【高考数学 热点题型】专题9-1 圆锥小题压轴九类热点题型及提分秘籍（原卷及答案）高考数学 热点题型归纳与交式演练

专题9-1圆锥小题压轴9类热点题型及提分秘籍

目录

网威拉点致型归脑।

【题型一】第一定义及其应用...................................................1

【题型二】第二定义及应用....................................................3

【题型三】第三定义及其应用...................................................5

【题型四】焦点三角形与离心率................................................7

【题型五】定比分点...........................................................9

【题型六】焦点三角形与四心..................................................10

【题型七】共焦点的椭圆双曲线性质...........................................12

【题型八】切线与切点弦......................................................13

【题型九】多曲线............................................................15

岗三热点典型归他

【题型一】第一定义及其应用

22

【典例分析】己知椭圆C：「+1=l（Q>〃〉0）,Fl,F2为其焦点，平面内一点P满足

a2b217

IIIIillI|叫|

PF2±F1F2,且归国=|耳图，线段PF1,PF2分别交椭圆于点A,B,若网=防，则标|

【提分秘籍】

1.三大曲线第一定义

椭圆第一定义:伊耳第|P玛|=2a

双曲线第一定义:||P用-|Pg||=2a

抛物线定义：|PF|=d

2.解题思路

试题中，如果是椭圆和双曲线，则到一个焦点距离，可转化为到另一个焦点距离.

【变式演练】

r22

I.已知双曲线?一v方=1(。>0/〉0)的左、右焦点分别为6，尸2,过耳且垂直于X轴

的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2t分别交y轴于〃，。两点，若APQ鸟

的周长为16,则工的最大值为.

2.已知抛物线。：)，2=2〃/(〃>0)的焦点为产，直线/与。交于4，B两点、,AFA.BF，

\AB\

线段A3的中点为M，过点/作抛物线。的准线的垂线，垂足为N,则谒的最小值

为一.

2

3.设片,鸟分别是椭圆三十=1的左、右焦点，尸为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),

16

则PM+PF1的最大值为一.

【题型二】第二定义及应用

【典例分析】已知双曲线+16>0">°）的左、右焦点分别为久，&♦。为坐标

原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线P0,PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M,N.若

\PF1\=2\PF2\f且乙MF22=60。,则C的离心率为

【提分秘籍】

1.椭圆双曲线曲线第二定义：

平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e,即—=6>

d

2.焦半径公式：

椭圆焦半径：|尸尸|=用±0

双曲线焦半径：.P在左支疗用=-%±4P在右支:俨用=%±々

抛物线焦半径：|PF|=x0+§（或为+§）

JJ

3.焦半径范围

椭圆焦半径范围：a-c<|PF|<a+c

双曲线焦半径范围：.|PF|>c-a,或Pb|Nc+a

抛物线焦半径范围：\PF>?

2

4.解题技巧：

焦半径角度公式。其中，°为焦半径与焦点轴所成的角。=NP/7x。p为焦点到对应准线的

距离

椭圆焦半径夹角公式：|PE』二叩八」尸引=却一

1111-ecos^1"1+ecosO

双曲线焦半径左焦点夹角公式：.俨鸟』二叩八，忸巳」二—些一二，

1-ecos。1+ecos。，

抛物线焦半径夹角公式，|P尸|=—^

111-cos。

【变式演练】

22

1.如图，椭圆C：三+看=1(。>2),圆O:f+y2=/+4,椭圆。的左、右焦点

分别为6，过椭圆上一点，和原点。作直线/交圆。于M,N两点，若尸"，P6=8,

则的值为.

25

2.过抛物线j2=2x的焦点F作直线交抛物线于A8两点，若|A5|=m，|AF|<忸尸则

1^1=—。

22

3.设F“F?为双曲线二-二51(a>0,b>0)的左右焦点，P为双曲线右支上任一点,

a2b2

|PF1I2

当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是

|PF2|

【题型三】第三定义及其应用

22«

r:^T+^T=l(a>/?>0)n\-

【典例分析】已知椭圆卜的右焦点为‘人且离心率为2,

♦A3C的三个顶点都在椭圆〃上，设.43C三条边A3、BC、AC的中点分别为

D、E、M,且三条边所在直线的斜率分别为小e、%且。右、网均不为o.°为坐

—十—H------

标原点，若直线8、OE、0”的斜率之和为1.则Kk%

【提分秘籍】

1.第三定义，又叫中点弦定理

f4-丁1

--V------I

(1)AB是椭圆/b~的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则

b2

e2-l.

工2>,2-1

——---=]

(2)AB是双曲线〃?从的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则

(3)AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则丫。"加

2.扩展推论

X2v2

—+2-=]

(1)AB是椭圆//的关于原点对称的两点，M椭圆上异于A、B的任一点，若斜

h2

率存在，则左/%4。8=一一7

a~

(2)AB是椭圆/廿的关于原点对称的两点，IV椭圆上异于A、B的任一点，若斜

率存在，则原丁即8=-(

a

【变式演练】

22

1.设双曲线C：A-%=1(。〉()/>())的左，右顶点为A旦夕是双曲线上不同于A3的

一点，设直线APIP的斜率分别为〃?,明则当,3+铲?可一2〃"2-3(1叶叶+11]同)取

得最小值时，双曲线C的离心率为

A.3里B.在C.V3D.6

22

2.已知平行四边形A8CO内接于椭圆C：\+£_=l(a>〃>0),且A3,AO斜率之积

a2b2V)

的范围为/32y则椭圆Q离心率的取值范围是()

HF

3.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，/、N是双曲线三-二=1上的两个动点，动

24

点P满足0P=20M-0N，直线OM与直线QN斜率之积为2,已知平面内存在两定点

匕、乙，使得||可为定值，则该定值为

【题型四】焦点三角形与离心率

【典例分析】

2

己知"，K分别是双曲线/一与二1的左，右焦点，人是双曲线上在第一象限内的点，若

-b2

|A周=2且/月Ag=45。.延长4巴交双曲线右支于点B,则A"AB的面积等于

【提分秘籍】

1.焦点三角形

(1)焦点三角形面积

=b2tan

椭圆：w2^^

双曲线：S“尸鸟=公PF

tan—!-1

2

P2

AB为过抛物线y2=2px焦点的弦，夕为直线倾斜角，则之。加=——：

2sin0

2.顶角

(1).椭圆顶角在短轴顶点处最大。

(2)双曲线顶角无最大最小

3.与余弦定理结合

x2v2

（1）设椭圆r+==l（a>0,b>0）的两个焦点为B、F2,P（异于长轴端点）为双曲线.上任

a~b-

意一点，在△PFE中，记N"尸乙=a,NP4鸟=尸，/耳用P=y,则有

sinac

-----------=—=e.

sin/+sinPa

22

（2）设双曲线0-5=1（a>（）,b>0）的两个焦点为B、F2T（异于长轴端点）为双曲线上

crb"

任意一点，在△PFR中，记a,Z.PFF=fi,/F\F?P=y,则有

Z.FXPF2=}2

sinac

------------=—=e.

|sin/-sin/3\a

【变式演练】

22

1•点M是椭圆二十与=1（4>b>0）上的点，以M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的焦点

a~b~

F,圆例与）'轴相交于P,Q,若APQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是

22

2.己知双曲线「：£一营=1（。>0/>o）的左、右焦点分别为白，工，p是r右支上的一

点，。是「鸟的延长线上一点，且若sinN?6Q=w，则「的离心率的取值范围

是______________.

3.设抛物线V=2x的焦点为尸，过点的直线与抛物线相交于AB两点，与抛物

线的准线相交于点C,忸q=2,则MCb与A4C/的面积之比¥二=__________.

3AAeT

【题型五】定比分点

22

【典例分析】已知椭圆「：Tb~的左、右焦点分别为点A"在

椭圆「上，A片由6二°且A鸟="巴巴则当'*[2,3]时，椭圆的离心率的取值范围

为.

【提分秘籍】

1.椭圆与双曲线焦点弦定比分点

过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为

夕且4户=印上民贝ljcos6>=（e为离心率）

（A+l）e

2.抛物线焦点弦的定比分点

AF=则cos火旦4"（e为离心率）

（A+1）

3.焦点弦直线斜率

若直线斜率为k,

■="8,则。=\/[7三匕£（焦点在*轴上，e为离心率）；

（丸+1）

或e=Jl+3匕2（焦点在y轴上,e为离心率）

Nk2（2+1）

【变式演练】

22

I.设双曲线C：=-4=1（。>0,〃>0）的右焦点为F,过户且斜率为的直线交。于A、

a'b~

4两点，若AB=5FB，则C的离心率为.

2.抛物线f=4刈直线1经过抛物线的焦点F,与抛物线交于A、B两点，若瓦？=4而,

则△。48（O为坐标原点）的面积为.

3.直线过椭圆：^-+^-=1（a>（）,b>0）的左焦点F和上顶点A,与圆心在原点的圆交

a2b2

于P,Q两点，若PF=3FQ,ZPOQ=12<F,则椭圆离心率为（）

A1R60币n后

A.—1>•C.D・-------

2337

【题型六】焦点三角形与四心

【典例分析】已知产是抛物线丁=4/的焦点，A,3在抛物线上，且AA3厂的重心坐标

11||FA|-|FB|I

为（5?则.

【提分秘籍】

1.三角形内心

2s2s

（1）三角形内切圆半径r=百下，则椭圆焦点三角形内切圆，•二——

周长2a+2c

（2）双曲线焦点三角形内心在过定点所做实轴的垂线上。

2.解题思路

解析几何中，多考察内心s内心是角平分线交点，则可考虑面积等分法等技巧。

【变式演练】

I.•已知点P为双曲线接一3=1（。＞0,/）＞0）右支上的一点，点&,尸2分别为双曲线的左、右

焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为近，若M为4PF/2的内心，且=S.PMF2+

入SdMRF2*则，的值为-

22

2.椭圆工+工_=1的左、右焦点分别为Fi,F2,弦AB过点FI,若△ABF2的内切圆周长为

167

TT,A,B两点的坐标分别为（xi,yi）,（X2,V2）,则Iyi-y2|=.

2

3.点6、尸2分别是双曲线/-匕=1的左、右焦点，点?在双曲线上，则△尸耳耳的内切

3

圆半径〃的取值范围是（）

A.(0,x/3)B.(0,2)C.(0,V2)D.(0,1)

【题型七】共焦点的椭圆双曲线性质

【典例分析】

椭圆与双曲线共焦点片、F2,它们的交点产对两公共焦点6、E的张角为N片P名=28,

椭圆与双曲线的离心率分别为6、g，则（）

cos20sin20isin20cos20.e：el

A.——+——=1B.——+——=1C.—L—+—=1

-

，e2ete2cos_0sin9

22

D.-4-+-^-=l

sin0cos6

【提分秘籍】

共焦点椭圆双曲线

=i=i

椭圆4"J+b4：与双曲线4生-~么42共焦点耳、它们的交点为尸，椭圆离心率为巧，

双曲线为e?

产产b%

2.则P点坐标为c'c

【变式演练】

1.已知耳，工是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且/写「工=9’椭圆

13

的离心率为G，双曲线的离心率与，贝1—+F=

eie2

7T

2.已知鸟，乃是椭圆和双曲线的公共焦点，，是它们的一个公共点，且/耳尸鸟=',记

椭圆和双曲线的离心率分别为"，4,则一+2一的最大值为()

A.B.C.D.272

33

3.已知耳，乃是椭圆和双曲线的公共焦点，户是它们的一个公共点，且/月「工=——，则

椭圆和双曲线的离心率之积的范围是()

A.(1,+8)B.(0,1)C.(0,回D.(0,+8)

【题型八】切线与切点弦

【典例分析】

过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线，切点分别为A,B,若线段AB的中点

的纵坐标为6,则p的值是________.

【提分秘籍】

1.切线

X2v2

（1）设椭圆r+二的点（不与长轴重合）A（x0,y。）,，则过A点的切线（

a~b~

的方程为：学+绰=1

crb-

22

（2）设双曲线的点（不与长釉重仔）A。。,”）,，则过A点的切线4

crb~

的方程为：学-邛=1

crb~

（3）设抛物线y2=2px（〃>0）的点A（x°,），J,则过4点的切线乙的方程为：

yoy=p（xo+x）

2.切点弦

在形式上，和切线方程一致。

【变式演练】

1.两个长轴在X轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A,3分别为外层椭圆的左

顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC,BD,切点分别为C,。，且两切线斜率之积

等于一9弓，则椭圆的离心率为（）

16

7

A.\4

2.己知双曲线£-[=1（“>0力>（））的左、右焦点分别为小鸟，过人作圆f+），2=/的切线,

GD

交双曲线右支于点若N£MK=60。，则双曲线的渐近线方程为（)

A.y=±（3+>/3）xB.y=±2xC.y=±^^-xD.），=土（1+石）x

3.过抛物线C：/=4y的焦点F的直线［交C于48两点，在点力处的切线与居y轴分别交于点

M,N,若AMON的面积为：，贝！）仍用=。

【题型九】多曲线

【典例分析】

己知点A是抛物线/=4），的对称轴与准线的交点，点”为抛物线的焦点，点尸在抛物线

上且满足|R4|=m1P4，若〃?取最大值时，点。恰好在以Ab为焦点的双曲线上，则双曲

线的离心率为（）

A.V3+1B../2+1C.避土!■D.也±1

22

【提分秘籍】

解题思路

椭圆、双曲线和抛物线的交点，要紧扣对应多曲线定义。涉及到解三角形，和求最值等等

知识。

【变式演练】

1.已知点已是抛物线C］：y=与椭圆Cz：J+g=lS〉4>0）的公共焦点，鸟是椭

PFj

圆a的另一焦点,p是抛物线G上的动点，当匕W取得最小值时，点p恰好在椭圆3上,

\PF2\

则椭圆G的离心率为

2.已知双曲线G：二一与二1(。>0,匕>0)的左、右焦点分别为"，鸟，其中鸟也是抛

utr

物线G：V=2冲(〃>0)的焦点，G与C在一象限的公共点为P,若直线产行斜率为

则双曲线离心率e(e>2)为.

22

3.己知椭圆。:卫+与=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳、鸟，抛物线)，2=2px的焦

a~h~

点与尸2重合，若点P为椭圆和抛物线的一个公共点且cos/P/M=1,则椭圆的离心率为

消w徽新模考驳俎秣

1.如图，过抛物线)，2=2/次(〃>0)的焦点/作两条互相垂直的弦43、CD,若ACF

与，.用不面积之和的最小值为16,则抛物线的方程为.

2.已知双曲线忘-《=1（。>0/>0）的左右焦点分别为&了2,过点片且垂直于工轴

的直线与该双曲线的左支交于4B两点，/1尸2,8尸2分别交y轴于P,Q两点，若zlPQFz的

周长为12,则必取得最大值时该双曲线的离心率为（）

A.V5B.V3

3.椭圆二十二=1（。>〃>0）的一个焦点为尸，过点尸的直线交椭圆于A3两点，点C

a~b~

是点A关于原点的对称点若AB=FC,则椭圆。的离心率为.

4.已知两定点A（-1,0）和B（1,0），动点尸（K：.V）在直线V二上移动，椭圆

C

以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为.

5.己知双曲线捺一3=1色>0,6>0）上一点。，过双曲线中心的直线交双曲线于小6两

点.设直线力C、8C的斜率分别为自、k2t当作+上心+E心最小时，双曲线的离心率为

长述2

6.设抛物线V=2x的焦点为尸，过点M（G,O）的直线与抛物线相交于A8两点，与抛物

S

线的准线相交于点C,忸耳=2,则ABb与A4CT的面积之比*土=__________

3AAe尸

7.已知A、8是过抛物线），=2px（〃>0）的焦点尸的直线与抛物线的交点，0是坐标

则M可的值为

原点，且满足A3=3尸B，SOAB

9)

8.已知双曲线。：工上=1（。>02>0）的左，右顶点分别为A,B,点/为双曲线

/b2

C的左焦点，过点尸作垂直于工轴的直线与双曲线C交于点P,。，其中点P在第二象限,

连接

尸6交）,轴于点?，连接人£交。下于点M,若BW=2MQ,则双曲线。的离心率为

9.设抛物线/=4）的焦点为b，A为抛物线上第一象限内一点，满足IAb1=2,已知?为

抛物线准线上任一点，当IPAI+IPFI取得最小值时，便4厂的外接圆半径为.

10.在等腰梯形A8CD中,AB//CD,且恒耳=2,|明=1,|CD|=2元,其中工«0,1）,

以A3为焦点且过点D的双曲线的离心率为外,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率

为出，若对任意XE（0,1），不等式rvq+/恒成立，则/的最大值是（）

A.\/3B.y/5C.2D.V2

11.过抛物线丁二一2工的焦点/，且斜率为的直线与抛物线交于A8两点，则

\AF\]BF\

12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交

点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆

。:捺+1=1（。>/2>0）的蒙日圆方程为产+），2=〃2+〃，椭圆C的离心率为孝，例为蒙日

圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于广、Q两点，贝面

积的最大值为（）

A.3b2B.2b2C.—b1D.6护

3

13.己知点A是抛物线片二4），的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，尸在抛物线

上且满足|24|=〃?归回，当，〃取最大值时，点P恰好在以A、8为焦点的双曲线上，则双

曲线的离心率为

A.B.V2+Ic.D.逐一1

22

专题9-1圆锥小题压轴9类热点题型及提分秘籍

目录

，「A・f

【题型一】第一定义及其应用.................................................20

【题型二】第二定义及应用...................................................23

【题型三】第三定义及其应用.................................................26

【题型四】焦点三角形与离心率...............................................30

【题型五】定比分点..........................................................34

【题型六】焦点三角形与四心.................................................37

【题型七】共焦点的椭圆双曲线性质...........................................40

【题型八】切线与切点弦......................................................44

【题型九】多曲线............................................................48

【题型一】第一定义及其应用

【典例分析】已知椭圆C:二+与Fl,F2为其焦点，平面内一点P满足

CTb2V7

PF2±FIF2,且「周一四周，线段PF1，PF2分别交椭圆于点A,B,若陷—M,则

【答案】叵

4

【详解】如图所示，由椭圆的方程二+与=1可知，周=2c,〃=血c乂由

a~b~

\PF2\=\F}F2\=2C,且尸』JL耳玛,所以AP鸟耳为等腰直角三角形,又由|%=|4用,

所以点4为线段产片的中点，则Af]=A8，且A^J_A6,在等腰直角APg片中，因为

I尸周=|耳闾=2。，可得|A£|=|4段=缶,

又由椭圆的定义可知|A6|+|A闾=方,即2a=2瓜即，又由从=°2一。2,所以

x=c

，又因为P居上尸尸2,所以直线PK的方程为X=J联立方程组2

"—+Tb-T=I

【提分秘籍】

1.三大曲线第一定义

椭圆第一定义:\PF]\+\PF2|=2a

双曲线第一定义:|双幽|-|尸玛||=2a

抛物线定义：\PF\=d

2.解题思路

试题中，如果是椭圆和双曲线，则到一个焦点距离，可转化为到另一个焦点距离.

【变式演练】

22

I.已知双曲线'一点■=1（。＞0力〉0）的左、右焦点分别为"，F2,过"且垂直于X轴

的直线与该双曲线的左支交于4,3两点，AF2t笈5分别交），轴于〃，。两点，若APOA

的周长为16,则的最大值为.

a+\

【答案】4

【详解】如图：

,，由APOE,的周长为16,所以AAB6的周长为32,AB是双曲线的通径，

\AB\=—,

a

・・|4/+忸闾+|AB|=32,|4段+忸修—|48|二4凡|48|=更可得

也=32-4a,.•./=°(8-°),可得。w(0,8)则

a

上一二生二£二—(〃+i+—2——io)<4,当且仅当。+1=—2—，即。=2时等号成立,

4+14+167+1。+1

故填4.

2.已知抛物线C:y2=2pM〃>0)的焦点为尸，直线/与。交于A,B两点,A尸JL虾,

线段4B的中点为过点M作抛物线C的准线的垂线‘垂足为N,则局\AB的\最小值

为.

【答案】x/2

【解析】

如图所示，设抛物线的准线L,做AQ_LL,于点Q,BPJ.L于点P,抛物线

定义可设：|AF|=|AQ|=a,|BF|=|BP|=b。由勾股定理可知

|A8|二J|A用2+13用二=，由梯形的中位线的性质可知,

।…一a+b|AB|

|MN|=,则:当且解答a=b时等号成立,

|MN|

所以最小值为J5

3.设片，用分别是椭圆1+2=1的左、右焦点，尸为椭圆上任一点，点M的坐标为(64),

2516

则PM+P”的最大值为.

【答案】15.

【详解】由椭圆方程可得：用5力=4,右3.・・・尸|(-3,0)版(3,0),如图所示,

由椭圆的定义可得：|PK|+|P@|=2a=10,

22

/.\PM]+\PF\\=\PM]+2a-\PF2\=10+（|P"|一仍向）410+|MF2|=]Q+73+4=>5,

则IPM+IP/引的最大值为15.故答案为:

【题型二】第二定义及应用

【典例分析】已知双曲线。瑞+'=1(。>0">0)的左、右焦点分别为a,尸2,。为坐标

原点/是双曲线在第一象限上的点，直线尸0金尸2分别交双曲线C左、右支于另一点M,N.若

\PF1\=2\PF2\f且4MF2"=60。，贝IJC的离心率为一.

【答案】V3

【解析】设P(t,y),则由双曲线的定义可得PF】=4Q,PF2=2a,又PF1=et+a,PF2=et-

a,故”手，依据双曲线的对称性可得MF2=尸0=4a,“2=2a,々MF2P=120°,故在

4MF2P中运用余弦定理可得MP=J4a2+16a2-2x2ax4a(-1)=V28a2=2V7a,又

P(t,y)在双曲线上，故必=b2G-1),则MP=2yjt2+y2=2V9a2-双,所以

22

2,9a2—炉=2V7a,B|J2a=b,也即2a2=c?—Q2=>e=应填答案5/5。

【提分秘籍】

2.椭圆双曲线曲线第二定义：

平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e,即”=e

d

2.焦半径公式：

椭圆焦半径：|尸耳=%±4

双曲线焦半径：.P在左支：|尸目=-气±〃P在右支:卢内|="J±a

抛物线焦半径：|PF|=x0+*或%+|)

3.焦半径范围

椭圆焦半径范围：a-c<\PF|<a+c

双曲线焦半径范围：.|PR|〉c・a,或P尸|>c+a

抛物线焦半径范围：\PF>£

2

4.解题技巧：

焦半径角度公式。其中，e为焦半径与焦点轴所成的角。=P为焦点到对应准线的

距离

椭圆焦半径夹角公式：\PF.]=ep,\PFJ=—^―

1-ecos^111+ecos。

双曲线焦半径左焦点夹角公式：.|尸曰=叩力|尸已|=・ep

।可1-ecos^11!1+ecos^»

抛物线焦半径夹角公式：|尸网=—2—

Leos夕

【变式演练】

22

I.如图,椭圆C:二十工=1（。＞2）,圆。：/+〉，2=/+4,椭圆C的左、右焦点

分别为环,鸟，过椭圆上一点P和原点。作直线/交圆。于M,N两点，若P%P&=8,

则PM・PN的值为.

【答案】8

V=4（i-V）

4

【详解】设p点的坐标（/'%）,因为p在椭圆上，所以/,则

2—426r8）

因为所以（。+勿0）（〃-%）=8,又'a2,则“CT-4,

由对称性得PMTN={0M-OP，（ON+OP）=R2_0尸=/+4_x；一端

=a2+4-。2+4=8.

23

2.过抛物线V=2x的焦点尸作直线交抛物线于A,B两点,若|A8|二；,|A同＜忸目，则

1（

卜

AF\=-

【解析】6

25

|AF|=〃7,忸目=/?,Z.AFx=0=>/〃+〃=曾

m=p+incos0,n=p-ncos6(〃=1)=>〃2=』

设6

22

3.设Fi,F?为双曲线二-4=1(a>0,b>0)的左右焦点，P为双曲线右支上任一点,

a2b2

当也2

-最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是.

IPF2I

【答案】(1,3]

22

|PF2|_(2a+|PF1I)

【解析】由定义知：|PF2L|PFl|二2a,A|PF2|=2a+|PFl|,AlPFl''PF1'

4a242

+4a+|PFj>8ak*二|PFj

IPF1I.当且仅当11，即||PFl|=2a时取得等号.

_&・・已

x-Ja

设P(x0,y0),(xOW-a)依焦半径公式得：|PF1|=-exx0-a=2a,Ao-

又故e£(1,3J

答案：(1,31.

【题型三】第三定义及其应用

r:—7+=1(a>〃>0)p(i一

【典例分析】已知椭圆T方的右焦点为'且离心率为2,

♦人8c的三个顶点都在椭圆厂上，设♦八8c三条边八8、BC、八C的中点分别为

D、E、M,且三条边所在直线的斜率分别为《、包、“3,且勺、&、%均不为0.°为坐

111

—H+—=

标原点，若直线8、OE、QW的斜率之和为1.则占卜R.

4

【答案】一§

【解析】由题意可得c=i,£=],所以。=22=g,二+汇=1,设

a243

A®,y）,3*2,%），C（尤3,外）

T+T=14+T=1（W-%）（&+%）_（必一）’1）（）'2+）1）

两式作差得43,则

（■¥2+$）=4（必一,）11414

，k

kAB=_'koM7-=~Ton

（%+y）3（wf）,同理可得,“1，所以

111_444

kF『那。/脸2=3填一§

【提分秘籍】

2.第三定义，又叫中点弦定理

2)

工--1

(1)AB是椭圆"y的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则

0M"A8=2=6211,

X

AB是双曲线/U

（2）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则

2

,,b0.

(3)AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则yo/A8=P

2.扩展推论

E+L1

（1）AB是椭圆/匕的关于原点对称的两点，M椭圆上异于A、B的任一点，若斜

率存在，则左外•即

a

土+匚1

（2）AB是椭圆，厂方的关于原点对称的两点，M椭圆上异于A、B的任一点，若斜

.2

率存在，则&乂•际8=一-£

【变式演练】

22

1.设双曲线C:工一二二1（。〉02>0）的左，右顶点为A反尸是双曲线上不同于A3的

a~b~

一点，设直线AP,区尸的斜率分别为根,〃，则当，3+g〃7〃）—2〃〃L3（ln〉H+ln|〃D取

得最小值时，双曲线C的离心率为

A.垦1B.与

C.60.75

22

【答案】D

【详解】设尸（%,%），由双曲线。：1一4二1（。〉0力〉0），则，设P（%,），0），则

a~3

/和，可得y；华学），则姓自，”资，所以叱言。

b（2-b3+2再］-2x%/

所以一3+一/〃〃-2/n/z-3(ln\m\+In|n|)=

3武3a-)a-a-

=3-+-x(-)3-2x-^-61n-,设2=，＞0,则/(f)=3，+2/一2/一61n,,则

a3acraci3

/⑺=3+2*_4-9=2,、4人3-6二(-2)3+3)

ttt

当/£（0,2）时，/“）单调递减；当，E（2,依）时，/'（/）＞0,/（/）单调递

增，

所以当/=2时，函数/（1）取得最小值，即当23+工小〃一2，〃〃—3（hW〃|+ln|〃|）取得最

c八J/

小值时，-=2,

a

a2+b2

所以双曲线的离心率为e=-==5故选D.

2.已知平行四边形ABC力内接于椭圆。：［+左=1（。＞/2〉0）,且A3,AO斜率之积

的范围为『3