内蒙古自治区呼和浩特市第四中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年内蒙古呼和浩特四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路.下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.当p2<4q时，方程xA.有两个相等的实数根 B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根 D.以上结论都不对3.甲、乙两个二次函数分别为y=(x+10)A.当x=10时，甲有最大值 B.当x=10时，甲有最小值

C.当x=204.如图，圆O的直径CD=20cm，AB是圆O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OA.91cm

B.8cm

C.16cm

5.若点(−1,y1)，(2,A.y3>y2>y1 B.6.广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(

)A.2500(1+x)2=9100 7.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于AA.x=−1或x=3

B.x=−1且x=3

8.如图，在△ABC中，∠BAC=45∘，AB=3，AC=2，将△ABCA.5

B.22

C.4二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2−410.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.若∠CAD=41

11.若一元二次方程x2+3x−5=0的两根为x112.如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5∘.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH13.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2−2x+2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC14.飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y=三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题6分)

解方程：

(1)x2−4x−2116.(本小题7分)

平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2ax+1−a(a为常数)的顶点为A.

(1)当抛物线经过点(1,17.(本小题7分)

如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.

(1)现要围成面积为45m2的花圃，则AB的长是多少米？

(2)18.(本小题7分)

请阅读下列材料：

已知方程x2+x−3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2，

把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−3=0.

化简，得y2+2y−1219.(本小题7分)

如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且AE=DE，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G.

(1)证明：GF是⊙20.(本小题7分)

综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题.

【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决.

【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%生长素浓度x(标准单位00.611.722.52.733.344.2发芽率y35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点.

说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率；

②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；

③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验.

【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：

(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；

21.(本小题7分)

求证：任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.(要求自行画草图，写出已知、求证再证明)22.(本小题10分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2bx.

(1)当抛物线过点(2,0)时，求抛物线的表达式；

(2)求这个二次函数的对称轴(用含b的式子表示答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A.该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B.该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C.该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D.该图是中心对称图形，故此选项符合题意．

故选：2.【答案】B

【解析】解：∵Δ=p2−4q，

而p2<4q，

∴Δ<0，

∴方程无实数根．

故选：B.

先计算根的判别式得到Δ3.【答案】C

【解析】解：∵二次函数y=(x+10)2+30中，a=1>0，

∴当x=−10时，甲有最小值，

∴A、B错误；

∵二次函数y=−(x−20)2+4.【答案】C

【解析】解：连接OA，

∵⊙O的直径CD=20cm，

∴⊙O的半径为10cm，

∴OA=OC=10cm，

又∵OM：OC=3：5，

∴OM=6cm，

∵AB⊥CD，

∴AM=BM，5.【答案】A

【解析】解：由抛物线解析式可知二次函数开口向上，对称轴为y轴，距离y轴越远函数值越大，

∴y3>y2>y16.【答案】A

【解析】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，

根据题意得：2500(1+x)2=9100.

故选：A.

设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，根据今年7.【答案】A

【解析】解：∵y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)两点，

8.【答案】D

【解析】解：过C作CF⊥AB于F，如图：

∵∠BAC=45∘，

∴△ACF是等腰直角三角形，

∴AF=CF=AC2=22=1，

∵AB=3，

∴BF=AB−AF=3−1=2，

∴BC=CF2+BF2=19.【答案】y=【解析】解：由题知，

将抛物线y=x2−4向右平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为y=(x−2)10.【答案】82∘【解析】解：∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC//AD，

∴∠ACO=11.【答案】3

【解析】解：由题知，

因为一元二次方程x2+3x−5=0的两根为x1，x2，

则x1+x2=−3，x12.【答案】43

【解析】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5∘，

∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47∘，

∵G13.【答案】1

【解析】解：∵y=x2−2x+2=(x−1)2+1，

∴抛物线的顶点坐标为(1,1)，

∵四边形ABCD为矩形，

∴BD=AC，AC⊥x轴，

∴AC的长等于点A的纵坐标，

当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为114.【答案】750m

【解析】解：∵y=60t−65t2=−65(t−25)2+750，

∴当t15.【答案】(1)x1=−3【解析】解：(1)x2−4x−21=0，

(x+3)(x−7)=0，

则x+3=0或x−7=0，

所以x1=−3，x16.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+2ax+1−a经过点(1,2)，

∴−1+2a+1−a=2，

解得a=2，

∴2a=4，1−a=【解析】(1)将(1,2)代入y=−x2+2ax+1−a，得−1+2a17.【答案】解：(1)设花圃的宽AB为x米，则BC=(24−3x)米，

x(24−3x)=45，

解得：x1=3，x2=5，

当x=3时，24−3x=15，不符合题意，

当x=518.【答案】解：(1)设所求方程的根是y，则y=−x，所以x=−y，

把x=−y代入x2+x−2=0，

得y2−y−2=0，

故答案为：y2−y−2=0；

(2)设所求方程的根是y，则y=1x，

所以x=1y，

把【解析】(1)根据题意，设所求方程的根是y，则y=−x，所以x=−y，然后把x=−y代入原方程，化简可求；

(2)根据题意，设所求方程的根是y，则y=1x，所以x=1y，然后把19.【答案】解：(1)如图，连接OE，

∵AE=DE，

∴∠1=∠2，

∵OB=OE，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OE//BF，

∵BF⊥GF，

∴OE⊥GF【解析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．

(1)连接OE，由AE=DE知∠1=∠2，由∠2=∠3可证OE/20.【答案】二次函数的解析式为y=−7x2【解析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，

设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

将(0,35)，(1,56)，(2,63)代入得，

c=35a+b+c=564a+2b+c=63，

解得a=−7b=28c=35，

∴该二次函数的解析式为y=−7x2+28x+35；

(221.【答案】已知：设⊙O的直径为AB，直线AB为直线l；

求证：直线l是⊙O的对称轴；

证明：设P为⊙O上任意一点，作P关于直线l的对称点P′，

∵直线l是直径AB所在的直线，

∴圆心O在直线l上(直径的中点为圆心)，

∵P′是P关于直线l的对称点，

∴直线l垂直平分线段PP′，

∴OP=OP′=半径，

∴P′在⊙O上，

∵【解析】解：已知：设⊙O的直径为AB，直线AB为直线l；

求证：直线l是⊙O的对称轴；

证明：设P为⊙O上任意一点，作P关于直线l的对称点P′，

∵直线l是直径AB所在的直线，

∴圆心