重庆市部分学校2023-2024 学年高一年级下册期末联合检测数学试卷（解析版）

2024年春高一（下）期末联合检测试卷数学

数学

测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上

粘贴的条形码的“准为证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2R铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0・5毫米的黑色墨水签

字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.

3,为试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知复数:满足"+'5，,则上卜（）

V?

A.2B.1C.邪D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的四则运算法则得到复数二，再求复数的模即可.

【详解】因为

所以1+1(1+11(1-1)

所以匕卜在

故选：C.

”8,79,81,81.83,85,87,89,90,90,919194的第6。百分位数是（）

A.8.7B.8.9C.9.0D.9.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据百分位数定义计算即可.

【详解】因为13x0.6=78,

所以781,81,81.83.85.87,89,90,90.91.91.94从小到大排列取第8个数89.

故选：B.

3.在中，记内角ARC所对的边分别为若d-ab=（a-b）L则。=（）

KKK2K

A.6R.4c.3D.3

【答案】c

【解析】

【分析】由题意可得=M+9-结合余弦定理计算即可求解.

【详解】由c'-ab=（a-b）‘，得ab.a—\

ca'+b'-c'ab1

cosC=--------------—

由余弦定理得2ab2ab2,

C='

又0＜。＜兀，所以一3.

故选：c

4.下列说法正确的是（）

A.若空间四点共面，则其中必有三点共线

B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面

C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面

D.若空间四点不共面，则任意三点不共线

【答案】D

【解析】

【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答.

【详解】对于A,空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误；

对于B,空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面：故B错误；

对于C,空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误；

对于D,空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面,与已知矛盾.故D正确，

故选：D.

5.某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长

假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（）

234

A・5B.5c.5D,5

【答案】A

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式计算即可求解.

【详解】记哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市分别为0•瓦Cd.。，

则甲乙分别购买盲盒机票一张共有5）=25种可能，

其中两人恰好到达城市相同的情况有8办（“坎（cOW的,@“），共5种可能，

_5__1_

所以满足题意的概率为？5-5.

故选：A

6.汜”BC的内角的对边分别为°・瓦若Man5-btg4cos/l+cos5-l,则a钻0是（）

A,等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直用三角形

【答案】B

【解析】

4=3=C=—

【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得，，即可求解.

【详解】=blon月，

由正弦定理得出i4anBcos/l=wnBanAcotB,

^sini4>0,sm5>0所以cosZ=cosa,

又°</<几0<8<兀，所以4=3,

因为8$4+8SB,1,所以2co$4=1,

cos>4=1/」b,C==

即2,得3,故3,则3,

所以d4BC为正三角形.

故选：B

AE^^AB.AF=-AC

7.在/C中，/I5=3./1C=4,Z3XC=6O'

且34则OEBF=()

A.-2B.-3c.-4D.-5

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦定理计算求出BC,再次利用余弦定理计算ssB,cost,根据平面向量的线性运算可

西市，正」正

得3344,结合数量积的运算律和定义计算即可求解.

【详解】XB-3MC-4,X-60,

由余弦定理得BC疝，

Dq+BC-旧cAC'5J3

cosB«------------«——,cosC«--------------——

所以2ABBC132ACBC26

一，_______1一

AE^^AB.AF^^-AC

又34.

—I—1_____3—1一

3=-C4+二。8、8尸=-BA+-BC

所以3344,

BF^L^1CB\(1BA^BC\

则(33八44)

即a为平面4CGE,是四边形.

故选：c

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.一个不透明袋中装有2个红球、2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同），从中不

放回依次抽取2个球，记事件A为“第一次取的球为红球“，事件B为“第二次取的球为白球”，则（）

A尸（川=尸（3）

B.45为对立事件

c.4B为相互独立事件

5

D.抽取的2个球中至多1个白球的概率为不

【专案】AD

【解析】•

【分析】记？个红球编号为丐①乙？个白球编号为写出样本空间Q及事件48的样本点，对于

A,用古典概率公式计算事件43概率即可；对于B,事件48包含共同的样本点，故不对立；对于C,

根据独立事件的概念判断即可；对于D,记事件0为“抽取的2个球中至多一个白球”，用古典概率公式

计算即可.

【详解】记？个红球编号为生・的二个白球编号为砥3，

所以样本空间为

。=｛（%.%）,（%,4）.（。禺）.（的。1）,（分4）,（外务）@吗）.（'的）,（瓦出）他吗）.。玛）他.瓦））

事件A包含的样本点为｛（%。［'3卜4），（0卜4）＜0»0】）＜%，4），（％』】）），

事件3包含的样本点为｛31自）＜°卜4）＜44）＜卬5），@。）（44））,

＜A）6】小柏万⑻61

产（4）=-：—=——=一.尸（6,）=—―=—=—

对于A,因为"（Q）1--"（C）I?-,故A正确；

对于B,因为事件42包含共同的样本点｛4也）•与＞（%出）＜%石］））,故事件4E不对立,故B

错误；

P（砂=3驾A=-*尸⑷画=1

对于C,因为的）1234,所以43不独立，故c错误；

对于D,记事件C为“抽取的2个球中至多一个白球”，

则事件C包含的样本点为

（（4a，也、出修乂&闻心也乂与卬的.%）4》/）。,.4）｝

小n（C）105

产C）=----=—=—

所以力（Q）126,故D正确.

故选：AD.

10.已知复数:1二2+&二)=3-41.二】.与在复平面内对应的点分别为4・2),则()

A.hfl=IR+周

B.网=58

c满足口二上丁的复数：对应的点z形成的图形的周长是5Tl

D.满足匕卜一〈」」的复数;对应的点z形成的图形的面积是1%

【答案】BD

【解析】

【分析】根据复数的几何意义可得Z=Q.AZ：=(3T)求得匕+f卜匕|+七|即可判断人：求得

|Z，J=5W即可判断B：求得M+b，=25即可判断C：求得13<。：种,<25即可判断D.

【详解】由：产"九：：=3-七得Z；=QJ)4=aT)

A：=1+小7则匕+二卜后，乂匕卜疝H=5,

所以|二】+讣匕|+七|,故A错误;

B：|卒心「了+(3+“=5月故B正确；

C：设二:。+4(*SR),则卜卜

由匕卜E,得gW=5,即a'+b'=?5,

所以复数二对应的点Z形成的图形的周长为1。汽，故c错误；

D：设二:。+从(db^R),则I二卜匕

又国=岳匕|=

5所以Ja：+b：<5,即13<a：

所以满足匕卜匕卜」二』的复数二对应的点Z形成的图形的面积为二L1311*故D正确.

故选：BD

11.对棱相等的四面体被称为等腰四面体，现有一等腰四面体前。。“铝=出3="?!。』、则下列说

法正确的是()

A.该四面体各面均是全等三角形

B.该等腰四面体的面可以是直角三角形

c.若E为AS中点，尸为CD中点，则EFLAB,ER1CD

—J(a3+b3-c3)(33+c3-a3)(c3+a3-b3)

D.该四面体的体积为12、

恪案】ACD

【解析】

【分析】由等腰四面体的性质对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A,由图可知，该四面体各面边长均是外瓦J

所以该四面体各面均是全等三角形，故A正确；

对于B,若为直角，则4CDNm7.ZW均为直角,

可知AB.C.Z）在同一平面上，显然不可能，故B错误;

对于c,连接屹EC.阳8尸，

cosZ.ADC=cos^BCD=~—

Zab,

在-亚中，所产竹卜w

BF=Jb】+—-2b巴co/CD=Jc

在ABC尸中，所以V42V

则4尸二2尸，所以

同理可得：EC=ED,所以*'/CD,故c正确；

对于D,将四面体放入如图所示的长方体内，

AC=BD=c,BC=AD-b,AB=CD=a,

则低+附=/，4?；+川=口耳+皿=1

则【=I4JOUCD-一<J・C«2>一1.3C-1D-ACD

1-故D正确.

故迷：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.放风筝是一项有益的运动，现对高一和高二共1500名同学进行按比例分层抽样调杳，统计近两年放过

风筝的人数，有如下数据：高一学生抽取有效样本40,放过风筝的人数为19,高二学生抽取有效样本

60,放过风筝的人数为巾，由此估计两个年级近两年放过风筝的人数约为540,则加=.

【答案】17

【解析】

【分析】根据分层抽样的定义建立方程，解之即可求解.

*♦6019+刑

【详解】由题意知，节面的，

解得巾=17,

即高二学生抽取有效样本60,放过风筝的人数为17.

故答案为：17

13.己知复数，,与分别为方程『-二1+6=°的两根，则二;+上I=.

【答案】-2

【解析】

【分析】由题意可得二"工-6,则二：+工=Xz+G-6,再结合根与系数的关系可求得结果.

【详解】因为二卜与分别为方程/一6=0的两根，

所以-1+。一一,-1--10,

所以二；+二=二・6+二=2仁+二］）・6=4・6=-1

故答案为：-2

14.已知工㈠为单位向量，且门"卜",则।鲂・4+F・T的最小值为.

【雪案】后

【解析】

・.1

【分析】由忸词="得历三一亦斗后由困T+F-相如回当等号成

立时可得最小值.

【洋解】因为L为单位向量，有同咽咔卜L得审=户=尸=1,

*="得（2a-b\=4J2-4Jd+62=7,

由,得？

cos/3.t\=-^r1

所以，?1*1

-(a,b]e[Q.n]

，乂'/1L所以'13,

35-S|=jj3J-i|3=7«2-65b+P=713

而

则怩t+FTn忻词=正

当且仅当3力-^与5—0方向相反时“二”成立

所以占T+H的最小值为后；

故答案为：岳

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.2023年冬季“尔滨”爆火，某咨询公司开展评价统计，以网络问卷、现场扫码问卷、电话回访、短信等方式

进夕亍，得到若干游客的评价得分如下频率分布直方图：

（1）估计评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），中位数（精确到0.1）：

（2）按比例从【60・80）中抽取4人，进行不满意情况电话回访，再从这4人中随机抽取2人发送礼物，求

2人不在同一评分区间的概率.

【答案】(I)估计评分的平均数为85,估计评分的中位数为85.5

(2)2

【解析】

【分析】(1)利用平均数的定义进行计算，先确定中位数在［80'901内，设中位数为K,从而列出方

程，求出答案；

(2)根据分层抽样得到［60,70)170,801各抽取的人数,用列举法得到所有情况数和满足要求的情况

数，计算出相应的概率.

【小问1详解】

估计评分的平均数为

(65x0.005+75x0015+85x0055+95x0025)x10=85

9

因为。005x10+0015x10=0,<0.5,0.2+0.055x10=0,75>0,5,

故中位数在内，设中位数为K,

则。-801x0.055=05,解得工灯855

估计评分的中位数为855

【小问2详解】

［60,7°10°,80)的频率之比为Q05：。15=1:3,

故从160,80)中抽取4人，其中［607°1内的抽取人数为由”■,设为A,

3十?

口0罟01内的抽取人数为mX设为3CQ,

则从这4人中随机抽取2人发送礼物，情况如下：

共6种，

其中2人不在同一评分区间的情况有,共3种，

所以从这4人中随机抽取2人发送礼物，求2人不在同一评分区间的概率为不.二

16.在同一平面内,旅访的夹角为6,且2快卜网=2赤=(17)>——方当』取4时,

画取最小值，OC=OP^OQ.

(1)证明AA。三点共线；

⑵若4.亍,求仇

【岑案】（I）证明见解析

⑵0)

【解析】

【分析】（1）由0c=°产+°°=（】一"°4+'0"可得答案；

（2）对产°=0°-°尸=I°8-I1-Z）Q4两边平方再开方，结合二次函数求最值可得答案

【小问1详解】

因为而="―/）声诙=1祢

所以OC=。尸+。。=Il-z\OA^tOB

OC-OA=H\OA-OB\

可得

所以AC^tABt

因为向量4U43有共同的起点，

所有AR。三点共线；

【小问2详解】

用=而・丽=,砺一4—1）为，所以

髭卜也丽-(1T)可=/网酝温+[(]7)可

=，々二-4r(l-r)cos£+(l-r『=j5+4co$6)J-(?+4cos6)r+1

_2+4co6-

因为5+4cos”0,所以当?(5+485°)时|阉有最小值,

2+4cos2

4

此时，2(5+4836)

Q1八加

cosr=-6=一

可得？，因为035三%可得3.

ZPCB，

17.如图，点尸为边长为1的菱形工5。。所在平面外一点，且JCD为正三角形,4,四边形

J2

/5CD的面积为2，点乂，“分别为QP和的中点.

(1)求证：MN//平面F5C；

(2)求证：平面尸BC1平面^58.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得且38=3,即四边形人化即为平行四边形，则

wBE,结合线面平行的判定定理即可证明：

zz)ec=zpoc=DO―

(2)如图，利用全等三角形的性质可得27,即DQ'bC,根据勾股定理的逆定理可

得PQ1DQ,结合面面垂直的判定定理即可证明.

【小问1详解】

cc=-DC

取・C的中点E,连接即，则M5//OC且2,

又AB//DC旦脑・展0C,所以XB/小隹且NB=ME,

所以四边形'出5"为平行四边形，则

又MN(Z平面PBC,BEu平面P5C,

所以MW7/平面P5C；

NH【小问2详解】

过p作尸于Q,连接网,由®8=1,得P0=Cg

nnADAB-——ZJ)AB=­ZDCB■―

则2,由4C>3D、0<NZU5(%4,即4,

所以“CB="CB,又CD=PC.OCNQC.所以AOCDEAOCP.

得PQ=DQ,〃QC="QC£得C0=D0,DQ1BC

在中，皿。・“如；，所以则为邛.

因为底面月5。。是边长为1的菱形，dCD为正三角形，

所以8=尸。=1,得吵吁圣喈+卬”加所以尸2，口,

又D0nBe=0,区、BCu平面.4?。。，所以尸2/平面.43CD,

又P°u平面F50,所以平面FB01平面，SCO.

况=］反"萌==

18.在/C中，已知点E满足26.

(1)若•西二L"二?帆求4c的长度;

(2)若BE=1,求面积的取值范围.

【答案】(I)6

Ovs.it^

(2)4.

【解析】.

sinZCX£=-ZCAB=-

【分析】(I)在A/BE,△HCB中，由正弦定理得从而确定3,再由

A£^-AB^LACS

33两边同时平方，即可得4C.

(2)根据题意得$"?=33皿，在/BE中，由余弦定理得9月£“：：+/,则

4代入即可.

【小问1详解】

因为郎=；EC./B愈//

BE^-EC

即2,

一一一一1一一1一一今一1一

AE^AB^BE^AB^-BC^XS+-(^C-AB)=^AB^-AC

所以33JD

在“ABE,△HCE中，由正弦冠理得

BE_ABECAC

siu'BAEsiu^ARBsmZ.CAEsui二Afif

又因为sin乙4£3=sn乙45。，

AB^^BAEAC^nZ.CAE.，…1

------------=-------------sinZ.CAE=一

所以BE次？，即2

—2。4£=三NCAB=3

又因为NC4”W（0・R）,所以6,故3,

苻二（二石，后

所以33

祝，/11而।LL/‘，冠」」同11函罚

即991rl299911,93

I而上五「

所以？，故4c=6

【小问2详解】

BE=?BC

因为3,且BE=1,

所以Sqc=3S.m.

在&4BE中，由余弦定理得

BE'=AB'+AE3-tABAEC^ABAE,

1=AB2^AE2-2ABAE->2AB>AE->/3ABAE

故2,

即形AEgt+6,当且仅当X5=/E取等号，

S〃=3SM=3xlxABxA£x$mNA45=2XB—』(?+")=一"

所以-444

所以53（7的面积取值范围为-4

19.如图，三棱柱＜30-446中，4在底面ABC内的射影为^ABC的外心0,且

三棱柱的侧面积为

IB

(1)求证：M,BC；

(2)求三棱柱”5。-440的体积：

(3)分别求二面角3一-。和二面角A-3瓦一0的大小.

【答案】(I)证明见详解.

(2)2

⑶60二60,.

【解^5]

【分析】(I)连接X。并延长交3。于D,由4在底面4BC内的射影为超C的外心。得40,平面

ABC,AO1BC,再通过证明平面4力0即可：

(2)由(1)可知3。,此，证明3c,8冬,痛="，根据侧面积为二日得

AB=AC=伙=BB[=CC]=义

小,再由余弦定理计算底面〜四C外接圆半件CH即可；

⑶取M中点M,连接㈤,"C,证明会。为等边三角形，即二面角3一必一0即为

N5MC=60•，同理可得二面角”竭一0为601

【小问1详解】

连接并延长交3C于D.如图①所示，

因为A在底面43c内的射影为“5C的外心o.

且q=力0,即D5C为等腰三角形，

所以40_L平面43°,H0,3C,D为3c的中点，

因为BCu平面43C,

所