期末专题03 函数的概念与函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）11大考点（期末真题汇编湖北专用）高一数学上学期人教A版（解析版）

2/14试卷第=page11页，共=sectionpages33页期末专题03函数的概念与函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）11大高频考点概览考点01求函数值考点02函数的定义域考点03函数的值域考点04直接判断函数单调性、奇偶性考点05定义法证明函数的单调性考点06根据函数的单调性、奇偶性求参数值考点07根据函数的单调性、奇偶性解不等式考点08函数的图象及判断考点09比较函数值的大小关系考点10函数性质的综合应用考点11函数新定义地地城考点01求函数值1．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)已知函数则=（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】代入即可求解.【详解】,故选：D2．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期末)已知函数，则（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】A【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】依题意，，所以.故选：A3．(23-24高一上·湖北咸宁崇阳县第二高级中学·期末)已知定义在上的非负函数，满足，且，、，则．【答案】【分析】由，利用赋值法以此类推得到求解.【详解】解：，，，由已知条件可得，，，，以此类推可知，对任意的，，所以，因此.故答案为：4040地地城考点02函数的定义域4．(23-24高一上·湖北A9高中联盟·期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.【详解】函数的定义域为，所以，，所以的定义域为，对于函数，由，得，所以函数的定义域为.故选：C5．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)已知函数的定义域为[-1,1]，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别考虑和对取值的要求，取它们的交集得到函数的定义域.【详解】已知函数的定义域为，对于，则有.解得.因为函数的定义域为，所以对于，有.正切函数的周期是，在上单调递增，且，.所以，.解不等式，可得，即。；解不等式，可得.当时，；当时，.综合前面两步，取与和的公共部分.与的公共部分为；与的公共部分为.所以函数的定义域为.故选：B.地地城考点03函数的值域6．(24-25高一上·湖北随州部分高中·期末)（多选）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据二次函数、反比例函数和指数函数的性质逐一判断可得.【详解】对A，的值域为，A错误；对B，y=的值域为，B错误；对C，的值域为，C正确；对D，的值域为，D正确.故选：CD.地地城考点04直接判断函数单调性、奇偶性7．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)下列函数是幂函数且是奇函数的是（

）A．y=2x B．C． D．【答案】C【分析】由幂函数解析式结构特点及奇偶性概念逐个判断即可；【详解】对于A，易知不是幂函数，错误；对于B，易知其为偶函数，错误；对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为，又，奇函数，正确；对于D，易知其为偶函数，错误；故选：C8．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)下列函数中，既是减函数，又是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性即可排除AC,根据基本函数的单调性，结合复合函数的单调性即可求解BD.【详解】对于A,的定义域为，且,故为偶函数，A错误，对于B，的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，且，故不是减函数，故B错误，对于C,的定义域为,则故为偶函数，C错误，对于D,的定义域为，，故为奇函数，且函数为单调递增函数，则单调递减函数，故为单调递减函数，D正确，故选：D地地城考点05定义法证明函数的单调性9．(24-25高一上·湖北“新高考联考协作体”·期末)已知函数是定义在上的奇函数.(1)求实数a，b的值；(2)判断并证明函数的单调性；(3)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)，(2)函数在上为单调递增函数；证明见解析(3)【分析】（1）由定义在R上的奇函数，可得和，解得a与b，检验可得所求值；（2）由指数函数的单调性可判断的单调性；（3）由的奇偶性和单调性，可得当时，，即恒成立，可得所求范围．【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以，即①；又因为，所以，即②，联立①②可得：，解得，代入①可得：，经检验，当，时，，满足题意.（2）由（1）可得：，下面证明函数在R上为单调递增函数.，，当时，，因为，且为R上的增函数，所以，则，所以，即，所以函数在R上为单调递增函数；（3）因为当时，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，由函数在R上为单调递增函数得：当时，，即恒成立，令，，则当即时，函数在上单调递增，所以，所以即或，所以；当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；当即时，函数在上单调递减，所以，所以，所以或，所以，综上，实数t的取值范围为.【点睛】关键点点睛：不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值问题，求最值的方法，常用单调性求最值，基本不等式求最值.10．(24-25高一上·湖北部分级示范高中·期末)已知函数为奇函数.(1)求m的值；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)函数在R上单调递增，证明见解析(3)【分析】（1）根据奇函数的定义列式，结合指数函数性质即可得解.（2）结合指数函数的单调性，利用单调性的定义证明即可.（3）根据函数为奇函数且单调递增，分离参数得在区间上恒成立，令，利用对勾函数的单调性求解最值即可得解.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，整理得，又，所以，所以.（2）设，且，则，因为，单调递增，所以，所以，，所以，即，所以函数在上单调递增.（3）因为函数为奇函数，所以，又因为在上单调递增，所以，即在区间上恒成立，令，因为在上单调递增，所以，由题意，得，所以a的取值范围为.11．(24-25高一上·湖北·期末)已知，函数为奇函数.(1)求的值；(2)判断的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.【答案】(1)(2)增函数，证明见解析(3)【分析】（1）法一：由奇函数的定义列出等式即可求解，法二：由，并验证即可求解；（2）由单调性的定义即可求证；（3）通过函数单调性、奇偶性去，求解即可；【详解】（1）解法一：因为为奇函数，所以，即，亦即，解得.解法二：因为为奇函数，所以，即，解得.此时，所以所以符合题意，故.（2）为增函数.证明如下：设且，则.因为，所以，即，故，所以为增函数.（3）原不等式即为.又由（1）可知为奇函数，所以.又由（2）可知为增函数，所以，即，解得.所以原不等式解集为.地地城考点06根据函数的单调性、奇偶性求参数值12．(24-25高一上·湖北武汉·期末)“”是“在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解.【详解】当在上单调递减，设任意，且，则，又，所以可得，故“”是“在上单调递减”的充要条件，故选：C13．(24-25高一上·湖北荆州八县·期末)已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围.【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数，∵函数区间上单调递减，∴，解得，∴a的取值范围是.故选：D.14．(24-25高一上·湖北荆州八县·期末)若函数在上单调递减，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，函数单调递减，列不等式方程组，求解即可.【详解】由题意可知，函数在上为减函数，则，函数在上为减函数，且有，则有，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.15．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件可得函数在R上单调递增，再结合分段函数及对数函数的单调性列式求解.【详解】由对任意的，恒成立，得函数在R上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：C16．(24-25高一上·湖北恩施州高中教育联盟·期末)已知函数且且，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件构造新函数得到它在上是增函数，再利用分段函数的单调性列式求解即可.【详解】因为且，不妨设，则，则，所以，令函数则为上的增函数，则解得.故选：D.17．(24-25高一上·湖北武汉·期末)已知定义在上的函数.(1)若，求的值域；(2)是否存在，使是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)存在(3)【分析】（1）当时，利用指数函数的性质即可得出值域；（2）根据函数为奇函数利用求，再检验即可；（3）根据函数为减函数，利用单调性定义转化为成立，再由指数函数单调性得解.【详解】（1）当，，设，则，因为，所以，所以，即的值域是，（2）若是定义在上的奇函数，则，即，所以，即，此时，，所以，所以存在，使为奇函数.（3）因为在上的单调递减，设，且，则，即，因为，所以，因为，所以因为，所以只需即，因为，所以.【点睛】关键点点睛：函数变形时，需要对指数的运算熟练且变形能力强，对运算能力要求较高.地地城考点07根据函数的单调性、奇偶性解不等式18．(24-25高一上·湖北武汉·期末)已知函数.(1)若，求的值；(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得a的方程，解方程即可得解；（2）由函数的单调性得不等式组5x−1+1>0【详解】（1）因为，所以，即，因为，所以，（2）因为，不等式，所以，即①，因为在上单调递减，所以①等价于，由②得，解得，由③得，解得，取交集得不等式的解集是.19．(24-25高一上·湖北“新高考联考协作体”·期末)已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可得，不等式可变形为，结合单调性可解不等式.【详解】因为为奇函数，所以，即，于是，不等式可转化为，因为是定义在上的单调递增函数，所以，解得：，故选：B.20．(24-25高一上·湖北部分级示范高中·期末)已知函数，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，则，可知为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围.【详解】令，因为所以的定义域为，则，又，，所以，所以为奇函数；在上为增函数，在上为增函数，又也为增函数，所以根据函数的单调性的性质可得在上为增函数；等价于，即，则解得：或，即关于x的不等式的解集为.故选：D21．(24-25高一上·湖北武汉·期末)已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性解不等式得，解该不等式即可得解.【详解】因为对任意的，都有，，且，所以，且，设任意，则，则，又，所以，若，则当时，，则，矛盾，所以，所以，所以函数是单调递减函数，所以不等式等价于，所以，故即，解得.所以不等式的解集是.故选：D【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是巧妙赋值求出求出和，关键2是由所给条件结合单调性定义求出函数是单调递减函数.22．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知是奇函数.(1)求实数；(2)若，求的取值范围；(3)若存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由奇函数定义域为，所以求解即可；（2）由（1）可知，在上单调递减，求解不等式即可；（3）存在性问题分离参数，令，则，转化为求解函数的最小值即可.【详解】（1）的定义域为：.由于是奇函数，所以，解得.经检验成立.（2）由（1）可知，若，则，且，，即，由在上单调递减，所以，所以的取值范围为.（3）存在使得成立，即成立，所以，令，，因为，所以，令，则即可.所以在单调递增，所以，所以.故实数的取值范围为：23．(24-25高一上·湖北荆州中学·期末)已知函数（，，）是定义在上的奇函数.(1)求和实数b的值；(2)当时，若满足，求实数t的取值范围；(3)若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？【答案】(1)，(2)(3)存在【分析】（1）直接代入计算出，由奇函数的定义求出值；（2）利用奇函数的性质变形不等式，再由单调性化简后求解；（3）假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立，利用奇偶性单调性变形化简不等式转化为二次不等式恒成立（注意定义域），分别求解后求交集得出．【详解】（1）依题意，，又是上的奇函数，则，即，亦即，整理得，于是，而，所以.（2）由（1）知，，显然函数在上单调递减，由奇函数性质及，得，当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，不等式化为，解得，（3）假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立，即恒成立，当时，由（2）知函数在上单调递增，不等式化为，整理得，于是有对任意恒成立，则，当时，，因此；有对任意恒成立，设，①当时，函数的图象开口向上，对称轴，（i）当，即时，必有，则；（ii）当，即时，在上恒成立，则；（iii）当，即时，在上恒成立，则；②当时，，不满足在上恒成立，综上得且，所以存在使得对定义域内的一切，都有恒成立.24．已知，其中为奇函数，为偶函数．(1)求与的解析式；(2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；(3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用函数的奇偶性，构成方程组即可求解；（2）由已知，对于任意的实数，成立，即，即转化为求函数最小值，即可求得实数的取值范围；（3）由（1），可得，由存在，，即可求得实数的取值范围．【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数，则，即②，①②,得，.（2）因为单调递增，单调递增，所以单调递增，因为，所以，整理得对于任意的成立，则，令，则，当且仅当，即时取等号，所以.（3）由（1）知，，则令，则原式，则原题目转化为存在，使得成立，当，成立，当时，，综上，.地地城考点08函数的图象及判断25．(24-25高一上·湖北·期末)函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项.【详解】易知函数的定义域为，因为，所以，函数为奇函数，排除D.又当时，，则，排除C.又，排除B.故选：A.26．(24-25高一上·湖北“新高考联考协作体”·期末)函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断.【详解】函数的定义域为，则，函数为偶函数，排除BD；又当时，，而，，则，排除C，选项A符合要求.故选：A27．(24-25高一上·湖北恩施州高中教育联盟·期末)已知函数，则函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案.【详解】，所以AD选项错误，，所以C选项错误.综上所述，B选项正确.故选：B地地城考点09比较函数值的大小关系28．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知为偶函数，且在内单调递增，进而根据函数性质分析判断.【详解】因为的定义域为，且，可知为偶函数，则，又因为当时，在内单调递增，且，，可知，所以.故选：D.29．(24-25高一上·湖北恩施州高中教育联盟·期末)已知函数的定义域为，，当时，恒有.若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析条件可得为奇函数且为上的增函数，根据奇函数可得，结合自变量的大小可得答案.【详解】令，则，∴.令，则，∴，故为奇函数.当时，，∵当时，恒有，∴，即，∴为上的增函数.∵，且，∴，即.故选：B.地地城考点10函数性质的综合应用30．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对于函数为偶函数，表明函数的图象关于直线对称.对于函数为奇函数，表明函数的图象关于点对称.然后利用函数的对称性和奇偶性的性质来分析选项中的函数值是否为.【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，即，所以，.又因为为奇函数，所以，且，所以即的图象关于点对称，.所以，无法确定，故A正确，BCD无法判断.故选：A.31．已知函数，则（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以.故选：D.32．（多选）对都有，且．则下列说法正确的是（

）A．B．为偶函数C．D．【答案】BC【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法与奇偶函数的定义可判断B；利用赋值法与为偶函数可判断C；利用周期为2，，，计算即可判断D，从而得解.【详解】对于A，因为，令，，则，又，所以，令，则，即，所以，故A错误；对于B，因为函数的定义域为，令，得，所以，所以为偶函数，故B正确；对于C，令，又，则，则，则，两式相减得，又为偶函数，即，所以，故C正确；对于D，由C知，则周期为2，，又，所以，故D错误.故选：BC.33．(24-25高一上·湖北·期末)（多选）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．C．为减函数 D．为奇函数【答案】ABD【分析】由条件等式取，可求，取，可求，取，求，判断A，取，判断B，结合减函数定义及的大小判断C，取，结合奇函数定义判断D.【详解】因为，，令，可得，则，令，可得，则.对于A选项：令，可得，所以A正确；对于B选项：令可得，所以B正确；对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误；对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称，令，可得，所以，所以为奇函数，所以D正确.故选：ABD.34．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)（多选）设函数，其中符号表示不超过的最大整数，下列结论正确的是（

）A．函数是周期函数 B．函数的最大值为2C． D．时，【答案】AD【分析】根据的定义，结合三角函数的有界性，即可求解BD,计算即可求解A，举反例即可求解C.【详解】对于A，由于，故是周期函数，故A正确，对于B，由于，故，同理可得，由于不能同时取到1，故，B错误，对于C，，，但，故C错误，对于D,当时，，当时，，当时，，故时，，D正确，故选：AD【点睛】关键点点睛：根据，故，.35．(24-25高一上·湖北恩施州高中教育联盟·期末)（多选）已知函数，则下列选项正确的是（

）A．若，则函数的最小值为0 B．若且，则C．函数的图象关于点中心对称 D．若是的三边，则【答案】ABD【分析】利用基本不等式判断AB；利用函数定义域不对称判断C；利用函数单调性、结合放缩法与作差法判断D.【详解】对于A，当时，函数，当且仅当1，即时，等号成立，所以函数的最小值为0，故A选项正确；对于B，由，得，即（当且仅当4时，等号成立），故B选项正确；对于C，由的定义域为且，可知的定义域不关于点对称，所以函数的图象不关于点中心对称，故C选项错误；对于D，在上单调递增，是的三边，则，，所以，故D选项正确.故选：ABD.36．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)（多选）已知函数，下列说法中正确的是（

）A．不是周期函数 B．在上是单调递增函数C．在内有两个零点 D．为奇函数【答案】BCD【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：令可得，即可得结果；对于D：可证，结合奇函数的定义分析判断.【详解】对于选项A：因为，所以是周期函数，故A错误；对于选项B：因为在内单调递增，在内单调递减，且在定义域内单调递增，可知在内单调递增，在内单调递减，所以在内单调递增，故B正确；对于选项C：令，则，可得，即，因为，可得或，所以在内有两个零点，故C正确；对于选项D：因为，可得，所以为奇函数，故D正确；故选：BCD.37．(24-25高一上·湖北部分级示范高中·期末)已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为．【答案】【分析】根据已知利用正弦函数图象与性质、函数的周期性作出函数图象，结合函数图象进行求解即可.【详解】由得，当时，，故当时，，当时，，当时，，依次类推，又函数的定义域为R，所以函数的大致图象为因为，，所以，，所以由，可得，当时，由的，所以对任意，都有，得实数的取值范围为，则实数的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦函数的图象与性质及恒成立的应用，解答本题的关键是利用法则画出函数图象，正确理解函数法则是解决本题的关键.地地城考点11函数新定义38．(24-25高一上·湖北恩施州高中教育联盟·期末)函数称为Gauss函数，表示不超过实数的最大整数，例如：，.若函数，则.【答案】【分析】根据题中定义求出的值，即可求得的值.【详解】因为，所以；，.故答案为：.39．(24-25高一上·湖北·期末)给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知.（1）；（2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由定义即可求解第一空，结合新定义，画出函数图像，构造不等式求解即可解决第二空；【详解】因为，所以，所以；，画出的图象，要使方程恰有5个实数根，结合图像可知，，解得.故答案为：；40．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为.【答案】【分析】根据“互倒函数”可以求出函数在上的解析式，将，，使得转化为函数与函数值域的包含问题，对进行分类讨论即可求解.【详解】因为当时，且为“互倒函数”，故当时，，当时，在上为增函数，且在上的值域为，而在上的值域为，而，故且，所以，其中，所以，而，故，所以因为，由双勾函数的性质可得为减函数，，所以，所以.当时，在上的值域为，而在上的值域为，同理，若，则，故即，故，而，且；若，则，故即，故，而，且；综上，故答案为：.【点睛】思路点睛：对于新定义问题，应根据新定义寻找函数值域的对应的关系，在关系处理的过程中，注意根据值域的不同形式分类讨论.41．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)（多选）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（

）A．所有偶函数都具有性质B．具有性质C．若，则一定存在正实数，使得具有性质D．已知，若函数具有性质，则【答案】ABD【分析】利用性质可判断A；利用基本不等式结合性质可判断B；根据函数的值域可判断C；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断D.【详解】对于选项A：设函数是定义在上的偶函数，则，可得，所以所有偶函数都具有性质，故A正确；对于选项B：因为，当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，故对任意的，，所以具有性质，故B正确；对于选项C：因为，且函数的值域为，所以不存在实数，使得，故C错误；对于选项D：因为，因为，，，则，则，可得，即，则，要使得恒成立，则，又因为，则，所以，若函数具有性质，则，故D正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.42．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，…使得（其中i=1，2，…，n），则称为的“n重覆盖函数”.若为的“2025重覆盖函数”，则正实数ω的取值集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先计算的值域，再根据“2025重覆盖函数”函数定义，列等式求解即可.【详解】由，令，，因为，所以，所以，所以，若为的“2025重覆盖函数”，所以恰好存在2025个不同的实数，…，使得，因为，所以，所以有2025个，所以由正弦函数性质得，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对正弦函数周期及值域的应用.43．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”.(1)分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由；(2)若函数为“函数”，，且当时，，证明：（i），；（ii），.【答案】(1)不是“函数”，是“函数”(2)（i）（ii）证明见解析【分析】（1）对举反例即可，利用作差法结合因式分解并利用指数函数性质即可判断；（2）（i）令，，不断迭代即可证明；（ii）根据并结合，再根据其定义性质即可证明.【详解】（1）对于，取，则，.因为，不满足，故不是“函数”；对于，对任意的正数，，有，因为，则，所以函数是“函数”.（2）（i）令，，，.（ii）因为当时，，所以对任意，有，又，则，又，所以，由（i）知，则，所以，则，故.【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用是令，，再通过不断迭代即可证明.44．某小组为了加深奇函数的理解，讨论提出了“局部奇函数”和“广义奇函数”两个概念：①若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”；②函数的定义域为，如果存在实数使得对任意满足且的实数恒成立，则称为“广义奇函数”．(1)若，判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2)判断函数是否为“广义奇函数”，如果是，求出对应的实数，如果不是，请说明理由；(3)已知实数，对于任意的实数，函数都是定义域为的“局部奇函数”，求实数的取值范围．【答案】(1)为局部奇函数，理由见解析(2)是“广义奇函数”，(3)【分析】（1）利用局部奇函数的定义列式求解并判断.（2）利用广义奇函数的定义计算，进而确定值即可.（3）利用局部奇函数的定义列式，整理得在上有解，再确定函数的值域，借助集合的包含关系求解.【详解】（1）函数的定义域为，由局部奇函数定义，得，即，解得，而，所以为局部奇函数.（2）假设函数是“广义奇函数”，，令，解得，此时，，所以是“广义奇函数”，且．（3）由，得在上恒成立，由对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，得对于任意的在上有解，即在上有解，整理得：在上有解，因此的值域是的值域的子集，由，得的值域是，令，则，在上单调递减，则当时，，当时，，因此，解得：，所以实数的取值范围.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.45．(24-25高一上·湖北恩施州高中教育联盟·期末)中国桥梁建筑的奇迹——四渡河大桥位于湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县，该桥主桥是一座特大单跨双铰钢桁架加劲梁悬索桥，两座桥墩之间的钢索构成的曲线形态在数学上被称为悬链线，悬链线在建筑和工程等领域有着广泛的应用.悬链线是生活中常见的一种曲