2026版高三数学一轮复习第四章 4.7　正、余弦定理的综合应用讲义+课时练

第四章三角函数、解三角形4.7正、余弦定理的综合应用数学内容索引关键能力提升第一部分考点1多边形中的解三角形问题考点2三角形中的最值、范围问题0102考点3三角形中的中线、高线、角平分线03课时作业第二部分1．会利用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的最值、范围问题．2．会利用正、余弦定理求解平面多边形、三角形的中线、高线、角平分线等问题．互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1多边形中的解三角形问题(2)求BC的长．规律总结平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．【对点训练1】如图所示，在平行四边形ABCD中，有ACcos∠BAC＝(2AB－BC)·cos∠ABC.(1)求∠ABC的大小；解：由题意得ACcos∠BAC＝(2AB－BC)cos∠ABC，由正弦定理得2sin∠ACBcos∠ABC＝sin∠BACcos∠ABC＋sin∠ABCcos∠BAC，∴2sin∠ACBcos∠ABC＝sin(∠BAC＋∠ABC)＝sin(π－∠ACB)＝sin∠ACB，又∵∠ACB∈(0，π)，考点2三角形中的最值、范围问题规律总结1．三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围．(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式．(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，|b－c|<a<b＋c，三角形中大边对大角等．【对点训练2】在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别是a，b，c，已知向量m＝(a＋b，sin∠ACB)，n＝(a－c，sin∠BAC－sin∠ABC)，满足m∥n.(1)求∠ABC；(2)若∠ABC的平分线交边AC于点D，BD＝2，求△ABC面积的最小值．考点3三角形中的中线、高线、角平分线命题角度1中线【例3】

（2024·山东潍坊一模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，已知a(sin∠ABC＋cos∠ABC)＝c.(1)求∠BAC；【解】∵a(sin∠ABC＋cos∠ABC)＝c，∴sin∠BAC(sin∠ABC＋cos∠ABC)＝sin∠ACB，在△ABC中，sin∠ACB＝sin(∠BAC＋∠ABC)，则有sin∠BAC(sin∠ABC＋cos∠ABC)＝sin(∠BAC＋∠ABC)，∴sin∠BACsin∠ABC＋sin∠BACcos∠ABC＝sin∠BACcos∠ABC＋cos∠BACsin∠ABC，∴sin∠BACsin∠ABC＝cos∠BACsin∠ABC，又∠ABC∈(0，π)，∴sin∠ABC>0，∴sin∠BAC＝cos∠BAC，∴tan∠BAC＝1，【解】根据余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，则有5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1（舍去），规律总结中线的相关结论如图，在△ABC中，D是BC的中点，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，c.命题角度2高线(1)求∠ACB；规律总结高线的相关结论(2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．命题角度3角平分线(1)若BC＝8，求△ABC的面积；【解】△ABC中，设∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB，即64＝c2＋b2＋b·c①，(2)若CP＝4，求BP的长．规律总结角平分线的相关结论如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，c.课时作业31第分部三(2)求AC边上的高．(1)求∠ABC；(2)若a＝12，D为BC边的中点，且AD＝3，求b.3．（17分）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别是a，b，c，满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab.(1)求∠ACB；(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值．(1)若EC＝1，求∠BAD的余弦值；(1)若A，B，C，D四点共圆，求边AC的长；解：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝8＋8－2×8×cos∠ABC＝16－16cos∠ABC①，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝16＋4－2×8cos∠ADC＝20－16cos∠ADC②，因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ABC＋∠ADC＝π，因此cos∠ADC＝－cos∠ABC，(2)求四边形ABCD面积的最大值．由正弦定理得sin∠ACB＝sin∠BAC－2sin∠ACBcos∠ABC，故sin∠ACB＝sin(∠ABC＋∠ACB)－2sin∠A