第4章 整式的加减章末56道压轴题型专训（7大题型）（学生版）

专题05整式的加减章末56道压轴题型专训（7大题型）题型一整式的加减运算问题题型二整式加减中的化简求值问题题型三整式加减中的无关型问题题型四整式加减的新定义问题题型五整式的加减规律探究问题题型六整式加减中的整体思想求值问题题型七整式加减的综合应用【经典例题一整式的加减运算问题】1．（24-25七年级上·福建福州·期中）a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点如图所示，(1)用、填空___________(2)请化简．2．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：若，则称A与B是“关于1的单位数”．已知，请判断A与B是否是“关于1的单位数”，并说明理由．3．（24-25七年级上·全国·期中）某商场1月份的销售额是m万元，2月份的销售额比1月份的2倍多1万元，3月份的销售额比1月份的3倍少4万元．该商场第一季度的销售额是多少万元？计算当时，该商场第一季度的销售额．4．（24-25七年级上·河南漯河·期末）要比较m，n的大小，可以先求出m与n的差，再看这个差是正数、负数还是零．若，则；若，则；若，则．由此可见，要判断两个式子值的大小，只要考虑它们的差就可以了．已知，，．请你按照上面文字提供的信息回答下列问题：(1)试比较A与的大小；(2)试比较与的大小．5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某同学化简出现了错误，解答过程如下：原式第一步第二步第三步(1)该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么？(2)写出此题正确的解答过程．6．（24-25七年级上·四川成都·期末）理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：．请仿照上面的解题方法，完成下列问题：(1)已知，求代数式的值；(2)已知，求代数式的值．7．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表．(1)这个十字框中五个数的和为．(2)设中间数为a，用代数式表示十字框中五个数之和为．(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？(4)十字框中的五个数之和能为2025吗？这五个数之和能为2045吗？8．（24-25七年级上·全国·期末）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等．【问题提出】（1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______；【问题探究】（2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法；【模型迁移】（3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示；（4）图3是显示部分式子的幻方，求的值．【经典例题二整式加减中的化简求值问题】9．（24-25七年级上·山东济南·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．例：先化简，再求值：，其中．解：____①____把代入上式，得：____②________③____其中____④____10．（24-25七年级上·广东河源·期末）以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式：化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）．(1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________；(2)先化简，再求值：，其中，．11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）小明在做一道题，由于粗心，将墨水洒在了作业上盖住“”．另外又将“”看成“”，他凭着印象求出了解：．(1)求多项式；(2)当，求的值．12．（24-25七年级上·福建莆田·期中）小睿同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下：计算：解：原式．(1)小睿同学的解答正确吗？如果正确，给出各步计算的依据；如果不正确，请给出正确的计算过程．(2)当时，求此代数式的值．13．（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，请尝试：(1)合并同类项：____________；把看成一个整体，合并的结果是____________；(2)已知，先化简再求值：．14．（24-25七年级上·山西长治·期末）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．．

第一步

第二步．

第三步任务：(1)以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是______________．(2)以上化简步骤中，第______________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________．(3)请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时的值．15．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．(1)【简单应用】①已知，则_____；②已知，求的值；(2)【拓展提高】已知，，求式子的值．16．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法：若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”．(1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长；(2)若，请用“作差法”比较，的大小；(3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______．17．（24-25七年级上·江西吉安·期末）定义：若，则称与是关于数的“平衡数”．比如3和是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终是关于数的“平衡数”，求的值．18．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知A=3a2b-2ab2+abc，小明同学错将“2A-B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b-3ab2+4abc．（1）求出2A-B的结果；（2）小强同学说（1）中的结果的大小与c的取值无关，正确吗？若a=，b=，求（1）中式子的值．【经典例题三整式加减中的无关型问题】19．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为．(1)请你替这位同学求出的正确答案；(2)若的值与x的取值无关，求y的值．20．（2025·广东·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关．【知识应用】已知，．(1)用含m，n，x的式子表示；(2)若的值和x的取值无关，求的值．21．（2025七年级上·全国·专题练习）李老师在黑板上写了一个含m，n的整式：．(1)化简上式；(2)老师告诉同学们当m，n互为倒数时，式子的值为0，请你计算此时m，n的值；(3)李老师又将这个题进行了改编，当m取一个特殊的值时，式子的结果与无关，那么此时的值为多少？22．（2025七年级上·全国·专题练习）数学课上，李老师给同学们出了一道整式化简求值的练习题：．李老师看着题目对同学们说：“大家任意给出x、y、z的一组值，我能马上说出答案．”同学们不相信，小刚同学立刻站起来，但他刚说完“”后，李老师就说出了答案是，同学们都感到不可思议，计算速度也太快了吧，何况是这么复杂的一组数值呢！但李老师却信心十足地说：“这个答案准确无误．”同学们，你知道李老师为什么算得这么快吗？23．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）阅读理解：已知；若值与字母的取值无关，解得，当时，值与字母的取值无关，知识应用：已知，，用含，的式子表示；若的值与字母的取值无关，求的值；知识拓展：春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共件进行销售，甲种羽绒服每件进价元，每件售价元，购进羽绒服后，返还顾客现金元，乙种羽绒服每件进价元，每件售价元．设购进甲种羽绒服件，当销售完这件羽绒服的利润与的值无关时，求的值．24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）阅读理解：已知；若的值与字母的取值无关，则，解得．当时，的值与字母的取值无关．知识应用：（1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值；知识拓展：（2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系．【经典例题四整式加减的新定义问题】25．（2025七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义规定一种运算：，等号右边是我们学过的加减运算，按前面的规定把展开，并合并同类项．26．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是．(1)填空：、的“友好数”分别是___________；(2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除．27．（24-25七年级上·四川成都·期中）新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律：，，，，(1)直接写出新定义运算律：______；(2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由；(3)先化简，再求值：，其中28．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“鸿蒙数”．(1)若，，求、的“鸿蒙数”；(2)若，，求、的“鸿蒙数”；并比较，的大小．29．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义一种新运算：观察下列各式：，，，．(1)请你想想：；(2)若那么（填“”或“”）；(3)先化简，再求值：，其中30．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：．(1)求的值；(2)化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数．(3)已知与的差中不含项，求a的值．31．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如三位正整数中，，所以，是半和数；又如中，，所以，也是半和数．…任务：(1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为；这个数为；(用含a的代数式表示）；(2)任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果是的倍数．请你判断这一结论是否正确，并说明理由．32．（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读材料】在某数学兴趣小组集中学习时，碰到如下新定义：对于给定的两个大小不等的整数a、b，若，则记表示与之间（包括和）所有整数的和．如，．【知识应用】如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，(1)直接写出的值是______；(2)若点A、B均以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动（为正整数）秒后，点到达所在位置的点表示的数为，点到达所在位置的点表示的数为，试计算的值；（用含的代数式表示）(3)将（2）中的点改为向左运动，其余条件不变，计算的值．（用含的代数式表示）【经典例题五整式的加减规律探究问题】33．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题：，，，……(1)请另外写出一个符合上述规律的算式；(2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律；34．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）观察下列各式：；；；；；；；(1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________；(2)你能用所学知识解释这个规律吗？解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由)35．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题：(1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除；(2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由．36．（2025·安徽·模拟预测）【观察思考】同样大小的★按如图所示的规律摆放：【规律发现】（1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字）（2）第个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）．【规律应用】（3）请分析第个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗．37．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）将正整数，…，排成如图所示的数表．(1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第行第列；(2)数表中第行第1列的数是；(3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为．①猜想之间的关系．②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明．38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一个三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数可以用代数式表示为．接下来我们探究能被9整除的三位数的数的特征．(1)【举例说明】请写出两个能被9整除的三位数、；(2)【一般探究】由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除．

请在下列括号内填空，补全下面的推理过程：①因为能被9整除，并且①式是9的倍数，也能被9整除，所以它们的和一定能被9整除，因此猜想成立．(3)【类比推广】继续探索能被9整除的多位数的数的特征，写出你发现的规律．（不需要说明理由）39．（2025·安徽亳州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律．观察归纳：；；．；；．；；．；；．…规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除．规律应用：(1)请用上述方法验证266能否被7整除．(2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容：xx的表示按（2）中操作得到的差，记为M（x）217

945____________………(3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除．40．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…，(1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”；(2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”；(3)设图中有个“△”，个“★”．①当时，的值是多少？②试求与之间的数量关系．【经典例题六整式加减中的整体思想求值问题】41．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简．解：原式．参照本题阅读材料的做法解答：(1)把看成一个整体，合并的结果是；(2)已知，求的值；(3)已知，，，求的值．42．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读材料：我们知道，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是一种重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，(1)尝试应用：把看成一个整体，合并______；(2)已知，求的值；(3)拓展探索：已知，，，求的值．43．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，．尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是______．（2）已知，求的值．拓广探索：（3）已知，，，求的值．44．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）人教版七年级上册数学教材109页的部分内容如下：把和各看作一个整体，对下列式子进行化简：，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．(1)【问题解决】把看成一个整体，求将合并的结果______；(2)【简单应用】①已知，则______；②已知，求的值；(3)【拓展提高】已知，，求代数式的值．45．（24-25七年级上·四川广元·期中）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式．【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若，则__________；（2）如果，求的值．【拓展探索】（3）若，，求的值．46．（24-25七年级上·四川德阳·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？爱动脑筋的小郭同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得．【简单运用】（1）若，则______；（2）若，求的值；【拓展提高】（3）已知，求代数式的值．47．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．【解决问题】（1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示）（2）若代数式的值为4，则代数式的值为______；【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：（3）已知，的值为最大的负整数，求的值．48．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式：的值是多少？”小明同学解题过程如下：解：原式因为所以原式＝．小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题：【简单应用】（1）已知，则＝______；（2）已知，求的值；【拓展提高】（3）若，，则代数式：______．【经典例题七整式加减的综合应用】49．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）材料：“作差法比较大小”．根据不等式和等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．根据材料解答下列问题：(1)若，则______（填“＞”，“＝”或“＜”）；(2)若，，试比较，的大小，并说明理由．50．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）阅读材料：材料1：如果一个三位数为（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），我们可以将其表示为：；材料2：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“谷数”．例如：427；515；109均为“谷数”；材料3：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“峰数”．例如：285；687，121均为“峰数”；(1)已知：三位数可表示为；三位数可表示为；=；(2)已知：三位数比三位数小284，求这两个三位数；(3)求三位数是峰数的一共有多少个，三位数是谷数的一共有多少个（直接写出答案）．51．（24-25七年级上·四川成都·期中）理解与思考．整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用．例如：，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若，则______．（2）如果，求的值．（3）若，，求的值．52．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由个等边三角形（注：等边三角形就是三条边都相等的三角形）拼成的六边形．(1)已知中间最小的等边三角形的边长是，若设图中最大等边三角形的边长是米，请用含的代数式分别表示出等边三角形和的边长分别为：，，．(2)再（）的条件下，观察图形的特点可知，六边形广场的周长（最外面一圈的长）可以用含的代数式表示为．(3)因城市规划的需要，市政府设想把这个六边形广场改建为一个正方形广场，改建之后让这两个广场的周长保持不变，若等边三角形的边长为米，此时你能求出改建之后的正方形广场