浙江省宁波市余姚市余姚中学2025年高一数学第一学期期末调研试题含解析

浙江省宁波市余姚市余姚中学2025年高一数学第一学期期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程端娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（）A.1069千米 B.1119千米C.2138千米 D.2238千米2．已知,则（）A. B.C. D.3．下列四个函数中，在上为增函数的是（）A. B.C. D.4．设命题，则为（）A. B.C. D.5．已知函数表示为设，的值域为，则（）A.， B.，C.， D.，6．函数，若，，，则（）A. B.C. D.7．函数是指数函数，则的值是A.4 B.1或3C.3 D.18．下列结论中正确的是（）A.当时，无最大值 B.当时，的最小值为3C.当且时， D.当时，9．已知角的终边经过点，则A. B.C. D.10．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为______12．已知，，则______.13．函数函数的定义域为________________14．已知是幂函数，且在区间是减函数，则m=_____________.15．已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是____________.16．若偶函数在区间上单调递增，且，，则不等式的解集是___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）求的单调区间及最大值（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围18．目前，"新冠肺炎"在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?19．已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.20．溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，计算胃酸的.（精确到）（参考数据：）21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角．它们的终边与单位圆的交点分别为则，由向量数量积的坐标表示，有设的夹角为，则，另一方面，由图（1）可知，；由图（2）可知，于是所以，也有；所以，对于任意角有：此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中是的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：（1）判断是否正确？（不需要证明）（2）证明：

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】利用弧长公式直接求解.【详解】嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138，所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（千米）.故选：D2、B【解析】利用诱导公式，化简条件及结论，再利用二倍角公式，即可求得结论【详解】解：∵sin，∴sin，∵sinsincos（2α）＝1﹣2sin21故选B【点睛】本题考查三角函数的化简，考查诱导公式、二倍角公式的运用，属于基础题3、C【解析】A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由，利用一次函数的性质判断；【详解】A.由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误；B.由二次函数的性质知：在递减，在上递增，故错误；C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；D.由知：函数在上为减函数，故错误；故选：C【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.4、D【解析】根据全称量词否定的定义可直接得到结果.【详解】根据全称量词否定的定义可知：为：，使得.故选：.【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.5、A【解析】根据所给函数可得答案.【详解】根据题意得，的值域为.故选：A.6、A【解析】首先判断，和的大小关系，然后根据函数的单调性，判断的大小关系.【详解】，，，，，，是上的减函数，.故选：A.7、C【解析】由题意，解得．故选C考点：指数函数的概念8、D【解析】利用在单调递增，可判断A；利用均值不等式可判断B，D；取可判断C【详解】选项A，由都在单调递增，故在单调递增，因此在上当时取得最大值，选项A错误；选项B，当时，，故，当且仅当，即时等号成立，由于，故最小值3取不到，选项B错误；选项C，令，此时，不成立，故C错误；选项D，当时，，故，当且仅当，即时，等号成立，故成立，选项D正确故选：D9、D【解析】由任意角的三角函数定义列式求解即可.【详解】由角终边经过点，可得.故选D.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题.10、B【解析】分别求出m，a的值，求出函数的单调区间即可【详解】解：由题意得：，解得：，故，将代入函数的解析式得：，解得：，故，令，解得：，故在递增，故选B【点睛】本题考查了幂函数的定义以及对数函数的性质，是一道基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或或【解析】∵函数（且）只有一个零点，∴∴当时，方程有唯一根2，适合题意当时，或显然符合题意的零点∴当时，当时，，即综上：实数的取值范围为或或故答案为或或点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12、【解析】把已知的两个等式两边平方作和即可求得cos（α﹣β）的值【详解】解：由已知sinα+sinβ＝1①，cosα+cosβ＝0②，①2+②2得：2+2cos（α﹣β）＝1，∴cos（α﹣β），故答案为点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题13、（1,3）【解析】函数函数的定义域,满足故答案为（1,3）.14、【解析】根据幂函数系数为1，得或，代入检验函数单调性即可得解.【详解】由是幂函数，可得，解得或，当时，在区间是减函数，满足题意；当时，在区间是增函数，不满足题意；故.故答案为：.15、【解析】把代入不等式即可求解.【详解】因为，故，解得：，所以a的取值范围是.故答案为：16、【解析】根据题意，结合函数的性质，分析可得在区间上的性质，即可得答案.【详解】因为偶函数在区间上单调递增，且，，所以在区间上单调上单调递减，且，所以的解集为.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】（1）首先确定的定义域，将其整理为，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值；（2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为，采用分离变量法可得，结合对勾函数单调性可求得，由此可得结果.【小问1详解】由得：，的定义域为；，令，则在上单调递增，在上单调递减，又在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；由单调性可知：.【小问2详解】在上恒成立，，即，在上恒成立，；令，则在上单调递增，在上单调递减，，，即实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数单调性和最值的求解、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够将对数函数值之间的大小关系转化为一元二次不等式在区间内恒成立问题的求解，进而可采用分离变量的方法或讨论二次函数图象的方式来进行求解.18、（1）；（2）0.8小时.【解析】（1）时，设，由最高点求出，再依据最高点求出参数，从而得函数解析式；（2）解不等式可得结论【详解】解：（1）依题意，当时，可设，且，解得又由，解得，所以（2）令，即，得，解得，即至少需要经过后，学生才能回到教室.19、（1）偶函数，证明见解析（2）【解析】（1）为偶函数，利用偶函数定义证明即可；（2）转化为，利用均值不等式可求解的最大值，利用一次函数性质求解的最大值，分析即得解.【小问1详解】为偶函数证明：，故，解得的定义域为，关于原点对称，为偶函数【小问2详解】若对任意的，总存在，使得成立则又，当且仅当，即取等号所以所求实数m的取值范围为20、（1）溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强（2）【解析】（1）根据复合函数的单调性判断说明；（2）由已知公式计算【