（人教A版）高二数学上学期期中模拟卷01（解析版）

期中押题模拟卷01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题：1．三棱锥中，是棱的中点，若，则值为（

）A．0 B．-1 C．1 D．【答案】A【解析】解:由题可知,,由向量线性运算得，即,所以,,则.故选：A.2．直线与圆相切，则的值是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】根据题意，得圆的圆心为，半径为，由直线与圆相切，得，即，故.故选：B.3．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，且，解得或，故是直线与直线平行充分不必要条件，故答案选:A4．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.5．如图，在正四棱柱中，是棱的中点，点在棱上，且.若过点的平面与直线交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则.因为平面平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以，则，即，即,解得，故.故选：A6．直线关于点对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点，则关于对称点为，又因为在上，所以，即。故选：B7．在棱长为的正方体中，分别是的中点，下列说法错误的是（

）A．四边形是菱形 B．直线与所成的角的余弦值是C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面所成角的正弦值是【答案】C【解析】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，所以是平行四边形，由正方体知，因此为菱形，A正确；，，，B正确；，设平面的一个法向量为，由得：，取，则，即，，，直线与平面所成的角正弦值是，C错；平面的一法向量是，，平面与面所成角的所以的余弦值为，其正弦值为，D正确．故选：C.8．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：，则下列结论正确的是（

）A．过点P与圆O相切的直线方程为B．过点P的直线与圆O相切于M，N，则直线MN的方程为C．过点P的直线与圆O相切于M，N，则|PM|=3D．过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若∠AOB=90°，则直线m的方程为或【答案】D【解析】对于A：当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，圆心到直线的距离，所以是过点的圆的切线，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离，解得，此时直线的方程为，过点的圆的切线方程为或，故A错误，对于B;在以为圆心，以为直径的圆，直线为圆与圆的公共弦，两圆方程相减得：，即直线的方程为，故B错误，对于C;，，故C错误，对于D：过点的直线与圆相交于，两点，若，则，圆心到直线的距离，显然直线的斜率存在，设直线方程为，即，，解得或7，直线方程为或，故D正确，故选：D二、多选题：9．直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】AD【解析】要使直线l与线段AB有公共点，则需或，而，，所以或，所以k的取值可以为或4，故选：AD10．已知圆与圆，则下列说法正确的是（

）A．若圆与轴相切，则B．若，则圆C1与圆C2相离C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为D．直线与圆C1始终有两个交点【答案】BD【解析】因为，，对A，故若圆与x轴相切，则有，故A错误；对B，当时，，两圆相离，故B正确；对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；对D，直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.故选：BD11．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（

）A．三棱锥的体积为定值B．线段上存在点，使平面C．线段上存在点，使平面平面D．设直线与平面所成角为，则的最大值为【答案】ABD【解析】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．对于B,如图所示,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则，,，，，所以，，，设（），则所以，平面即解之得当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确对于C，设平面的法向量则，取得设平面的法向量,则取,得,平面平面设,即,解得，，不合题意线段上不存在点,使平面//平面，故C错误．对于D，平面的法向量为则因为所以所以的最大值为．故D正确．故选：ABD三、填空题：12．直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________.【答案】或【解析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即；②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，则有，解可得，此时直线的方程为，故直线l的方程为或.故答案为：或.13．已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数c的取值范围是______．【答案】【解析】由圆的方程知其圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，则；圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则，解得：，所以实数c的取值范围是.故答案为：.14．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与MN所成角的正弦值的最小值为________．【答案】【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，0，，，,则，因为为线段上的动点，所以不妨设，则得，，，所以，则因为，，所以，进而所以，，故当最大值时，最小，且最小值为所以直线与直线所成角正弦值的最小值为．故答案为:.四、解答题：15.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．(1)求侧棱AA1的长；(2)M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求及两异面直线AC1和MN的夹角．【解析】（1）设侧棱AA1＝x，∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∴1，x2，•0，•，•，又∵，∴2＝（）22•2•2•26，∴x2+2x﹣24＝0，∵x＞0，∴x＝4，即侧棱AA1＝4．（2）∵，（），∴（）•（）（••）（1﹣1+2﹣2）＝0，∴两异面直线AC1和MN的夹角为90°．16.已知圆．(1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；(2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．【解析】（1）由题意得C（2，0），圆C的半径为3．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．（2）由题意得圆心C到直线的距离，设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，点P到直线距离的最大值为，则的面积的最大值．17.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥AB，AC＝AB＝4，AA1＝6，点E，F分别为CA1，AB的中点．(1)求直线EF与直线B1F所成角的余弦值；(2)求直线B1F与平面AEF所成角的正弦值．(3)求平面CEF与平面AEF的夹角的余弦值．【解析】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，，即直线EF与直线B1F所成角的余弦值为.（2）由（1）知，，，设平面AEF的法向量，则，令，则，设B1F与平面AEF所成角为，则直线B1F与平面AEF所成角的正弦值为.（3）由（1）知，，设平面CEF的法向量，则，令，则，，，，所以平面CEF与平面AEF的夹角的余弦值为.18.如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵，，∴．如下图所示，连接，则,所以，所以，结合折叠前后图形的关系可知，故四边形为正方形，∴，即为的中点，∴，∴．∵侧面底面，侧面底面，∴平面，易知，，两两垂直．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，，∴，，．设平面的法向量为，则，取，得，，则为平面的一个法向量，则点到平面的距离．（2）假设存在满足题意的点，且（）．∵，∴，∴，∴．设平面的法向量为，又∵，，∴，取，则，，取为平面的一个法向量．易知平面的一个法向量为，∵二面角的余弦值为，∴，化简，得，解得或（舍去）．∴线段上存在满足题意的点，且．19.已知点到的距离是点到的距离的2倍.（1）求点的轨迹方程；（2）若点与点关于点对称，点，求的最大值；（3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设点，由題意可得，即，化简可得.（2）设，由(1)得点满足的方程，又点是点与点的中点，则，代入上式消去可得，即的轨迹为.