2025年秋季期中测试卷高一数学考点总结

2025年秋季期中测试卷高一数学考点总结集合与常用逻辑用语集合1.集合的含义与表示准确理解集合的概念，明确集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。例如，“比较大的数”不能构成集合，因为“比较大”不具有确定性；而集合{1,2,3}与{3,2,1}是同一个集合，体现了无序性。熟练掌握集合的表示方法，包括列举法和描述法。列举法适用于元素个数较少的集合，如{1,2,3}；描述法用于表示具有某种共同特征的元素组成的集合，如{x|x是小于5的正整数}。2.集合间的基本关系清晰区分子集、真子集和相等集合的概念。若集合A中的任意元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B；若A⊆B且存在元素x∈B但x∉A，则称A是B的真子集，记作A⊊B；若A⊆B且B⊆A，则A=B。例如，集合{1,2}是集合{1,2,3}的真子集，集合{1,2}与集合{2,1}相等。掌握空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例如，∅⊆{1,2}，∅⊊{1,2}。3.集合的基本运算熟练进行交集、并集和补集的运算。交集是由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，记作A∩B；并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B；补集是在全集U中，由所有不属于集合A的元素所组成的集合，记作∁UA。例如，若U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}，A∪B={1,2,3,4,5}，∁UA={4,5}。能够运用Venn图和数轴来直观地表示集合的运算，帮助解决相关问题。常用逻辑用语1.命题及其关系理解命题的概念，能够判断一个语句是否为命题，并能判断命题的真假。命题是可以判断真假的陈述句，如“若x=1，则x²=1”是真命题，“x>1”不是命题。掌握原命题、逆命题、否命题和逆否命题的概念及相互关系。原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，否命题为“若¬p，则¬q”，逆否命题为“若¬q，则¬p”。原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。2.充分条件与必要条件准确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念。若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充要条件。例如，“x>2”是“x>1”的充分不必要条件，“x=1”是“x²=1”的充分不必要条件。能够根据条件判断充分性和必要性，并能进行相关的证明。3.全称量词与存在量词掌握全称量词和存在量词的概念，全称量词如“所有”“任意”等，用符号“∀”表示；存在量词如“存在”“至少有一个”等，用符号“∃”表示。会对含有一个量词的命题进行否定。全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是特称命题“∃x∈M，¬p(x)”；特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称命题“∀x∈M，¬p(x)”。一元二次函数、方程和不等式不等关系与不等式1.不等关系能够用不等式（组）来表示实际问题中的不等关系，如某商场规定购买商品的总价x不低于100元可享受折扣优惠，可表示为x≥100。2.不等式的性质熟练掌握不等式的基本性质，如对称性（若a>b，则b<a）、传递性（若a>b，b>c，则a>c）、可加性（若a>b，则a+c>b+c）、可乘性（若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac<bc）等，并能运用这些性质进行不等式的证明和求解。一元二次函数1.一元二次函数的图象和性质掌握一元二次函数的一般式y=ax²+bx+c（a≠0），能通过配方将其化为顶点式y=a(xh)²+k，从而确定函数的对称轴、顶点坐标等。例如，y=x²2x+3可化为y=(x1)²+2，其对称轴为x=1，顶点坐标为(1,2)。理解二次函数的单调性、最值与开口方向和对称轴的关系。当a>0时，函数图象开口向上，在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增，有最小值；当a<0时，函数图象开口向下，在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减，有最大值。2.一元二次函数与一元二次方程、不等式的关系能够根据一元二次函数的图象来求解一元二次方程的根和一元二次不等式的解集。一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根就是一元二次函数y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标；一元二次不等式ax²+bx+c>0（a>0）的解集就是函数图象在x轴上方部分对应的x的取值范围。基本不等式1.基本不等式的推导和应用掌握基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)（a>0，b>0），当且仅当a=b时等号成立。理解其几何意义和代数意义。能够运用基本不等式解决一些简单的最值问题，如已知x>0，y>0，且x+y=1，则xy≤(\(\frac{x+y}{2}\))²=\(\frac{1}{4}\)，当且仅当x=y=\(\frac{1}{2}\)时等号成立。在使用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件。函数的概念与性质函数的概念1.函数的定义理解函数的概念，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。能够判断两个函数是否为同一函数，需要判断定义域和对应关系是否都相同。例如，f(x)=x与g(x)=\(\sqrt{x²}\)不是同一函数，因为对应关系不同。2.函数的定义域和值域掌握求函数定义域的方法，常见的限制条件有分母不为零、偶次根式下的数非负等。例如，函数y=\(\frac{1}{x1}\)的定义域为{x|x≠1}，函数y=\(\sqrt{x+2}\)的定义域为{x|x≥2}。会求一些简单函数的值域，如一次函数、二次函数等。对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），可根据其性质求值域。函数的表示法1.函数的三种表示方法熟练掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法和列表法。解析法能准确地反映函数的对应关系，如y=2x+1；图象法能直观地展示函数的变化趋势；列表法能清晰地列出函数的一些对应值。能够根据不同的情况选择合适的表示方法，并能进行三种表示方法之间的转换。函数的单调性与最值1.函数的单调性理解函数单调性的概念，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。掌握判断函数单调性的方法，包括定义法和导数法（对于学过导数的同学）。用定义法判断函数单调性的步骤为：取值、作差、变形、定号、下结论。例如，判断函数f(x)=x²在(0,+∞)上的单调性，设0<x₁<x₂，则f(x₁)f(x₂)=x₁²x₂²=(x₁x₂)(x₁+x₂)<0，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数。2.函数的最值理解函数最值的概念，函数的最大值是指在定义域内存在一个实数x₀，使得对于任意的x∈定义域，都有f(x)≤f(x₀)；函数的最小值是指在定义域内存在一个实数x₀，使得对于任意的x∈定义域，都有f(x)≥f(x₀)。能够根据函数的单调性求函数的最值。例如，函数f(x)=x²在[1,2]上，在[1,0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，所以最小值为f(0)=0，最大值为f(2)=4。函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义理解函数奇偶性的概念，设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈D，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果对于任意x∈D，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。掌握判断函数奇偶性的方法，首先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数非奇非偶；若对称，再判断f(x)与f(x)的关系。例如，函数f(x)=x³是奇函数，因