第19讲：函数的零点方程的根【知识梳理+12个题型归纳+方法总结】【原卷版】

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳【第19讲：函数的零点方程的根】总览总览题型梳理一、核心概念与本质关系1.函数零点定义：函数中，使的实数.2.方程的根定义：方程的解.3.等价关系：函数零点方程实数根函数图像与轴交点横坐标.4.核心结论：方程有实根函数有零点函数图像与轴有交点.二、零点存在性定理1.条件：①函数在上连续；②.2.结论：函数在内至少有一个零点（方程至少有一个实根）.3.关键说明： 充分非必要条件 逆否命题：连续函数内无零点. 局限性：时仍可能有零点.三、零点求法（核心方法）1.代数法 直接求解：适用于一次、二次方程（求根公式，）. 因式分解法：零点为.2.图像法 直接法：观察与轴交点横坐标. 转化法：求与交点横坐标.3.二分法（近似解）步骤：①确定，验证；②求中点；③判断：则为零点，否则缩小区间；④重复至区间长度小于精确度.题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：零点存在定理的应用】【解题策略】1.验证函数在区间上的连续性；2.计算区间端点函数值、；3.若，则区间内至少有一个零点；4.若需确定唯一零点，补充验证函数在区间上的单调性.经典例题例题（25-26高一上·全国·期末）已知函数，．经典例题例题(1)直接写出时，的最小值．(2)若，求证：在上存在唯一零点．小试牛刀1（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知函数.小试牛刀1(1)判断函数与的单调性（不需要写理由）；(2)证明：函数有唯一零点，有唯一零点，且；小试牛刀2（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.小试牛刀2条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.(1)求实数的值；(2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；小试牛刀3（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）定义上的奇函数和偶函数满足.小试牛刀3(1)求函数和函数的解析式；(2)设函数，若在内有且只有一个零点，求实数的取值范围.【题型2:二分法求函数零点】【解题策略】1.确定初始区间，满足且函数连续；2.计算中点，求；3.缩小区间：则为零点；令；令；4.重复步骤2-3，直到区间长度小于精确度，取中点为近似解.经典例题例题（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（

）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）.经典例题例题A．4 B．7 C．10 D．13小试牛刀1（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示：小试牛刀1x121.51.751.8751.812531.3420.5793则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（

）A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9小试牛刀2（21-22高一上·安徽安庆·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（

）小试牛刀2A． B． C． D．小试牛刀3（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：小试牛刀3x121.51.6251.751.8751.8125f（x）－63－2.625－1.459－0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（）A．1.6 B．1.7C．1.8 D．1.9【题型3：由函数的零点求参数范围】【解题策略】1.转化为方程有实根问题；2.方法：①参数分离法（将参数表示为，求的值域）；②判别式法（二次方程）；③图像法（分析函数与轴交点存在性）；3.结合函数定义域、值域限制参数范围.经典例题例题（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（

）经典例题例题A． B． C． D．小试牛刀1（25-26高一上·北京西城·期中）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（

）小试牛刀1A． B．C． D．小试牛刀2（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（

）小试牛刀2A． B． C． D．小试牛刀3（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是.小试牛刀3【题型4：求函数零点/方程的根的个数】【解题策略】1.代数法：解方程，直接统计根的个数（注意重根）；2.图像法：①画出图像，统计与轴交点个数；②转化为与交点个数；3.辅助分析：利用函数单调性、极值、奇偶性、区间端点值确定图像特征.经典例题例题（25-26高三上·江苏淮安·月考）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（

）经典例题例题A．14 B．13 C．12 D．11小试牛刀1（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，关于的方程的解的个数可能是.小试牛刀1小试牛刀2（25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为；方程有且仅有个实数解.小试牛刀2小试牛刀3（2025高三·全国·专题练习）若平面直角坐标系内A，B两点满足点A，B都在函数的图象上，且点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”．已知函数，则的“和谐点对”有（

）小试牛刀3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型5：由函数的零点/方程的根个数求参数范围】【解题策略】1.构造含参函数，分析其单调性、最值；2.画出函数大致图像，结合零点个数要求（与轴交点个数）；3.建立极值与的大小关系、区间端点值与的关系，解不等式求参数范围.经典例题例题（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数，，若关于x的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是.经典例题例题小试牛刀1（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且，若方程有六个不同的实根，则实数的取值范围是．小试牛刀1小试牛刀2（25-26高一上·山东德州·期中）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（

）小试牛刀2A． B． C． D．小试牛刀3（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，其中.若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为.小试牛刀3【题型6：二次函数的零点/方程的根分布的应用】【解题策略】1.设二次函数，方程的根为；2.核心条件：①判别式（根的存在性）；②对称轴（根的位置）；③区间端点函数值（根在区间内外）；④韦达定理（根的和积关系）；3.按根的分布类型（如两根都大于、一根在内等）列不等式组求解.经典例题例题（25-26高一上·浙江杭州·期中）若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为．经典例题例题小试牛刀1（25-26高一上·江苏南通·期中）（1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由；小试牛刀1（2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围；（3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由.小试牛刀2（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为.小试牛刀2小试牛刀3（25-26高三上·山东泰安·期中）已知函数．小试牛刀3(1)若为奇函数，求的值；(2)若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围．【题型7：由指数型函数零点/方程的根求参数】【解题策略】1.换元转化：令，将方程转化为关于的代数方程；2.求的正根（结合的范围）；3.由的解的存在性，反推参数范围（注意指数函数的值域限制）.经典例题例题（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）．经典例题例题(1)当取何值时，函数为奇函数；(2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．小试牛刀1（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是．小试牛刀1小试牛刀2（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（

）小试牛刀2A． B． C． D．小试牛刀3（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，.小试牛刀3(1)判断在上的单调性（直接写出结论，不需要理由）；(2)对任意，恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围.【题型8：由对数型函数零点/方程的根求参数】【解题策略】1.换元转化：令，转化为关于的代数方程；2.限制条件：对数真数，转化为的对应范围；3.结合的根的情况，反推参数范围（注意对数函数的定义域、值域）.经典例题例题（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（

）经典例题例题A． B． C． D．小试牛刀1（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为.小试牛刀1小试牛刀2（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是，的取值范围是．小试牛刀2小试牛刀3（2024高一·全国·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是．小试牛刀3【题型9：“换元型”f(x)=t由方程的根的个数求参数范围】【解题策略】1.求的取值范围：即函数的值域；2.分析方程（含参数）在内的根的个数；3.结合的图像特征（单调性、极值），建立根的个数与的关系，求解参数范围.经典例题例题（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（

）经典例题例题A． B． C． D．小试牛刀1（25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是，这6个实数根的和为．小试牛刀1小试牛刀2（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（

）小试牛刀2A． B． C． D．小试牛刀3【多选题】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（

）小试牛刀3A． B． C． D．【题型10：嵌套函数型f(g(x))由方程的根的个数求参数范围】【解题策略】1.换元：令，求的取值范围（由的定义域、值域确定）；2.分析的根；3.统计每个对应的的解的个数，总个数满足要求；4.结合的图像特征（单调性、极值），建立参数与解的个数的关系.经典例题例题（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（

）经典例题例题A． B． C． D．小试牛刀1（2025高一·全国·专题练习）已知函数，，若方程有4个实数根，求实数的取值范围.小试牛刀1小试牛刀2（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）小试牛刀2A． B． C． D．小试牛刀3（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（

）小试牛刀3A．2 B．3 C．4 D．5【题型11：比较零点的大小关系】【解题策略】1.构造辅助函数：设，比较与的零点即比较的根；2.分析函数单调性：若单调递增，由、可直接比较；3.图像法：画出多个函数图像，观察零点的横坐标位置关系；4.区间定位：利用零点存在定理确定各零点所在区间，间接比较大小.经典例题例题【多选题】（24-25高一下·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（

）经典例题例题A． B． C． D．小试牛刀1（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（

）小试牛刀1A． B． C． D．小试牛刀2（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（

）小试牛刀2A． B． C． D．小试牛刀3（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（

）小试牛刀3A． B．C． D．【题型12：根据奇偶对称性求函数零点的和】【解题策略】1.奇函数性质：若是奇函数，且是零点，则也是零点，成对零点和为；若有定义，则（单独零点）；2.对称轴性质：若关于对称，且是零点，则也是零点，成对零点和为；3.统计所有零点，按对称性分组求和，汇总得到总零点和.经典例题例题（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（

）经典例题例题A．2n B．3n C．4n D．5n小试牛刀1（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为.若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则.小试牛刀1小试牛刀2（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（

）小试牛刀2A． B． C． D．小试牛刀3（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在上的所有实根之和为（

）小试牛刀3A． B． C． D．一、单选题1．（25-26高一上·北京房山·期中）函数的零点所在的区间（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（

）A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.323．（24-25高一上·天津和平·期末）方程的一个根所在的区间为，则的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．04．（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·福建·期末）已知函数，当时，关于的方程的实数解的个数为（

）A． B． C． D．6．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(

).A． B．C． D．二、多选题7．（24-25高二下·河北保定·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（

）A．当时，有1个零点B．当时，有4个零点C．可能有6个零点D．当的零点个数最多时，的取值范围为8．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题9．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为10．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是．11．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且当时，存在点M，N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是.四、解答题12．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知函数（为自然对数的底数），函数与的图象关于直线对称，.(1)若方程的实数解为，证明；(2)若关于的方程有两个不等的实数解，求的取值范围.13．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，.(1)讨论函数的单调性（无需证明）；(2)若，解关于的不等式；(3)若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围.14．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数，.(1)若，求函数在区间上的值域；(2)若，求证：，并求的值；(3)令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围.参考答案题号12345678答案CCCCCDBCDABD1．C【分析】根据给定函数，构造函数并确定单调性，利用零点存在性定理推理判断.【详解】函数的定义域为，而，当时，，令函数，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，又，因此函数的零点在上，所以函数的零点在上.故选：C2．C【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案.【详解】，，由零点存在性定理得，区间内存在零点，由于，，故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确.故选：C3．C【分析】令，利用零点存在定理求解.【详解】令，定义域为，且连续，又，所以方程的一个实根必在，所以，故选：C4．C【分析】画出奇函数的图象，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和，数形结合可得结果．【详解】由题意得方程的根是函数的图象与直线的交点的横坐标，根据分段函数的解析式，以及是定义在上的奇函数，作出函数的图象如图所示：

作出直线，由图可知，与的图象有5个交点，从左到右依次记为，根据的图象的对称性可得，根据是奇函数得，，所以，由得，所以，故选：C5．C【分析】根据函数解析式画出函数图象，令，则，结合函数图象可得与有个交点，则问题转化为，的解得个数，结合函数图象即可判断.【详解】因为的图像如图所示：令，则，因为，由图像可知，关于的方程有三个解分别为，，从图像中可以看出，，令，所以，所以方程无解，有两解，有两解，故关于的方程有四个解.故选：C6．D【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可.【详解】因为时，，又因为单调递增，所以；若，则，所以时，，即；若，则，所以时，，即.综上所述，，故选：D.7．BCD【分析】由题可得求的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，分别作出函数，的图象，利用数型结合及零点的嵌套可逐项求解判断.【详解】A：的零点个数等价于关于的方程的解的个数，令，函数，的图象如图，当时，无解；当时，的解为，则有两个解，故A错误；B：当时，设方程的解为，，易得，，则，均有两个根，所以有个解，即有个解，故B正确.C：当时，易得方程的解为，，，则，，，均有个解，所以有个解，即有个解，故C正确.D：当时，设方程的解为，，，易得，，，则，均有个解，最多有个解，所以最多有个解，当有个解时，则，即，所以当的解最多时，的取值范围为，故D正确.故选：BCD.8．ABD【分析】AB选项，变形得到，，构造，由函数单调性得到，故AB正确；C选项，同一坐标内画出的图象，得到；D选项，结合ABC选项，利用图象得到.【详解】AB选项，由题意得，，因为可变形为，令，显然为单调递增函数，故，故，，AB正确；C选项，由题意得，在同一坐标内画出的图象，可以看出，C错误；D选项，由AB选项可知，而，故又，故，由图象可得，，所以，故，D正确.故选：ABD【点睛】函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形为，从而构造，结合单调性进行求解..9．或【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解.【详解】令，所以或，如图，画出函数的大致图象，

时，与的图象有3个交点，所以与的图象只能有2个交点，则或，所以或.故答案为：或10．【分析】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可.【详解】函数与直线的图象如下图所示：因为方程有四个不同根，所以函数的图象与直线有四个不同的交点，由图可知：，因为二次函数的对称轴为，所以，由及图象可得，因为，所以由，因为，所以，于是，由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减，所以有，所以的取值范围是，故答案为：11．（或）【分析】由题意可得在上有解，令，求导，求得值域即可.【详解】函数关于的对称函数的解析式为，若存在点M，N关于x轴对称，则在上有解，即在上有解，即在上有解，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，所以.故答案为：或.12．(1)证明见解析(2)【分析】（1）对的取值分类讨论，当时，构造，用单调性和零点存在定理得出的范围，由变形式子，结合的范围即可证明；（2）由对称得，推出，联立进行化简，然后进行换元求解，令，转化为二次方程在上有两不等实根问题，列不等式组求解即可.【详解】（1）方程，即，当时，方程无实数解，当时，令，则在上单调递增，又，，故在内有唯一零点，即，所以，所以.（2），，，即，，，令，即在有两个不等实根，