

(1)求1y与x的函数表达式；

(2)点M(m+1,2m)在该函数图象上，求点M的坐标.

【答案】(l)y=-2x+2

⑵点M的坐标为(1,0)

【分析】(1)利用正比例函数的定义，设y+4=/c(x-3),然后把已知的对应值代入求出k即可；

(2)把M(m+l,2m)代入(1)中的解析式得到关于m的方程，然后解方程即可.

【详解】(1)设y与％的表达式为y+4=k(x-3),

把x=1时，y=0代入y+4=k(x—3)得-2k=4,

解得k=-2,

与％的关系式为y4-4=-2(x-3),

即V=-2x+2；

(2)•・•点M(m+l,2m)在该函数幻象上,

/.2m=-2(?n+1)+2,

解得m=0,

.•.点M的坐标为(1,0).

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数y=kx+b,则需要两组小y的值.也考查了

一次函数的性质.

13.计算：

⑴(夕『+V(-5)2-V169+也

(2)y+3与x—2成正比例，且当％=4时，y=7.求当y=2时，x的值.

(3)已知x+1的算术平方根是2,2%+y-2的立方根是2,求好+产的平方根.

【答案】⑴一尔

(2)x=3；

(3)±5.

【分析】(1)根据算术平方根、立方根计算即可；

(2)设y+3=k(x—2),求出k=5,即y=5x—13,把y=2代入即可求出x的值；

(3)根据％+1的算术平方根是2,求出％=3,再利用2x+y-2的立方根是2,求出y=4,再求出/+/=

25,所以/+y2的平方根为±5.

【详解】(1)解：原式=7+5-13-;二一"

44

(2)解：设y+3=k(x-2),

把x―4,y—7代入得k-(4-2)-74-3,解得/c-5,

所以y+3=5(X-2),即y=5x-13,

把了=2代入得，2=5%-13,

解得：x=3.

(3)解：・・X+1的算术平方根是2,

：.x+l=22=4,

••x=3,

+y-2的立方根是2,

：.2x+y-2=23=8,

把*1勺值代入解得：y=4,

：.x2+y2=32+42=25,

・・*2+必的平方根为±5.

【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根，正比例函数，解题的关键是掌握以上相关知识并能够综

合运算，属于基础题.

7提升题

14.若y=(a-l)x+a2-1是关于x的正比例函数，则。2。23的值为.

【答案】-1

【分析】利用正比例函数的定义分析得出如再代入计算即可求解.

【详解】解：,•・y=(a—l)x+a?-1是关于x的正比例函数，

a2-1=0且a-1*0,

解得：a=-1,

a2023=(-1)2023_

故答案为：-1.

【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键.

15.两辆汽车匀速行驶时，路程与时间的关系如右图.由图象可知，两辆车的路程和时间成（）比例:

（）号车的速度更快一些；

路程/千米

①号车②号车

360

270

180

012345678时间/小时

【答案】正①

【分析】根据辆车的路程和时间的函数图像都过原点，可知两辆车的路程和时间成正比例；再根据两车行

驶360千米所用的时间即可发现，①号车快一些.

【详解】解：根据图像可知：辆车的路程和时间的因数图像都过原点，则两辆车的路程和时间成正比例；

根据图像可知：①号车行驶360千米用时4小时，②号车行驶360千米用时8小时，即①号车的速度更快

故答案为：正，①.

【点睛】本题主要考杳了正比例函数的图像的性质、函数图像的意义等知识点，理解正比例函数图像的性

质是解答本题的关键.

16.新定义：将数据［a,b］称为一次函数y=ax+b（aHO,a,b为实数）“互联数”，若“互联数”1,7九一1］所

对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程」-上=1的解是X=

x-lm---

【答案】|

【分析】根据“互联数”［1,加-1］所对应的一次函数是正比例系数，求出m的值，代入分式方程求解即可.

【详解】解：•••”互联数”［1,m-1］所对应的一次函数是正比例函数，

y=x+m—1»771—1=0,

Am=1,

代人方程得七一1二1,

x-l

解得X=L

检验：当％='时，x-1^0,

，方程的解为x=

故答案为：

【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解分式方程，新定义问题，掌握一般地，形如y=匕(A是常数，k工0)

的函数叫做正比例函数是解题的关键.

17.如图，在平面直舛坐标系”0)，中，已知一次函数y=kx+4的图象与)，轴交于点小与x羯交于点8,

以点A为直角顶点构造等腰直角点。在48的左侧.

(1)已知点4是x轴正半轴上一点，若乙18。=30。.

①求。8的长度；

②求经过点C的正比例函数解析式；

(2)当点B在x轴上运动时，连接0C,求4C+0C的最小值.

【答案】(1)①。8=4后②y=(百-1卜

⑵AC+0C的最小值为4逐

【分析】(1)①当％=0，y=4,则8(0,4),由乙480=30。，可得A8=2。4=8,由勾股定理得，OB=

5MB2-042,计算求解即可;②如图I,过。作co_Ly轴于。，证明△AOB卦GM(AAS),则40=0B=4次,

CD=OA=4,即。(一4,4一4百)，待定系数法求过点C的正比例函数解析式即可；

(2)由题意知，分点B在y轴左侧，点8在、轴右侧，两种情况求解：①当点8在y轴左侧，如图2,过过C作

。01丫轴于。，同理可证，△AOEwaCZM(AAS),则=。8,CD=0A=4,C在直线义=一4上运动，

r

如图2,作。关于直线％=-4的对称点0、则OC=O'C,AC+OC=AC+OCf可知当力、C、0'三点共线

时，力C+OC的值最小，由勾股定理得，A0f=>JOO,2+OA2,计算求解即可；②当点B在y轴右侧，如图3,

过C作CDly轴于。，同理可证△,4。8三△CDA(AAS),求解同(2)中②.

【详解】(1)①解:当％=0,y=4,

・・・H(0,4),

*：/.ABO=30°,

••AB=20A=8,

由勾股定理得，OB=/AB?-04=“J,

JOB=4百；

②解：如图1,过C作CDly轴于D,

图1

V“AB=90°,

：.£CAD+乙OAB=90°=Z-CAD+/-DCA,

：.L