2025-2026学年福建省厦门市同安区八年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年福建省厦门市同安区八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛.下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.同安银湖大桥全长约为901米，是连接同安老城与城南片区的交通要道.其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形设计来确保这座长约为九百米的大桥的稳固安全.这么做的依据是(

)A.三角形的内角和是180∘ B.外形美观

C.三角形具有稳定性 D.3.如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是(

)A. B.

C. D.4.如图，O是△ABC的重心.若△ABC的面积是6，则阴影部分的面积的和是(

)A.2

B.3

C.4

D.65.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AB=10.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P、连接AP并延长，交BC于点D.若CD=3，则△ABD的面积是

A.30 B.20 C.15 D.106.在△ABC中，∠B=36∘，2∠A=3∠B，则这个三角形的形状是(

)A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形7.如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB=10，AC=4，BC=9，则△BDE的周长是(

)A.13

B.15

C.17

D.不能确定8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，BC//x轴.若A(1,4)，B(m,1)，C(m+6,n)，则点C的坐标为(

)A.(1,5)

B.(4,1)

C.(5,1)

D.(6,1)9.根据下列已知条件，能组成△ABC并确定它的形状和大小的是(

)A.∠A=30∘，∠B=60∘，∠C=90∘

B.AB=5cm，AC=3cm，∠B=30∘

C.AC=3cm，AB=5cm，10.如图，点D在线段BC上，点E在射线BA上，连接DE，以DE为边向右作等边△DEF，连接CF.点E从点B出发，沿BA方向运动，CF长度的变化规律是(

)A.不变

B.一直变小

C.先变大后变小

D.先变小后变大

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.计算：9=______.12.已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为

.13.如图，上午6时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，8时到达海岛B处.分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC=40∘，∠NBC=80∘.则海岛B与灯塔C的距离是

14.如图，△ABC≌△DBE，点D在AC边上，若∠A=70∘，则∠CDE的度数为

.

15.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交的锐角为40∘，则∠B的度数为

.16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∠B=30∘，AC=2，点D为BC中点，AE平分∠BAC.点M，N在线段AE，AB上运动.连接MD，MN.当MD+MN的值最小时，AN=

三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算|−3|+18.(本小题8分)

解方程组

x+2y=53x−y=1.19.(本小题8分)

如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD.求证：∠B=∠D.20.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(3,4)，B(1,2)，C(5,1).

(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，其中点A的对称点是A′，点B的对称点是B′.点C的对称点是C′.

(2)点P(3,a)是△ABC内部一点，点P在△A′B′C′内部的对应点是点Q.若△OPQ的面积为6，求a的值.21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD，垂足为F，∠B=40∘，∠ACE=70∘.22.(本小题10分)

如图，在△ABC中，点D在AC上，且AB=AD.

(1)尺规作图：在BC上求作一点P，使BP=DP(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，连接PD，∠B=2∠C，求证：BP=CD.23.(本小题12分)

材料一：

如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60∘，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的斜等线段，也称这两条线段互为斜等线段.

例如：下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60∘，AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的斜等线段.

材料二：

在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.如果两条边不等，那么他们所对的角也不等，大边所对的角较大.反过来，大角所对的边较大.(此结论可在本题解决问题时直接应用)

例如：如图，

在△ABC中，如果AB>AC，那么∠C>∠B.

在△ABC中，如果∠C>∠B，那么AB>AC.

请你利用上面的材料解决下面的问题：

(1)如图1，在四边形ABCD中，AB<BC.连接AC，BD，线段AC与BD相交于O，点O是AC，BD的中点.若AC与BD互为斜等线段，求∠ACB的度数.

(2)如图2，在四边形ABCD中，AD//BC且BC⊥CD，连接BD，∠ADB=60∘.点E在线段CD上，过点E作EF⊥BD交线段BD于点F.当CE=EF时，线段BC是线段BF的斜等线段吗？请说明理由.

(3)如图3，点C在线段AB上(不与点A重合)，点D在直线AB下方.线段AB和CD互为斜等线段.请说明当线段AD最长时点C的位置，并求出此时∠ADC的度数.

24.(本小题14分)

在平面直角坐标系中，点A，B均为y轴上的点，点C在第一象限，AB=BC，∠ABC=90∘，B(0,3)，点D是线段BC上一点，连接AD.

(1)如图1，若∠BAD=30∘，AD=6.求点D的坐标；

(2)如图2，A(0,−7)，过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接EC，EC经过点O.求线段BD的长度；

(3)如图3，点F为AD上一点(不与点A，D重合)，过点B作BG⊥BF，且BG=BF，点H为AF中点.连接BH，CG，判断并证明线段BH与CG的数量关系.

参考答案1.【答案】A

【解析】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；

B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；

C、该图形不是轴对称图形，符合题意；

D、该图形不是轴对称图形，符合题意，

故选：A.

2.【答案】C

【解析】解：∵其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形设计来确保这座长约为九百米的大桥的稳固安全，

∴其数学依据是三角形具有稳定性．

故选：C.

3.【答案】A

【解析】解：A、作的是BC边上的高，此选项符合题意；

B、三角板未过A点，故作的不是高，此选项不符合题意；

C、作的是AC边上的高，此选项不符合题意；

D、作的是AB边上的高，此选项不符合题意．

故选：A.4.【答案】D

【解析】解：∵O是△ABC的重心，

∴AD，BE，CF是△ABC的中线，即点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，

∴OD，OE，OF是△BOC，△AOC，△AOB的中线，

∴S△BOD=12S△BOC，S△COE=12S△AOC，S△AOF=12S5.【答案】C

【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，

由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线，

∵∠C=90∘，

∴DE=CD=3，

∴△ABD的面积是12AB⋅DE=6.【答案】A

【解析】解：∵在△ABC中，∠B=36∘，2∠A=3∠B，

∴∠A=32∠B=32×36∘=54∘，

【解析】解：∵点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，AB=10，AC=4，BC=9，

∴AD=DE，AC=CE，

∴BE=BC−CE=9−4=5，

∴△BDE的周长=BD+DE+BE=AB+BE=10+5=15.

故选：B.

8.【答案】B

【解析】解：过点A作AE⊥x轴，交BC于点D，

∵A(1,4)，B(m,1)，

∴D(1,1)，由等腰三角形可知BD=CD，

∴C(2+m,1)，

又∵C(m+6,n)

∴C点坐标是(4,1)，

故选：B.9.【答案】D

【解析】解：A、∠A=30∘，∠B=60∘，∠C=90∘，△ABC的形状能确定，大小不能确定，故A选项不符合题意；

B、AB=5cm，AC=3cm，∠B=30∘，△ABC的形状和大小不能确定，故B选项不符合题意；

C、AC=3cm，AB=5cm，BC=9cm，AC+AB<BC，不能组成三角形，故C选项不符合题意；

D、AB=6cm，BC=7cm，∠A=90∘，利用“HL”可判断△ABC是唯一的，故【解析】解：如图，在BD的上方作等边三角形DBT，作射线TF.

∵△BDT，△DEF都是等边三角形，

∴∠BDT=∠EDF=60∘，DB=DT，DE=DF，

∴∠BDE=∠TDF，

∴△EBD≌△FTD(SAS)，

∴∠DBE=∠DTF=定值，

∴点F的运动轨迹是射线TF，

观察图形可知，CF的值先变小后变大，

故选：11.【答案】3

【解答】

解：9=3.

12.【答案】17

【解析】解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．

②当底边是3，腰长是7时，3+7>7，能构成三角形，则其周长=3+7+7=17.

故答案为：17.

13.【答案】30

【解析】解：由题意得：

AB=(8−6)×15=2×15=30(海里)，

∵∠NBC是△ABC的一个外角，∠NAC=40∘，∠NBC=80∘，

∴∠C=∠NBC−∠NAC=40∘，

∴∠C=∠NAC=40∘，

∴AB=BC=30海里，

∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．【解析】解：∵△ABC≌△DBE，

∴AB=DB，∠BDE=∠A=70∘，

∴∠ADB=∠A=70∘，

∴∠CDE=180∘15.【答案】65∘或25【解析】解：当△ABC为锐角三角形时，

如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，

∵∠ADE=40∘，DE⊥AB，

∴∠A=90∘−40∘=50∘，

∵AB=AC，

∴∠B=12(180∘−∠A)=65∘；

当△ABC为钝角三角形时，

如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，

∵∠ADE=40∘，DE⊥AB，

∴∠DAB=50∘，

∵AB=AC，

16.【答案】1

【解析】解：作DN′⊥AC于点N′，交AE于点M，作MN⊥AB于点N，则∠ANM=∠AN′M=90∘，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

又∵AM=AM，

∴△AMN≌△AMN′(AAS)，

∴AN=AN′，MN=MN′，

∴DM+MN=DM+MN′=DN′，

即此时MD+MN的值最小，

∵∠BAC=90∘，∠B=30∘，AC=2，

∴∠C=60∘，BC=4，

∴∠CDN′=30∘，

∵点D为BC中点，

∴CD=2，

∴CN′=1，

∴AN′=1，

∴AN=1，

故答案为：1.

作DN′⊥AC于点N′，交AE于点M，作MN⊥AB于点N，此时MD+MN的值最小，易得△AMN≌△AMN′，则AN′=AN，求得CN′的长度即可求得AN′的长度，也就是AN的长度．

17.【答案】−6.

【解析】解：原式=3−3−6

=0−6

=−6.

利用绝对值的性质，立方根的定义计算后再算乘法，最后算加减即可．

本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18.【答案】解：{x+2y=5①3x−y=1②，

②×2得：6x−2y=2③，

①+③得：7x=7，

解得：x=1，

把x=1代入②得：3−y=1，

解得：y=2，

方程组的解为【解析】首先用②×得：6x−2y=2③，再①+③可消掉未知数y，解出x的值，再把x的值代入②可得y的值，进而可得方程组的解．

此题主要考查了二元一次方程组的解法，关键是掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解．19.【答案】证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

在△ABC和△ADC中，

AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC，

∴△ABC≌△ADC(SAS)，

【解析】首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等，进而可得结论．

此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找准能使三角形全等的条件．20.【答案】(1)

(2)a=2

【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．

(2)由题意得，点Q的坐标为(3,−a)，

∵△OPQ的面积为6，

∴12×[a−(−a)]×3=6，

解得a=2.

(1)根据轴对称的性质作图即可．

(2)由题意得，点Q的坐标为(3,−a)，则可得12×[a−(−a)]×3=6，求出a的值即可．21.【答案】∠E的度数是35∘【解析】解：∵在△ABC中，点E在BC的延长线上，∠B=40∘，∠ACE=70∘，

∴∠BAC=∠ACE−∠B=30∘，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=15∘，

∴∠ADE=∠B+∠BAD=55∘，

∵EF⊥AD，垂足为F，

∴∠DFE=90∘，

∴∠E=90∘−∠ADE=35∘，

22.【答案】(1)

(2)证明：∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB.

∵BP=DP，

∴∠BDP=∠DBP，

∴∠ABD+∠DBP=∠ADB+∠BDP，

即∠ABC=∠ADP=2∠C.

∵∠ADP=∠C+∠CPD，

∴2∠C=∠C+∠CPD，

∴∠C=∠CPD，

∴DP=CD，

∴BP=CD

【解析】(1)解：如图，连接BD，作线段BD的垂直平分线，交BC于点P，

则点P即为所求．

(2)证明：∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB.

∵BP=DP，

∴∠BDP=∠DBP，

∴∠ABD+∠DBP=∠ADB+∠BDP，

即∠ABC=∠ADP=2∠C.

∵∠ADP=∠C+∠CPD，

∴2∠C=∠C+∠CPD，

∴∠C=∠CPD，

∴DP=CD，

∴BP=CD.

(1)结合线段垂直平分线的性质，连接BD，作线段BD的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求．

(2)由题意得∠ABD=∠ADB，∠BDP=∠DBP，则可得∠ABC=∠ADP=2∠C.根据∠ADP=∠C+∠CPD，可得∠C=∠CPD，则DP=CD，即BP=CD.

本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.【答案】(1)30∘

(2)BC是BF的斜等线段，理由如下：如图所示，连接BE，

∵AD//BC，

∴∠DBC=∠ADB=60∘，

∵BC⊥CD，EF⊥BD，

∴∠C=∠BFE=90∘，

在Rt△BEF和Rt△BEC中，

CE=EFBE=BE，

∴Rt△BEF≌Rt△BEC(HL)，

∴BF=BC，

∴BC是BF的斜等线段

(3)当点C在点B时，【解析】解：(1)∵AB<BC，

∴∠AOB<∠BOC，

∵AC与BD互为斜等线段，

∴AC=BD，∠AOB=60∘，

∵点O是AC和BD的中点，

∴OB=12BD，OC=12AC，

∴OB=OC，

∴∠ACB=∠OBC，

∵∠AOB是△BOC的外角，

∴∠AOB=∠ACB+∠OBC=2∠ACB，

∴∠ACB=12∠AOB=30∘；

(2)BC是BF的斜等线段，理由如下：如图所示，连接BE，

∵AD//BC，

∴∠DBC=∠ADB=60∘，

∵BC⊥CD，EF⊥BD，

∴∠C=∠BFE=90∘，

在Rt△BEF和Rt△BEC中，

CE=EFBE=BE，

∴Rt△BEF≌Rt△BEC(HL)，

∴BF=BC，

∴BC是BF的斜等线段；

(3)①若∠ACD=60∘，当点C位于点B时，AD最长．

理由如下：在AB(不与点A，B重合)上取一点C”．使得∠AC′D′=60∘，AB=C′D，连接AD，AD′，

∵AB与CD互为斜等线段，

∴AB=CD，∠ACD=60∘，

∴△ACD是等边三角形，

∴AD=AB，∠CAD=60∘，

∵AB与C′D′互为斜等线段，

∴AB=C′D，∠AC′D′=60∘，

∴AD=C′D′，

∵在△AC′D中，∠D′AC′>∠CAD=∠AC′D′，

∴C′D′>AD′，

∴AD>AD′，

即∠ACD=60∘时，点C位于点B时，AD最长；

②若∠ACD=120∘，当点C位于点B时，AD最长．

理由如下：在AB(不与点A，B重合)上取一点C′.使得∠AC′D′=120∘，AB=C′D′，连接AD，AD′，延长BA至点A，使得A′C=AB，

∵AB与CD互为斜等线段，

∴AB=CD，∠ACD=120∘，

同理可得：AB=C′D′，∠AC′D′=120∘，

∴CD=C′D′，∠ACD=∠A′C′D′，

在△ACD和△AC′D′中，

AB=A′C′∠ACD=∠AC′D′CD=C′D′，

∴△ACD≌△AC′D′(SAS)，

∴AD=A′D′，

∵∠A′AD′是△AC′D′的外角，

∴∠A′AD′=∠AC′D′+∠AD′C′>120∘，

∵∠A′AD′>120∘，∠AA′D′>60∘，

∴∠A′AD′>∠C′A′D′，

∴A′D′>AD′，

∴AD>AD′，

即∠ACD=120∘时，点C位于点B时，AD最长；

③∠ACD1=120∘，∠ACD2=60∘，AB=CD1=CD2，比较AD1与AD2长度．

∵AB=CD2，∠ACD2=60∘，

∴△ACD2是等边三角形，

∴AD2=AB，

∴AD2=CD24.【答案】(1)D(3,3)

(2)4

(3)CG=2BH.

证明：延长BH至点I，使得HI=BH，

∵点H为AF中点，

∴AH=HF，

在△AHI和△FHB中，

AH=HF∠AHI=∠FHBHI=BH，

∴△AHI≌△FHB(SAS)，

∴AI=BF，∠I=∠HBF，

∴AI//