《近世代数》考试练习题及答案

《近世代数》考试练习题及答案

一、单选题

1.设A=R（实数域），B=R+（正实数域）f:a—IOa,a€A厕f是从A到B的0

A、单射

B、满射

C、映射

D、既非单射也非满射

答案：D

2.当G为有限群，了群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）。

A、小相等

B、0

C、相等

D、不一定相等

答案：C

3.下列正确的命题是0

A、欧氏环一定是唯一分解环：

B、主理想环必是欧氏环：

C、唯一分解环必是主理想环：

D.唯一分舸环必是欧氏环。

答案：A

4.有限群中的每•个元素的阶都（）

A、有限

B、无限

C、为零

答案：A

5.A=｛所有整数｝.令T：a-a/2,当a是偶数;a-（a+1）f2,当a是奇数,则t为（）。

A、单射变换

B、满射变换

<:、变换

D、不是变换

答案：B

6.设f：G1-G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）。

A、的勺同态核是G1的不变子群：

B.G2的不变子胖的逆象是G1佗不变子群：

C、GI的子群的象是G2的子群：

D.G1的不变子群的象是G2的不变子群.

答案：D

7.若有元素eGR使每aGA,都有ae=ea=a,则e称为环R的（）。

A,单元圆

B.生成元

答案：A

8.若6=(a),且a的阶为有限整数n,则下列说法正确的是()

A、G与模n的婀余类加群同构

B、G的阶可能无限

C-元a-2,a-l.aO,al,…an-2中没有相同元

D,G与整数加群同构

答案：A

9.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AxB中含有

()个元素.

A、2

B、5

C、7

D,10

答案：D

10.每一个布T限群都有与一个置换群()

A、相同

B、同构

C、不同

答案：B

11.设A=B=R(实数集)，如果A到B的映射＜p：x—x+2,VxWR,则q)是从A到B的0

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.映射

D、既非单射也非满射

答案：C

12.设a,b,c和x都是群G中的元素显x2a=bxc-l,acx=xac,那么x=0

A、bc-la-1

B,c-la-l

C、a-lbc-l

D,b-lca

答案：A

I3.n阶群G是循环群的充要条件是0

A,G中不存在n元素

B.G中存在n元素

C、n中存在G元素

答案：B

14.下面的代数系统(G,*)中，()不是群

A.G为整数集合，*为加法

B、G为偶数集合，••为加法

C、G为有理数集合，*为加法

D、G为有理数集合，*为乘法

答案：D

15.设(G,。)为群，其中G是实数集，而乘法。：a.b=a+b+k,这里k为G中固定的常数。

那么群(G,。)中的单位元c和元x的逆元分别是0

A.0和-X

B、I和0

C.k和x-2k

D、-kfll-(x+2k)

答案：D

16.设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素

有()。

A,(I),(123).(132)

B、(12),(13).(23)

C.(1).(123)

D、S3中的所有元素

答案：A

17.若R是一个特征为有限整数n的无零因子环，且ab€R,则0

A、ab=O—.b?0

B,n=nln2,其中n1n2为素数

C,存在R中元c的阶为无限整数

D,RM乘法成立两个消去律

谷笫D

18.若S是半群，则()

A、任意abceS,都有a(be)=(ab)c

B、任意abwS,都有ab=ba

C、必有单位元

D.任何元素必存在逆元

答案：A

19.域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果°

A、E的每一个元都是F上的一个代数元

B,E的每一个元都不是F上的一个代数元

答案：A

20.若I是域F的有限扩域,E是I的有限扩域，那么。

A.(E:I)=(E:I)(1:F)

B、(F:E)=(E:D(l:F)

C.(I:F)={E:F>(I:F)

D、(E:F)=(E:I)<I:F)

答案：D

2L6阶有限群的任何子群一定不是()o

A、2阶

B,3阶

C.4阶

D、6阶

答案：C

22.n阶有限群G的子群H的阶必须是n的。

A、倍数

次数

C、约数

D,指数

答案：D

23.在白然数集N匕下列哪种运算是可结合的？

A.a*b=a-b

B.a*b=max{a.b}

C、a*b=a+2b

D、a-b=|ab|

答案：B

24.设Al,A2...An和D都是非空集合,而f是Al*A2x...xAn到D的一个块射,那么0

A、集合Al,A2...An,D中两两都不相同

B,Al,A2…An的次序不能A换

C、A”A2,…xAn中不同的元诋应的象必不相同

D.1个元(AI>A2...An)的象可以不唯一

答案：B

25.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是().

A、反身性

B、对称性

C、传递性

D、封闭性

答案：D

26.设f：R1-R2是环同态满射，f(a)=b.,那么下列错误的结论为0

A、若a是零元则b是零元

B.若a是半位元则b是单位元

C、若a不是零因子则b不是零因子

D,若a是不交换的则b是不交换的

答案：C

27.偶数环的单位元个数为0

A.0个

B、1个

C,2个

D、无数个

答案：A

28.给出一个5■循环置换K=(31425),那么兀-1()。

A.(13524)

B、(52134)

C、(53421)

答案：A

29.集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和().

A、传递性

B、交接性

答案：A

30•环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个()。

A,交换环

宾数环

C.整数环

答案：A

31.整环R的一个元p叫做一个素元,如果()»

A、p既是零元，也是单位，旦q只有平凡因子

B、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子

C、p不是零元，但是单位，且q只有平凡因子

D、p是零元,但不是单位,且q只有平凡因子

答案：B

二、判断题

I.设G是n阶，e是它的单位元.则e的周期为1

A、正确

B、错误

笞案：正确

2.任意置换均可表示为若干个不相交的轮换的乘积

A、正确

B、错误

答案：正确

3.欧式环必是主理想环

A、正确

B、错误

答案：错误

4.如果循环群G=(a)中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构

A、正确

B、错误

答案：正确

5.若环R满足左消定律，那么R必定没有右零因子

A、正确

B、错误

答案：正确

6.如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群

A、正确

B,错误

答案：错误

7.交换环中可逆元与在零元的和是可逆元

A、正确

B、错误

答案：正确

8.已知KH.是群G的子群，则HK也为G的子群

A、正确

B、错误

答案：错误

9.唯一分解坏必是王理想外

A、正确

B、错误

答案：错误

10.子群的并集必是子群

A,正确

B、错误

答案：错误

11.整环中，不可约元一定是素元

A、正确

B、错误

答案：正确

12.两子群的并一定是子群

A、正确

B、错误

答案：错误

13.任何群都同构与某个变化群

A、正确

B,错误

答案：正确

三、计算题

Lr

x=arctantd2x

22

求方y=程ln\(l+//)所确定的函数的导数d》y

dr1

心=由=*(1)=1+/=1

dydyy(t)2t2t

d/14-/2

一1

d2x_ddr__l+〃

dy2dydy2/4/3

1+/2

答案：

如果。・是半群，则G是群的充分必要条件是।加…,方程心=6和

W在(，•申有解。

必要性。因。是群，则VaeG在(，・中有逆元则〃%加飞区分别代

入方程ori和四=匕有

6'b)=(M)=<_,/>=/>,(ha，1=&%)=be=b,

即U坂弧।分别为方程皿=》和W=b的解。

充分性。因(；是半群，则是非空集合，取定“wG,则方程加二"在"中有解

e,即存在(；中的元素。，使得初二%

下证e是G的左单位元.近2,方程读=人和在G中有解c,即比=4

于是泌=4w)=(e/="=/>,则e是。的一个左单位元。

又V，wG,方程在(；中有解"，即得"是"的一个左逆元。从

而得(；中的每一个元素。都有左逆元。故G是群。

答案:

求索馀类加群Z12中每个元素的阶。

答案:

设G咻・耿(12)(皿均(⑵)(132)}.//=((11(12)),求G关于子群，的

左陪橐分解。

(!)//=(12)//=//,

(13)//=(123)//={(131(123)(,

(23)〃=("2)〃={(231(132)}.

因而，(，关于子群〃的左陪集分解为

紫G=〃U(13)〃U(23)〃.

i：l

5，若已知群G中a加的阶为r,求cab的阶。

设同=“.贝lj(cac'1f=ca"c~'=e.

又若=%则8七7=%a"=e.从而

”见故卜""卜”=同.

又abc=ck{cab}c»故cab的阶也为I•

答案：

四、证明题

1•若*>是群，则对于任意的a、beG,必有惟一的xwG使得a*x=b.

证明设。足群.