2026版高三数学一轮复习第八章 8.3　圆的方程讲义+课时练

第八章平面解析几何8.3圆的方程数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1圆的方程考点2与圆有关的轨迹问题0102考点3与圆有关的最值问题03课时作业第三部分高考创新方向多想少算041．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．圆的方程(1)圆的定义：平面上到____的距离等于____的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)称为圆心为__________，半径为__的圆的标准方程．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2(r>0)，表示以原点O为圆心，r为半径的圆．教材回扣定点定长(a，b)r(x0－a)2＋

(y0－b)2＞r2d＝rd<r教材拓展4．阿波罗尼斯圆：古希腊数学家阿波罗尼斯发现，平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(

)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．(

)(3)已知圆的方程为x2－2x＋y2＝0，过点A(1，2)可作该圆的两条切线．(

)基础检测√×√√2．(人教A版选择性必修第一册P85T1改编)已知圆的圆心为(－3，4)，半径为5，则它的方程为(

)A．(x－3)2＋(y－4)2＝5B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y－4)2＝5解析：因为圆心为(－3，4)，半径为5，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.故选C.C3．(人教A版选择性必修第一册P102T7改编)若方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(

)A．(－∞，－5) B．(－5，＋∞)C．(－∞，5) D．(5，＋∞)解析：因为方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，所以42＋22＋4m>0，解得m>－5，即m的取值范围为(－5，＋∞).故选B.B4．(人教A版选择性必修第一册P85T2改编)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为(

)A．(－1，＋∞)B．(－1，0)C．(－1，0)∪(4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)C互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1圆的方程【例1】

(1)(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为(

)D(2)(2024·吉林长春三模)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三点的圆的方程为(

)A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1C规律总结求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【对点训练1】

(1)若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则过A，B及原点O三点的圆的方程是(

)A．x2＋y2＋4x－3y＝0B．x2＋y2－4x－3y＝0C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0A(2)(2024·北京西城区二模)已知圆C经过点(－1，0)和(3，0)，且与直线y＝2相切，则圆C的方程为__________________．(x－1)2＋y2＝4考点2与圆有关的轨迹问题【例2】

(1)长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(

)D(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(

)A．y2＝4xB．x2＋y2－2x－2y－3＝0C．x2＋y2－2y－3＝0D．y2＝－4xB规律总结求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．【对点训练2】

(1)平面上一动点P满足|PM|2＋|PN|2＝6，且M(－1，0)，N(1，0)，则动点P的轨迹方程为(

)A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x－1)2＋y2＝3C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝3解析：设P(x，y)，由|PM|2＋|PN|2＝6，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝6，整理得x2＋y2＝2，即动点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.故选C.C(2)已知圆C：x2＋y2＝3，直线l过点A(－2，0)，线段AB的端点B在圆C上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(

)B考点3与圆有关的最值问题命题角度1利用几何性质求最值【例3】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．命题角度2利用函数求最值【例4】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为(

)D规律总结(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【对点训练3】

(1)(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4y＋1＝0，则下列说法正确的是(

)AC(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，则x＋y的取值范围为____________．[－2，0]高考创新方向多想少算【例】已知实数a，b满足

a2＋b2－|a|－|b|＝0(a，b不同时为0)，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(

)A．4 B．5C．6 D．7C创新解读本题本质上考查了直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式，但是题目设置上需要学生对题干条件进行转化后，才能利用已有知识解决．本题落实通过“材料信息的丰富性、试题要素的灵活性”的高考命题改革要求，引导学生提升思维品质，减少死记硬背和机械化刷题．课时作业55第分部三B2．（5分）点(－1，－1)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝4的内部，则a的取值范围是(

)A．－1<a<1 B．0<a<1C．a<－1或a>1 D．a＝±1解析：因为点(－1，－1)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝4的内部，所以(－1＋a)2＋(－1－a)2<4，化简得a2<1，解得－1<a<1.故选A.AA．(x－1)2＋y2＝4B．x2＋(y＋1)2＝4C．(x＋1)2＋y2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：由题可知|PA|2＝4|PO|2，所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，化简得(x＋1)2＋y2＝4.故选C.C4．（5分）已知圆M过点O(0，0)，A(2，0)，B(2，－2)，则圆M的标准方程是(

)A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x＋1)2＋(y－1)2＝2AAC7．（6分）（多选）已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(

)A．当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆B．当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆D．当a＝8时，表示的圆与y轴相切BCD8．（6分）（多选）圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P(m，n)为圆C上的动点，则下列结论正确的是(

)ACx2＋(y－2)2＝410．（5分）（2024·江西九江二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．这条线称为三角形的欧拉线．已知A(0，2)，B(4，2)，C(a，－1)，且△ABC为圆x2＋y2＋Ex＋Fy＝0的内接三角形，则△ABC的欧拉线方程为______．y＝112．（17分）已知圆C的方程为x2＋y2－2x＋4y－m＝0.(1)若点A(m，－2)在