2026年中考数学常考考点专题之不等式与不等式组

第1页（共1页）2026年中考数学常考考点专题之不等式与不等式组一．选择题（共12小题）1．（2025•雁塔区校级模拟）不等式组x+1＜-x+5-A． B． C． D．2．（2025•肥东县校级三模）已知实数x，y满足2x﹣y+1＝0，0＜x+y＜1，则下列判断正确的是（）A．﹣1＜x＜0 B．13C．0＜2x+y＜1 D．13．（2025•叙州区校级模拟）三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（）A．8组 B．9组 C．10组 D．11组4．（2025•江安县模拟）某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打x折销售，利润率不能低于12%，根据题意列不等式为（）A．250x﹣150≥150×12% B．250⋅xC．250⋅xD．250x﹣150≥250×12%5．（2025•安徽模拟）若关于x的一元一次方程12﹣2x＝3k的解为正整数，且关于x的不等式组2x+3≥3x+42k+x3≤x无解，则符合条件的所有整数kA．2 B．3 C．4 D．56．（2025•新乡模拟）不等式组2x+5≥9-3x+7＞-2A． B． C． D．7．（2025•西安校级模拟）如果关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集是x＜﹣1，那么a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＞1 D．a＜08．（2025•息县模拟）若点A（m﹣4，1﹣2m）在平面直角坐标系中的第二象限，m的取值范围是（）A．m＜4 B．m＜12 C．19．（2025•浙江三模）对于实数a、b，规定一种运算“*”：a*b＝2a+b，那么不等式组2*x＞1x*3≤3A． B． C． D．10．（2025•朝阳区校级一模）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示（）A． B． C． D．11．（2025•宣城二模）已知非零实数a，b，c满足：a+b﹣c＝0，3b﹣2c+a＞0，则下列结论正确的是（）A．b＜a B．b-12c＞0 C．﹣b﹣c+3a＞0 D．5b﹣312．（2025•芦淞区模拟）数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A、B两点，分别表示4-x2和1﹣x，且点A在点B左侧，则下列数值中符合x取值范围的是（A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0二．填空题（共8小题）13．（2025•黑龙江一模）若不等式组5x-33+3＞xx≤a的整数解有四个，则a的取值范围是14．（2025•重庆模拟）若关于x的一元一次不等式组2x-4＞3x-23x-a≤2的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程2yy+1=ay+1-1的解为负整数，则所有满足条件的整数a15．（2025•仁寿县一模）若关于x的不等式组3x+1＞a-2(x+1)，2x-1≤1+x，恰有4个整数解，关于t的分式方程31-t-at-116．（2025•鼓楼区校级模拟）关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是．17．（2025•盐池县一模）关于x的不等式组x+5＞0x-m＞1的解集是x＞﹣5，则实数m的取值范围是18．（2025•渝中区校级模拟）定义：对于任意一个四位自然数m，若m满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“巳巳如意数”；将m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数m′，令F(m)=m-m'99，则F（7656）＝；将m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新数m″，令G(m)=m+m″101．若42G（m）﹣17F（m）被143除余110，且m″的千位数字大于百位数字，则满足条件的m的最大值为19．（2025•卫滨区校级三模）小明在解关于x的不等式组-12x-2＜-1，(1)■，(2)时，不小心把不等式组中的第（20．（2025春•清江浦区校级月考）若关于x，y的二元一次方程组x-y=3m-2x+3y=-4的解满足x+y＞0，则m的取值范围三．解答题（共5小题）21．（2025•遵义模拟）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；（2）有三个不等式：①3（x﹣1）＞x﹣7；②2x+1＞5；③6x+1322．（2025•东光县二模）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是﹣2，点B对应的数字是实数m，且AB＝10．（1）求实数m的值；（2）一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C，若AC+BC＞20，点C对应的实数为n，①点B在点C；（填“左侧”或“右侧”）②求n的取值范围．23．（2025•临川区二模）某校举行了“诵读红色家书，讲述英烈故事”的演讲比赛，并计划购买A，B两种奖品共30个．已知A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元．（1）若该校购买奖品共花费510元，求购买A种奖品的个数；（2）如果学校购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的25，求至少购买A24．（2025•福州模拟）“春节一一中国人庆祝传统新年的社会实践”于2024年12月4日正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为弘扬中华传统文化，在综合实践课上，老师计划组织学生编织A、B两款中国结.3个A款中国结比2个B款中国结多用绳12米，若编织1个A款中国结和2个B款中国结需用绳20米．（1）求编织1个A款中国结和1个B款中国结各需用绳多少米；（2）老师计划编织这两款中国结共30个，向学校申请了200米绳子，那么最多能编织多少个A款中国结？25．（2025•思明区校级二模）研究发现人的身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供，碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如表：分解的营养物质氧气消耗量/克二氧化碳生成量/克释放热量/千焦1克碳水化合物11.5151克脂肪3345请解答下列问题：（1）研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克．（2）已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟）

2026年中考数学常考考点专题之不等式与不等式组参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案BBBBACCBACB题号12答案A一．选择题（共12小题）1．（2025•雁塔区校级模拟）不等式组x+1＜-x+5-A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+1≤﹣x+5，得：x＜2，解不等式-12x≥1，得：x≤﹣在数轴上表示为，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．（2025•肥东县校级三模）已知实数x，y满足2x﹣y+1＝0，0＜x+y＜1，则下列判断正确的是（）A．﹣1＜x＜0 B．13C．0＜2x+y＜1 D．1【考点】解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】先由2x﹣y+1＝0得y＝2x+1，代入0＜x+y＜1求解不等式组，再逐个选项判断即可．【解答】解：∵2x﹣y+1＝0，∴y＝2x+1，∵0＜x+y＜1，∴0＜x+2x+1＜1，∴-1故A不符合题意；∴-2∴13∴13故B符合题意；∵2x+y＝2x+2x+1＝4x+1，-1∴-1故C不符合题意；∵x+2y＝x+2（2x+1）＝5x+2，-1∴13故D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了解不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．（2025•叙州区校级模拟）三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（）A．8组 B．9组 C．10组 D．11组【考点】一元一次不等式的应用．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为（x+1），（x+2），根据三个数之和小于33，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这样的正整数有9组．【解答】解：设三个数中最小的数为x，x+x+1+x+2＜33，∴x＜10，又∵x为正整数，∴x可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9，故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．4．（2025•江安县模拟）某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打x折销售，利润率不能低于12%，根据题意列不等式为（）A．250x﹣150≥150×12% B．250⋅xC．250⋅xD．250x﹣150≥250×12%【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】B【分析】打x折销售，利润率不能低于12%，据此列不等式即可．【解答】解：根据题意，得250⋅x故选：B．【点评】此题考查了列不等式．用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．5．（2025•安徽模拟）若关于x的一元一次方程12﹣2x＝3k的解为正整数，且关于x的不等式组2x+3≥3x+42k+x3≤x无解，则符合条件的所有整数kA．2 B．3 C．4 D．5【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】先解出方程的解和不等式组的解集，再根据题意即可确定k的取值范围，从而可以得到符合条件的整数，然后相加即可．【解答】解：2x+3≥3x+4①2k+x由不等式①，得：x≤﹣1，由不等式②，得：x≥k，∵关于x的不等式组2x+3≥3x+42k+x∴k＞﹣1，由方程12﹣2x＝3k，得x=12-3k∵关于x的一元一次方程12﹣2x＝3k的解为正整数，∴12-3k2＞0，得k由上可得，k的取值范围是﹣1＜k＜4，∵12-3k2∴k的整数值为0，2，∴符合条件的整数k的值的和为：0+2＝2，故选：A．【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出k的取值．6．（2025•新乡模拟）不等式组2x+5≥9-3x+7＞-2A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】C【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：2x+5≥9①解不等式①，得：x≥2，解不等式②，得：x＜3，∴不等式组的解集为2≤x＜3，其解集在数轴上表示如下，，故选：C．【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键．7．（2025•西安校级模拟）如果关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集是x＜﹣1，那么a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＞1 D．a＜0【考点】解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】运用不等式的基本性质求解即可．【解答】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集是x＜﹣1，∴1﹣a＜0，解得a＞1，故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．8．（2025•息县模拟）若点A（m﹣4，1﹣2m）在平面直角坐标系中的第二象限，m的取值范围是（）A．m＜4 B．m＜12 C．1【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】根据第二象限点的坐标特征得出不等式组，然后确定出m的范围即可．【解答】解：由条件可知：m-4＜解不等式①得：m＜4，解不等式②得：m＜不等式组的解集为：m＜故选：B．【点评】此题考查了解一元一次不等式组的解集以及点的坐标，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．9．（2025•浙江三模）对于实数a、b，规定一种运算“*”：a*b＝2a+b，那么不等式组2*x＞1x*3≤3A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；在数轴上表示不等式的解集．【专题】新定义；运算能力．【答案】A【分析】根据定义的新运算可得：4+x＞【解答】解：由题意得：4+x＞解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤0，∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤0，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．10．（2025•朝阳区校级一模）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示（）A． B． C． D．【考点】不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】C【分析】根据不等式的性质进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：物体A的质量m克的取值范围为：2＜m＜3，∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．11．（2025•宣城二模）已知非零实数a，b，c满足：a+b﹣c＝0，3b﹣2c+a＞0，则下列结论正确的是（）A．b＜a B．b-12c＞0 C．﹣b﹣c+3a＞0 D．5b﹣3【考点】解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】根据不等式性质进行变形即可得出结论．【解答】解：根据不等式性质及变形逐项分析判断如下：由a﹣b+c＝0，可得c＝b﹣a．代入3b﹣2c+a＞0中，3b﹣2（b﹣a）+a＝b+3a＞0，无法判断a与b的大小关系，故A选项不符合题意；由a﹣b+c＝0，得a＝c﹣b．代入3b﹣2c+a＞0中，得3b﹣2c+c﹣b＞0，2b﹣c＞0，则b-12c由于a＝c﹣b，则﹣b﹣c+3a＝﹣b﹣c+3c﹣3b＝﹣2（2b﹣c）＜0，故C选项不符合题意；由于a＝c﹣b，则5b﹣3c+a＝5b﹣3c+c﹣b＝2（2b﹣c）＞0，故D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查不等式．熟练掌握该知识点是关键．12．（2025•芦淞区模拟）数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A、B两点，分别表示4-x2和1﹣x，且点A在点B左侧，则下列数值中符合x取值范围的是（A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【考点】解一元一次不等式；数轴．【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．【答案】A【分析】根据题意得到4-x2＜1-x，解得x【解答】解：根据题意可知4-x2解得：x＜﹣2，∵﹣3＜﹣2∴x的值可以是﹣3，故选：A．【点评】本题考查了数轴，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．二．填空题（共8小题）13．（2025•黑龙江一模）若不等式组5x-33+3＞xx≤a的整数解有四个，则a的取值范围是1≤a【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】1≤a＜2．【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围．【解答】解：5x-33解不等式①得x＞﹣3，解不等式②得x≤a，∵不等式组有四个整数解，即为﹣2，﹣1，0，1，∴1≤a＜2，故答案为：1≤a＜2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围．14．（2025•重庆模拟）若关于x的一元一次不等式组2x-4＞3x-23x-a≤2的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程2yy+1=ay+1-1的解为负整数，则所有满足条件的整数【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣13．【分析】先解不等式组，然后根据不等式组的解集为x＜﹣2，可得2+a3≥-2，从而可得：a≥﹣8，再解分式方程可得y=a-13，从而根据分式方程的解为负整数，可得a-13＜0且a-13≠-1，进而可得﹣8≤a＜1且a≠﹣2【解答】解：2x-4＞解不等式①得：x＜﹣2，解不等式②得：x≤2+a∵不等式组的解集为x＜﹣2，∴2+a3≥-解得：a≥﹣8，2yy+12y＝a﹣（y+1），解得：y=a-1∵分式方程的解为负整数，∴a-13＜0且a-1∴a＜1且a≠﹣2，∴﹣8≤a＜1且a≠﹣2，∵分式方程的解为负整数，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣13，故答案为：﹣13．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．（2025•仁寿县一模）若关于x的不等式组3x+1＞a-2(x+1)，2x-1≤1+x，恰有4个整数解，关于t的分式方程31-t-a【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；分式方程的解．【专题】一次方程（组）及应用．【答案】﹣12．【分析】不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出a的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．【解答】解：3x+1＞由①得：x＞由②得：x≤2，∴不等式组的解集为a-35∵不等式组有解且最多有4个整数解，∴-2≤a-3解得：﹣7≤a＜﹣2，∵31-t分式方程去分母得3+a＝﹣2（1﹣t），解得：t=a+52，且t∴a≠﹣3，∵分式方程的解为整数，﹣7≤a＜﹣2，∴a＝﹣7或﹣5，则满足题意整数a之和为﹣7﹣5＝﹣12．故答案为：﹣12．【点评】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，掌握其相关知识点是解题的关键．16．（2025•鼓楼区校级模拟）关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是a＞1．【考点】解一元一次不等式．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】a＞1．【分析】由不等式的基本性质2：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．可判断a﹣1的符号，再求a的取值范围．【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＞1，∴a﹣1＞0，解得a＞1，故答案为：a＞1．【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解题的关键．17．（2025•盐池县一模）关于x的不等式组x+5＞0x-m＞1的解集是x＞﹣5，则实数m的取值范围是m≤【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】m≤﹣6．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，表示出不等式组的解集，据此得出关于m的不等式即可解决问题．【解答】解：由题知，解不等式x+5＞0得，x＞﹣5；解不等式x﹣m＞1得，x＞m+1，因为不等式组的解集是x＞﹣5，所以m+1≤﹣5，解得m≤﹣6．故答案为：m≤﹣6．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．18．（2025•渝中区校级模拟）定义：对于任意一个四位自然数m，若m满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“巳巳如意数”；将m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数m′，令F(m)=m-m'99，则F（7656）＝11；将m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新数m″，令G(m)=m+m″101．若42G（m）﹣17F（m）被143除余110，且m″的千位数字大于百位数字，则满足条件的m的最大值为【考点】一元一次不等式的应用；整式的加减．【专题】新定义；创新意识．【答案】（1）11；（2）8954．【分析】（1）求得m′的值，按照所给计算方法计算即可；（2）易得c＞d，根据a+c＝b+d可得a和b的最大值，分别得到G（m）和F（m）的值，进而根据42G（m）﹣17F（m）被143除余110，可得42G（m）﹣17F（m）﹣110能被143整除，即可判断出c的值，进而可得d的值，即可求得满足条件的m的最大值．【解答】解：（1）F（7656）=7656-656799（2）设m千位、百位、十位、个位数字为a，b，c，d（a≠0），∴a+c＝b+d，b＝a+c﹣d，∴m＝1000a+100b+10c+d，m″＝1000c+100d+10a+b，m′＝1000d+100c+10b+a∴G（m）=(1000a+100b+10c+d)+(1000c+100d+10a+b)101=10a+b+10c+d＝11aF（m）=(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)99=999a+90b-90c-999d99=∴42G（m）﹣17F（m）＝42（11a+11c）﹣17（11a﹣11d）＝462a+462c﹣187a+187d＝275a+462c+187d，∵42G（m）﹣17F（m）被143除余110，∴275a+462c+187d-110143∵m″的千位数字大于百位数字，∴c＞d，∵求m的最大值，a+c＝b+d，∴可猜测a＝8，b＝9，∵d＝a+c﹣b，∴275a+462c+187d-110=275a+462c+187(a+c-b)-110=462a-187b+649c-110=462×8-187×9+649c-110=1903+649c=44+77c∴44+77c143∴c取最大值为：5，∴d＝4，∴满足条件的m的最大值为8954．故答案为：8954．【点评】本题考查新定义的知识的相关应用．理解并应用新定义解决问题是解决本题的关键．难点是根据所给的条件判断出m十位上的数字．19．（2025•卫滨区校级三模）小明在解关于x的不等式组-12x-2＜-1，(1)■，(2)时，不小心把不等式组中的第（2）个不等式污损，若这个不等式组的解集中有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件（2【考点】一元一次不等式组的整数解；不等式的定义．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x+1＜3（答案不唯一）．【分析】求出不等式（1）的解集，再根据不等式组的解集中有三个整数解得出不等式（2）的解集，从而得出不等式（2）．【解答】解：解不等式（1）得：x＞﹣2，∵这个不等式组的解集中有三个整数解，∴不等式（2）的解集为x＜2，∴符合条件（2）的不等式为x+1＜3，故答案为：x+1＜3（答案不唯一）．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．20．（2025春•清江浦区校级月考）若关于x，y的二元一次方程组x-y=3m-2x+3y=-4的解满足x+y＞0，则m的取值范围m＞2【考点】解一元一次不等式；二元一次方程组的解．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】m＞2．【分析】将两个不等式相加，即可用含m的代数式表示出x+y，然后根据x+y＞0，即可得到m的取值范围．【解答】解：x-y=3m-2①①+②，得：2x+2y＝3m﹣6，∴x+y=3m-6∵x+y＞0，∴3m-62＞解得m＞2，故答案为：m＞2．【点评】本题考查解一元一次不等式、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，用含m的代数式表示出x+y．三．解答题（共5小题）21．（2025•遵义模拟）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；（2）有三个不等式：①3（x﹣1）＞x﹣7；②2x+1＞5；③6x+13【考点】解一元一次不等式；解一元二次方程﹣因式分解法；在数轴上表示不等式的解集．【专题】因式分解；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝3；（2）选择①和②，3(x-1)＞解得x＞∴不等式组的解集为：x＞2，选择①和③，3(x-1)＞解得x＞∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1，选择②和③，2x+1＞解得x＞∴不等式组无解，【分析】（1）因式分解法解方程即可；（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3；（2）选择①和②，3(x-1)＞解得x＞∴不等式组的解集为：x＞2，选择①和③，3(x-1)＞解得x＞∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1，选择②和③，2x+1＞解得x＞∴不等式组无解，【点评】本题考查解一元二次方程，求不等式组的解集，在数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握解一元二次方程的方法，解不等式的步骤，是解题的关键：22．（2025•东光县二模）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是﹣2，点B对应的数字是实数m，且AB＝10．（1）求实数m的值；（2）一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C，若AC+BC＞20，点C对应的实数为n，①点B在点C左侧；（填“左侧”或“右侧”）②求n的取值范围．【考点】一元一次不等式的应用；实数与数轴．【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）8；（2）①左侧；②n＞13．【分析】（1）根据题意，结合数轴得m＝﹣2+10＝8即可；（2）①通过分析当点C位于线段AB上时，AC+BC＝AB＝10，不符合题意，从而确定点C位于线段AB的延长线上；②根据AC+BC＞20，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）由题意得：m＝﹣2+10＝8，答：实数m的值为8；（2）①当点C位于线段AB上时，AC+BC＝AB＝10，不符合题意，∴点C位于线段AB的延长线上，即点B在点C左侧，故答案为：左侧；②由点C对应的实数为n，且点B在点C左侧，则AC＝n﹣（﹣2），BC＝n﹣8，∵AC+BC＞20，∴n﹣（﹣2）+n﹣8＞20，解得：n＞13．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及实数与数轴，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．23．（2025•临川区二模）某校举行了“诵读红色家书，讲述英烈故事”的演讲比赛，并计划购买A，B两种奖品共30个．已知A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元．（1）若该校购买奖品共花费510元，求购买A种奖品的个数；（2）如果学校购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的25，求至少购买A【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）购买A种奖品12个；（2）至少购买A种奖品9个．【分析】（1）设购买A种奖品x个，则购买B种奖品（30﹣x）个，然后列出方程进行求解即可；（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（30﹣m）个．根据题意得列出m≥2【解答】解：（1）设购买A种奖品x个，则购买B种奖品（30﹣x）个．根据题意列方程得，20x+15（30﹣x）＝510，整理得，5x＝60，解得x＝12．答：购买A种奖品12个；（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（30﹣m）个．根据题意列一元一次不等式得，m≥2解得m≥84又∵m为正整数，∴m的最小值为9，答：至少购买A种奖品9个．【点评】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出相应的方程或不等式．24．（2025•福州模拟）“春节一一中国人庆祝传统新年的社会实践”于2024年12月4日正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为弘扬中华传统文化，在综合实践课上，老师计划组织学生编织A、B两款中国结.3个A款中国结比2个B款中国结多用绳12米，若编织1个A款中国结和2个B款中国结需用绳20米．（1）求编织1个A款中国结和1个B款中国结各需用绳多少米；（2）老师计划编织这两款中国结共30个，向学校申请了200米绳子，那么最多能编织多少个A款中国结？【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）编织1个A款中国结需用8米，编织1个B款中国结需用6米；（2）最多能编织10个A款中国结．【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可．【解答】解：（1）设编织1个A款中国结需用a米，编织1个B款中国结需用b米，由题意可得：3a-2b=12a+2b=20解得a=8b=6答：编织1个A款中国结需用8米，编织1个B款中国结需用6米；（2）设编织了x个A款中国结，则编织了（30﹣x）个B款中国结，8x+6（30﹣x）≤200，解得x≤10，答：最多能编织10个A款中国结．【点评】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．25．（2025•思明区校级二模）研究发现人的身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供，碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如表：分解的营养物质氧气消耗量/克二氧化碳生成量/克释放热量/千焦1克碳水化合物11.5151克脂肪3345请解答下列问题：（1）研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克．（2）已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟）【考点】一元一次不等式的应用；近似数和有效数字；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪0.5克；（2）小祺至少需要分配43分钟进行快走．【分析】（1）设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物x克，脂肪y克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；（2）设小祺分配m分钟进行快走，则分配（60﹣m）分钟骑脚踏车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．【解答】解：（1）设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物x克，脂肪y克．根据题意，得x+3y=2.51.5x+3y=3解得x=1y=0.5即小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪0.5克，答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪0.5克；（2）设小祺分配m分钟进行快走，则分配（60﹣m）分钟骑脚踏车，根据题意，得27m+20（60﹣m）≥40×15+20×45．解得：m≥300∵结果精确到1分钟，∴m的最小值为43．答：小祺至少需要分配43分钟进行快走．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，近似数和有效数字，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．

考点卡片1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．3．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．4．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．5．整式的加减（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．（2）整式的加减实质上就是合并同类项．（3）整式加减的应用：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题．【规律方法】整式的加减步骤及注意问题1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．6．一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．7．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．8．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．9．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．10．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．11．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．12．不等式的定义（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．13．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变