不等价不可约的群表示的判断设计说明书

XXX设计(XX)

不等价不可约的群表示的判断

院（系）

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指导教师

完成时间20XX年2月25日

目录

第一章引言............................................................1

1.1课题的来源与研究的目的和意义....................................1

1.1.1本课题的研究目的............................................3

1.1.2本课题的研究意义............................................5

1.2本课题研究的内容................................................6

1.3国内外研究现状...................................................8

第二章群表示理论基础................................................10

2.1群表示的基及群的表示...........................................11

2.1.1群表示的定义................................................12

2.2不等价不可约群表示的分类.......................................13

2.2.1群的等价表示................................................14

2.2.2群的完全可约表示...........................................15

2.2.3群的不可约表示..............................................16

2.2.4群的酉表示..................................................18

第三章群的不可约表示................................................19

第四章群的不等价不可约的判断条件..................................21

第五章判断条件的证明................................................22

结论...............................................................24

致谢...............................................................25

参考文献...............................................................26

I

第一章引言

1.1课题的来源与研究的目的和意义

本论文通过对不等价不可约的群表示的判断进行障述和论证，从代数观点来

对不等价不可约的群表示的判断，从而来了解群的不等价不可约表示，并且找出

不等价不可约的群表示的判定并并证明所找方法的正确性，最后再应用到不等价

不可约的表示中。

1.1.1本课题的研究目的

本论文通过对不等价不可约的群表示的判断进行述和论证，从代数观点来

对不等价不可约的群表示的判断，从而来了解群的不等价不可约表示，并且找出

不等价不可约的群表示的判定并并证明所找方法的正确性，最后再应用到不等价

不可约的表示中。

1.1.2本课题的研究意义

群表示论是研究群的最有力的工具之一，也是代数学中具有根本性的问题，

是当前国际上数学研究的前沿重点课题，通过对不等价不可约群表示进行判断，

从而来得出正确的结论，对于不等价不可约群的这种判断过程，会对后续的应用

数学学科在不等价不可约群表示的判断方法上面有着一定的参考作用和借鉴意

义。在某种程度上面，能够对应用数学领域起到一定的推动作用。

1.2本课题研究的内容

本次毕业论文的题目是不等价不可约的群表示的判断，根据任务书要求，查

阅相关资料，了解不等价大可约的群表示的判断方法法，根据查找到的相关资料

和数据，阐述不等价不可约群表示的判断形势及通过理论公式来证明这个观点，

并且在原有的基础上面对不等价不可约的群表示的判断方法进行推广，并对其中

的某种重要的判断方法进行推广和论证，最后编写毕业设计说明书。具体步骤如

下：

1）查找资料了解什么是群；

2）掌握有关群表示的基本理论;

基：群兀索作用的对象称为与它相应的，群表示的基。基可以有各种类型，如矢

量(x,y,z),波函数(波函数(px,py,pz)。

数域((实数域分或复数域。)上的线性空间J/是一个向量集合，V={x}；该集

合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合【/在加法运算下构成交换群，满

足：

Vx,^zeV,有

x+y=y+x

x+(y+z)=(x+y)+z

x+d=d+x=x,唯一单位元d

x+(-x)=(-x)+x=o,唯一逆元

数乘运算AV-P满足：

Va,beK,(ab)x=a(bx)

a(x+y)=ax+ay

(a+b)x=dx+bx

\x=x

线性无关和维数

线性空间?中，任意〃个向量不工2,…名，其线性组合

+a2x2+…+a”=0当且仅当=“2h••=4〃=。时成立，则称此n个向量线

性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大个数/，称为空间

P的维数,记为dim/二偏

基矢

设，是〃维线性空间，则『中任意一组〃个线性无关的向量，称为空间1/的基矢,

记为®,印，…，蔡)。空间中任意矢量均可表示为〃个基矢的线性组合，工=E>g。

/

矩阵形式：

e,=0q+0,2—・+再+。及+1+…+0藐

3

瓦…，就）同=

工=次喑=（即可，…与）？,［x］=x?

线性变换

线性变换力是将〃映入1/的线性映射:满足:

Vx,yeV,aeK,

A:V->V,A（x）eV,

A（ax+y）=aA（x）+A（y）

线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法

4（f）工=£勺可，y=

jJ

人向）二句洛=（否，&，…，部）av

I"叽

A（E）=4£勺和）=£xjZa/i

Ai…YJi

=ZZ&i旬勺）=（21/2,…，蔡）

=（跖，>2,…总）

故有矩阵形式:

Ai…4〃丫内

［川国=1到,

若dctlAI.0,则称线性变换力非奇异，力有逆变换下,［十］=［加工

线性变换群

定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则〃维复线性空间/上的

全部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为〃维复一般线

性群，记为应（/，6）,其子群£（匕。称为/上的线性变换群。

4

群表示

设有群G,如果存在一个从G到〃维线性空间/上的线性变换群L的同态映

射人则同态映射力称群G的一个线性表示，，为表示空间，〃称为表示的维

数。

A:G->L

VgaeG,A(ga)el

Dga,S尸GG,人(gcS/y)一八

4金)=E

其中g为G的单位元，£为£中的恒等变换。

•系1在表示空间/选一组基，线性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间V

上的线性表示，亦可定义为G到矩阵群的同态映射儿

•系2若群G',则G的表示也是G'的表示。

­系3一个群G原则上可有无限多的表示。

忠实表示

如果群G到线性变换群L的映射A为同构映射，则该表示称为忠实表示。群

表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。取表示空间为",基矢：

m。

①｛e,o7J,外为对xy平面的反演。

群｛仇巴｝本身是定义在R3空间上的线性变换，故其本身是自己的一个表

示，选择一个具体基矢：门,】可以将其矩阵化：

e(7)=17+Oj+O]ak(i)=\7+0j+0k

e(/)=()；+lj+0KcrA.(7)=()/+1；+()jt

e(E)=0；+0j+R/(Q=0；+0j+(-l*

oO、

(100)

\1O

!-

/

故表示矩阵为:oIA(ak)=010

7(00-1

②{etCkM},CkM：(x,y.z)—>C-x.-y,z)»表示矩阵为:

勺00、'一100、

A(e)=010A(Q(JT))0-10

<001,<001,

5

③{e,/},/为空间反演:(x,y,z)->(-x,-y,-z),其表不为:

zOo\Oo

i|

zo1O/\oO

(!=

\/-

OO1OO

ZJI

以上三个群均是。上的变换群，故其本身就是他们的表示(忠实表示)。

他们还可以有其他的表示.如空间反演群有表示，如:

oX0oo

OI

/1O0IO

V-

O1I-0O

/、

它实际上是三个•维表示的合成：

A(e)=1,A(/)=1,2个恒等表示

A(e)=1,A(/)=-1,1个非恒等表示

或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。

上内},{e,C5)},{ej},均是互相同构的二阶循环群Z2,具有相同的群表

示。他们两个最基本的表示为：

A(e)=A(a)=1;A(e)=1,A(a)=-1,a分别为q,Q(;r),/。

①〃有一维恒等表示，A(e)=A{d)=A(f)=A(a)=4(Z?)=A(c)=1;

②少与1同态：£>3~Z2={1,-1}

e,d,j-1,ciy/7,c—>-1

故〃有非恒等一维表示：

A(e)=A(d)=A(f)=1

A(a)=A(b)=A(c)=-1

③〃为力的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。

表示空间丫为〃,取基7J・：

(100、2

A(e)=010.d=C,(一不)

1001-3

d(7),7+与+o&

W2f-l/2-V3/2(),

=1+(--)j+Ok,A(d)=V3/2-1/20

一2__2一001

d(k)=Oi+0/+KV

6

同理，可得表示矩阵A(7),4(c),A(〃)，A(c)

④〃在x,y,z的二次齐次函数空间中的表示，空间的基为：

外=炉，%=V，%=?2,a=V，帜=A，%=XZ.

任何二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变

换g对向量7'的改变尸=炉，同时将对定义在该空间中的标量函数。行)作变换,

即g对应•个标量函数变换算符即吠3)=勺次7)。由吠(尸)=欢7)容易发现,

"(»=〃/>)=ag-。)。可以验证变换群但)与算符做成的函数变换群代｝同

构。对于Vgi.&eG,有:

P&F种)=[0g”)=。(靖g”=欢/自尸r)=P&W)

故力储=%%，故｛1｝在函数线性空间上的矩阵形式即为群但｝的一个

表示。

。3在｛城,%，我，必’a，上的表刁〈:

'-1/2V3/20

2

d=Q(针)，八f"]=-6/2-1/20

001

/

=(t/-,(r));=(-lx+^y)2=^x-+^y2-^-xy

=；血+[次

+0/+(・+()A+04

=(17r))；=(—4x—+半q,

=:3玖+wI次+0/+g

24+我+0想

-l2

Pd(t>y=(t/(r))j=z=04+0。2+10+0。4+0。5+006

7

二V族一V4+00-g04+0。5+0在

加=（八⑺）式八⑺卜=（-^-x-^y）z=-^yz-与xz

=0次+002+A+004一（-；）。5+（_

P*=（八⑺）式八（＞））：=（-?+?y）z=（Y）'Z-j⑶

=。@+。4+03+。&一（¥）。5+（一3）德

故可得月的表示矩阵：

-

4-

3

-

4

-0

万

/2

o

O

其他群元的表示矩阵可以同样得到。与变换对应有标量函数变换算符

1晨。设〃的本征值为力7的，对应本征数为心.行）,〃为简并度指标，简并度为

£,有：

"（7）%依）=耳改〃〃（7）.〃…/。

这些简并波函数的任意组合均是相同本征值下的本征函数。可以检验，

《〃仁式乃也是〃的本征函数：

"⑺彳/〃“⑺]="⑺忆"（gj》）

=4J”行）忆“行）]

=丁纥九"）

=E“（PM⑺）

故K能级的所有简并波函数构成哈密顿算符群｛〃“｝不变的线性空间。在简

并本征函数空间中变换算符的矩阵形式即为哈密顿算符对称群的表示。

8

记PK,Q的表示矩阵为A(g〃)，具体形式由下式确定：

4a(k“⑺)=匕"SJ7)=£A“(ga—⑺

v=l

2.2群的表示的分类

一个群的表示原则上可以有无穷多个，它们可以分解或约化为有代表性的最

基本表示的组合。

2.2.1群的等价表示

设群G在表示空间『取基匕勺，…内)下的表示为4孔)，在另一组基

©1,2,…，3下的表示为A(ga)，若存=0X,才为两组基之间的变换,有:

l

A\ga)=X-A(Sa)X,detXNO

则称表示AN等价，或H为/I的等价表示。

•系1两个用相似变换和联系的表示互相等价：八=加7或人=尸一加,(det?

W0),力和4等价。等价表示只是不同基的选择而已，故重要的是寻

找不等价的表示，这样就产生了寻找不等价表示的问题。

可约表示

设力是群G在表示空间匕上的一个表示，I/如果存在G不变的非平庸子空间

WuV,(W“,WHV),VgeGtxeW,A(g)XGW,A(G)是子空间7上的变换群。

此时称力是G的一个可约表示。

•系1设(,"2,…,e“)是子空间『的基，则取空间P的一组基：

(勺,与,，使得勺GIV,7=1,2,...,在此基下表示矩

阵A(gq)具有如下形式：m列n-m列

4”蹩)翁)吗

I。D(ga))n-m仃

8(ga)为mxm矩阵，C(ga)为mx(n-m)矩阵，Q(g&)为(〃-〃?)乂(〃-/〃)矩阵。子

空间加中矢量的形式：X=(x1,x2,...xmA...,0y(t表示转置,成列矩阵)，才经

9

过A（g0）变换仍然在子空间W中：X，=AX=（汇0，...,0）'。

­系2可以验证X=⑴…口乙…/小…与丫在人⑴力变换下不具有封闭性:

X'=AX=(0,...,0,x'OT+l,x'in¥2。

•系3另外,

4(ga)4(g'=1OO(8)[O。(身"

”(心)伙外)8(ga)C(gQ+C(ga)。即)

-oO(g“)D(g，

（B（gag°）C（g骏g/、

IOD（g.g，

仍然具有相同的结构，故8（g.）、O（g.）均构成新的群表示。

•系4对于有限群，上述阶梯矩阵都可以通过相似变换化为对角分块形式。

线性空间的直和

设线性空间，有子空间处和用，册0/%二0。对任意元eV,可找到

吊元2CW2,并唯一的将又表示为：工=用十月，则称线性空间〕/是子空

间价和用的直和，记为v=w;㊉吗。

2.2.2群的完全可约表示

设群G的表示空间V可以分解为子空间叫和用的直和，且周和用都是A（。

不变的（即A（G）是折和优上的变换群），则称。在/上的表示为完全可约表

示。

•系1内]€WpVx2€卬2，A依〃e"，4g0灰2€电

,系2总可以选一组基G，%],•••,e〃），使（勺,…©〃）和即+],・・•©1）分别为

子空间附和感的基，在此基下表示矩阵4孔）具有如下形式：

m列（n~~m）列

他。）=（警）晨J（“嚅行=8（右）电。（心）

•系3若表示/I有一个等价表示具有对角形式，则力为完全可约表示。

­系4对于有限群，可约表示的矩阵总可以化为分块对角形式，因而一定是完

10

全可约的。对于无限群，存在可约而不完全可约表示。这样的表示虽然存

在群不变非平庸子空间，但无论如何选择，其补空间都不是群不变的，这

样的表示仍然称为可约表示，是不能完全约化的可约表示。如，一维平移

群。

T[a}x=x+a,T(a)T(b)=T(a+b),

它是无限阿贝尔群，存在不能完全约化的可约表示：A(a)=:;<,

2.2.3群的不可约表示

设力为G群在表示空间『中的表示，若夕不存在A(。不变的真子空间，则称

力是。的不可约表示。

•系1。的不可约表示虻阵不具有对角或三角形式。

•系2一般地，G的表示空间P总可以表示为不可进一步分解的C不变子空间

的直和，而G在『上的表示可以写为G在这些不可分解的子空间上的不

可约表示的直和：

他》二㊉勺，，“。)

P

其中整数%为不可约表示4(g0)在表示4(g,)中出现的次数，称为重

复度。

­系3群的任何表示都可以写成其不等价不可约表示的直和，故寻找一个群的

所有不等价不可约表示有重要意义。

内积和内积空间

设J/是数域。上的线性空间，将J/中两个有序向量X,y映为复数域。上的

一个数(X)，)eC,满足：Vx,y,zeV,aeC,有

①(1+市)=(布)+(*)；

®(x\ay)=a(^y)；

11

③（市）=（市）*（共岫

④（市）20,元=耐等号成立,

则称（布）为工和»的内积，而定义了内积的线性空间称为内积空间。

内积空间中向量的长度或模：|乂=洞而；

向量工垂直若（司5）=0;

・系1（0氏）=（f|0）=0,V£eU

证：项工）=（）,+（一沛）=（市）+（-1）（市）=0

,系2任何内积空间总存在正交归一基，（61,62「“〃），（61町）=跖。

证：设m,耳，…g,是，的一个基，用施米特正交化方法可以构造正交归一基。

作e；=ej\e^有/固）=1

又作/'=&一（R'|&）R'，有：

（短㈤）=（泮电）一（年短2）（瓦'同）=（叶同）一（否'1&）=0,

作当、自'/局1，有（。2”闻'）=1，（泮园'）=0；

一般地，可令*=耳-£（2'低）号''，/=*/同|，可得正交归一基：

7=1

（牙,。

幺正变换

设〃是内积空间〃上的线性变换，若对任意乂），£匕〃保持X和y的内积不

变，

即：（〃IS，）=（x|y）,则称〃为I上的幺正变换。

­系1幺正变换将正交归一基（不，当，…，部）变为另一组正交归一基：

（西，怪，…,应）.（西|阻）=场|弓）=%。

•系2记〃为幺正变换，的共飘变换，则其逆变换〃=〃，〃上方为恒等变换。

12

证：内积空间上的线性变换/I的共规变换为/T,有：（Ar|），）="|A"）,

故有（3|U），）=（x|U+Uy）=（x|y）,由于必y任意，故有"沪反U'=U0

­系3在正交归一基下，线性变换〃的共拢变换〃的矩阵即酉矩阵有：［〃］=仁『

为⑷的转置共辄［b1（即［夕］产⑷匕）。（对于幺正变换有：

2.2.4群的酉表示

群G到内积空间〃中的幺正变换群力上的同态映射，称为群G的酉表示。

系1群G到幺正矩阵群的同态，也是群G的酉表示。

设『是内积空间，川是P的子空间，定义W1三国5k）=0,1€匕工"w},W’为，

中所有与川中矢量垂直的向量的集合，则有V=W㊉旌，於称为腑J正交补空间。

证明：设》的一个正交归一基为和当,…岛，依€匕作如三之⑷加CW,

<=1

令取=£-用，可证当与严中的任意矢量垂直:

m

因—=（祁—用）=（祁）-（福）=（祁）-Z6欢羽）

1=1

in

=（明工）-2（祁）与=（非）一（司工）=0，对/=12…也成立，

1=1

叫.r

故有（工属）=（Z0j盾区）=Z（祁）（小2）=0，

/=1/=1

故工2WW，从而工=用+12,用wWHzwW，；

又若WcW，w0,即于eWcwLa工0,则有：

（j|y）=0,即j?=0，所以wnw1^。.

故有V=W㊉W1.

若群G的酉表示力是可约的，则月是完全可约的。

证明：设表示空间为匕G的表示力可约，则夕有61不变的子空间巩

13

由定理2.1有：V=W㊉为/的正交补空间;

对V5wW彳wW1■，有(布)=0：

而#.是G不变的，故VgaGG,有A(g；)”W,故：

(A(ga)zly)=(2|*(ga)y)

=(zlA-'(ga)y)

=(W|A(g/»)

=(布，)(记4g3方=2

=0

11

BPA(ga巨€W,或(A(ga)W=腔

故W，也是G不变的子空间。因此力是完全可约的。

适当选择正交归一基A具有如下形式：

/\

A(gq)=0=0⑴力㊉以以)。

0

I队)

•系1.若队W1中仍然有G不变的子空间，则上述分解可以继续进行下去，A

最终可表示为：

P

其中整数叫，为不可约酉表示A"(gJ在4-)表示中的重复度。

有限群的每一个表示都有等价的酉表示。

证明：设4={4&1),&€6},为群G的表示

若能找到相似变换X对VAS.)£4有

X4(&JX"=*(g,)，使为酉矩阵

即A'(ga)+A'(ga)=E

则定理得证。(+表示矩阵的转置共规)

构造如下矩阵W:

W=ZX(ga)&ga)

a

W为显然为厄密矩阵：甲=肌并且有如下性质：

14

4+”%厮)=£4+"川+0)他必夕)

a

=E(A(ga)4g.))+(4心)4月”))

a

hZA+(gy)4gy)

/

=w

可以检验如上的厄密矩阵w可以表示为W=x-x,才为非奇异矩阵：

首先厄密矩阵W总可以找到酉矩阵U使之完全对角化为M,其对角元为实数,

即：

W'=UWU',

并且可以发现W'为正定矩阵：

W、=ZUA+(ga)4g.)U+=Z(UA-(g〃)U+UA(g〃)U+九

ga8a

=z(£(&*(&))“，令8(g.)=UA(g“XT

»a

+*?

=千耳与9a)Bkjk(ga)=受可Bjk(g〃)%%(ga)=：9%波8.)I

故正定对角矩阵M可以表示为。+。形式，其中〃也是正定对角矩阵。

由WUWU+=£)+0可得：W=(DUY(DU),X=DU.

可以验证，X即为所寻找的使表示A化为酉表示的相似变换：

令A(gQ=X4(g“)X"

则

]

A'+(g°)A(g°)=(X4(g°)X)\XA(ga)X-)

l+i

=(x-yA(gay(xx)A(ga)x-

i1

=ix-yA(gaywA(^)x-

=(x-'ywx

15

=(X-,)+X+XX-1

=(X-,)+X+

=(XX-1)+

=E

故A(ga)=X4(ga)X”为酉表示，得证。

第三章群的不可约表示

建立了二维幺正幺模矩阵。(〃力)与欧勒角(a,尸")的关系后，本

节将给出SU(2)群的不可约表示。2。回.

SU(2)的群元素为二阶幺模幺正矩阵

设二维空间的基元为4刍4),户。)是与u相联系的变换算符，

则

。二户(U)“2%号

J

亦即

4=户(。)0=%-02

■=户0纥2=%+。*

容易证明

|川+|町由f+|G『⑵

为了将SU(2)的表示空间的基矢与球谐函数力(。附相联系，通常将其

取成

——飞丁,m=l,/-I,……,-/.(3)

选择心满足下列条件

16

£%©，财=£|几&&)|2(4)

亦即

为讨(一广蚓厂=为讨蚓r(i町厂⑸

m=-/m=-/

下面将证明，若取

此『=---5-----(6)

(4)式或(5)式成立，因为若将(6)代入(5)式得

y|Nj(凰2『信T『"=V(MT)(|硝

.J阎).)~2(/+/〃)！(/_〃?)！

令l-m-ny则上式变为：

嵩X谭%(图广修。”

3^高＞『+|硝2，

必焉阊+i冢汴加J闾广蚓厂

“尸m=-l

因此(4)或(5)式得以证明.

由于九(。刍)为SU(2)群的表示空间的基矢，所以有:

户⑺九(。4)"*㈤=土匿(。)九(。4)⑺

zw*=-/

其中.\(U)就是SU(2)群的表示矩阵。

而由(1)与(3)两式知:

户。)九信4)=加心后=心值广值尸=(喈一泮:：：广『产

17

由二项式定理

nkk

(〃+力)"=之—?_a-b

金A!(〃-&)!

则上式变为:

P(U).信&)=ZMZH(T)k\(l+m-K)Jlk〃八)!门•

令m=I-k-k,当2=0,%=0时，m=/,当k=I-m,k=/+tn时，m=-/

则上式可变写成对k与相的求和，得:

I/+m)(/+〃，)!(/一〃?)!

户。)九(。看2)=EZ(-i)“

m=-/A=0k.!(/+m-k)!(/-m'--m+k)\

b”0“吁*/3"-团专‘

9y5(/+〃?)!(/-〃?)!(/+W)!(/-M)!

=〉〉(-1)----------------------------------------------x

”匕£k!(/+〃?-k)!(/-W-A)!(M-〃?+&)!

尸1+献刀-m'

«+M)!”W)!

/gJ(/+〃?)！(/-〃？)！(/+W)!('一-')！

=〉〉(-1)——----------------------------------------x

l+mkk+mm

产-$a-b'-flm.(^4)

则上式与(7)式比较知:

加0)=弋(-1V5(/+〃?)！(/一〃7)!(/+〃力！(/一〃双

(8)

下面来讨论一下，表示Z/)(U)的一些性质.

(1)由于也加……共2/+1个取值，所以。⑴(U)是2/+1维

的.

(2)表示W)(U)是幺正的.

由(4)与(7)得：

18

i瓦©旦)f二tp(u)九=i/"&&)「

m-/m^-t

亦即

££Dg)f帛芯j£哨(u)—)=11几©4)『

w--//«-//«-//n»-/

因此t2?(U)，2・(U)=4或±6?(u)次?+(u)=河

m=-lm=T

或

W)(UR/H(U)=],

故

〃)+(〃)=w4(u)(9)

所以表示。2s是幺正的.

(3)Q")(U)是不可约的.

由舒尔引理1知，如果矩阵M与所有的7/)(U)都对易，则当M

为常数矩阵时，。⑷(U)就是不可约表示.为此我们求出两种特殊情况

下的£>")(S矩阵.Wa=exp(-，a),。=0,则由(8)式知，只有当k=0

且〃?=小时“2(U)才不等于零，因此得：

D{l)(1,0)=鼠L

mmmin(10)

其次在(8)式中，令m=l,则只有当女=0,.2,(。)才不为零，所以

比)(«b)=--啰-2a^b'-m(11)

如果M与(10)式所示的。对易，则由于(10)式的

〜,0)是一非常数对角矩阵，所以M也应是一对角矩阵，即：

M1卜=M匹(12)

19

进一步，若M还与(11)式形式的矩阵3).⑼对易，即：

MD(I-(a.b)=D{l}(a,b)M,或写成矩阵元的形式

±M总久a,b)=£D£(a,b)M.

ii

由(12)式，上式变为:

由于矩阵元”23的不但等于零，所以％=%，即M为一常数矩阵，

所以

M术=M/(13)

因此0〃)(u)是一不可约表示.

(4)。⑴(—u)=(—l)"3)(u)(14)

在⑻式中作代换。->-〃力->-人上式就可以得到证明.

前面己经谈到，SO⑶与SU(2洞态，即对S0(3)群的每一元素R,

都有SU(2)中的两个元素±U与之对应.反过来，SU(2)中的每一个元

素U,亦与S0(3)群的每一元素相对应.这样SU(2)群的每一个表示

亦是SO⑶群的表示.当/取整数时，由(14)式知，=

这时将给出S0(3)群的单值表示，而这时S0(3)群将只有Q")(-U)或

川(U)一个表示，但当/取半奇数时，由于加(-u)=-W)(U),所以这

时将给出SO⑶群的双值表示，即这时SO⑶群将有土川(。)两个表示。

第四章群的不等价不可约的判断条件

艾森斯坦(Eisenstein)判别法的主要内容为：艾森斯坦判别法是说:

给出下面的整系数不等价不可约群f(x)=anxn+an-lxn-l+…+a0,如果存在

素数P，使得p不整除an，但整除其他ai,(i=0,l,...,n-l)；p2不整除aO,

2()

那么f(x)在有理数域上是不可约的。

第五章判断条件的证明

对不等价不可约群f(X)取模P，也就是把它的系数映射到整数模P

的环上。这样它便化为f(x)三cxn,O<c<p,c为非零常数。因为在域

上的不等价不可约群有唯一分解，f在模p上会分解为单项式。如果

f是在有理数上可约的，那么会有不等价不可约群g,h使得f=gXho

从上可知g和h取模p分别为dxk和exn-k,满足c=dXe。因为g

和h模p的常数项为零，这表示g和h的常数项均可被p整除，所以

f的常数项aO可以被p2整除，与f系数的假设矛盾。因此得证。依

据牛顿图的理论在其p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。(0,