2025年应力状态试题解析及答案

2025年应力状态试题解析及答案一、基础计算题（20分）已知某点处的平面应力状态为σₓ=80MPa（拉应力），σᵧ=-40MPa（压应力），τₓᵧ=30MPa（x面上的切应力沿y轴正方向）。要求：（1）计算与x轴成θ=20°的斜截面上的正应力σₙ和切应力τₙ；（2）判断该斜截面上切应力的方向（相对于截面外法线的顺时针或逆时针方向）。解析：（1）平面应力状态下，斜截面应力计算公式为：σₙ=(σₓ+σᵧ)/2+(σₓ-σᵧ)/2·cos2θ+τₓᵧ·sin2θτₙ=(σₓ-σᵧ)/2·sin2θ-τₓᵧ·cos2θ代入已知条件：σₓ=80MPa，σᵧ=-40MPa，τₓᵧ=30MPa，θ=20°（注意θ为x轴逆时针转至截面外法线的角度，故取正值）。首先计算(σₓ+σᵧ)/2=(80-40)/2=20MPa；(σₓ-σᵧ)/2=(80+40)/2=60MPa；2θ=40°，cos40°≈0.7660，sin40°≈0.6428。代入σₙ公式：σₙ=20+60×0.7660+30×0.6428≈20+45.96+19.28≈85.24MPa（拉应力）。计算τₙ：τₙ=60×0.6428-30×0.7660≈38.57-22.98≈15.59MPa。（2）切应力方向的判断需结合公式中τₙ的符号规则：若τₙ为正，表示截面外法线顺时针转90°的方向为切应力方向；若为负，则逆时针转90°。本题中τₙ≈15.59MPa（正值），因此斜截面切应力方向为截面外法线顺时针转90°方向（即相对于截面外法线，切应力沿顺时针方向）。答案：（1）σₙ≈85.24MPa（拉），τₙ≈15.59MPa；（2）顺时针方向。二、主应力与主平面分析题（30分）某点平面应力状态的应力分量为σₓ=120MPa（拉），σᵧ=60MPa（拉），τₓᵧ=-40MPa（x面上的切应力沿y轴负方向）。要求：（1）计算主应力大小及主平面方位角；（2）绘制该点的应力圆，并标注主应力、最大切应力及对应截面的位置；（3）说明主应力的排序规则。解析：（1）主应力计算公式为：σ₁,₂=(σₓ+σᵧ)/2±√[(σₓ-σᵧ)/2)²+τₓᵧ²]代入数据：(σₓ+σᵧ)/2=(120+60)/2=90MPa；(σₓ-σᵧ)/2=(120-60)/2=30MPa；τₓᵧ=-40MPa（注意符号，公式中τₓᵧ取绝对值平方，故符号不影响根号内结果）。根号部分=√(30²+(-40)²)=√(900+1600)=√2500=50MPa。因此，主应力σ₁=90+50=140MPa（拉），σ₂=90-50=40MPa（拉），σ₃=0（平面应力状态下另一主应力为零）。主平面方位角α₀由tan2α₀=2τₓᵧ/(σₓ-σᵧ)计算：2τₓᵧ=2×(-40)=-80MPa；σₓ-σᵧ=60MPa；tan2α₀=-80/60=-4/3≈-1.333，故2α₀=-53.13°或126.87°（因tanθ周期为180°），则α₀=-26.57°或63.43°。需验证哪个角度对应σ₁的主平面：将α₀=-26.57°代入斜截面正应力公式，计算得σₙ=140MPa（与σ₁一致），故α₀=-26.57°（即从x轴顺时针转26.57°）对应σ₁的主平面，另一角度63.43°对应σ₂的主平面。（2）应力圆的圆心坐标为((σₓ+σᵧ)/2,0)=(90MPa,0)，半径R=√[(σₓ-σᵧ)/2)²+τₓᵧ²]=50MPa。绘制时，以σ轴为横轴，τ轴为纵轴，圆心在(90,0)，半径50。主应力对应应力圆与σ轴的交点：σ₁=140MPa（右侧交点），σ₂=40MPa（左侧交点），σ₃=0（平面应力状态下，垂直于纸面方向的主应力为零，对应应力圆在σ=0处的点，但需注意三维应力状态中σ₃为最小主应力）。最大切应力τ_max=R=50MPa，对应应力圆上最高点（τ=50MPa），其所在截面与主平面成45°（即α₀±45°）。（3）主应力排序规则：按代数值从大到小排列，即σ₁≥σ₂≥σ₃。本题中σ₁=140MPa（拉），σ₂=40MPa（拉），σ₃=0（零应力），故排序为σ₁>σ₂>σ₃。答案：（1）σ₁=140MPa（拉），σ₂=40MPa（拉），σ₃=0；主平面方位角分别为-26.57°（σ₁）和63.43°（σ₂）；（2）应力圆圆心(90,0)，半径50MPa，主应力位于σ轴交点，最大切应力50MPa位于圆顶；（3）按代数值从大到小排序。三、强度理论应用题（30分）某钢构件（塑性材料，许用应力[σ]=160MPa）危险点处的应力状态为σ₁=100MPa（拉），σ₂=50MPa（拉），σ₃=-80MPa（压）。要求：（1）分别用第三强度理论（最大切应力理论）和第四强度理论（畸变能理论）计算相当应力σ_r3和σ_r4；（2）判断该点是否满足强度要求。解析：（1）第三强度理论（σ_r3）的相当应力公式为σ_r3=σ₁-σ₃；第四强度理论（σ_r4）的相当应力公式为σ_r4=√[(σ₁-σ₂)²+(σ₂-σ₃)²+(σ₃-σ₁)²]/√6。代入数据：σ_r3=100-(-80)=180MPa；计算σ_r4的分子部分：(100-50)²=2500，(50+80)²=16900，(-80-100)²=32400；总和=2500+16900+32400=51800；σ_r4=√51800/√6≈227.6/2.449≈92.9MPa（此处计算有误，正确计算应为：√(51800)=227.6，除以√6≈2.449，故227.6/2.449≈92.9？实际正确计算应为：√(51800)=√(518×100)=10√518≈10×22.76≈227.6；√6≈2.449，故227.6/2.449≈92.9MPa。但需检查公式是否正确：第四强度理论公式应为σ_r4=√[(σ₁-σ₂)²+(σ₂-σ₃)²+(σ₃-σ₁)²]/√6，代入数值：(100-50)=50，(50-(-80))=130，(-80-100)=-180，平方后分别为2500、16900、32400，总和为2500+16900+32400=51800，开平方为√51800≈227.6，除以√6≈2.449，故σ_r4≈227.6/2.449≈92.9MPa。但实际正确计算应为：51800/6≈8633.33，√8633.33≈92.9MPa，正确。（2）比较相当应力与许用应力：第三强度理论下σ_r3=180MPa>[σ]=160MPa，不满足；第四强度理论下σ_r4≈92.9MPa<[σ]=160MPa，满足。但需注意，塑性材料通常以第四强度理论更符合实际，第三强度理论偏于保守。本题中第三强度理论计算结果超过许用应力，需结合构件实际工作条件判断是否需要调整设计；若按第四强度理论则满足要求。答案：（1）σ_r3=180MPa，σ_r4≈92.9MPa；（2）第三强度理论不满足，第四强度理论满足。四、空间应力状态综合题（20分）某点处的空间应力状态为σ₁=150MPa（拉），σ₂=80MPa（拉），σ₃=-50MPa（压）。要求：（1）计算该点的最大正应力和最大切应力；（2）说明最大切应力所在平面的方位特征。解析：（1）最大正应力为三个主应力中的最大值，即σ_max=σ₁=150MPa；最大切应力τ_max=(σ₁-σ₃)/2=(150-(-50))/