第1课时勾股定理

第3章勾股定理第1课时勾股定理3.1勾股定理的探究

勾股定理1.(2025江苏无锡江阴期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,

BC=6,以AB为一条边向三角形外部作正方形,则正方形的面

积是

()A.100

B.80

C.48

D.24

A

解析在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2=82+62=100,∴正方形的面积=AB2=100,故选A.2.(2025江苏苏州姑苏期中)中国是发现和研究勾股定理最早

的国家之一.中国古代数学家称直角三角形为勾股形,如图,较

短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股

定理也称为勾股弦定理.若小立发现勾是9,股是40,则弦长为

()A.7

B.31

C.41

D.49

C

解析由勾股定理得弦长=

=41,故选C.3.(2025宁夏中卫期末)如图,将长为8cm的橡皮筋放置在水平

面上,固定两端A和B,然后把中点C竖直向上拉升3cm至点D,

则橡皮筋被拉长了

()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

A

解析在Rt△ACD中,AC=

AB=4cm,CD=3cm,根据勾股定理,得AD2=AC2+DC2=25=52,∴AD=5cm,∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm),∴橡皮筋被拉长了2cm.故选A.4.【新考向·数学文化】(2023江苏南京中考)我国南宋数学家

秦九韶的著作《数书九章》中有这样一道题:“问沙田一段,

有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三

百步,欲知为田几何?”问题大意:在△ABC中,AB=13里,BC=14

里,AC=15里,则△ABC的面积是

()A.80平方里

B.82平方里C.84平方里

D.86平方里

C

解析如图,过点A作AD⊥BC于D,设BD=x里,则CD=(14-x)里,在Rt△ABD中,AD2+x2=132,在Rt△ADC中,AD2=152-(14-x)2,∴132-x2=152-(14-x)2,∴132-x2=152-196+28x-x2,解得x=5,在Rt△ABD中,AD2=132-52=144,∴AD=12里,∴△ABC的面积=

BC·AD=

×14×12=84(平方里).故选C.5.【学科特色·勾股树模型】(2025江苏宿迁宿豫期中)如图,由

正方形和直角三角形拼成的勾股树中,正方形中的数字表示

该正方形的面积,字母A所表示的正方形的面积为______.

13解析根据勾股定理和正方形面积公式,可知字母A所表示的

正方形的面积=2+3+3+5=13.6.(2025江苏镇江丹阳期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,

BC=12,CD⊥AB于点D,则CD=

.解析∵∠ACB=90°,AC=5,BC=12,∴AB=

=

=13,∵CD⊥AB,∴S△ABC=

AB·CD=

AC·BC,∴AB·CD=AC·BC,即13CD=5×12,∴CD=

,故答案为

.7.一直角三角形的斜边长比一直角边长大1,另一直角边长为

5,则斜边长为______.13解析设未知的直角边长为a,则斜边长为a+1.∵另一直角边

长为5,∴(a+1)2=a2+52,解得a=12,∴a+1=12+1=13.故答案为13.8.(2025江苏无锡宜兴期中)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,则△ABC的面积为______.12解析如图,过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=AC=5,BC=8,∴BD=CD=

BC=

×8=4,在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2+BD2=AB2,即AD2+42=52,解得AD=3(舍去负值),∴S△ABC=

BC·AD=

×8×3=12,故答案为12.9.(2025江苏宿迁沭阳期中)已知一个直角三角形的两边长分

别是3和4,则第三边长的平方是_______.25或7解析①当长为3的边是直角边,长为4的边是斜边时,第三边

长的平方为42-32=7;②当长为3,4的边都是直角边时,第三边长的平方为42+32=25.

综上,第三边长的平方为25或7.10.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C均在格

点上,求AB2-CA2的值.

解析如图,在BC上选一点D,连接AD,使AD⊥BC,易得△ABD

与△ACD是直角三角形,BD=3,CD=2,∴AB2=AD2+BD2,AC2=

AD2+CD2,∴AB2-AC2=AD2+BD2-AD2-CD2=BD2-CD2=32-22=9-4=5.11.(2025江苏扬州江都期中)如图,在Rt△ABC中,已知∠A=90°,D是斜边BC的中点,DE⊥BC交AB于点E,连接CE.(1)求证:BE2-AE2=AC2.(2)若AC=6,BD=5,求AE的长.解析

(1)证明:∵DE⊥BC,D是边BC的中点,∴DE是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,在Rt△ACE中,由勾股定理得CE2=AC2+AE2,∴BE2=AC2+AE2,∴BE2-AE2=AC2.(2)∵BD=5,D是边BC的中点,∴BC=2BD=10,在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=

=

=8,∴AB=BE+AE=8,设AE=x,则BE=CE=8-x,在Rt△ACE中,由勾股定理得CE2=AC2+AE2,即(8-x)2=62+x2,解得x=

,∴AE=

,即AE的长为

.

12.【新课标·中华优秀传统文化】(2025江苏苏州五校联考,

★★☆)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算

书《周髀算经》中已有记载.如图1,以直角三角形的各边为边

分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按图2的方式放置

在最大的正方形内.下列选项中一定正确的是()

D

A.S阴影=直角三角形的面积B.S阴影=S正方形①C.S阴影=S正方形②D.S阴影=较小两个正方形重叠部分的面积解析由题意得两个小正方形的面积之和等于大正方形的面

积,所以两个小正方形重叠部分的面积等于阴影部分的面积.

故选D.13.(2025江苏苏州张家港月考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以各边的长为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”,当AC=6,BC=3时,阴影部分的面积为

()A.9

B.3π

C.4π

D.18

A

解析阴影部分的面积=以AC,BC的长为直径的半圆面积的

和+△ABC的面积-以AB的长为直径的半圆的面积=

AC2+

BC2+

AC·BC-

AB2=

(AC2+BC2-AB2)+

AC·BC=

AC·BC=

×6×3=9.14.(2025江苏泰州靖江期中,★★☆)如图所示的是勾股树衍

生图案,它由若干个正方形和直角三角形构成,S1,S2,S3,S4分别

表示其对应正方形的面积,若已知上方左右两端的两个正方

形的面积分别是64,9,则S1-S2+S3-S4的值为_______.55

解析如图,∵图案由若干个正方形和直角三角形构成,∴S1=64+a,S2=a+b,S3=b+c,S4=c+9,∴S1-S2+S3-S4=64+a-(a+b)+b+c-(c+9)=55.故答案为55.15.【学科特色·最值问题】(2025江苏扬州江都期中,★★☆)

如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是对角线AC的

中点,F是对角线BD上的动点,连接EF.若AC=10,BD=6,则EF长

的最小值为

.4解析连接BE,DE,如图:

∵∠ABC=∠ADC=90°,E是对角线AC的中点,∴BE=

AC,DE=

AC,∵AC=10,∴BE=DE=5,过点E作EF'⊥BD于点F',则点F'是线段BD的中点,∴BF'=

BD=3,在Rt△BEF'中,由勾股定理得EF'=

=

=4,∴线段EF长的最小值为4,故答案为4.16.【学科特色·方程思想】(2022浙江丽水中考,★★☆)如图,

将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折

痕为EF.(1)求证:△PDE≌△CDF.(2)若CD=4cm,EF=5cm,求BC的长.解析

(1)证明:∵四边形ABCD是长方形,∴AB=CD,∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°,由折叠的性质知AB=PD,∠P=∠A=90°,∠PDF=∠B=90°,∴PD=CD,∠P=∠C,∠PDF=∠ADC,∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF,在△PDE和△CDF中,

∴△PDE≌△CDF(ASA).(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G,∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥BC,∴EG=AB=CD=4cm