二次函数与菱形的专题

二次函数与菱形

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y^x2+bx+c的图象与x轴交于4、8两点,4点在原点的

左侧，8点的坐标为(3,0),与v轴交于C(0,-3)点，点夕是直线8c下方的抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)当点P运动到什么位置时，四边形力8PC的面积最大并求出此时0点的坐标和四边形彳8%

的最大面积.

⑶连接尸0、PC,并把△刃C沿笫翻折，得到四边形户的C,那么是否存在点只使四边形户0户'

C为菱形？若存在，请求出此时点夕的坐标；若不存在，请说明理

2.已知抛物线y=ax?+bx+8(a21)过点D(5,3),与x轴交于点B、C(点B、C均在y轴右侧)

且BC=2,直线BD交y轴于点A,

(1)求抛物线的解析式；

(2)在坐标轴上是否存在一点N,使aABN与ABCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不

存在，请说明理由.

(3)在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q,使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？

IAV/

若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由.T/

3.如图，二次函数图象的顶点为坐标原点0,y轴为对称轴，且经过点A(3,3),一次函数的图

象经过点A和点B(6,0).

(1)求二次函数与一次函数的解析式;

(2)如果一次函数图象与y轴相交于点C,E是抛物线上0A段上一点，过点E作y轴平行的直

线DE与直线AC交于点D,ZD0E=ZEDA,求点E的坐标;

(3)点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F,以点0、C、M、

F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由.

4O如图，已知抛物线经过原点0和x轴上一点4(4,0),抛物线顶点为£它的对称轴与x轴

交于点2直线*-24-1经过抛物线上一点8(-2,加且与v轴交于点C,与抛物线的对称轴

交于点F.

(1)求勿的值及该抛物线对应的解析式;

(2)P(x,0是抛物线上的一点，若S△加=S△.求出所有符合条件的点"的坐标;

(3)点。是平面内任意一点，点的从点尸出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速

运动，设点"的运动时间为亡秒，是否能使以。、4E、"四点

点的四边形是菱形？若能，请直接写出点〃的运动时间亡的值;

能，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A(-3,4)、

B(-3,0)、C(-1,0).以D为顶点的抛物线厂ax'+bx+c过点B.动点P从点D出发，沿DC

边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个

单位，运动的时间为t秒.过点P作PE_LCD交BD于点E,过点E作EF_LAD于点F,交抛物线

于点G

(1)求抛物线的解析式；

(2)当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？

(3)动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H,使以B,Q,E,H为顶

点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由.

6.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴

于点C,连接BC,且0B=0C.

(1)求抛物线的解析式;

⑵如图2,点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE_LBC于点E,设DE=d,点D的横坐标为

t,求d与t的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G,连接DF,过D作DH_LDF交

FG于点H,点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tanNHDN二K,当四边形DHMN

为菱形时，求点N的坐标.

v

tyt

7.如图，抛物线y=ax2-2x+c(a=#0)与x轴、y轴分别交f"点A,B,C三点，已知点A(-2,0),

点C(0,-8),点D是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将4EBP沿直线

EP折叠，使点B的对应点B1落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,点M是直线CD上的动点，点N是平面内

点，当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点M的坐标.

8.如图，口ABCD的两个顶点B,D者卜在抛物线y=二x?+bx+c上，且0B=0C,AB=5,tanZACB=—.

84

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线上是否存在点E,使以A,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在,请求出点E的

坐标；若不存在，请说明理由.

(3)动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个

单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t(秒).当t为何值时，△APQ

是直角三角形？

9.如图，抛物线y二-a乂?-lix+1与v轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B

44

作BC_Lx轴，垂足为点C(-3,0).

(1)求直线AB的函数关系式;

(2)动点E在线段0C上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG_Lx轴，交直

线AB于点F,交抛物线于点G.设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的

函数关系式，并写出t的取值范围;

(3)设在(2)的条件下(不考虑点E与点0、C重合的情况)，连接CF,BG,当t为何值时，四

边形BCFG为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形？请说明理由.

10.如图，已知抛物线y=ax2+c过点(-2,2),(4,5),过定点F(0,2)的直线I：y=kx+2

与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(＞、V、=),并证明你的判断;

(3)P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P(0,m),求自然数m的值;

(4)若k=1,在直线I下方的抛物线上是否存在点Q,使得AOBF的面积最大？若存在，求出点

Q的坐标及aOBF的最大面积；若不存在，请说明理由.

11.如图，抛物线y=ax?+bx-2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

点A的坐标为(-2,0),点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDJ_x轴于点D,交直线BC于

点E.

(1)求抛物线解析式；

(2)若点P在第一象限内，当0D=4PE时，求四边形POBE的面积；

(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样

的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存

在，请说明理由.

12.如图1,抛物线y=ax?+bx+4的图象过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,作直

线BC,动点P从点C出发，以每秒正个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当

点P与点B重合时停止运动.(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2,当t=1时，求SJCP的面积;

(3)如图3,过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点.

①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；

13o如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+3与x轴交于点A(-4,0),B(-1,0)

两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第三象限的抛物线上有一动点D.

①如图(1),若四边形0DAE是以0A为对角线的平行四边形，当平行四边形0DAE的面积为6时,

请判断平行四边形0DAE是否为菱形？说明理由.

②如图(2)，直线y=工x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF_Lx轴于点H,交QC于

2

点F.请问是否存在这样的点D,使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为证:2?

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+1)?-3与x轴交于A,B两点(点A在点

B的左侧)，与y轴交于点C(0,-3),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线I交

3

抛物线于P,Q两点，点Q在y轴的右侧.

(1)求a的值及点A,B的坐标；

(2)当直线I将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时，求直线I的函数表达式；

(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M,点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形

DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由.

15o已知，如图，在平面直角坐标系中，4ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，0A=2,

0B=1,0C=4.

(1)求过A、B、C三点的抛物浅的解析式；

(2)设点G是对称轴上一点,求当4GAB周长最小时，点G的坐标;

(3)若抛物线对称轴交x轴于点P,在平面直角坐标系中，是否存在点Q,使aPAQ是以PA为腰

的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；

若不存在，说明理由；

(4)设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N,使得以点A、B、M、

N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.

16o如图，已知抛物线G：尸-2x2,平移抛物线yr2,使其顶点D落在抛物线6位于y轴右侧的

2

图象上，设平移后的抛物线为G,且C2与y轴交于点CQ2).

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)抛物线C2与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)，求点A,B的坐标及过点A,B,C的圆

的圆心E的坐标;

(3)在过点(0,1)且平行于x轴的直线上是否存在点F,使四边形CEBF为菱形？若存在，求出

2

点F的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y二工x?+bx+c经过A、B两点，

3

与x轴的另一个交点为C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)点M在抛物线上，连接MB,当/1^4+/。80=45°时，求点M的坐标；

(3)点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，

P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标

平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？

若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由.

抛物线与菱形的专题参考答案

1o解：(1)将8、。两点的坐标代入得

b=-2

解得：

c=-3

所以二次函数的表达式为：y=/-2x-3

-2x-3),

则。点的坐标为（x,x-3）;

SE边整A8P<FS4A蛀S△CPQ

=1AB*OC+\Q入OR-IQP»BF

222

得X4X3+£（-X2+3X）X3

乙乙

=-卫（x-a）2口（10分）

228

当X=J忖，四边形48QC的面积最大

x2

此时0点的坐标为（旦-西），四边形4?外的面积的最大值为W.

248

（3）存在点只使四边形HWC为菱影；

设户点坐标为（x,x-2x-3）,PPf史CO于E

若四边形qT。是菱形，则有PUPO；

连接，则P£LC0于£,

：.OFE是

2

・・.尸-J；（6分）

2

：.x-2x-3=一2

2

解得X尸兰近，X2二2一疝（不合题意,舍去）

22

・・・夕点的坐标为（生叵，-£）

22

2o解：（1）设B点坐标为（XI,0）,C点坐标为（X2,0）,

则XisX2是方程ax?+bx+8=0的两根,

•**X1+X2二——,XiX2=—,

aa

VBC=IXI-X2|=2,

2

（Xi-x2）-4,即（X1+X2）-4xix2=4,

2

.,•旦一四二4①，

a2a

把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②,

1

a两

由①②可解得［an或,(舍去),

lb=-6

・•・抛物线解析式为y=x2-6x+8;

(2)在y=x?-6x+8中，令y=0可得x?-6x+8=0,解得产2或x=4,

AB(2,0),C(4,0),

设直线BD解析式为y=kx+s,

把B、D坐标代入可得(2k+s=0,解得(k=1,

I5k+s=3Is=-2

・,・直线BD解析式为y=x-2,

・・・A(0,-2),

①当点N在x轴上时，设N(x,0),则点N应在点B左侧，

JBN=2-x,

VA(0,-2),B(2,0),D(5,3),

1•AB=2心BD=3加

•?ZABN=ZDBC,

有△BCDsZ\BNA或△BCDS/\BAN,

当△BCDsZ^BNA时，则有理工区,即乎二解得x二2,此时N点坐标为(2,0);

BABN2&2-x33

当△BCDs/\BAN时，则有些二区,即&Z2二一=，解得x=-4,此时N点坐标为(-4,0);

BNBA2-x2V2

②当点N在y轴上时，设N(0,y),则点N应在A点上方,

AAN=y+2,

由上可知有△BCDs/\ABN或△BCDsaANB,

当△BCDs/^ABN时，则有些二些，gp2==3V2解得y=4,此时N点坐标为(0,4)；

ABAN272y+2

当△BCDs/\ANB时，则有些二双，即，-二里.，解得y=-2,此时N点坐标为(0,-2)：

ANABy+22V233

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为(2,0)或(-4,0)或(0,4)或(0,2)；

33

(3)•・•点P在直线BD上，

・・・可设P(t,t-2),

222

・•・BP:4(t-2)+(t-2)注屈It-2|,PC=^(t-4)+(t-2)^721-l2t+20»

•・•以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，

・••有BC为边或BC为对角线，

当BC为边时，则有BP二BC,即加|t-2|二2,解得t=2+&或t=2-后,此时P点坐标为(2+沈,

加)或(2-&，V2)；

当BC为对角线时，则有BP=PC,即WK-2|=42t2_]2t+20,解得t=3,此时P点坐标为(3,

1);

综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(2+加，沈)或(2-加，加)或(3,1).

3.解：(1)设二次函数的解析式为y=ax?,

把点A(3,3)代入得3二aX3?,解得a二工；

3

设一次函数的解析式为y=kx+b,

把点A(3,3)、点B(6,0)代入得e+b=3,解得]k=T,

6k+b=0Ib=6

所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=.Lx2,y=-x+6;

3

(2)C点坐标为(0,6),

VDE/7y轴,

JNODE=NCOD,NEDA=NOCD,

INDOE=NEDA,

.・.NDOE二NOCD,

.,.△OCD^ADOE,

AOC:OD=OD：DE,即0D2=0C・DE,

设E点坐标为则D点坐标为(a,6-a),

3

0D2=a2+(6-a)2,=2a2-12a+36,0C=6,Dt=6-a-la2,

3

/.2a?-12a+36=6(6-a--a2)，解得a1=0,a=—,

322

•・・E是抛物线上0A段上一点，

A0<a<3,

•a-3

2

・••点E坐标为(21);

24

(3)以点0、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形.理由如下：

如图，过0点作0F/7AC交抛物线于F,过F点作FM〃y轴交AC延长线于M点,交x轴于H点,

则四边形OCMF为平行四边形，

•：0C=0B=6f

：.A0CB为等腰直角三角形，

AZ0BC=45°,

AZH0F=45°,

/.A0HF为等腰直角三角形，

AHO=HF,

设F点坐标为(m,-m)(m>0).

把F(m,-m)代入y=工x?得-"Ln、解得向=0,m2=-3,

33

/.m--3,

.•.HO=HF二3,

・・・0F=&0H=3g,

而0C=6,

.,・四边形OCMF不为菱形.

4.解：(1)・・•点8(-2,加)在直线*-2x-1上

A/7F35(-2,3)

又・・,抛物线经过原点0

设抛物线的解析式为y=ax+bx

•••点8(-2,3),4(4,0)在抛物线上

.(4a-2b=3

**ll6a+4b=0，

，」

解得；a’.

b=-l

・・2

•设抛物线的解析式为y=lx-X.

4

(2)・・・P(x,一是抛物线上的一点,

・・・P(X，¥->)*

若S^ADi^-S/xADCf

•S△雨=^AD*0C»SAADP|y|»

又•・•点C是直线片-2x-1与y轴交点，

：.C(0,1),

・•・00\,

・•・|-^x2-x|=b即1乂2-x=l或3x'x二-1,

_

解得：乂产2+2a,X2=2272»X3=X4=2-

・・

,点户的坐标为P](2+272，1),P2(2-2近,1),P3(2,-1)•

(3)结论：存在.

二,抛物线的解析式为y=-Y2—X，

4

・•・顶点£(2,-1),对称轴为*2；

点尸是直线尸-2x-1与对称轴片2的交点，：.F(2,-5),。后5.

又・・・4(4,0),

AAE^.

如右图所示，在点"的运动过程中，依次出现四个菱形：

①菱形AEM-a.

•・•此时丽A昌氐

・,.林FDF-DE-济4-脏,

亡尸4-立；

②菱形AEOMi.

'：此时DM^DE=\,

・•.肠片用/用二6,

，22二6；

③菱形AEM^.

［此时E归A国Q

：.ZM二功-D田脏-1,

...厩片圾+。片(V5-D+5=4+加,

・•・&=4+，兀；

④菱形A肱EQ4.

此时彳£•为菱形的对角线，设对角线〃•与眼Q交于点“，则4RL也Q,

,/易知△/4£Ps△眼日/,

・・・等渭，即¥1_，得腹反工

AEDEV512

:.D3根E-DF昌-1=3,

22

二版片ZM+D片输5二卫，・•・公卫.

222

综上所述，存在点、M、点、。,使得以。、4E、"四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：G二4一的,

后6,右3=4+遂，力二里.八，：

5o解：(1)由题意得，顶点D点的坐标为(-1,4).

设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4(aWO),

・・•抛物线经过点B(-3,0),代入尸a(x+1)?+4

可求得a=-1

工抛物线的解析式为y=-(x+1)，4,即尸-x、2x+3.

(2)由题意知，DP=BQ=t,

VPE//BC,

.,.△DPE^ADBC.

・DP=DC=9

PEBC

.,.PE=lDP=lt.

22

・••点E的横坐标为-1-Lt,AF=2-lt.

22

将X=-1-Lt代入y二-(x+1)2+4,得y=-乂2+4.

24

・••点G的纵坐标为-Lt44,

4

GE=-lt2+4-(4-t)=-lt-t.

44

如图1所示：连接BG.

=++

S有边布BDGQSABOGSABEGSAOEGRpSBOGO=—BQ*AF+—EG*(AF+DF)

22

=lt(2-It)-lt2+t.

224

=-lt2+2t=-l(t-2)2+2.

22

・••当t=2时，四边形BDGQ的面枳最大，最大值为2.

(3)存在.

VCD=4,BC=2,

AtanZBDC=l,BD=2在.

.,.cosZBDC=.?2^.

5

•.'BQ=DP二t,

,迷二恒.

2

如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB.

VBE=BD-DE,

ABQ=BD-DE,即t二2加一返t,解得t=20-8加.

2

・・・菱开彳BQEH的周长=80-3275.

如图3所示：当BE为菱形的对南时，则BQ=QE,过点Q作QMJ_BE,则BM=EM.

VMB=cosZQBM»BQ,

AMB=^t.

5

,BE二9t.

5

\'BE+DE=BD,

角单彳导：1=20.

5213

・•・菱形BQEH的周长为"

13

综上所述，菱形BQEH的周长为现或80-32%.

13

6o解：(1)对于抛物线y=ax?-2ax-3a,令y=0,得到ax?-2ax-3a=0,解得x=-1或3,

AA(-1,0),B(3,0),

/.0A=1,0B=0C=3,

AC(0,3),

/.-3a-3,

a=-1,

，抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.

(2)如图2中，作DTJ_AB于T,交BC于R.设D(t,-t2+2t+3).

图2

V0B=0C,ZB0C=ZRTB=90°,

AZ0BC=ZTRB=ZDRE=45°,

VDE±BC,

AZDER=90°,

AADER是等腰直角三角形，

•・,直线BC的解析式为y=-x+3,

AR(t,-t+3),

.・・DR=-t?+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,

•'•DE=DR,cos450=一返t?+3&t.

22

・・・D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，

设DM交FH于Q,作HK±DN于K.

TtanNHDK=箸霹，设HK=12k,DK=5k,贝寸DH二标二而”=13k,

JDN=DH=13k,NK=DN-DK=8k,

在RtZXNHK中，NH二五居而N(8k)2+(12k产WB,

AQN=QH=27i3k,

SADNH=1»NH・DQ=1*DN・HK,

22

，DQ二3风

・・・tan/QDH=&l=2,

QD3

VDF±DH,

AZ0DH+ZFDQ=90°,VZQFD-ZFDQ=90°,

NDFQ=NQDH,

・・・tanNDFQ二四2,

FQ3

・・,抛物线的顶点F(1,4),Q(1,-t2+2t+3),

・・・FQ=4一(-t2+2t+3),

.・_____tzia

4-(-t2+2t+3)3

解得仁立，

2

AD(1,工)，

24

.\DQ=1-1=1,

22

•・QN二2

*QD3，

AQN=1,

AN(1,11).

4

7o解：(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得:[4a+4+c=°,

lc=-8

解得：a=1,c=-8.

・•・抛物线的解析式为y=x2-2x-8.

,:V=(x-1)2-9,

AD(1,-9).

(2)将y=0代入抛物线的解析式得:x2-2x-8=0,解得x=4或x=-2,

AB(4,0).

Vy=(x-1)2-9,

工抛物线的对称轴为x=1,

・・・E(1,0).

•・•将4EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B,落在抛物线的对称轴上,

AEP为NBEF的角平分线.

AZBEP=45°.

设直线EP的解析式为v=-x+b,将点E的坐标代入得：-1+b=0,解得b=1,

・,・直线EP的解析式为y=-x+1.

将尸-x+1代入抛物线的解析式得：-x+1=x?-2x-8,解得:x=二运或运.

22

•・•点P在第四象限,

-l+V37

••X八=一,■

2

・・・y士巨.

2

...p(HA/S71->/37)

••-2-'-2-•

(3)设CD的解析式为尸kx-8,将点D的坐标代入得：k-8=-9,解得k=-1,

・,・直线CD的解析式为y=-x-8.

设直线CB的解析式为尸k?x-8,将点B的坐标代入得：42-8=0,解得：k2=2.

・,・直线BC的解析式为y=2x-8.

将x=1代入直线BC的解析式得：y=-6,

AF(1,-6).

设点M的坐标为(a,-a-8).

当MF二MB时，(a-4)2+(a+8)2=(a-1)2+(a+2)2,整理得：6a=-75,解得：a二-里，

2

・••点M的坐标为(-至，1).

22

当FM=FB时，(a-1)2+(a+2)2=(4-1)2+(-6-0)2,整理得：a2+a-20=0,解得：a=4或

a=-5.

・••点M的坐标为(4,-12)或(-5,-3).

综上所述，点M的坐标为(-至，2)或(4,-12)或(-5,-3).

22

8o解：⑴V0B=0C,0A±BC,AB=5,

AAB=AC=5.

，tanNACB二空•二三

OC4

•*-OA=|oC・

由勾股定理,#OA2+OC2=AC2,

(1-0C)2+0C—A解得OC二±4(负值舍去).

•*-OA=1oC=3,0B=0C二4,AD=BC=8.

AA(0,3),B(-4,0),C(4,0),D(8,3).

'Ip

令X(-4)-4b+c=0

・O

••

12

8>8b+c=3.

o

解之得,b*,

c=5.

，抛物线的解析式为y=_AX2+^X+5;

84

（2）存在.

・・•四边形ABCD为平行四边形，

AAC=AB=CD.

5CVAD#=CD,

，当以A,C,D,E为顶点的四边形是菱形时,AC=CD二DE二AE.

由对称性可得，此时点E的坐标为（4,6）

当x=4时，y=-AX2+.?.X+5=6,所以点（4,6）在抛物线y=八x?+&x+5上.

8484

・•・存在点E的坐标为（4,6）;

(3)•・•四边形ABCD为平行四边形,

AAD/7BC,

AZDAC=ZACB<90°.

・••当△APQ是直角三角形时，NAPQ=90°或NAQP=90°.

LosNACB窄4,

•,4

,,cosZPAQ=-z-

5

由题意可知AP=t,AQ=5-t,0WtW5.

当NAPQ=90°时，cos/PAQ©，

AQ

・t4

・・瓦丁？

解得t=型.

9

当NAQP=90°时，cos/PAQ笔，

Ai

・・・—二1,解得t3.

t59

V0＜当＜5,0＜孕＜5

99

J》或四.

99

9.解：(1)由抛物线的解析式知：A(0,1);

•・・BC_Lx轴，且点C(-3,0)

・••点B的横坐标为-3,将其代入抛物线的解析式中，得:

-1X9+1Z-X3+1=1

442

・,•点B(-3,a);

2

设直线AB的解析式为：y=kx+1,有：

-3k+1=l,k=-l

22

・・.直线AB：y=-lx+1.

2

(2)由题意,OE=t,则点E(—t,0)；(0WtW3)

当x二-t时，点F(-t,工t+1),点G(-t,-i.t2+lZ.t+1)

244

.・.GF=I(-lt2+Ht+1)-(lt+1)|=-

44244

即：s=-&+&(0WtW3).

44

(3)因为BC_Lx轴，GE_Lx轴，所以BC〃GF;

若四边形BCFG是平行四边形，那么BC=FG,即:

s=-5t?+屿:二旦解得：t=1或2.

442

当t=1时，点F(-即CF二BC,该平行四边形是菱形;

当t=2时，点F(-2,2),诺加，即CF于BC,该平行四边形不是菱形;

综上，当t=1或2时，四边形BCFG是平行四边形，其中t=1时，该平行四边形是菱形.

10.解：⑴把点(-2,2),(4,5)代入尸ax?+c得—a+c二2,解得a3,

16a+c=5c=i

所以抛物线解析式为y=lx2+1;

4

(2)BF=BC.

理由如下：

设B(x,lx2+1),而F(0,2),

4

22222222

BF=X+(1X+1-2)=x+(lx-1)2=(lx+1),

444

.\BF=1X2+1,

4

VBC±x轴，

.\BC=1X2+1,

4

ABF=BC;

(3)如图1,m为自然数，

当m=0时，易得四边形BCPF为正方形，此时P点在原点；

当点P在F点上方，

・・,以B、C、F、P为顶点的四边舷是菱形，

.\CB=CF=PF,

而CB=FB,

ABC=CF=BF,

AABCF为等边三角形,

AZBCF=60°,

AZ0CF=30°,

在RtZ\OCF中，CF二20F=4,

PF=CF=4,

；.PS,6),

・・・自然数m的值为0或6;

(4)作QE〃y轴交AB于E,如图2,

当k=1时,一次函数解析式为y=x+2,

解方程组厂得产2+21或,=2-2%则B(2+2加,4+2加)，

y=1x2+l1y=4+2V21y=4-2V2

设Q(t,则E(t,t+2),

4

・・・EQ=t+2-(lt2+1)=-lt2+t+1,

44

，S△版二S.+S.EOB乩(2+272)•EQ=(V2M)(-lt2+t+1)=-返(t-2)2+2扬2

244

当t=2时，S/.有最大值，最大值为202,此时Q点坐标为(2,2).

工爻

'0Cx

图2

图1

2,。)在抛物线上，/我1，解得:

11.解:(1)・・,抛物线y=ax?+bx-2的对称轴是直线x=1,A(-

.(-2)2a-2b-2=0

1

a]

,抛物线解析式为y=—x2-—x-2;

4

b=42

2

(2)y=^x2-lx-2=0,解得：XF-2,xk4,当x=0时，y=-2,AB(4,0),C(0,-2),设BC的解析

42

4k+b=0

式为y=kx+b,W(,解得：.\y=-l.x-2,设D(m,0),・「DP〃y轴,

lb=-22

AE(m,Im-2),P(m,XII2-XII-2),V0D=4PE,

242

m=4(Am2-Am-2-Am+2),mz5,m=0(舍去),

422

工)

AD(5,0),P(5,,E(5,1),四边形POBE的面积=SZWD-S6EBO=1X5X-L-J^X1X工二遛:

4224228

(3)存在，设M(n,In-2),

2

①以BD为对角线，如图1,•・•四边影BNDM是菱形,

・,・MN垂直平分BD,.\n=4+l,AM〔2工)，TM,N关于x轴对称，・小(2-1);

22424

②以BD为边，如图2,二四边形BNDM是菱形,

AMN//BD,MN=BD二MD二1,过M作MH_Lx轴于H,

222222

AMH+DH=DMt即(In-2)+(n-5)=1,

2

.\ni=4(不合题意)，nF5.6,AN(4。6,9),

5

同理(ln-2)2+(4-n)?=1,n尸4+强(不合题意，舍去)，廿4-笙，

254

・・・N(5-延,-返)，

55

222

③以BD为边，如图3,过M作MH_Lx轴于H,,MH7+BH^BM?,即(In-2)+(n-4)=1,，n尸4+2石，n2=4

25

-强(不合题意，舍去)，

5

AN(5+越,国

55

综上所述，当N(2,-1)或(4。6,-i)或(5-2运，-鱼)或(5+2运，返)，以点B,D,M,N为顶

2455555

点的四边形是菱形.

12o解：(1)•・•抛物线尸ax?+bx+4的图象过A(-1,0),B(4,0)两点，

/fa-b+4=0,解得：卜二T.二抛物线的表达式为y=-x?+3x+4.

ll6a+4b+4=0Ib=3

(2)令x=0,则y=4,即点C的坐标为(0,4),

ABC=^42+42=4V2.设直线BC的解析式为y=kx+4,•・•点B的坐标为(4,0),/.0=4k+4,解得k=-1,・••直

线BC的解析式为v=-x+4.当t=1时，CP二后，

点A(-1,0)到直线BC的距离h二迎匹二3Ml二月返，

BC4^22

SglcP・h=lxV2X-^/2=l.

2222

(3)①•,•直线BC的解析式为y=-x+4,

・・.CP二四，0E=t,设P(t,-t+4),F(t,-t2+3t+4),(0WtW4)

PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,(0WtW4).

当t二—-〈—二2时，PF取最大值，最大值为4.

2X(-1)

②二•△PCF沿CF,斤叠得到△P'CF,.'.PC=P'C,PF=P,F,

当四边形PFP'C是菱形时，只需PC=PF.,••Wt=

解得：50(舍去)，t2=4-V2.故当t二4-加时，四边形PFP'C是菱形.

13.解：(1)把点A(-4,0)、B(-1,0)代入解析式厂axabx+3,

得(16a-4b+3=0,解得,

a-b+3=0

抛物线的解析式为：y=WX?+KX+3.

44

(2)①如答图2-1,过点D作DH_Lx轴于点H.

AS=1OA>DH=3,

AAOO2

ADH=1.

2

因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，

.,.当2+%+3二一2

442

解得:Xi=-2,XF-3.

・••点D坐标为（-2,-0）或（-3,-1）.

22

当点D为（-2,-0）时，DH垂直平分0A,平行四边形ODAE为菱形;

2

当点D为(-3,-A)时，0D手AD,平行四边形ODAE不为菱形.

2

②假设存在.

如答图2-2,过点D作DM_LCQ于M