第三章 函数的概念与性质（复习讲义）（原卷版及解析） - 副本

第三章函数的概念与性质（复习讲义）1、用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2、理解区间的概念，并且能够利用区间表示集合；会判断两个函数是不是同一个函数，通过求简单函数的定义域、值域，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.3、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(列表法、图象法、解析法)表示函数，能根据函数解析式作出函数图象；通过选择合适的方法求函数解析式.4、理解分段函数的概念，会描绘分段函数图象，掌握分段函数的简单应用.5、借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会根据函数单调性的定义，判定证明函数的单调性；理解函数最大值与最小值的几何意义，会用函数的单调性求最值、比较大小、解不等式.6、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，能判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的定义和图象解题，掌握奇偶性与单调性的综合运用.7、通过具体实例，结合y=x，y=x-1，y=x2，y=x12，y=x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数的概念8、在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，提升数学建模、数据分析和数学运算素养.1、函数的概念及其表示（1）函数的概念：设、是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数，记作：.（2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．函数相等：两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致．2、定义域求法（1）常见求函数定义域的方法①fxgx②2nf(③[fx]④应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义．⑤求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错．（2）抽象函数定义域：函数f(x)，【定义域都是指x的取值范围】①已知f(x)定义域是(a，b)②已知fgx定义域是(a，b)，求f(③已知fgx的定义域是(a，b)，求f(ℎ(x))的定义域：利用x3、值域的求法①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数②单调性法③换元法：形如，（令）；，（令）.，（令）；（令）.4、函数解析式的求法（1）代入法，直接法：适用于①由f(x)求复合函数f[gx]，②由f(x+注意：由分段函数f(x)求复合函数f[gx]时，首先需要根据（2）配凑法，整体替换法：适用于fx+1、f1+（3）换元法：如f3x+1（4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如f(x)②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可．（5）解方程组法给出的方程同时含：①f(x)与f(−x②一奇一偶函数f(x)③f(x)与f(1方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！5、函数的基本性质（1）单调性设函数的定义域为，区间，如果当时，都有：①或上单调递增；②或上单调递减；等价变形：，，，在区间上是增函数.，，，在区间上是减函数.（2）函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值（3）奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝f(x)=f(|x|)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称等价变形：，f(-x)+f(x)=0为奇函数；，f(-x)-f(x)=0为偶函数.奇偶函数的特点：(1)具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，(3)若奇函数在原点处有定义，则.（4）对称性①图象关于直线对称；推论1:的图象关于直线对称；推论2:的图象关于直线对称；推论3:的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；推论1:的图象关于点对称；推论2:的图象关于点对称；推论3:的图象关于点对称；③两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）函数与图象关于y轴对称；函数与图象关于原点对称；函数与图象关于x轴对称；【常用结论】（1）函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．（2）复合函数的单调性：同增异减（3）若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质：①与单调性相同；②当时，与单调性相同；当时，与单调性相反；③当时，与单调性相同；增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数增函数增函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数（4）若，在其公共定义域上具有奇偶性，则：奇函数与奇函数奇函数与偶函数偶函数与偶函数和奇函数偶函数差奇函数偶函数积偶函数奇函数偶函数商偶函数奇函数偶函数（5）奇偶性与单调性：奇同偶异.奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性，且偶函数还满足.（6）伪奇函数的性质：若，其中为奇函数.则；(2).6、函数的图像平移变换（1）已知的图象平移结论:向右平移个单位得到的图象；向左平移个单位得到的图象；向上平移个单位得到的图像；向下平移个单位得到的图像.（2）函数的对称与翻折变换①对称变换：与的图像关于轴对称；与的图像关于轴对称；与的图像关于原点对称.②翻折变换：，即正半轴的图像不变，负半轴的原图像去掉，把正半轴图像关于轴对称过去（去左翻右）；，即轴上方的图像不变，把轴下方的图像沿轴对称翻上去下翻上).7、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．（2）几种幂函数的图象：（3）幂函数的性质：定点：.单调性：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；(1)定义域和值域：将函数解析式化为根式即可得出.(2)奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数.题型一函数的定义域（含抽象函数的定义域）题型一函数的定义域（含抽象函数的定义域）1．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是；（2）函数的定义域是；（3）若函数的定义域是，则函数的定义域是．2．（24-25高一上·吉林长春·月考）已知函数，则函数的定义域为3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域为．4．（2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为．5．（24-25高一上·云南红河·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是6．（24-25高一上·江西九江·月考）若函数的定义域为，则的定义域为.题型二判断两个函数是否相等题型二判断两个函数是否相等1．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（24-25高一上·陕西西安·期中）（多选题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（

）A．与B．与C．与D．与题型题型三函数的值域1．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．2．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域：(1)；(2)．(3)．3．求下列函数的值域．(1)；(2).4．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题：(1)函数在上的最大值；(2)的值域；(3)的最小值；(4)的值域．题型题型四求函数的解析式1．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式(1)已知函数是一次函数，满足，求；(2)已知是二次函数，且，，，求．2．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式.(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知，求.3．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式．(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知，求．题型题型五分段函数的图像、求值、不等式、参数问题1．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．函数的单调递增区间是．4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数且，则．5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数

(1)求，的值；(2)若，求的值；(3)作出函数的大致图象，并求的解集．题型题型六定义法判断函数的单调性1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数3．（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明．4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设．(1)求函数的解析式；(2)用定义法判断的单调性．题型题型七利用函数的单调性比较大小、解不等式1．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（

）A． B． C． D．2．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是（

）A． B．C． D．3．已知定义域为的函数，，，，都有，则（

）A． B．C． D．4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·山东·月考）函数是上的增函数，且的图象经过点和，则不等式的解集为.题型题型八函数的最值（值域）及参数问题1．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（

）．A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值3．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（

）A．3 B．4 C．5 D．3或55．（24-25高一上·四川巴中·期中）（多选题）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（

）A．1 B． C． D．6．（24-25高一上·江西南昌·月考）关于实数的不等式在上有解，则实数的取值范围为.7．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为．8．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是．9．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数.(1)求证：函数在上是增函数；(2)求在上的最大值和最小值.10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最值．题型题型九判断函数的奇偶性及求值问题1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则．2．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则.3．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知函数且，则的值为.4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).5．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)，；(3)题型题型十奇偶性中的参数问题1．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2025·河南·模拟预测）已知为偶函数，则实数（

）A．0 B．1 C． D．3．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则．4．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则.5．已知函数是奇函数，则实数．题型题型十一类奇偶性求最值问题1．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则．2．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为．3．（2024高一·全国·专题练习）已知的最大值，最小值为，求的值题型题型十二利用奇偶性求解析式1．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则当时，.2．已知函数是奇函数，当时，，则当时，.3．（24-25高一上·上海奉贤·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为.4．已知是奇函数，是偶函数，且，则，．5．（24-25高一上·上海·月考）设为实数，函数是奇函数，则．题型题型十三奇偶性结合单调性比较大小1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（

）A． B．C． D．2．已知定义域为的函数，，，，都有，则（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则（

）A． B．C． D．5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（多选题）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（

）A． B．C． D．题型题型十四奇偶性结合单调性解不等式1．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（2025·广东湛江·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．6．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知是上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为.7．（24-25高一下·广东·期中）已知函数，则不等式的解集是.8．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是9．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知，若对任意的xR，恒成立，则实数的取值范围是题型题型十五幂函数的概念与简单性质1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（

）A．2 B． C．1 D．1或2．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（

）A．或 B．C． D．3．（25-26高一上·全国·课后作业）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥.其中是幂函数的有（只填序号）.4．（24-25高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则.5．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数，则.6．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则．7．（24-25高一下·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则.8．（25-26高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则.题型题型十六幂函数的图像及其应用（含过定点问题）1．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

2．（23-24高一上·陕西西安·月考）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（）

A． B． C． D．3．函数的大致图象为（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（

）A． B． C． D．5．（多选题）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（

）A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限6．已知函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则．7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为．8．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点.题型题型十七利用幂函数的性质比较大小1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·甘肃白银·月考）设，，，则（

）A． B．C． D．4．已知，则（

）A． B．C． D．5．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小：(1)和；(2)和；(3)和；(4)，和.题型题型十八利用幂函数的性质解不等式1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·湖北·月考）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．已知函数，则关于的表达式的解集为.7．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为．题型题型十九幂函数综合问题1．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且2．（24-25高一上·云南昭通·月考）幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（

）A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于03．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称D．当时，越小，越大4．（多选题）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．5．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令．(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数在区间上的值域；(3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围．题型题型二十几个常见函数模型的实际应用1．（23-24高一上·江苏无锡·月考）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资）(1)试写出y与x之间的函数关系式；(2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？2．某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元．(1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数；(2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？3．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．(1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？4．（25-26高一上·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本）(2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式；(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？题型题型二十一抽象函数1．定义在上的函数满足．(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性并证明.2．若函数对任意，恒有成立，且．(1)求证：是奇函数；(2)求的值；(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．3．（23-24高一上·湖北·月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；(3)若，试求的值.4．已知定义域为的函数满足对任意都有．(1)求证：是奇函数；(2)设，且当x＞1时，，求不等式的解．基础巩固通关测基础巩固通关测1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·天津·月考）已知偶函数在区间上是增函数，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．4．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知幂函数则（

）A．1 B．4C．8 D．126．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（

）A． B．C． D．7．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（

）A． B． C． D．8．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（

）A． B．C． D．9．（24-25高一上·河南开封·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．10．已知函数在区间上的最大值为5，则（

）A．2 B．3 C．15 D．3或1511．（24-25高一上·重庆·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．12．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则（

）A． B． C． D．13．（24-25高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（

）A．0 B．2 C．3 D．415．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．16．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选题）下列各项中，与表示同一函数的是（

）A．，B．，C．，D．，17．（24-25高一上·河北·月考）（多选题）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（

）A．当气体在半径为3的管道中时，流量为B．当气体在半径为3的管道中时，流量为C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为18．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知幂函数的图象过点，则.19．（2025·上海宝山·二模）已知函数则=.20．已知定义在上的奇函数，当时，，21．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）已知函数，若，则实数的值等于．22．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数是幂函数，且是奇函数，则．23．（23-24高一上·江西赣州·月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是.24．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为25．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，且，则．26．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则．27．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则实数的最小值为．28．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是．29．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为．30．（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是.31．（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数.(1)求；(2)若，求的值；(3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象.32．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.33．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)（）；(4).34．（2025高一·全国·专题练习）（1），求的解析式；（2）已知，求；（3）已知为二次函数，且，求；（4）已知且，求．35．（24-25高一下·湖北·月考）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？36．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调．(1)求函数的解析式；(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由；(3)若，求实数的取值范围．37．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明：(1)；(2)对任意的恒有；(3)是增函数．能力提升进阶练能力提升进阶练1．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（

）A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·全国·周测）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．5．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知函数，当时，恒成立，若的最小值为0，则（

）A． B． C． D．46．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选题）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（

）A．B．若，则或C．若，则D．，当时，7．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为．8．（2025高一·全国·专题练习）设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为．9．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为．10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为．11．（24-25高一上·山西太原·月考）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是.12．（25-26高一上·全国·单元测试）定义，若函数，则的最大值为；若在区间上的值域为，则的最大值为．13．已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立．(1)求的值；(2)求证：当时，；(3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由．14．（24-25高一下·湖北·月考）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？15．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，.(1)证明：为奇函数.(2)证明：在上是减函数.(3)求不等式的解集.16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图象经过点．(1)求m的值；(2)若，求a的取值范围；(3)设，求的最大值．17．已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求的值；(2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．18．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且.(1)判断并证明函数在定义域上的单调性；(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围.19．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意,都有；②对任意且，都有.请解答下列问题：(1)求的值；(2)判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明；(3)证明：对任意正整数，.提示：①.；②..

【第19讲：函数的零点方程的根】总览总览题型梳理一、核心概念与本质关系1.函数零点定义：函数中，使的实数.2.方程的根定义：方程的解.3.等价关系：函数零点方程实数根函数图像与轴交点横坐标.4.核心结论：方程有实根函数有零点函数图像与轴有交点.二、零点存在性定理1.条件：①函数在上连续；②.2.结论：函数在内至少有一个零点（方程至少有一个实根）.3.关键说明： 充分非必要条件 逆否命题：连续函数内无零点. 局限性：时仍可能有零点.三、零点求法（核心方法）1.代数法 直接求解：适用于一次、二次方程（求根公式，）. 因式分解法：零点为.2.图像法 直接法：观察与轴交点横坐标. 转化法：求与交点横坐标.3.二分法（近似解）步骤：①确定，验证；②求中点；③判断：则为零点，否则缩小区间；④重复至区间长度小于精确度.题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：零点存在定理的应用】【解题策略】1.验证函数在区间上的连续性；2.计算区间端点函数值、；3.若，则区间内至少有一个零点；4.若需确定唯一零点，补充验证函数在区间上的单调性.经典例题例题（25-26高一上·全国·期末）已知函数，．经典例题例题(1)直接写出时，的最小值．(2)若，求证：在上存在唯一零点．【详解】（1）根据题意，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以时，的最小值为2（2）当时，，令，所以函数在上单调递增，又因为在上单调递增，所以在区间上单调递减又，而，，且所以又，，则，所以．又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点小试牛刀1（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知函数.小试牛刀1(1)判断函数与的单调性（不需要写理由）；(2)证明：函数有唯一零点，有唯一零点，且；【详解】（1）由题意可得，，由对数函数和复合函数单调性可知为减函数，为增函数.（2）对于函数，由（1）知为减函数，所以在存在唯一零点，对于函数，又，故，又，由（1）知为增函数，所以在存在唯一零点，下面证明：由，可知；由，可知，即，构造函数，因为为减函数，且，所以存在唯一，使得，即；综上所述，函数在存在唯一且相等的零点.小试牛刀2（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.小试牛刀2条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.(1)求实数的值；(2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；【详解】（1）若选①，因为的定义域为，则由得，对于任意都成立，所以；若选②，因为的定义域为，则由得，对于任意都成立，所以.（2）若选①，当时，函数.因为在上单调递减，且在定义域上单调递增，所以在上单调递减，又因为在定义域上单调递减，所以函数在上单调递减.又因为的图象连续不间断，且，，则，所以在区间上有唯一的零点.若选②，（2）当时，函数.因为在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又因为在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增.又因为的图象连续不间断，且，，所以在区间上有唯一的零点.小试牛刀3（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）定义上的奇函数和偶函数满足.小试牛刀3(1)求函数和函数的解析式；(2)设函数，若在内有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由已知得，与已知式联立方程组可解得；（2）由（1）化简函数式并确定定义域，然后由零点存在定理求解，注意分类讨论．【详解】（1）由已知，①得：，又为奇函数，偶函数；即②由①②联立，解得：，.（2）①当时，，得，不符合题意；②当时，由得：若满足题意，需，即，解得.综上，满足题意的实数的取值范围是.【题型2:二分法求函数零点】【解题策略】1.确定初始区间，满足且函数连续；2.计算中点，求；3.缩小区间：则为零点；令；令；4.重复步骤2-3，直到区间长度小于精确度，取中点为近似解.经典例题例题（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（

）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）.经典例题例题A．4 B．7 C．10 D．13【答案】C【分析】根据二分法结合零点的近似值求解.【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，则，解得，所以至少需要操作10次.故选：C.小试牛刀1（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示：小试牛刀1x121.51.751.8751.812531.3420.5793则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（

）A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9【答案】C【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可.【详解】由表格可得，函数的零点在区间内，且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8．故选：C.小试牛刀2（21-22高一上·安徽安庆·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（

）小试牛刀2A． B． C． D．【答案】C【分析】根据零点存在性定理可知结果.【详解】根据已知，，，，，根据二分法可知该近似解所在的区间是.故选：C小试牛刀3（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：小试牛刀3x121.51.6251.751.8751.8125f（x）－63－2.625－1.459－0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（）A．1.6 B．1.7C．1.8 D．1.9【答案】C【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可.【详解】由表格可得，函数的零点在区间内.结合选项可知，方程的近似解可取为1.8.故选：C.【题型3：由函数的零点求参数范围】【解题策略】1.转化为方程有实根问题；2.方法：①参数分离法（将参数表示为，求的值域）；②判别式法（二次方程）；③图像法（分析函数与轴交点存在性）；3.结合函数定义域、值域限制参数范围.经典例题例题（25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（

）经典例题例题A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知与有2个交点，作出函数的图象，结合图象即可得结果.【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点，当时，单调递增，；当时，在]上单调递减，在上单调递增，且，最小值为，可得函数的图象，如图所示：

利用的图象知的取值范围是.故选：B.小试牛刀1（25-26高一上·北京西城·期中）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（

）小试牛刀1A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数的图象如下图所示：

函数可由分段平移得到，易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；当时，恰有一个零点，满足题意，即；综上所述：实数的取值范围是.故选：D.小试牛刀2（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（

）小试牛刀2A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，分析函数性质并作出图象，建立目标式的函数关系，借助二次函数求出范围.【详解】函数的图象关于直线对称，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，令，则函数的图象与直线有3个交点，其横坐标为，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，观察图象，得，，，由，得，因此，所以的取值范围是.故选：A小试牛刀3（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是.小试牛刀3【答案】【分析】对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果.【详解】当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意；当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意；若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解，所以实数的取值范围是.故选：【题型4：求函数零点/方程的根的个数】【解题策略】1.代数法：解方程，直接统计根的个数（注意重根）；2.图像法：①画出图像，统计与轴交点个数；②转化为与交点个数；3.辅助分析：利用函数单调性、极值、奇偶性、区间端点值确定图像特征.经典例题例题（25-26高三上·江苏淮安·月考）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（

）经典例题例题A．14 B．13 C．12 D．11【答案】D【分析】判断函数的周期，作出函数和的图象，数形结合，观察图象的交点个数，即可确定答案.【详解】因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数，结合当时，，可作出的图象；又函数，在同一坐标系中可作出其图象：

由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点，则此时有5个零点；当时，的图象和的图象有6个交点，则此时有6个零点；故在区间内的零点个数为，故选：D小试牛刀1（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，关于的方程的解的个数可能是.小试牛刀1【答案】【分析】令，方程转化为，再根据判别式分析二次方程根的个数，再结合分段函数得出方程的解的个数情况.【详解】函数的图像如下：

令，则，则，当时，即，或，方程无解，即无解；当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，当时，即，，，则，故，，当时，则有两解，当时，若，则有三解，若，则有两解，故方程解的个数为4或5个，综上方程解的个数可能为个.故答案为：.小试牛刀2（25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为；方程有且仅有个实数解.小试牛刀2【答案】86【分析】根据给定条件，利用赋值法确定函数的周期，再结合函数图象求出最小正周期；作出的图象，数形结合求出方程实数解个数.【详解】函数的定义域为，由，得，由，得，则，即，因此，8是函数的一个周期，当时，，函数在上递增，在上递减，值域为，由，得函数的图象关于点对称，由，得函数的图象关于直线对称，作出函数在上的图象，观察图象得函数最小正周期为8；由，得，则方程实数解个数，即为函数与函数图象交点个数，在上述坐标系内作出函数图象，而函数的值域为，当时，，因此函数与函数图象只在内有交点，观察图象得函数与函数图象有且只有6个交点，所以方程有且仅有6个实数解.故答案为：8；6小试牛刀3（2025高三·全国·专题练习）若平面直角坐标系内A，B两点满足点A，B都在函数的图象上，且点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”．已知函数，则的“和谐点对”有（

）小试牛刀3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数的图象的交点个数即可．【详解】如图所示，作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即的“和谐点对”有2个．故选：B．【题型5：由函数的零点/方程的根个数求参数范围】【解题策略】1.构造含参函数，分析其单调性、最值；2.画出函数大致图像，结合零点个数要求（与轴交点个数）；3.建立极值与的大小关系、区间端点值与的关系，解不等式求参数范围.经典例题例题（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数，，若关于x的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是.经典例题例题【答案】【分析】利用函数图象，结合二次方程零点分布，分类讨论特殊根，即可求出参数范围.【详解】由函数，作出的图象：

令，由关于x的方程有三个不同的实数解，则方程有两个解，且有一个解，另一个解，从而由二次函数零点分布可知：当时，，此时另一个解，不满足题意；当一个解，另一个解时，需满足，解得，综上的取值范围是.故答案为：小试牛刀1（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且，若方程有六个不同的实根，则实数的取值范围是．小试牛刀1【答案】【分析】做出分段函数的图象，利用数形结合的方法，可求的取值范围.【详解】做出函数的草图如下：由方程有六个不同的实根，可得.故答案为：小试牛刀2（25-26高一上·山东德州·期中）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（

）小试牛刀2A． B． C． D．【答案】A【分析】先画出分段函数的图象，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出，结合图象可得到的范围进而得解.【详解】函数的图象如下图所示.当时，的对称轴是直线，且最大值为，当时，为增函数，且此时，由题意知存在三个不相等的实数，，，使得，不妨设，则，则，又，故的取值范围是.故选：A.小试牛刀3（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，其中.若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为.小试牛刀3【答案】【分析】根据二次函数的性质和绝对值函数的性质，结合题意，分析计算，可得m的范围，根据二次函数的性质，可求得答案【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线，所以在上单调递增，因为，所以图象为“V”形，因为存在互不相等的三个实数，使得，所以，即，解得或（舍），因为为开口向上，对称轴为x=2的抛物线，所以在上单调递增，所以，即的值域为.故答案为：【题型6：二次函数的零点/方程的根分布的应用】【解题策略】1.设二次函数，方程的根为；2.核心条件：①判别式（根的存在性）；②对称轴（根的位置）；③区间端点函数值（根在区间内外）；④韦达定理（根的和积关系）；3.按根的分布类型（如两根都大于、一根在内等）列不等式组求解.经典例题例题（25-26高一上·浙江杭州·期中）若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为．经典例题例题【答案】【分析】由题意可得、是的两根，、是的两根，且（数轴上，的中点是，根据，不妨设，，再不妨设，，根据韦达定理可得且，，整理化简可得，解得即可得的取值范围.【详解】于的方程有且仅有四个实根，其中，因为，所以，则方程的两根为，方程的两根为，则（数轴上，的中点是，因为，不妨设，，因为，是的两根，所以，，再不妨设，因为，是的两根，则，，所以，则，又，因为，则，故的取值范围为.故答案为：.小试牛刀1（25-26高一上·江苏南通·期中）（1）已知，试比较方程的两根与1的大小关系，并说明理由；小试牛刀1（2）若方程恰有3个不等实根，求实数a的取值范围；（3）若方程恰有2个不等正实根，试比较与的大小关系，并说明理由.【答案】（1）；理由见解析（2）（3），理由见解析【分析】（1）设，根据韦达定理和即可求解；（2）去绝对值，分类讨论根的情况，求出对应的取值范围，即可求解；（3）去绝对值，分别求得，，进而，将问题转化为比较的大小即可求解.【详解】（1）一元二次方程，由韦达定理，得，则一正一负，不妨设，可得，因为，所以，经检验由可得，即可得，因此可得.（2），易知.当即或时，原方程变形为，解得，此时方程有1个解，，所以且；当即时，原方程变形为，即，此时方程在内需有2个解，设，则，开口向上，有，解得.综上，方程有3个不等的实根，实数需满足，解得或.故实数的取值范围为.（3）方程的两个根，当，即时，原方程变形为，即，易知，所以此时两根异号，此时有效根为，且该根在内；当时，即，原方程变形为，解得，依题意此根必是有效根，因此，可得；由题意可知；所以，要比较与的大小，只需比较与0的大小，易知函数在上单调递增，所以；而函数在上单调递减，所以；可得当时，，即；因此.小试牛刀2（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为.小试牛刀2【答案】【分析】分，，结合二次函数零点分布，可求实数的取值范围.【详解】因为函数有两个零点，，所以.又因为，，所以或，由；由.综上可知：.故答案为：小试牛刀3（25-26高三上·山东泰安·期中）已知函数．小试牛刀3(1)若为奇函数，求的值；(2)若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先根据奇函数的定义域关于原点对称求得，然后再根据奇函数的定义求得；（2）根据题意得及，即可求得，然后将函数零点问题转化为在上有两个不同的零点，且不是的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式组求解即可.【详解】（1）函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，所以，又，所以，即恒成立，所以；（2）若点在直线上，则，又函数的图象过点，所以，所以，所以；所以，因为在上有两个不同的零点，所以在上有两个不同的解，且，记，其开口向上，对称轴为，要使在上有两个不同的零点，则，即，解得，又，所以且，所以且，即的取值范围为.【题型7：由指数型函数零点/方程的根求参数】【解题策略】1.换元转化：令，将方程转化为关于的代数方程；2.求的正根（结合的范围）；3.由的解的存在性，反推参数范围（注意指数函数的值域限制）.经典例题例题（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知函数（为常数，）．经典例题例题(1)当取何值时，函数为奇函数；(2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可；（2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果.【详解】（1）若为奇函数，则，即，，，，解得：.（2）当时，，，，当时，，又在上单调递增，当时，，令，则方程在上有实根，在上有实根，又在上单调递增，，.小试牛刀1（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是．小试牛刀1【答案】【分析】作出函数图象，观察得出的关系及范围，然后把化为一个变量的函数，再求得范围．【详解】作出的图象，如图所示．由，得，，则，，则，，令，，则，当时，函数的取值范围是．故答案为：．

小试牛刀2（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（

）小试牛刀2A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函数与的图象，由图可得出，分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于的表达式，由可得出、关于的表达式，进而可得出关于的函数关系式，结合函数单调性可求得结果.【详解】作出函数与的图象如下图所示：

由图可得，当时，，由题意可知，关于的方程的两根分别为、，即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，由图可得，由得，则，可得，，所以，，所以，，因为函数在上为增函数，故当时，，因此，的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意分析交点间的关系，并结合函数的性质，利用数形结合求解，属于难题.小试牛刀3（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，.小试牛刀3(1)判断在上的单调性（直接写出结论，不需要理由）；(2)对任意，恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递增(2)(3)【分析】1）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；（2）令，由可得出，利用对勾函数的单调性可求得实数m的取值范围；（3）令，令，分析可知函数在上有两个不等的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）在上单调递增.证明：任取、且，则，，所以，，，所以，函数在上为增函数.（2）当时，令，则，则，由可得，因为函数在上单调递增，所以，，所以，实数的取值范围是.（3）对任意的，，所以，函数为偶函数，由（1）可知，函数在上为增函数，则该函数在上为减函数，令，当时，，则，由可得，令，则函数在上有两个不等的零点，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.【题型8：由对数型函数零点/方程的根求参数】【解题策略】1.换元转化：令，转化为关于的代数方程；2.限制条件：对数真数，转化为的对应范围；3.结合的根的情况，反推参数范围（注意对数函数的定义域、值域）.经典例题例题（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（

）经典例题例题A． B． C． D．【答案】B【分析】函数的图象与直线交点的横坐标，即为的零点，因此作出函数的图象，直线，由它们有三个交点可得出的范围，的关系，从而求得结论．【详解】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点，由于，，因此，，，而，即，所以，所以，故选：B．小试牛刀1（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为.小试牛刀1【答案】【分析】结合分段函数区间端点处的函数值与函数的单调性作出的图象，再结合图象得的范围，由对数运算性质可得，再由的范围可得范围.【详解】，令，解得；令，解得；令，则；由，则在上单调递减，在单调递增，在单调递减.画出的图象如下图所示，由题意是互不相同的实数，满足，不妨设.则由图可知，.则由，可得，解得.结合图象可知，所以的取值范围是.故答案为：.小试牛刀2（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数，方程有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是，的取值范围是．小试牛刀2【答案】【分析】做出函数大致图象，数形结合可得出实数的取值范围，由对称性得、关系，对数函数的性质的、的关系，从而化简代数式，由双勾函数的定义域得出取值范围.【详解】作出函数与的图象如下图所示，由题意可知，直线与函数的图象有个交点，由图可知，，因为二次函数的对称轴方程为，由图象可得，则，由及图象可得，由于，则，则，所以，，从而得，且，从而得，所以，，令，因为，则，令，则，，则在单调递增，则，故的取值范围是.故答案为：；.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.小试牛刀3（2024高一·全国·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是．小试牛刀3【答案】【分析】根据函数的单调性得出的关系及范围，然后利用对勾函数的性质得出结论．【详解】函数在，上单调递减，在上单调递增，，，画出的图象，如图，令，由，得，，，由，得，即，由，得，于是，由对勾函数性质知，在上递增，则，所以的范围是．故答案为：【题型9：“换元型”f(x)=t由方程的根的个数求参数范围】【解题策略】1.求的取值范围：即函数的值域；2.分析方程（含参数）在内的根的个数；3.结合的图像特征（单调性、极值），建立根的个数与的关系，求解参数范围.经典例题例题（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（

）经典例题例题A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围.【详解】令，有，即，解得或，作出的图象，如图，方程有且仅有5个不同实数根，则由图得或，解得或，则.故选：C.小试牛刀1（25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是，这6个实数根的和为．小试牛刀1【答案】【分析】令，可得或，分类讨论，结合的图像，可得实数的取值范围，计算可求得6个实数根的和.【详解】函数的图象如图所示，令可得方程，解得或，由即，方程的四个解和；当即时，方程另两解；若，，此时，方程另两解，则，所以，故填

小试牛刀2（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（

）小试牛刀2A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分段函数的图象，来分析二次方程根的分布，最后利用根的分布可列参数满足的不等式，并进行求解即可.【详解】作出函数的图象：函数的零点等价于方程，当时，此时方程化为可得，由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故；当时，此时方程化为可得或，由可得方程有一个解为，由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故；所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足，由于所以二次方程的根仅有一个满足，另一个根，则满足或，解得，综上的取值范围为，故选：D小试牛刀3【多选题】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（

）小试牛刀3A． B． C． D．【答案】AC【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案.【详解】作出图象，如下图所示，由图象可得，令，则，所以，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，所以，解得，解得或，因为与图象有2个交点，所以与图象也得有2个交点，所以，解得，且，所以符合条件的选项有AC.故选：AC【题型10：嵌套函数型f(g(x))由方程的根的个数求参数范围】【解题策略】1.换元：令，求的取值范围（由的定义域、值域确定）；2.分析的根；3.统计每个对应的的解的个数，总个数满足要求；4.结合的图像特征（单调性、极值），建立参数与解的个数的关系.经典例题例题（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（

）经典例题例题A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解.【详解】当，时，，对称轴为，所以在单调递增，函数图象如下：令，，解得或，即或，根据图象有2个解，有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意；当，时，，对称轴为，所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：令，，解得或或，根据图象有2个解，有3个解，又有6个零点，所以要有1个解，即，解得，故选：D.小试牛刀1（2025高一·全国·专题练习）已知函数，，若方程有4个实数根，求实数的取值范围.小试牛刀1【答案】【分析】令，则原方程化为，因为方程有4个实数根，且，则原方程有4个解等价于函数，与的图象有2个不同的交点.作出函数，的图象与的图象，数形结合即可求解实数的范围.【详解】令，则原方程化为，因为方程有4个实数根，且，故当时，方程有2个不同的解.

则原方程有4个解等价于函数，与的图象有2个不同的交点，因为时，，当且仅当，即时等号成立，故可作出函数，的图象如下图所示：

由图象可知，当时，函数，的图象与的图象有2个不同的交点.故实数的范围为.小试牛刀2（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）小试牛刀2A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解.【详解】令，则，如图，由图像可知，和均最多有2个不同的根，所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是.故选：B小试牛刀3（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（

）小试牛刀3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据解析式，作出图象，根据有7个零点，可得与的图象有7个交点，分别讨论、、、和，5种不同的情况，根据图象交点个数，分析判断，可得a的范围，即可得答案.【详解】当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，作出图象，如图所示

因为函数有7个零点，所以有7个根，即与的图象有7个交点，令，则，当时，与的图象只有一个交点，此时，

因为，所以与图象只有一个交点，不符合题意；

当时，与的图象有2个交点，且为-1和2，则和与图象共有4个交点，不符合题意；

当时，与的图象有3个交点，设为，

则，此时与共有7个交点，符合题意；

当时，与的图象有3个交点，设为，则，此时与共有6个交点，不符合题意；

当时，与的图象有2个交点，设为，则，若时，此时与共有4个交点，不符合题意，若时，此时与共有3个交点，不符合题意，参考上图，综上，a的取值范围是，则可以为2.故选：A【题型11：比较零点的大小关系】【解题策略】1.构造辅助函数：设，比较与的零点即比较的根；2.分析函数单调性：若单调递增，由、可直接比较；3.图像法：画出多个函数图像，观察零点的横坐标位置关系；4.区间定位：利用零点存在定理确定各零点所在区间，间接比较大小.经典例题例题（24-25高一下·云南昆明·期末）若正数满足，则的大小关系可能是（

）经典例题例题A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数型结合从而可求解.【详解】由题意令，分别作，，的图象，如图，当时，可得，故D正确；当时，可得，故C正确；当时，可得，故A正确；因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误；故选：ACD.小试牛刀1（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（

）小试牛刀1A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解.【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．

由图象可知．故B正确.故选:B．小试牛刀2（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（

）小试牛刀2A． B． C． D．【答案】B【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】令，得，在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：由图象知：即故选：B小试牛刀3（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（

）小试牛刀3A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系.【详解】构造函数，，所以，，因为均为上增函数，则函数，为增函数.函数，与函数的图象，如下图所示：由图可知，.又，，所以.综上，.故选：C【题型12：根据奇偶对称性求函数零点的和】【解题策略】1.奇函数性质：若是奇函数，且是零点，则也是零点，成对零点和为；若有定义，则（单独零点）；2.对称轴性质：若关于对称，且是零点，则也是零点，成对零点和为；3.统计所有零点，按对称性分组求和，汇总得到总零点和.经典例题例题（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（

）经典例题例题A．2n B．3n C．4n D．5n【答案】D【分析】根据奇函数及分式型函数的性质确定、的对称中心为，进而求目标式的值.【详解】由是R上的奇函数，则的对称中心为，由，显然的对称中心为，由函数与有n个交点分别为，，，，所以，，所以.故选：D小试牛刀1（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为.若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则.小试牛刀1【答案】【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值.【详解】因为，由于，则，则，所以，，即函数的值域为，因为，，所以，，所以，函数的图象关于点对称，因为函数为奇函数，则，所以，，则函数的图象关于点对称，因为函数与的图象有个交点，记为，不妨设，所以，点与点关于点对称，且有，，所以，，，因此，.故答案为：；.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求解析式，可利用以下结论来求解：（1）若函数与的图象关于点对称，则；（2）若函数与的图象关于直线对称，则.小试牛刀2（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（

）小试牛刀2A． B． C． D．