2026版高三数学一轮复习第三章 3.1　导数的概念及其意义、导数的运算讲义+课时练

第三章一元函数的导数及其应用3.1导数的概念及其意义、导数的运算数学内容索引必备知识回顾关键能力提升第一部分第二部分考点1导数的概念考点2导数的运算0102考点3导数的几何意义03课时作业第三部分04高考创新方向多想少算1．了解导数的概念，理解导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数．2．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．自主学习·基础回扣必备知识回顾第分部一1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作_______或__________．教材回扣f′(x0)y′|x＝x02．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的____，相应的切线方程为________________________．斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3．基本初等函数的导数公式0基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝__________f(x)＝sinxf′(x)＝_________f(x)＝cosxf′(x)＝___________f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝__________f(x)＝exf′(x)＝_____f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____f(x)＝lnxf′(x)＝__αxα-1cosx－sinxaxlnaex4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝____________．(2)[f(x)g(x)]′＝___________________．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．yu′·ux′1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．2．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上．3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．教材拓展1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．(

)(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx．(

)(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(

)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

)基础检测√×××3xe-3xln3－3x+1e-3x4．(人教A版选择性必修第二册P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝alnx＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝____．2e互动探究·考点精讲关键能力提升第分部二考点1导数的概念【例1】已知f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：规律总结D考点2导数的运算【例2】求下列函数的导数．(1)f(x)＝x2ex；【解】f′(x)＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.(4)f(x)＝ln(1－2x).规律总结求导数的几种情况(1)乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式化简，再求导．(6)复合函数形式：确定复合关系，由外向内或由内向外逐层求导．【对点训练2】

(1)设f′(x)是f(x)的导函数，已知f(x)＝2f′(1)x－x2＋lnx＋1，则f(1)＝(

)D(2)(多选)下列求函数的导数正确的是(

)ABC考点3导数的几何意义命题角度1求曲线的切线方程A(2)过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为(

)A．y＝x B．y＝2x【解析】由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，把(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A.A命题角度2求参数【例4】

(2024·河北保定三模)已知二次函数y＝ax(x－b)(b≠0，且b≠1)的图象与曲线y＝lnx交于点P，与x轴交于点A(异于原点O)，若曲线y＝lnx在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为(

)B命题角度3公切线问题【例5】

(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝_______．ln2规律总结1．求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．3．公切线问题应根据两条曲线在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程(组)求解．C(2)(2024·福建漳州一模)若曲线y＝aex-2＋x在点(2，2＋a)处的切线方程为y＝4x＋b，则a＋b＝(

)A．3 B．－3C．0 D．1C(3)若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝(

)A．－1 B．1C．2 D．eC高考创新方向多想少算【例】

(2024·浙江温州一模)已知0<x1<x2<x3<4π，函数f(x)＝sinx的图象在点(xi，sinxi)(i＝1，2，3)处的切线均经过坐标原点，则(

)C创新解读本题通过切线斜率考查导数的几何意义，判断选项C，D是否正确的关键是根据tanxi＝xi(i＝1，2，3)构造tanx＝x，通过转化思想和数形结合思想分析，将计算问题转化为图象问题，减少计算量，体现新高考的变化趋势．课时作业17第分部三BC解析：因为f′(x)＝3f′(1)－2x，令x＝1，得f′(1)＝3f′(1)－2⇒f′(1)＝1.故选A.A4．（5分）（2024·河北保定三模）曲线y＝f(x)＝ex－3x在点(0，f（0)）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(

)C5．（5分）已知函数f(x)＝lnx＋x，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，则切点P的坐标为(

)B6．（5分）（2024·浙江绍兴二模）曲线y＝f(x)＝x＋alnx在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(

)A．1 B．2C．－1 D．－2A7．（6分）（多选）下列求导运算正确的是(

)A．(ex)′＝exABD8．（6分）（多选）（2024·湖南长沙二模）下列函数的图象与直线y＝x＋1相切的有(

)A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝sinx＋1 D．y＝x3＋1AC10．（5分）写出与函数f(x)＝sinx在x＝0处有公共切线的一个函数g(x)＝____________________．解析：由题知f(0)＝0，f′(x)＝cosx，f′(0)＝1，若g(x)与f(x)在x＝0处有公共切线，需满足g(0)＝0，g′(0)＝1即可，取g(x)＝x2＋x，则g′(x)＝2x＋1，显然满足g(0)＝0，g′(0)＝1.（答案不唯一）x2＋x（答案不唯一）11．（16分）求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋3)10；解：y′＝10(2x＋3)9·(2x＋3)′＝20(2x＋3)9.(2)y＝e2x+1；解：y′＝e2x+1·(2x＋1)′＝2e2x+1.(3)y＝ln(3x－2)；(4)y＝sin4x.解：y′＝cos4x·(4x)′＝4cos4x.12．（17分）已知函数f(x)＝x3－3x.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处的切线方程；解：因为f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，所以f′(1)＝0，所以切线斜率为0，又因为f(1)＝13－3×1＝－2，所以切点坐标为(1，－2)，故曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处的切线方程为y