【高考数学 热点题型】第10讲 压轴小题导数技巧：比大小13类热点题型归纳（原卷及答案）

第10讲导数技巧：比大小13类热点题型归纳

目录

【题型一】对数函数基础构造1：xlnx型.................................................1

【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x型.................................................2

【题型三】指数函数基础构造.............................................................2

【题型四】“取对数”法..................................................................4

【题型五】指数切线构造：ev-(x+l)....................................................3

【题型六】对数切线构造.................................................................4

.2(x—1)

Inx<------

【题型七】反比例构造：x+1型....................................................5

【题型八】“零点”构造法................................................................8

【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造.............................................8

【题型十】“同构”构造：差、商、积同构.................................................9

【题型十一】泰勒逼近..................................................................10

【题型十二】帕德逼近..................................................................II

【题型十三】综合.......................................................................8

二、真题再现............................................................................9

三、模拟检测...........................................................................15

【题型一】对数函数基础构造1:xlnx型

【典例分析】

（2022・全国•高三专题练习）已知且蚂=-51na,半=-31n〃，度=-219.，则（）

\c7abc

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【变式演练】

1.12022•全国•高三专题练习）已知〃=8"），b=9,c=103则。，b,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

2.（2022•四川宜宾•二模（文））已知“=107〃=9"，。=113则a"c的大小关系为（）

A.c<a<bB.b<a<c

C.a<b<cD.c<b<a

3.12022•安徽•淮南第一中学一模（理））设a=15lnl3,Z>=141nl4,c=131n15,则（）

A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c

【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x型

【典例分析】

（ibub<th

（2022・全国•模拟预测）已知有以下结论：®ah<b\②〃">E；③@^<e7,则

其中正确的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【变式演练】

1.12022•全国•高三专题练习）q=3（2—ln3）〃=」,《二坐,则mA。的大小顺序为（）

ee3

A.a<c<hB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

2.（2022♦湖北•宜都二中高三开学考试）已知a=41n5”=51n4[=5ln/,则"Ac的大小关系是（）

A.c<a<bB.a<b<c

C.a<c<bD.c<b<a

3.[2022•全国•高三专题练习（理））设〃=？。2。202?,。=202e，c=2O22202%则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【题型三】指数函数基础构造

【典例分析】

设正实数a,btcf满足=〃]n0=ce'=2,则。，b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

福建省福州格致中学2022届高三10月月考数学试题

【变式演练】

1.已知"ceR.满足—=———<0.则4,〃，C的大小关系为（）.

InbInaInc

A.c>a>bB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试理科数学试题

2.已知a+2a=2,6+3,=2,则。lg。与Hg。的大小关系是()

A.blgavalgbB.h\^a=«lgZ?

C.Mgfl>rzlgZ?D.不确定

3141

3.已知实数。=-，，b=-e',c=—e],（e为自然对数的底数厕"，b,c的大小关系为（）

237

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【题型四】“取对数”法

【典例分析】

（2023・全国•高三专题练习）已知a=2%h=3叫c=4,n\则（）

A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

【变式演练】

1.12021•全国•高三专题练习）已知实数a,b,c«0,e）,且3"=",4f,5,=c'，则（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

2.（2022•全国•高三专题练习）已知a=3.93\〃=3.9吗c=3.83\d=3.83$,则a,力,c,"的大小关系为（）

A.d<c<b<aB.d<b<c<a

C.b<d<c<aD.b<c<d<a

3.已知5$<8313"<6,设a=logs3,力=1。嬴5,c=logI38,找出这三个数大小关系

【题型五】指数切线构造：e<（x+l）

【典例分析】

（2022,江西•南昌市八一中学三模（理））设〃=击，^=lnl.0Lc=e00,-b则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.h<a<cD.c<a<b

【提分秘籍】

基本规律

指数和对数切线放缩法基础图

【变式演练】

L12022•河南•模拟预测（理））已知。=1.2,〃=?,c=e02,则（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

2.12022•广东•深圳外国语学校高三阶段练习）已知〃二*15,h=券+1,c=«T,则（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

\10]

3.[2022•全国•高三专题练习）已知a=」一口=em,c=lnW,则a,b,c的大小关系为（）

101100

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【题型六】对数切线构造

【典例分析】

（2022♦江苏•阜宁县东沟中学模拟预测）已知a＞：且2a=eW，人〉;且3力=e《，且曲=｝七则

()

InaInbIncInaIncIn)

A.-----<-----<-----B.-----<——<——

beacabbeabac

IncInbInaIn/?InaInc

C.----<-----<-----D.-----<-----<-----

abacbeacbeab

【提分秘籍】

基本规律

指数和对数放缩法基础图

【变式演练】

〃人。，八K、-e2=a+—e-e3=b+-e（-e5=c+-

1..（2022•山西运城•高三期末（理））已知"'"'cqu，"人且2,3,5,

则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

2.（2021.四川•双流中学高三阶段练习（理））已知。一4=ln二工0乃—5=防9工0,。—6=ln乡/0,则（）

456

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.a<c<b

3.12022•全国•高三专题练习〉己和c=2.71828是自然对数的底数，设a=6-,c=e^-1ln2,

ee

则()

A.a<b<cB.b<a<cC.h<c<aD.c<a<b

।2(x—1)

【题型七】反比例构造：“,工丁型

【典例分析】

（2022・江苏・金陵中学二模）设a=e“-2",b=4lA-\,c=21nl.l,则（）

A.a<h<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【变式演练】

L(2022・全国•高三专题练习)若口=e0z,b=g,c=ln3.2,则a,b,。的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

小2。22•江西模拟预测（理））设，一—4（2-In4），七I‘]n4则〃'的大小顺序为<>

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

【题型八】“零点”构造法

【典例分析】

04

（2022•广东广州•高三开学考试）设。=〃=c=tan0.1,d=—,则（）

71

A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b

【变式演练】

1..（2020•北海市北海中学高三）已知X=In：,x2=,占满足6一"=injV3，则下列各选项正确的是

A.玉VX3Vx2B.<x2<x3c.x2<x]<D.Xy<X]<x2

【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造

【典例分析】

（2022・湖北•宜城市第二高级中学高三开学考试）已知a=e°2—l,〃=M1.2,c=tan0.2,其中e=2.71828为

自然对数的底数，则（）

A.c>a>bB.a>c>b

C.b>a>cD.a>b>c

【提分秘籍】

基本规律

比较难，需要结合数据寻找合适的构造函数。

【变式演练】

L12022•全国•高三专题练习）设“=e°s—l,/?=2（e001-1）,c=sin0.01+tan0.01,则（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

2.（2022・四川・广安二中模拟预测［理））已知0<、<丁<兀，且Csinx=e*siny,其中e为自然对数的底数,

则下列选项中一定成立的是（）

A.cos^+cosy<0B.cosx+cosy>0

C.cosx>sinyD.sinx>siny

3.12022•吉林一中高三阶段练习：理））设4=1，〃=21n（sin±+cos士］,。=2!1日，贝b,c的

50\IUUIy5>0

大小关系正确的是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【题型十】“同构”构造：差、商、积同构

【典例分析】

（2022.辽宁・大连市一0三中学模拟预测）已知a=2ln3—4,21ng—JFT_1,c=41n2-JB-l,则6,

力，c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

【变式演练】

L（2023•全国•高三专题练习）已知a=Z?=sinO.Lc=lnl.i,则（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<a<bD.c<b<a

304

2.12022•山东枣庄•高三期末）已知a=tan（l+;r--）,Z?=tan0.1,c=—,则（）.

7171

A.b<c<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c

0309

3.12022•重庆•三模）己知4=，，b=:,c=sin0.1,则。，b,c的人小关系正确的是（）

717t~

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

【题型十一】泰勒逼近

【典例分析】

（2022・全国•高考真题（理））已知1=卫力=cosLc=4sin,，则（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【提分秘籍】

基本规律

几个常用的泰勒展开

ex=l+x+土+土+...+二+o(x")

2!3!n\

//2m-l

sinx=x--+—+...+(-1严—----+o(x2nt)

3!5!(2w-1)!

2r产

cosx=l-—r+—+...+(-l)w——+o(x2m+,)

2!4!(2/H)!

r2r3r"

ln(l+X)=X----1----F...4-(—l)n1---F0(x")

23n

八、a.a(a-l)a(a-l)…+〃/八

(l+x)a=]+ax+--------/+2...+-------------------A+o{x)

2./z•

----=1+X+x"+…+x"+o(x")

1-x

【变式演练】

(7=O.leol,Z?=-,c=-ln0.9

1.(2022•全国•高考真题)设9，则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.12021•全国•高考真题(理))设a=2lnl.01,b=lnl.O2,C=VLO4-1则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【题型十二】帕德逼近

【典例分析】

(2022•全国•高考真题)设。=0.1网,力=，c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<h

【提分秘籍】

基本规律

帕德逼近：

rX2+6x+12.

“=7zX2)

2

.Z1、3x+6x.t[\

3x2-3

lnWa77^7TX0<x<2)

后句」"」./)

2822

【变式演练】

1.已知ci=e"-2y[lyb=4s.i—4,c=2InI.U

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

•设宗，00,则

2a=1b=lnl.01,c=e-l»)

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

.全国•高考真题（理））设。=人=则（

3.1202121nl.01,lnl.02,C=X/L04-1)

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【题型十三】综合

【典例分析】

2

（2023・全国•高三专题练习）已知“=e再，力=（血T）’,c=_________,则（

-2.1-2闹

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【变式演练】

8

L（2022.江苏.南京市第一中学高三开学考试）已知a=log?不81/,C=，°g6，则aAc的大小关系

5〉5

5

为（)

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

3

2.设c=“〃=总3,«=log54,则0,b,c的大小关系为（)

A.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

3.设。=21nl.01,/?=lnl.O2,c=VL04-l.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

、真题再现

/］、0.7

1.12022.天津•高考真题）已知〃=207,b=-C=1O§2-则（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>h

2.12021♦天津・高考真题）设〃=1。瓦。3力=log『4c=0.4\贝|j。，儿。的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

〃）见下列判断正确的是（

3.12021•全国•高考真题）已知。=logs2=k&3,c=1,）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

4.12016•全国•高考真题（理））已知a=211）=丘c=25§，则

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

5.12020•全国•高考真题（理））已知55<8t134<8力设a=log53,Z>=logs5,c=logi38,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

6.12021•全国两考真题（理））设。=21nl.O1,/?=lnl.O2,C=VLO4-1#则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

31Ii

小2。22•全国•高考真题（理））已知则（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.12022•全国•高考真题)设。=01**c=-ln0.9,则()

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

L模拟检测

1.设〃b=N^,。=二当7,则“，b,。的大小关系为()

23l+ln2

A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c

河南省洛阳市豫西名校2020-2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题

o2

2.（2021•四川省叙永第一中学校高三阶段练习）己知。力£（0,3）,且41na=aln4二In/?=〃ln3,c=c2（其中

2

是自然对数的底数），则（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

3.已知4=2020加2,。=202产Ic=2O222020,则〃，b,。的大小关系为（）

A.c<a<bB.a<c<b

C.c<h<aD.a<b<c

4.设a=log43,b=log54,c=29%则外方区•的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期10月月考数学试题

5.12021•山西吕梁•高三阶段练习（理））已知。=10e叫6=10.1,则（)

A.a>b+\B.b-\<a<bC.bvavb+1D.a<b-\

6.12022•全国•高三专题练习）已知〃-4=lnf<0,Z?-3=ln^<0,"2=呜<0,则（）

43

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<h

44343

7.已知a=sin=,/2=7sin：,c=；cos：,则。也。的大小关系为（）

53434

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I卷？数学（文）（一）试题

8.Vxe（O,l）,记〃=尊，。=亨，c=，则。、八。的大小关系为（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

9.12022・浙江•高三专题练习）设，=工1111.011=1.01-«所,0=0.01,则（）

2

A.a<b<cB.a<c<bC.h<a<cD.b<c<a

11.（安徽省池州市东至二中2020-2021学年3月月考）已知〃〃=+,°=4］，其中e是

自然对数的底数，则，Jb,。的大小关系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

第10讲导数技巧：比大小13类热点题型归纳

目录

【题型一】对数函数基础构造1：xlnx型..................................................1

【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x型................................................20

【题型三】指数函数基础构造............................................................22

【题型四】“取对数”法.................................................................25

【题型五】指数切线构造：e'-(x+l)...................................................27

【题型六】对数切线构造................................................................31

.2(x-i)

lnx<------

【题型七】反比例构造：x+1型...................................................35

【题型八】“零点”构造法...............................................................37

【题型九】“跨畀”构造；切、弦、指、对构造............................................39

【题型十】“同构”构造：差、商、积同构................................................43

【题型十一】泰勒逼近..................................................................46

【题型十二】帕德逼近..................................................................49

【题型十三】综合......................................................................51

二、真题再现...........................................................................55

三、模拟检测...........................................................................59

【题型一】对数函数基础构造1：Xlnx型

【典例分析】

（2022•全国•高三专题练习）己知且变=-51n〃，—=-31n^,也=—2lnc,则（

)

keyabc

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=xlnx,根据单调性即可确定。力,c的大小.

【详解】设函数/(x)=#nx,/(x)=l+lnx,当xwg+s)J'(x)>0,此时f(x)单调递增，当

A-G^0，Hr(x)<0,此时f(x)单调递减，由题写=-5hw,母=一31血，—=-21nc,得

,1,1,,,1,1,1,I1,1e41111,-1,11.11,I

。In。=-In-In力=-In-,clnc=-In-=-In—因为一<一<一<一,所ri以u一In->—In->—In—,则

553322445943e554433

a\r\a>c\nc>h}nb,且。，4e,所以a〉c>〃.

故选:A.

【变式演练】

1.（2022・全国•高三专题练习）已知4=8%b=93c=10S则。，b,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【分析】构造函数/（丫）=（惜一丫）》丫，x28,求其单调性，从而判断〃，b,c的大小关系.

【详解】构造/（x）=（18—x）lnx,x>8,

1Q

/f（x）=-lnx+-----1,

r(x)=_|nx+更一1在［8,+o>)时为减函数，且尸⑻=_ln8+2_l=』_ln8<2_lne2=3_2v0,

.1

1Q

所以r(x)=-lnx+—-1<0在区小)恒成立，故/(x)=(18-xjlnx在[8,+o))上单调递减，

.X

所以/⑻>/(9)>/。0)，BP101n8>91n9>81nl0,所以那>99>10'，即

故选：D

2.12022・四川宜宾•二模(文))已知”=l(y。，/>=9",c=\W则。自。的大小关系为()

A.c<a<hB.b<a<c

C.a<b<cD.c<b<a

【答案】A

【分析】先构造函数/(x)=(20-.r)lnx(G9),求导确定函数单调性，即可判断的大小.

170

(详解】fM=(20-A)Inx(x>9),则f\x)=-Inx+(20-x)­—=-Inx+----1,

•VX

2f)

显然当xN9时，f(x)是减函数且/'(9)=-ln9+~^-1<0,故/⑶是减函数，

/(9)>/(10)>/(11),即11ln9〉101n10>91n1l,ln9">InlO10>lnll9,

可得9“>l(y°即cvavb.

故选:A.

3.12022•安徽・淮南第一中学一模(理))设a=15lnl3,/?=14ln14,c=13lnl5,则()

A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c

【答案】D

【分析】构造函数〃x)=(14+x)ln(14-x),利用函数的导数讨论函数“力的单调性.

【详解】令/(力=(14十人)ln(14r),Ae[-bl],

14+r12

则r(x)=ln(l4T)—y^<lnl5_]<0,

所以f(x)=(14+x)ln(14T)在[1,1]上单调递增,

所以/(T)</(0)</⑴，即131nl5<141nl4<151nl3,

所以，a>b>c故选：D

【题型二】对数函数基础构造2：Inx/x型

【典例分析】

abahah

（2022・全国•模拟预测）己知<力<e,有以下结论：①②"〉ej③④则

其中正确的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】构造/（力=叱，x«Le）,利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④

.X

的正误，根据g（X）=球的单调性及④得到③的正误..

【详解】设〃力=处\nx

xw(l,e),则/"(x)J，>0在_rc（l,e）上恒成立，所以〃力=在X«l,e)上

X

单调递增,

因为l<avb<e,所以迎〈华，即加na<〃lnb,因为y=ln工单调递增，所以①正确;

ab

――<----=—>H|Ja\nb<—,因为y=lnx单调递增，所以〃，②错误:

beee°e

因为L<b"，所以/ve+④正确；因为gW=a'单调递增，

所以〃所以〃。令日，③正确.

L<

故选:c

【变式演练】

1.12022•全国•高三专题练习)」=3(2—ln3)6华，则出。的大小顺序为()

e-e3

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【分析】构造函数/(幻=比，应用导数研究其单调性，进而比较〃=/(《)，b=f(e),c=/(3)的大小,

x3

若，=见土有两个解对看，则1<玉<e<£，，e(0,1),构造g(x)=丘丫一生二3*>1),利用导数确定g(x)>0,

xex+1

进而得到E/TnM,即可判断〃、c的大小，即可知正确选项.

x2-X)x2+k

、In

【详解】令〃制=叱，则。=/(5)=—,3=f(e)=—,。=/(3)=孚，

x3£2e3

T

1—]f)Vp~

而f'(x)=-T-且x〉0,即0<]<e时/(x)单调增，x>e时/(K)单调减，Xl<—<^<3,:.b>c,….

x3

若/=也有两个解和再，贝/€(0,1),即/=十X一.\

xe七f'f

令g(x)=lnx—生二则g'(x)="一?：>°，即g(x)在(1，卡功上递增，

x+lx(x+l)

:.g(x)〉g(l)=o,即在(l，y)上，lnx>d),若x=X即——*■>---,故经21,有XX,>/

X+1X)X2-X}x2+,V]Inxix2

・••当天=3时，e>x,>y,故/([■)</($)=/⑶，

综上；〃>c>a.故选：A

2.(2022・湖北•宜都二中高三开学考试)已知a=41n5F=51n4Z,=51n/,则。也c的大小关系是()

A.c<a<bB.a<b<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】令/（"=今"次），利用导数判断“X）在（e,y）上的单调性，即可得4，"的大小关系.

【详解】令/（x）=?（xNe）,可得

XX

当x*时，/'（"VO恒成立，所以/（"=皿在（露+8）上单调递减，所以/（兀）＞〃4）＞〃5）,

AT

即可得41n;r〉,Tln4,5ln4>41n5,所以lnp“>ln4P，5pln4>4pln5,

7i45

所以51nHi>5h】4",51n4T>41n5n»即。>b,.所以a<〃<c.故选：B.

3（2022•全国•高三专题练习（理））设。=2020叫〃=202产，c=2O222020,则（)

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

ln2020

【分析】由于?=所以构造函数〃司=lav

x＞e2],利用导数判断其为减函数，从而“『比较出

In/?inzuzi'x+1

2022

/（2020）＞/（2021）＞0,进而可匕较出。力的大小，同理可比较出反。的大小，即可得答案

ln2020

X+1xhu

.、七砂、..\na202211120200、生混，/\瓜丫/、八-

【详解】•而:赤由"谓红’构造函数/3=二1卜纭），/⑴一«+1）一

2022

令g(x)=x+l-xlnx,则g'(x)=-lnx<0,

••・g（x）在[乙+动上单减，.・.83«8（&2）=]_02〈。，故/，（目＜0,

“\\”、“\Ina/(2020)

1•f(x)在［e-,+8)上单减，，f(2020)>f(2021)>0,/.而=/(?(户1),1「・lna>lnZ?.；.a>b

同理可得b＞ct故故选：A

【题型三】指数函数基础构造

【典例分析】

设正实数a,b,c,满足小二.人二川=2,则。，b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

福建省福州格致中学2022届高三10月月考数学试题

【答案】B

【分析】

通过构造函数/(x)=x/(x>0),利用导数判断函数的单调性，并判断c的范围，通过变形得方=e"得仇c的

大小关系，再直接解方程求。的范围，最后三个数比较大小.

【详解】

设f(_r)=xe'(x>0),时，(工)=(工+1)6r>0恒成立，f(x)在(0,+8)单调递增，时