-54角平分线的性质课时2角平分线的性质定理及其逆定理的应用

初中数学八年级上册XJ湖南专用5.4角平分线的性质课时2角平分线的性质定理及其逆定理的应用知识点角平分线的性质定理及其逆定理的应用新教材知识优化练1.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AC于点E,若DE=2,AB+AC=8,则△ABC的面积为

(

)A.16

B.10

C.8

D.4C2.(2024邵阳月考)如图,∠AOB的内部作射线OM,过点M分别作MA⊥OA于点A,MB

⊥OB于点B,MA=MB,连接AB,若∠MAB=20°,则∠AOM的度数为

(

)A.15°

B.20°

C.30°

D.40°B3.(2024永州月考改编)过锐角三角形AOB的顶点O画一条射线,交AB边于点C,M为

OB上一点,P为OC上一点,OM=3,PM=2,OP=

.若OC平分∠AOB,则点P到OA的距离应为

(

)A.2

B.3

C.

D.5A解析如图,在△OMP中,OP2=13,OM2=9,PM2=4.因为OP2=OM2+PM2,所以PM⊥OB.

因为OC平分∠AOB,所以点Р到OA的距离为2.故选A.

4.如图,在△ABC中,CD=4BD,CI平分∠ACB,IH⊥AC于点H,若BC=5,AC=6,

=

,则IH的长为_________.

解析如图,过点I作IE⊥BC于点E.因为CI平分∠ACB,IH⊥AC于点H,所以IH=IE.

因为S△ABD=

,CD=4BD,BC=5,所以S△ADC=

,CD=4,所以

×CD×IE+

×AC×IH=

,解得IE=IH=

.

5.(教材变式·P182习题T4)如图,M,N分别是∠AOB的两边上的两点,在∠AOB的内

部求作一点P,使点P到OA,OB的距离相等,且满足PM=PN.(保留作图痕迹,不要求

写出作法)

解:如图,P即为所求作的点.

6.(2025长沙望城区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥

AB于点E,点F在AC上,且BD=DF.(1)求证:CF=EB;(2)试判断AB,AF与EB之间的数量关系,并说明理由.

解:(1)证明:因为AD是∠BAC的平分线,∠C=90°,DE⊥AB,所以DC=DE.在Rt△FCD和Rt△BED中,所以Rt△FCD≌Rt△BED(斜边、直角边),所以CF=EB.(2)AB=AF+2EB.理由如下:由(1)得DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,

所以Rt△ACD≌Rt△AED(斜边、直角边),所以AC=AE,所以AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB.由(1)得CF=EB,所以AB=AF+2EB.7.小明将两把完全相同的长方形直尺(刻度单位:cm)按如图所示的方式放置在∠AOB上,两把直尺的接触点为P,边OA与其中一把直尺边缘的交点为C,点C,P在这把直尺上的刻度读数分别是2和5,则OC的长度是

(

)

A新中考能力强化练A.3cm

B.2cmC.2.5cm

D.3.5cm解析如图,过点P作PN⊥OB,垂足为N,PM⊥OA,垂足为M.根据题意得,PM=PN,所

以∠POM=∠PON.因为CP∥OB,所以∠CPO=∠PON,所以∠CPO=∠COP,所以

OC=PC.因为点C,P在直尺上的刻度读数分别是2和5,所以OC=PC=5-2=3(cm).故选A.8.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠B=90°,BE=AD=4,∠BCD的平分线交AB于

点E,若BC-CD=1,则AE的长为

(

)A.1

B.

C.

D.2A启发与线索连接DE,作EH⊥CD交CD的延长线于点H.9.如图,已知△ABC,延长BA至点E,延长BC至点F,∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交

于点P,PM⊥BE,PN⊥BF.现有以下结论:①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠APB;④S△APM+S△CPN=S△APC.其中正确的有

(

)A.1个

B.2个DC.3个

D.4个解析如图,过点P作PD⊥AC于点D.①因为BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥

BE,PN⊥BF,PD⊥AC,所以PM=PN,PM=PD,所以PN=PD,所以CP平分∠ACF,故①

正确;②因为PM⊥BE,PN⊥BF,所以∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,所以∠ABC+∠MPN=180°,在Rt△PAM和Rt△PAD中,

所以Rt△PAM≌Rt△PAD(斜边、直角边),所以∠APM=∠APD,同理Rt△PCD≌Rt△PCN(斜边、直角边),所以∠CPD=∠CPN,所以∠MPN=2∠APC,所以∠ABC+2∠APC=180°,故②正确;③因为AP平分∠EAC,BP平分∠ABC,所以∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,所以∠PAM=

∠ABC+

∠ACB,又因为∠PAM=

∠ABC+∠APB,所以∠ACB=2∠APB,故③正确;④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,所以S△APM=S△APD,S△CPD=S△CPN,所以S△APM+S△CPN=S△APC,故④正确.故选D.

10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P从点A出发,以每秒1个单位长度

的速度在AC上运动.设点P的运动时间为t(t>0)秒.(1)当点P在AC上运动时,PC的长为___________;(用含t的代数式表示)(2)若点P恰好运动到∠ABC的平分线上,求此时t的值.

4-t

解:(2)如图,当点P恰好运动到∠ABC的平分线PB上时,作PD⊥AB于点D.因为∠ACB=90°,PD⊥AB,PB平分∠ABC,所以PD=PC.在Rt△PCB和Rt△PDB中,

所以Rt△PCB≌Rt△PDB(斜边、直角边),所以BC=BD=3.因为AB=5,所以AD=AB-BD=5-3=2.由题意得AP=t,PC=4-t,即PD=4-t.在Rt△APD中,由勾股定理得AD2+PD2=AP2,即22+(4-t)2=t2,解得t=

.11.(新素养·几何直观)如图,AD是△ABC的高,以点B为圆心,适当长为半径画圆弧

交AB于点M,交BC于点N;分别以点M,N为圆心,以大于

MN的长为半径画圆弧,两弧相交于点P;作射线BP交AD于点E.若∠ABC=45°,AB⊥AC,DE=2

,则CD的长为

(

)

C新情境素养提升练A.4

B.4

C.4+2

D.2+2

解析因为AB⊥AC,∠ABC=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.因为AD是△ABC

的高,所以AD=BD=CD,AB=

=

BD.