2026版高三数学一轮复习第二章 2.7　指数与指数函数讲义+课时练

第二章函数的概念与基本初等函数2.7指数与指数函数数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1指数幂的运算考点2指数函数的图象及应用0102考点3指数函数的性质及应用03课时作业第三部分1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象经过的特殊点．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．教材回扣根式2．有理数指数幂运算性质ar·as＝ar＋sa>0，b>0，r，s∈Q(ar)s＝ars(ab)r＝arbr3.指数函数的概念、图象与性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)图象与性质项目y＝ax(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1项目y＝ax(a>0，且a≠1)图象特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域__________单调性递减递增函数变化规律当x＝0时，______当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1(0，＋∞)y＝12．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y＝mx，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数m，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞m＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．教材拓展1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝2x-1是指数函数．(

)(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(

)(3)2-3＞2-4.(

)(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(

)基础检测××√×2．(人教A版必修第一册P119T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(

)A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C.C3．(人教A版必修第一册P120T10改编)函数f(x)＝0.7x2－2x的单调递减区间为__________．解析：复合函数f(x)＝0.7x2－2x可以分为外部函数y＝0.7u与内部函数u＝x2－2x，因为外部函数y＝0.7u在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求f(x)的减区间，等价于求内部函数u＝x2－2x的增区间，易知u＝x2－2x的增区间为[1，＋∞)，故f(x)的减区间为[1，＋∞).[1，＋∞)1互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1指数幂的运算【例1】计算：规律总结指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．BC考点2指数函数的图象及应用A(2)若关于x的不等式4ax-1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为_________．规律总结1．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．注意，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【对点训练2】

(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0D解析：由图象可知，函数f(x)为减函数，从而有0<a<1.方法一由f(x)＝ax－b的图象，得其与y轴交点的纵坐标y∈(0，1)，令x＝0，得y＝a－b，则0<a－b<1，即0<a－b<a0，解得b<0.故选D.方法二函数f(x)的图象可看作是由y＝ax(0<a<1)的图象向左平移得到的，则－b>0，即b<0.故选D.C考点3指数函数的性质及应用命题角度1比较指数式大小【例3】

(2024·四川成都模拟)设a＝0.50.4，b＝0.41.1，c＝1.10.5，则(

)A．a<c<b B．c<a<bC．a<b<c D．b<a<c【解析】因为指数函数y＝0.5x是单调减函数，所以0.51.1<0.50.4<0.50＝1，又幂函数y＝x1.1在(0，＋∞)上是单调增函数，所以1＝11.1>0.51.1>0.41.1，又因为指数函数y＝1.1x是单调增函数，所以1.10.5>1.10＝1，综上可得b<a<c.故选D.D命题角度2解指数方程或不等式{x|－1≤x≤3}(2)不等式10x－6x－3x≥1的解集为__________．[1，＋∞)命题角度3指数函数性质的综合应用(1)若f(x)是奇函数，求a的值；(2)若f(x)≥0在x∈[－1，1]上恒成立，求a的取值范围．规律总结1．比较指数式的大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，一般要借助“同增异减”这一性质分析判断．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．ABD(2)已知函数f(x)＝4x－m·2x+1－8.①若m＝1，求不等式f(x)<0的解集；②若∀x∈[0，2]，f(x)≥－12恒成立，求实数m的取值范围．解：①当m＝1时，可得f(x)＝4x－2x+1－8，即4x－2x+1－8<0，即(2x)2－2×2x－8<0，整理得(2x－4)(2x＋2)<0，因为2x＋2>0，所以2x－4<0，解得x<2，所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，2).②令t＝2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]，可得4x－m·2x+1－8＝t2－2mt－8，由f(x)≥－12，可得t2－2mt－8≥－12，课时作业12第分部三1．(5分)如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝(

)DAAB5．(5分)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，必成立的是(

)A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b<0，c>0C．2－a<2cD．ac<0D解析：由于函数f(x)＝|2x－1|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上为增函数，由于a<b<c，而f(a)>f(c)>f(b)，因此a<0，c>0，b无法确定正负，如图，AABD7．(6分)(多选)已知a>0，b>0，则下列各式正确的是(

)A．函数f(x)单调递增B．函数f(x)的值域为(0，2)C．函数f(x)的图象关于(0，1)对称D．函数f(x)的图象关于(1，1)对称ABD(1，3)10．(5分)设f(x)＝2x-1－2－x-1，当x∈R时，f(x2＋2mx)＋f(2)＞0恒成立，则实数m的取值范围是____________．11．(16分)已知f(x)＝(a2－2a－2)·ax＋b－8(a>0且a≠1)是指数函数．(1)求a，b；

(2)求关于x的不等式f(log0.5(x－a)＋b－2a)>3的解集；解：不等式f(log0.5(x－a)＋b－2a)>3，即f(log0.5(x－3)＋2)>f(1)，而函数f(x)＝3x在R上递增，因此log0.5(x－3)＋2>1，即log0.5(x－3)>－1＝log0.50.5-1＝log0.52，则0<x－3<2，解得3<x<5，所以原不等式的解集为(3，5).(3)求函数F(x)＝f(2x)－4f(x)－2在区间[0，3)上的值域．解：F(x)＝f(2x)－4f(x)－2＝32x－4·3x－2＝(3x)2－4·3x－2，x∈[0，3)，令3x＝t，y＝F(x)，则t∈[1，27)，所以y＝t2－4t－2，t∈[1，27)，由二次函数的性质可知，y＝t2－4t－2在[1，2)上单调递减，在(2，27)上单调递增，所以ymin＝－6，当t＝27时，y＝619，当t＝1时，y＝－5，619>－5，故函数F(x)在区间[0，3)上的值域为[－6，619).(1)求