中考数学重点题型归纳：最值问题 （2大易错点分析+26个易错点+易错题通关）学生版

最值问题

直线轨迹专题

易错点1:将军饮马

例：如图，在平面直角坐标系中，4（1,1）,8（3,3）,点夕为x轴上的动点，则必+P8的最小值为（）

A.2逐B.275C.5D.V15

变式1：如图，C。是。。的直径，CO=8,Z4CD=20",点8为弧4）的中点，点尸是直径CD上的一个动

点，则B4+P8的最小值为

易错点2；三点共线

例：如图，在々48。中，A4=13,4C=10,。是"C中点，E尸垂直平分A8,交AB边于点、E,交AC边于

点广，在瓦■上确定一点使|朋-叫最大，则这个最大值为（）

A

A.10B.5C.13D.6.5

变式h如图,四边形A8C。中，AB//CD,N/WC=90。，A8=5,BC=3,8=3,点夕为直线8。左

3

侧平面上一点,△8C尸的面积为则归八一2。的最大值为

易错点3：两动一定

例：如图，已知ZAQ8=I5。，点M在边。3上，且OW=4,点N和点P分别是和04上的一个动点，则

C.3D.4

变式1：如图，在四边形A8CO中，AD//BC,AB=AC,BC=6,△O3C的面积为24,AB的垂直平

分线MN分别交AB,AC于点、M、N,若点尸和点。分别是线段MN和8c边上的动点，则P6+PQ的最小

值为.

CQB

易错点4：两动两定

例：如图，已知正比例函数,，=依（心>0）的图象与x轴相交所成的锐角为70。，定点A的坐标为（0,4）,

尸为），轴上的一个动点，M、N为函数产心”>0）的图象上的两个动点，则AM+MP+/W的最小值为（）

B.4sin400

C.2拒D.4sin20°(1+cos20°+sin200cos20°)

变式1：如图，已知正比例函数>=依（&>0）的图象与％轴相交所成的锐角为70。，定点A的坐标为（0,4）,P

为y轴上的一个动点，M、N为函数>=依0>0）的图象上的两个动点，则AM十例9+PN的最小值为.

易错点5：两动一定长

例：如图，长方形/WCD中，A6=4,BC=2,G是AO的中点，线段£/；在边A3上左右滑动，若EF=1,

则GE+b的最小值为（）

A.2GB.2^2C.3yliD.373

变式1：如图，448C中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,若。,E是边AB上的两个动点，尸是边AC上的

一个动点，DE=立，则8+£尸的最小值为.

B

易错点6：三动点

例：如图，在直角三角形48c中，，ZACB=30°,A8=8,点P为8C上任意一点，连接处,以Q4,PC

为邻边作平行四边形尸42C,连接PQ，则PQ的最小值为（）

A.3B.C.6D.2石

变式1：如图，△ABC中，AC=BC=3,AB=2,将它沿AB翻折得到△43。，点尸、E、尸分别为线段AB、

AD.。8上的动点，则尸E+P/的最小值是.

C»

D

易错点7：周长最小

例：如图，ZAQ8=30°,OC为/AO8内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=6,点M、N分别为04、

。3边上动点，则△MN/周长的最小值为（）

A

PC

B

ON

A.6B.8C.12D.18

变式1：如图，在AABC中，点。为上一动点，连接CD,点E为线段CD上一点，点尸，点G分别为边

C4,边C3上的动点，若NAC3=30。，CE=6,则.MG的周长的最小值为.

易错点8：中位线

例：如图，在平行四边形A8CD中，ZC=135°,A3=2,AO=3,点H,G分别是CD8c上的动点，连

接A",GH.E,F分别为A”,G”的中点，则E/的最小值是（）

A.2B.V2C.当D.2a

变式1:已知矩形48CO中，A8=2A£>=4,点E、/分别是边A3、CD的中点，点P为AO边上动点，过

点P作与A3平行的直线交心于点G,连接庄，点M是PE中点，连接MG,则MG的最小值=.

易错点9：斜中定值

例：如图，在平面直角坐标系中，正方形A4CQ的两个顶点4、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为

4,则线段0C长的最大值是（）

c.4V2D.8

变式1：如图，长方形两边长A8=2,AD=\,两顶点A、B分别在丁轴的正半轴和x轴的正半轴上运动,

则顶点。到原点0的距离最大值是

易错点10：隐直线

例：如图，在长方形A8CZ)中，A8=5,AD=3,动点尸满足5g样=长方物时。，则B4+PB的最小值为

()

A.aB.734C.729D.5母

变式1：如图，在矩形ABCO中，AB=5,AO=12,点E是矩形内一动点，连接8E、CE,5、,旌=：S矩形八帽。，

F为A。上一动点，连接£7%则BE+CE+庄的最小值是.

易错点n：矩形对角线

例：如图，RtZXA8c中，ZACB=90°,AC=3,8c=4.点。是A8边上的动点，过点。作边AC、BC

垂线，垂足分别为区F.连接则的最小值为（）

A.3B.2.4C.4D.2.5

变式1:如图，直线”白+3与坐标轴分别交于点A,4,点P是线段AB上一动点，过点夕作尸MJLx轴于

4

点、M,作PN_L），轴于点N,连接MN,则线段MN的最小值为

易错点12：数形结合

例：函数产42+2工+2+42-6x+13的最小值是（）

A.2+VF7B.1+2dC.5D.V17

变式1：数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东

西，这是数学解题的一个重要原贝F.在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当

0<x<12时，求代数式G■工+«12-幻2+9的最小值”,其中庐2可看作两直角边分别为x和2的

RLACP的斜边长，“2-幻2+9可看作两直角边分别是12-x和3的RsBDP的斜边长.于是构造出如图，

将问题转化为求AP+4。的最小值.运用此方法，请你解决问题：已知小方均为正数，且。-10=4.则

+9+C+25的最小值是.

易错点13：蚂蚁爬行

例：如图，已知圆柱底面的周长为6m,圆柱高为3m,8c为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点

A爬到点C的最短距离为（）m.

A.2逐B.372C.3>/5D.5叵

变式1：如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点8而点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体

的表而从点4爬到点B，需要爬行的最短距离是.

易错点14；切线与勾股定理

例：如图，。。的半径为2,点。到直线/的距离为3,点。是直线/上的一个动点，。。切0。于点Q,则

P。的最小值为（）

P

A.V13B.石C.3D.2

变式1：如图，在平面直角坐标系中，Q是直线AB：）=；x+3上的一个动点，。。的半轻为1,过点尸作

的切线，切点为。，则“2长度的最小值为.

易错点15：圆锥侧面展开图

例：如图，圆锥的底面半径是2,母线长是6.如果点A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧

面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（）

B.6N/3C.12D.4;r

变式1：如图，圆锥的母线长A4为2,底面圆的直径为2,若一只蚂蚁从圆锥的点B出发，沿表面爬到AC

的中点。处，则其爬行的最短路线长为

易错点16：手拉手

例：如图，在△ABC中，4CB=90。，AC=AC=2,点。是8。边的中点，点尸是AC边上一个动点，连

接P。，以为边在PO的下方作等边三角形p。。，连接CQ,则CQ的最小值是（）

Q

A.走B.yC.—D.-

4224

变式1：如图，AABC中，ZB=30°,ZACB=90°,AB=2,。在8c上，将线段4。绕点A逆时针旋转60。

得AP,则CP的最小值为一.

易错点17：费马点

例：在RtZXABC中，NABC=90°,NACB=30°，BC=6,P为△48C内一点，连接两、PB、PC,则

RHP8+PC的最小值为（)

A.25/21B.4x/5C.2>/3+6D.473+3

变式1：如图，抛物线y=a』+〃x+c经过点A（-3,0）,顶点为旦抛物线与），轴的交点B在（0,-2）

和（0,-3）之间（不含端点），则卜列结论:

①当-3WE时，y<0；

②当的面积为毡时，4=@；

22

③当△A8M为直角三角形时，在AAOB内存在唯一点P,使得尸A+PO+尸8的值最小，最小值的平方为

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

易错点18：胡不归

例：如图，矩形A8CZ）的对角线交于点0,AB=2,8c=2有，点尸是BC上的动点，则。。+38。的最小

值是（）

A.V3B.3C.26D.6

变式1：已知：在平面直角坐标系中，点40,3）,8（10,0）,在工轴上存在一点P,使AP+且的值最

5

小，此时尸的坐标为_____,AP+且8。的最小值为_____.

5.

圆轨迹专题

易错点1:两动一定

例：如图，矩形A8C。中，AB=2,8c=3,以A为圆心，1为半径画圆，E是0A上一动点，P是BC上

的一动点，则PE+PQ的最小值是（)

A.2B.3C.4D.273

变式1：如图，正方形A8C力中，A8=4,M是。。边上一个动点，以CM为直径的圆与8M相交于点。，P

为上另一个动点，连接4尸，PQ,则的最小值是.

易错点2：点运动路径

例：如图，△A8C是等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=8C=4,点D是斜边44上一点，且

将A/WC绕点。逆时针旋转90。，得到“rzrc,/『C'交A8于点E.其中点。的运动路径为弧CC,则弧CC

的长度为（）

A加〃RM兀「2n—

A・---D・-----------L・D・

2424

变式h如图，在矩形A8CQ中，AB=26BC=4,某一时刻，动点E从点A出发，沿力。方向以每秒1

个单位长度的速度向点D匀速运动；同时，动点尸从点B出发，沿8C方向以每秒2个单位长度的速度向

点C匀速运动，当其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接E尸，过点。作E尸的垂线，垂足

为G.在这一运动过程中，点G所经过的路径长是.

易错点3：折叠圆

例：如图，在矩形ABCO中，AB=4tAD=6f七是/W边的中点，歹是线段BC上的动点，将“EBP沿EF

所在直线折叠得到△七夕凡连接夕。，则所。的最小值是（）

A.2V10-2B.6C.2y/13-2D.4

变式1：如图，在矩形A8CO中，AB=10,BC=12,M为4B中点，N为8C边上一动点，将&MNB沿MN

折叠，得到△MN&,则C8'的最小值为

易错点4：直角圆

例：如图，在RtZXABC中，AB1BC,A8=6,BC=4,?是△>4BC内部的一个动点，满足NP4A=NPAC,

则线段C尸的长的最小值为（）

A

变式1：如图，AB是半圆。的直径，点。在半圆0上，AB=2而,AD=\O,C是弧AQ上的一个动点,

连接AC,过。点作O〃_LAC于〃，连接8”，在点C移动的过程中，8”的最小值是.

易错点5：定角定长

例：如图，四边形A8C。中，Z4BC=30°,ZAZ）C=90o,DA=DC,8。=遥，则四边形ABC。的面积

最小值为（）

A.3-百C.乎D.5-273

变式1：如图，△A8C中，AC=3,BC=4,ZACB=45°,AM,点P在射线AM上运动，连接4。交

△APC外接圆于。，则4。的最小值为.

易错点6：四点共圆

例：如图，£是的直径A3上一点，44=10,BE=2,过点E作弦CO_LA4,P是弧AS上一动点,

连接。P,过点4作AQ_LP。，垂足为Q,则。。的