2025年八年级上册几何题及答案

2025年八年级上册几何题及答案已知△ABC中，AB=AC，点D在BC上，连接AD，E为AD上一点，且∠BEC=∠BAC=120°，BC=6。（1）求证：BE=CE；（2）求△BEC的周长。解答：（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=(180°-120°)÷2=30°。延长BE交AC于点F，延长CE交AB于点G（辅助线构造）。∵∠BEC=∠BAC=120°，∴∠BEA+∠CEA=120°，∠BAE+∠CAE=120°（∠BAC=120°）。在四边形AEFG中，∠EFG+∠FGE=180°-∠BEA-∠CEA=60°，而∠ABC=∠ACB=30°，故∠BFG=∠ABC+∠FGB=30°+∠FGB（外角定理）。考虑△ABE与△ACE：AB=AC（已知），∠BAE=∠CAE（AD为等腰三角形中线，由AB=AC，AD为公共边，可证AD平分∠BAC，故∠BAE=∠CAE=60°），∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°-∠EBC，∠ACE=∠ACB-∠ECB=30°-∠ECB。又∠BEC=120°，在△BEC中，∠EBC+∠ECB=60°，设∠EBC=x，则∠ECB=60°-x，故∠ABE=30°-x，∠ACE=30°-(60°-x)=x-30°。在△ABE中，∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-60°-(30°-x)=90°+x，在△ACE中，∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=180°-60°-(x-30°)=150°-x。由于∠AEB+∠AEC=∠BEC=120°，即(90°+x)+(150°-x)=240°≠120°，说明辅助线构造有误。重新考虑：以BC为边作等边△BCP（P在△ABC外），则∠BPC=60°，∵∠BEC=120°，故∠BEC+∠BPC=180°，B、E、C、P四点共圆。又AB=AC，∠BAC=120°，则BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cos120°=2AB²+AB²=3AB²（设AB=AC=a），由BC=6，得3a²=36，a=2√3，故AB=AC=2√3。在等边△BCP中，BP=CP=BC=6，∠PBC=∠PCB=60°，∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°-∠EBC，∠PBE=∠PBC-∠EBC=60°-∠EBC，同理∠PCE=60°-∠ECB。由四点共圆，∠BEP=∠BCP=60°，∠CEP=∠CBP=60°，故△BEP和△CEP均为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形），但BP=CP=6，若BE=PE，CE=PE，则BE=CE。（2）求周长：由（1）知BE=CE，设BE=CE=x，在△BEC中，∠BEC=120°，BC=6，由余弦定理：BC²=BE²+CE²-2BE·CE·cos120°，即36=x²+x²-2x²·(-1/2)=2x²+x²=3x²，解得x=2√3，故△BEC的周长=BE+CE+BC=2√3+2√3+6=4√3+6。如图，在平面直角坐标系中，点A(0,4)，B(-3,0)，C(3,0)，D为y轴上一动点（D在A上方），连接BD、CD，过D作DE⊥BD交x轴于E，DF⊥CD交x轴于F。（1）当D(0,6)时，求E、F的坐标；（2）探究：无论D在y轴上如何移动（D在A上方），EF的长度是否为定值？若是，求出该定值；若否，说明理由。解答：（1）当D(0,6)时，BD的斜率k_BD=(6-0)/(0-(-3))=2，∵DE⊥BD，故DE的斜率k_DE=-1/2，DE的方程：y-6=-1/2(x-0)，即y=-1/2x+6，令y=0，解得x=12，故E(12,0)。同理，CD的斜率k_CD=(6-0)/(0-3)=-2，DF⊥CD，故DF的斜率k_DF=1/2，DF的方程：y-6=1/2(x-0)，即y=1/2x+6，令y=0，解得x=-12，故F(-12,0)。（2）设D(0,t)（t>4），BD的斜率k_BD=(t-0)/(0-(-3))=t/3，DE⊥BD，故k_DE=-3/t，DE的方程：y-t=-3/t(x-0)，即y=-3/tx+t，令y=0，解得x=t²/3，故E(t²/3,0)。CD的斜率k_CD=(t-0)/(0-3)=-t/3，DF⊥CD，故k_DF=3/t，DF的方程：y-t=3/t(x-0)，即y=3/tx+t，令y=0，解得x=-t²/3，故F(-t²/3,0)。EF的长度=|t²/3-(-t²/3)|=2t²/3，但题目假设EF为定值，显然此处推导有误。重新检查：当D(0,t)，BD的直线方程为y=(t/3)(x+3)，DE⊥BD，故DE的斜率为-3/t，方程为y=(-3/t)x+t，令y=0，x=(t²)/3，正确。CD的直线方程为y=(-t/3)(x-3)，DF⊥CD，斜率为3/t，方程为y=(3/t)x+t，令y=0，x=(-t²)/3，正确。则EF=E的x坐标-F的x坐标=t²/3-(-t²/3)=2t²/3，随t变化，说明之前结论错误。但题目可能隐含其他条件，或我的分析有误。考虑特殊点验证：当t=4（A点），D与A重合，BD斜率=4/3，DE斜率=-3/4，方程y=-3/4x+4，令y=0，x=16/3，CD斜率=-4/3，DF斜率=3/4，方程y=3/4x+4，令y=0，x=-16/3，EF=16/3-(-16/3)=32/3，当t=6时，EF=2(36)/3=24，显然不等，故EF不是定值。已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB中点，E为BC上一点，连接DE，过E作EF⊥DE交AC于F，连接DF。（1）求证：DE=DF；（2）若BC=4，BE=1，求DF的长。解答：（1）证明：连接CD，∵△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，∴CD=AD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，CD⊥AB。设∠CDE=α，则∠EDF=90°（EF⊥DE），故∠CDF=90°-α-∠CDE？不，应直接用坐标法。以C为原点，CA为y轴，CB为x轴，设C(0,0)，A(0,4)，B(4,0)，则D(2,2)（AB中点）。设E(x,0)（0≤x≤4），则DE的斜率k_DE=(2-0)/(2-x)=2/(2-x)，EF⊥DE，故EF的斜率k_EF=(x-2)/2，EF过E(x,0)，方程为y=(x-2)/2(X-x)，与AC（x=0）交点F的坐标：当X=0时，y=(x-2)/2(-x)=(-x²+2x)/2，故F(0,(-x²+2x)/2)。计算DE和DF的长度：DE²=(2-x)²+(2-0)²=(2-x)²+4，DF²=(2-0)²+(2-(-x²+2x)/2)²=4+((4+x²-2x)/2)²=4+(x²-2x+4)²/4。若DE=DF，则(2-x)²+4=4+(x²-2x+4)²/4，即(x²-4x+4)+4=(x^4-4x^3+12x²-16x+16)/4，左边=x²-4x+8，右边=(x^4-4x^3+12x²-16x+16)/4，显然不恒等，说明坐标设定有误，应设AC=BC=a，更一般化。重新设C(0,0)，A(0,a)，B(a,0)，D(a/2,a/2)，E(t,0)（0≤t≤a），DE向量=(a/2-t,a/2-0)=(a/2-t,a/2)，EF⊥DE，故EF向量=(m,n)满足(m)(a/2-t)+n(a/2)=0，EF过E(t,0)，交AC于F(0,s)，故EF向量=(-t,s)，则(-t)(a/2-t)+s(a/2)=0→-at/2+t²+as/2=0→s=(at/2-t²)/(a/2)=t-2t²/a。DF向量=(a/2-0,a/2-s)=(a/2,a/2-t+2t²/a)，|DE|²=(a/2-t)²+(a/2)²=a²/4-at+t²+a²/4=t²-at+a²/2，|DF|²=(a/2)²+(a/2-t+2t²/a)²=a²/4+((a²/2-at+2t²)/a)²=a²/4+(a²/2-at+2t²)²/a²。要证|DE|=|DF|，需t²-at+a²/2=a²/4+(a²/2-at+2t²)²/a²，化简右边：a²/4+((2t²-at+a²/2))²/a²=a²/4+(DE²)²/a²，显然不成立，说明需用几何方法。考虑旋转：将△DCE绕D逆时针旋转90°，则C→A（因CD=AD，∠CDA=90°），E→F，故DE=DF。（2）当BC=4，BE=1，故E(1,0)（B(4,0)，C(0,0)，则E(4-1=3,0)？之前坐标设定错误，应B(4,0)，C(0,0)，故BC=4，BE=1，E(4-1=3,0)。D为AB中点，A(0,4)，B(4,0)，故D(2,2)。DE的斜率=(2-0)/(2-3)=2/(-1)=-2，EF⊥DE，斜率=1/2，EF过E(3,0)，方程y=1/2(x-3)，交AC（x=0）于F(0,-3/2)，但F在AC上（AC从C(0,0)到A(0,4)），故F(0,-3/2)不符合，说明E在BC上应为从C到B，即E(1,0)（C(0,0)，B(4,0)，BE=1，则E(4-1=3,0)正确，F可能在AC延长线上）。计算DF的长度：D(2,2)，F(0,-3/2)，DF=√[(2-0)²+(2-(-3/2))²]=√[4+(7/2)²]=√[4+49/4]=√[65/4]=√65/2。在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，D在AC上，连接BD，∠ABD=20°，E在BD上，∠AED=80°，求∠ACE的度数。解答：作辅助线：在AB上取点F，使AF=AD，连接EF、CF。∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°。∠ABD=20°，故∠DBC=∠ABC-∠ABD=20°，∠ADB=180°-∠BAC-∠ABD=180°-100°-20°=60°。AF=AD，∠BAC=100°，故△AFD为等腰三角形，∠AFD=∠ADF=(180°-100°)/2=40°。∠AED=80°，∠ADB=60°，故∠EAD=180°-∠AED-∠ADE=180°-80°-(180°-60°)=-20°，显然错误，改用正弦定理。在△ABD中，AB=AC=c，AD=b，BD=d，由正弦定理：AD/sin∠ABD=AB/sin∠ADB，即b/sin20°=c/sin60°，故b=c·sin20°/sin60°。在△AED中，∠AED=80°，∠EAD=∠BAC-∠BAD=100°-∠BAD，∠ADE=180°-∠AED-∠EAD=180°-80°-(100°-∠BAD)=∠BAD，由正弦定理：AD/sin∠AED=AE/sin∠ADE，即b/sin80°=AE/sin∠BAD，又∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-∠DAC（但D在AC上，∠DAC=0°？不，D在AC上，故∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-0°=100°？错误，D在AC上，故∠BAD为∠BAC的一部分，即∠BAD=θ，∠DAC=100°-θ。重新整理：设∠BAD=θ，则∠DAC=100°-θ，在△ABD中，∠ADB=180°-θ-20°=160°-θ，由正弦定理：AB/sin∠ADB=AD/sin∠ABD→AB/sin(160°-θ)=AD/sin20°，AB=AC，设为1，AD=x，则1/sin(160°-θ)=x/sin20°→x=sin20°/sin(160°-θ)=sin20°/sin(20°+θ)（因160°-θ=180°-(20°+θ)）。在△AED中，∠AED=80°，∠ADE=180°-80°-θ=100°-θ（∠EAD=θ），由正弦定理：AD/sin80°=AE/sin(100°-θ)→x/sin80°=AE/sin(100°-θ)，又∠ACE=γ，在△ACE中，AC=1，AE=y，由正弦定理：AE/sin∠ACE=AC/sin∠AEC，∠AEC=180°-∠AED=100°，故y/sinγ=1/sin100°→y=sinγ/sin100°。联立得：x=sin20°/sin(20°+θ)=[sinγ/sin100°]·sin80°/sin(100°-θ)，因sin100°=sin80°，故化简为sin20°/sin(20°+θ)=sinγ/sin(100°-θ)，取θ=30°，则sin(20°+30°)=sin50°，sin(100°-30°)=sin70°，左边=sin20°/sin50°≈0.3420/0.7660≈0.446，右边=sinγ/sin70°，若γ=30°，sin30°/sin70°≈0.5/0.9397≈0.532，不等；若θ=20°，sin40°≈0.6428，sin80°≈0.9848，左边=sin20°/sin40°≈0.3420/0.6428≈0.532，右边=sinγ/sin80°，若γ=30°，0.5/0.9848≈0.508，接近；若γ=20°，sin20°/sin80°≈0.3420/0.9848≈0.347，不等；若θ=40°，sin60°≈0.8660，sin60°≈0.8660，左边=sin20°/sin60°≈0.3420/0.8660≈0.395，右边=sinγ/sin60°，γ=20°，0.3420/0.8660≈0.395，相等！故θ=40°，γ=20°，即∠ACE=20°。如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为BC中点，F为CD上一点，∠AEF=60°，若AB=4，求CF的长。解答：连接AC，菱形ABCD中，AB=BC=4，∠ABC=60°，故△ABC为等边三角形，AC=4，∠ACB=60°。E为BC中点，BE=EC=2，设CF=x，则DF=4-x，在△ABE中，AB=4，BE=2，∠ABE=60°，由余弦定理：AE²=AB²+BE²-2AB·BE·cos60°=16+4-2×4×2×0.5=20-8=12，故AE=2√3。∠AEF=60°=∠ACB，考虑△AEF与△ACB是否相似，∠EAF=∠EAC+∠CAF，∠BAC=60°，∠EAC=∠BAC-∠BAE，在△ABE中，由