【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题12 代数方程全章复习（5大考点）强化训练（解析版）

专题12代数方程全章复习（5大考点）强化训练

回圈画国

|一次方程R

小：

二次方程I

高次方程

二元一次方

程组

代IJ

数二元二次方

方程组

程

列方程解应用题

@@@@

一.高次方程（共17小题）

I.（2023春•浦东新区校级期末）写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是那么这个方程可

[y-2

以是_x+xy^+y=5_.

Y=1

【分析】根据题意，只要写出的方程是二元二次方程，且.■是该方程的解即可.

[y=2

【解答】解：答案不唯一，例如：x+g，+y=5,f+）,=3,等等.

故答案为：x+Ay+y=5（答案不唯一）.

【点评】此题主要考查了二元二次方程定义及二元二次方程的解，此题属于开放型试题，答案不唯一,

只要符合二元二次方程的定义，且：是该方程的解即可.

b=2

2.（2023春•浦东新区校级期末）若方程组卜2+丁=1有实数解，则实数A的取值范围是k„包

[x-3y+k=0—12—

【分析】消元法，消掉），，转化成一元二次方程有解.

x2+y=1

【解答】解:

x-3y+k=0

/.j=I-x2,3y=x+k,

：.3(\-x2)=x+k,

.•.3f+%+&-3=0,A=l-4x3x(jt-3)=-12A:+37..O,

,37

故答案为：k,M~.

12

【点评】此题考查了消元法，一元二次方程解的情况，关键是转化成一元二次方程解的问题.

3.(2023春•徐汇区校级期末)把二次方程/-40，+4)，2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别

是_x-2v+2=0>x-2y-2=0_.

【分析】由于二次方程Y-4孙+4)，2=4分解因式可以变为“-2)，+2)*-2)，-2)=0,由此即可求解.

【解答】解：•.•f—4刈+4)2=4,

/.(x-2.y)2-4=0,

:.(x-2y+2)(x-2y-2)=0,

A-2y+2=0,x-2y—2=0,

故答案为：x-2.y+2=0,x-2y-2=0.

【点评】此题主要考查了二元二次方程的解法，解题的关键是利用因式分解把高次方程变为一次方程解决问

题.

4.(2023春•长宁区校级月考)方程组卜:-1)"+3)=°的实数解的个数是()

y=x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】把V=x代入原方程，再化简成()，+1)(5-1)(>+3)=0,解方程即可求解.

s"“版J(x-D(y+3)=°

【解答】解：<2，

y=x

.-.(y2-l)Cv+3)=0,

二(y+1)()，-1)()，+3)=0，

y+1=0或-1=0或y+3=0,

3=-1或y=1或y=-3.

故选：C.

【点评】本题考查高次方程，解题关键是熟练掌握平方差公式和解方程.

5.(2023春・虹口区期末)将二元二次方程/-5孙，+6)，2=0化为两个一次方程为_X_2)，=0小-3)，=0_.

【分析】二元二次方程丁-5肛+6)，2=0的中间项-5盯=-2岁-3冲，根据十字相乘法分解即可.

【解答】解：•・・■?-5到+6y2=0,

:.(x-2y)(x-3y)=0,

/.A-2>'=0»x-3y=0.

故答案为：x-2y=0tx-3y=0.

【点评】本题考查了高次方程，熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键，考查了学生熟练分解因式的能力.

6.(2023春•长宁区校级月考)关于x、y的方程组一8二°有两个不相同的实数解，则

且上工0_.

【分析】利用代入消元法可得出收+2尤-2=0,再根据题意可知该方程有两个不相同的实数解，结合一元

二次方程根的判别式和一元二次方程的定义即得出△=〃-4牝=22-40(-2)〉0且上工0,解出女的解集印

可.

【解答】解：产+2)r=°®,

y-x=3®

由②得：y=x+3③，

将③代入①得：E+2(x+3)-8=0,

整理，得：kx2+2x-2=0,

关于x、)，的方程组卜一*2)〜8二°有两个不相同的实数解，

y-x=3

.•.收+212=0有两个不相同的实数解，

/.A=/?2-4ac=2z-4&x(-2)>0,且Aw(),

k>—且攵w0.

2

故答案为：女>一,且攵。0.

2

【点评】本题考查高次方程，根据一元二次方程的解得情况求参数，一元二次方程的定义.掌握一元二次方

程.2+8+C=03H0)的根的判别式为△=从一4亿,，且当△>()时，该方程有两个不相等的实数根；当^

=0时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键.

7.(2023春•长宁区校级月考)写出一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，使它的解

是『二：；那么该方程组可以是?"y=1.

5=-35=2-3=6一

【分析】解答本题时，首先观察给出的两组解的特点，发现两组解中第一组中的x与第二组中的)，互为相反

数，第一组中的y与第二组中的x互为相反数，所以可以肯定的是无论哪组中的x与_)，的差都是1,两组中

的、与)，的积都是6,所以得到符合题意的一组方程组.

【解答】解：由题可得:

x2-y2=\,x}y[=6,x2^2=6,

x-y=\

xy=6

x-y=\

故答案为:

xy=6

【点评】本题考查了二元一次方程和一个二元二次方程，熟练掌握其定义是解此题的关键.

8.（2023春•浦东新区期末）方程VT万=>/7=I的解是_x=l_.

【分析】利用方程两边平方的办法把无理方程转化为二次方程，求解并检验即可.

【解答】解：方程的两边平方，得x-1=9—1,

整理，得Y-AO,

解这个方程，得为=0,毛=1.

经检验，x=l是原方程的解.

故答案为：x=1.

【点评】本题主要考查了无理方程，把无理方程转化为整式方程是解决本题的关键.

9.（2023春•长宁区校级期中）方程4f=~!"的解是士，.

4・2一

【分析】先把系数化为I,再开4次方，求出x的值.

【解答】解：4/=1,

故答案为：士工.

2

【点评】本题考查了解高次方程，解题的关键掌握开方运算.

x2+9=4

10.（2023春•长宁区校级月考）解方程组

6x2+xy-y2=0

【分析】由②得：（3x-y）（2x+y）=0,得出3工-），=0或2x+y=0,解得：y=3x或y=-2x,分别代入①,

解一元二次方程即可求解.

x2+y2=4①

【解答】解:

6x2+xy-y2=0@

由②得：(3x—y)(2x+y)=0,

3x-y=0或2x+y=0,

解得：y=3x或y=—2x,

当y=-2x时，代入①得：X2+(-2A)2=4,

解得：x=W275

5

2x/52x/5

5或，

4x/54&

),2=-

当y=3x时,代入①得：f+(3x)2=4,

解得：x.=—,x=-—,

545

综上所述，方程组的解为:

【点评】本题主要考查高次方程，解高次方程的根本思想是化归思想，解题的关键是：次数较高可通过因式

分解再代入等方法降寻求解即可.

11.（2023春•黄浦区期末）解方程：［:二2：=6

4x~+4.0+=4

【分析】首先把原来的方程粗化成二元一次方程组，然后应用加减法，求出方程组的解是多少即可.

y-2x=6

【解答】解:

4x2+4.昼+y2=4

y-2%=6y-2.r=6

cC或《

2x+y=2lx+y=-2

x=-1„x=-2

解得或，

y=4y=2

【点评】此题主要考查了高次方程的求解方法，要熟练掌握，注意解高次方程一般要降次，即把它转化成二

次方程或一次方程.

x2-3xy+2y2=0

12.（2023春•浦东新区校级期末〕解方程组：

x+2y-!2=O

【分析】由①得出"—），）*—2），）=0,求出x—），=0或x—2y=0,把这两个方程与②组成方程组为

x+2)，=12x+2y=\2

,再求出方程组的解即可.

x-y=0x-2y=0

x2-3x),+2y*=00

【解答】解:

x+2y-\2=O®

由①，得(x-y)(x-2y)=0,

即工一y=0或x-2y=0,

把这两个方程与②组成方程组得：IE）：%1+y=：2

x-y=0lx-2y=0

X=4x=6

解得：2

y=4)2=3

X=4毛=6

故方程组的解为：

y=49=3

【点评】本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的

关键.

3（2期春•杨浦区期中）解方程组：｛：Xr-，=0

【分析】由②得出x=5-2），④，由①得出：（x—），尸=1③，把④代入③得出关于），的方程，求出y的值，把

），的值代入④即可求出

【解答】解：产+户2冲-1=。①

x+2y=5②

由①得：(x—y)~=l③,

由②得：x=5-2y④,

把④代入③得：(5-2y-y)2=1,

A

解得：）1=2,y2=—»

把K=2代入④得：.I：=1;

把内=±代入④得：±=[；

33

7

X]=12=~

即方程组的解为：\[.3

b『24

【点评】本题考查了解高次方程组和解一元一次方程，关键是能把力程组转化成一元一次方程.

14.(2023春•浦东新区校级期末)解方程组：:一盯一6：=0.

厂+2xy+y=4

【分析】由①得出(x-3y)(x+2y)=O,求出x-3y=0或x+2y=0③,由②得出(x+»=4,求出x+y=±2

④，由③和④组成四个二元一次方程组，再求出方程组的解即

【解答】解：卜二孙一6)：=。®

x*+2xy+y'=4②

由①,得(x-3y)(x+2y)=O,

x-3y=0或x+2y=0③，

由②，得(x+y)2=4,

开方得：x+y=±2④，

由③和④组成四个二元一次方程组：

【点评】本题考查了解岛•次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键.

15.(2023春•杨浦区期末)解方程组：卜：7?+6y

x~+y~=40

【分析】利用I大I式分解的办法把方程组中的第一个方程化为两个一次方程,与方程组中的第二个方程组成新

的方程组，求解即可.

【解答】解：卜「干+63=00,

|/+),2=40②

由①，得(x-2y)(x-3y)=0.

「.x-2y=0或x-3y=0.

所以原方程组可变形为(V2T，或者\x~W°仙..

解这两个方程组,得卜二，巴"T’,

[y=2加卜=-2a区=2[”=-2

原方程组的解为：卜=4,,卜=”，尸：，

凶=2V2(y2=-2V21>3=2⑶=-2

【点评】本题主要考查了二元二次方程组，把原方程转化为由一个一次方程和一个二次方程组成的方程组是

解决本题的关键.

16.（2023春•徐汇区校级期末）解方程组：卜+6y2=°

X-+y~+x-lly-2=0

【分析】利用因式分解的办法把方程组中的①化为两个一次方程，再与方程组中的第二个方程组成新的方程

组，利用代入法和一元二次方程的解法求解即可.

x2-5xy+6y2=0®

【解答】解：

x2+y2+x-\\y-2=0®，

由①，得(x-2y)(x-3y)=0,

=。或x-3y=0.

x-3y=()

••.原方程组可化为或者,

x2+y2+x-lIj-2=0"

2

解方程组］：「：；、­（产办=一5x,=4

y=一

5

3

X=3

解方程组或者产54

>4=1

%二一5

93

%,=4x=3

•••原方程组的解为：54

1%=2>4=1

）‘3=一5

【点评】本题考查了二元二次方程组，掌握方程组的解法及一元二次方程的解法是解决本题的关键.

17.（2023春•长宁区校级月考）实数。使关于X、的方程组':…有实数解（中

(1)求证|y\..2；

（2）求"+//的最小值.

【分析】（1）由町，一V=1变形得|）“=|'+刈=,利用完全平方式的非负性质即可得

X

到答案;

（2）当|a|,,4时，有土年三,，一2,或一"+'?一劭2,利用不等式的性质分类讨论得出/+〃的

最信即可得到答案.

【解答】解：（1）VAy-x2=l,

/.xy=\+x2,

•..q

.*.)'=-+X，

X

.•.当x>0时，(Vx-J-)2..O,

当且仅当x=L,即x=I时等式成立；

X

二当x<0时，-x>0,

:.y=-+x=-[(-x)+(--)1,-2(-X)x(--)=-2

xxVx

当且仅当-x=-L，即工=-1时等式成立；

X

(2)将V=.一]代入方程②，得M)，+0+6)=0,所以>，+町,+/,=(),

因为题中方程组有实数解，所以方程V+ay+〃=。在%-2,或)，..2的范围内至少有一个实根,

⑴当匕|,,4时，有土耳三一2,或士字三色.2,

/.7«2-4Z?..4-67,或-4b..4+a,

即2a.。十4,或2“，一(》+4),

若6+4..0,即8...一4时，12al./+4,由此得/...幺+%+4,

4

:.两边同时加上b~得：ci"+b'..+2b+4+3，

4

.•・当/+从原从+2〃+4=3(〃+±)2+33,

44555

当人=-9时，上式等号成立，此时4=土日，

55

若方+4<0,即。<T时，对于满足2a.Z?+4,或2氏一(〃+4)的任意实数“，均有

(//)当|a|>4时，a2+b2,

综上可知，从的最小值为史.

【点评】本题考查了配方法，完全平方式的性质，不等式的性质等知识点，熟练运用其性质是解决此题的关

键.

二.无理方程（共15小题）

18.（2023春•浦东新区校级期末）下列方程中，有实数根的方程是（）

A.2/+1=0B.丁+1=0C.VT7l+3=0D.—=—

x-\x-\

【分析】利用高次方程、无理方程及分式方程的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、整理得：/=-1,故次方程无解；

2

B、整理得f=7,解得：x=-l,符合题意；

。、整理得VT万=-3,无解，不符合题意；

。、去分母后得］=1,代入最简公分母x-1=0,故次方程无实数根，

故选：B.

【点评】本题考杳了高次方程、无理方程及分式方程的定义的知识，解题的关键是了解有关的定义，难

度不大.

19.（2023春•杨浦区期末）如果关于x的方程五用=a-l无实数解，那么〃的取值范围是_avl_.

【分析】根据算术平方根是非负数可知方程无实数解时4-1V0,求解即可得出〃的值.

【解答】解：•.•关于％的方程=1无实数解，

/-G—1V0,

：.G<\.

故答案为：a<\.

【点评】此题主要是考查了无理方程的解法，及算术平方根的性质，能够根据方程无解得到关于a的不等式

是解答此题的关键.

20.（2023春•杨浦区期中）下列说法中，正确的个数有（）

1

(1)关于x的方程-1=0既是分式方程，又是无理方程:

忑

（2）关于x的方程/=0是二项方程；

（3）关于x、y的方程/一3孙-）3=0是二元二次方程:

（4）关于x的方程V—3冲+1=0是无理方程.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据分式方程的定义和无理方程的定义对（I）进行判断；根据一元二次方程、二元二次方程的定

义对（2）（3）（4）进行判断.

【解答】解:关于x的方程-1=0不是分式方程，是无理方程，所以（I）错误;

苏

关干K的方程是二次方程，所以（2）错误;

关于X、y的方程.12-3冷，-），2=0是二元二次方程，所以（3）正确：

关于x的方程V-3何+1=0是二元二次方程，所以（4）错误.

故选：13.

【点评】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方

程.也考查了高次方程和分式方程的定义.

21.（2023春•静安区期末）下列方程中，x=l是它的根的方程为（）

211

A.^-^=0B.2?-6=0C.4+1=（）D.-=——

x-1x+1x+1

【分析】选项A和选项。把分式方程化成整式方程，求出方程能解，再进行检验即可；选项8求出父=3,

再求出方程的解即可；选项。求巴4=7,再求出方程无解即可.

【解答】解：A.二^=0,

x-1

^-1=0,

解得：x=±l»

经检验x=l是增根，x=T是方程的解，即x=l不是方程的解，故本选项不符合题意;

B.2_?—6=0,

2A-3=6,

x3=3,

解得：x=盯，即x=l不是方程的解，故本选项不符合题意；

c.4+1=0,

y/x=—1,

不论X为何值，X的算术平方根不能为负数，

所以此方程无解，即*=1不是方程的解，故木选项不符合题意；

D1—1

u•-------------，

X+1X+1

方程两边都乘X+1,得V=1,

解得；A=±l,

经检验x=-l不是方程的解，大=1是方程的解，故本选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了方程的解，解无理方程和解分式方程等知识点，能求出方程的解是解此题的关键.

22.（2023春•长宁区校级月考）已知关于x的方程/〃+病与=4有实数解，那么〃?的取值范围是_俏,4

【分析】根据二次根式的非负性，即可求解.

【解答】解：:m+\Jx-2=4,

4X-2=4—77?，

:.%4,

故答案为：〃4,4.

【点评】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点.

27/0

23.（2023春•长宁区校级月考）（1）方程且-=1的解是x=-；

8-3―

（2）方程（X-1）4—16=0的解是；

（3）方程=0的解是；

（4）方程组的解是

»=2

【分析】（1）先求出V,然后再开立方计算即可；

（2）先整体求出（x-l）2,再整体求出彳-1,进而求得x即可：

（3）先根据算术平方根的非负性列式求解即可；

（4）先用代入法，然后解一元二次方程即可解答.

【解答】解：（1）­=1,

8

38

x=一，

27

2

x=—，

3

故答案为：x=2；

3

（2）（A-1）4-16=0,

d）2=4,

x-\=±2，

%=3,x,=-1»

故答案为：A）=3,A;=-1；

（3）vVT+X->/2X-I=O,

.,.l+x=O或2x-l=0且2x-l..O,l+x.O,

x=-1或x=，且x..L

22

1

「・X=一，

2

故答案为：x=-：

2

（4）「=3®

xy=2②

由①可得x=3-y③，

将③代入孙=2可得：y2-3y+2=0,

解得y=l或），=2,

当y=l时，x=2；当y=2时，工=1；

Y-1x=2

所以该方程组的解为一）或一，.

y=2[y=1

故答案为：或[弋.

【点评】本题主要考查了立方根、算术平方根、平方根、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，灵活运

用相关知识点成为解答本题的关键.

24.（2023春•长宁区校级月考）已知方程J2r+x=，有一根为了=3,那么『=3.

【分析】将x=3代入＞/5万工=，求得工的值即可.

【解答】解：将x=3代入751二=，可得：而,

所以，-2-3=0,解得，=3或，=一1,

由j2/+x=/..O,则/=3.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了无理方程的根，使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根.

25.（2023春•徐汇区校级期末）如果关于x的无理方程有实数根x=l,那么/〃的值为_T_.

【分析】把方程两边平方去根号得一元二次方程，然后将x=l代入方程即可求出左值.

【解答】解：两边同时平方可得：2x+m=x2

实数根1是方程的解，x=l代入方程，

可解得〃?=—1；

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了

平方法，属于基础题.

26.（2023春•杨浦区期中）解方程：X-VX^T-3=（）.

【分析】先移项得到X-3=Q,再把方程两边平方，整理得到丁-7工+10=0,解得％=2,9=5,然

后进行检验确定原方程的解.

【解答】解：x-x/x-1-3=0,

X

-3)2=1,

整理得f-7x+10=0,

解得％=2,占=5，

检验：当x=2时，方程左边=2-\/2-1-3=-2=0,

所以方程左边工方程右边，x=2不是原方程的解；

当工=5时，方程左边=5->/^?-3=-2=0,

所以方程左边二方程右边，x=5是原方程的解；

所以原方程的解为x=5.

【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解.解无理方程，往

往会产生增根，应注意验根.

27.(2023春•杨浦区期末)解方程：V2x-4-Vx+5=l

【分析】无理方程左右两边平方，整理后再平方求出解，检验即可.

【解答】解：两边平方得：2x-4+x+5-2，(2%-4)*+5)=1,即3x=2j(2x—4)(x+5),

再两边平方得：9x2=4(2x2+6x-20),即d—24x+80=0,

解得：=4>x2=20»

经检验x=4和x=20都是无理方程的解.

【点评】此题考查了无理方程，无理方程求出解注意要检验.

28.(2023春•长宁区校级月考)解方程=

【分析】先对式子两边进行平方，然后把含有根号的式子移到方程的一边，再进行平方即可化成一元二次方

程，解方程求得x的值，然后进行检验即可.

【解答】解：方程两边平方，得：x+5+2x+3-2«r+5)(2x+3)=l,

即3.v+7=2j(x+5)(2x+3),

两边平方，得：+42x+49=8/+52x+60,

化简得：x2-IOx-ll=O,

即(x+ll)(x-l)=0,

解得：x=ll或一1.

经检验：”=-1是方程的根，-11是增根.

则原方程的根是：x=-l.

【点评】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法.

29.(2023春•浦东新区校级期末)解方程：4TT-l=x.

【分析】先把方程变形为V7TT=xr,方程的两边平方得到整式方程，解整式方程并验根即可.

【解答】解：

:.vx+1=x+1.

方程的两边平方，得X+1=(X+1)2,

(x+1)2-(x+l)=O.

.\(x+l)(x+l-l)=O.

x(x+1)=0.

解得：x1=0»=—1.

经检验，0、-1都是原方程的解.

.••原方程的解为：&=()，9=一1.

【点评】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的一般步骤是解决本题的关键.

30.(2023春•浦东新区校级期末)下列方程中，有实数根的是()

A.x/x-1=-XB.Jx-l+Jx+2=0

C.D.X/7+2=X

x2-lx2-1

【分析】先把方程两边平方得出x-l=x\整理后根据根的判别式即可判断选项A;移项后两边平方，即可

判断选项4；方程两边都乘V—1求出x=i,再进行检验，即可判断选项C,方程两边平方得出x+2=f,

求出方程的解，再进行检验，即可判断选项O.

［解答］解：A.x/x-1=-x,

两边平方得：x-\=(-x)2,

整理得：x2-x+l=0,

△=(-l)2-4xlxl=-3<0,

所以方程无实数根，故本选项不符合题意；

B.+&+2=0,

Jx-l=-x/x+2,

两边平方得：x-l=x+2,

即-1=2,

即原方程无实数根，故木选项不符合题意；

方程两边都乘丁-1,得x=l,

经检验x=l是增根，

即分式方程无实数根，故本选项不符合题意;

D.\［x+2=x,

两边平方得：x+2=f,

即工2-x-2=0,

解得：x=2或T,

经检验x=-l不是原方程的解，x=2是原方程的解，

即方程有实数根，故本选项符合题意；

故选：D.

【点评】本撅考杳了解无理方程和解分式方程，能杷分式方程转化成整式方程和能杷无理方程转化成有理方

程是解此题的关键.

31.（2023春•静安区期末）下列方程中，属于无理方程的是（）

A./一拒=。B.x/2x=lC.—=1D.>/2x=0

x

【分析】根据方程的相关知识对四个选项进行判断.

【解答】解：4属于一元二次方程，所以不是无理方程，不符合题意；

〃属于无理方程，符合题意；

C属于分式方程，所以不是无理方程，不符合题意；

。属于一元一次方程，所以不是无理方程，不符合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义、无理方程的知识、分式方程的定义、一元一次方程的定义.

32.（2023春•浦东新区校级期末）若关于x的方程4^7-a+1=0有实数根，则〃的取值范围是

【分析】利用得到关于〃的不等式，然后解不等式即可.

【解答】解：:\/4-x-a+1=0,

V4-X=4-1,

,/方程J4-X-a+1=0有实数根，

/.。—1..0,

解得4..1,

即。的范围为4..1.

故答案为：a.A.

【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注

意根据方程的结构特征选择解题方法.用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.

三.分式方程的增根（共4小题）

33.（2023春•黄浦区期中）如果x=3是方程上=2-一丝的增根，那么1的值为3.

x-33-x

【分析】先把方程去分母得到工=2*-3）+&,由于x=3是方程」一=2-一J的增根，则把x=3代入

x—33—x

x=2(x-3)+2,然后解关于4的方程即可得到k的值.

【解答】解：方程两边同乘以l-3得，x=2(x-3)+A,

门=3是方程上=2-一丝的增根，

x-33—x

.•.3=2(3-3)+我,

.•.4=3.

故答案为3.

【点评】本题考查了分式方程的增根：把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程

左右两边不成立(或分母为0),那么这个未知数的值叫分式方程的增根.

34.(2023春•长宁区校级月考)已知关于x的方程/—=一匕有增根，那么&=1.

X2-4x-2-4~

【分析】先去分母得1=女0+2),再把增根x=±2代入即可求得左值.

去分母得：1=代X+2),

由分式方程有增根，得到f-4=0,即工=±2,

把工=2代入整式方程1=小+2),

解得太=4.

4

把工=一2代入整式方程1=k(x+2),

无解.

故答案为：—.

4

【点评】本题主要考查分式方程的解法及增根问题，解题的关键是熟知分式方程的解法.

35.(2023秋•普陀区期末)如果方程上+，_=4有增根，那么增根是-2.

x+22+x~~

【分析】将原方程等号左边通分，若它有增根，其分母为零，求出此时x的值即可.

【解答】解：•.■原方程可整理为*=4,它有增根，

A+2

.*.A+2=0,

A=­2•

故答案为：-2.

【点评】本题考查分式方程的增根，理解并掌握增根的定义是本题的关键.

36.(2023春•宝山区校级期中)当帆=-3或5,方程」+工=士丝会产生增根.

-xx-\x(x-\)

【分析】用含，〃的代数式表示X的值，通过x=O或x=l时为增根求，〃的值.

【解答】解：方程两边同时乘以其X-1）得，

3（A-l）+6.v=x+/zz，

•.•方程有增根，

二.x=0或x=l,

把工=0代入3（x-1）+6x=X+777,

解得〃?=-3»

把工=1代入3（x1）46x=xvm>

解得in=5,

故答案为：-3或5.

【点评】本题考查分式方程增根问题，解题关键是将原式化简，分别代入x为增根的值.

四.由实际问题抽象出分式方程（共3小题）

37.（2023春•静安区校级期中）某铁路隧道严重破坏.为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计

划多修5米，结果提前4天开通列车.原计划每天修多少米？设原计划每天修x米，所列方程正确的是

（）

x+5xxx+5

c120120/n120120

C.---------=4D.---------=44

x-5xxx-5

【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的.关键描述语是：''提前

4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间-实际所用的时间=4.

【解答】解：原来所用的时间为：—,实际所用的时间为：—.所列方程为：--—=4.

xx+5xx+5

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程.题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据

另•个量来列等量关系的.找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.

38.（2023春•长宁区校级月考）甲乙两队要限期完成某工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5

天，现在两队合作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为人•天，那么可列方程为（）

.3x.3x仆3x.3x

A.----+----=1Bn.----=----C.----+----=1D.-----+----=x

x+2x-5x-1x-5x-2x+5x-2x+5

【分析】设工作总量为1,工程期限为x天，可得甲、乙两工程队的工作效率，然后根据等量关系“两队合

作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工”即可列出方程.

【解答】解：设工作总量为1，工程期限为x天，那么甲工程队的工作效率为‘一，乙工程队的工作效率为

x-2

1

x+5

根据题意，所歹I」方程为3（，一+，一）+，一*-3）=1,

x-2A+5x+5

化简得甘我”

故选：C.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系是解答

本题的关键.

39.（2023春•宝山区期木）上海市16个区共约1326条健身步道和绿道，甲、乙两人沿着总K度为9T米

的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程.如果设乙的速度为尸千米/时，

那么下列方程中正确的是（）

9999

AA.-------=1I5CB.—---=0.25

x1.5x\.5xx

99

C.—---=15

\.5xxx1.5x

【分析】由甲、乙速度之间的关系可得出甲的速度为1.5x切"6,利用时间:路程+速度，结合甲比乙提前

15分钟走完全程，即可得出关于.r的分式方程，此题得解.

【解答】解：:甲的速度是乙的L5倍，且乙的速度为xkm/h,

二甲的速度为\.5xkm/h.

依题意得：--一—=0.25.

x1.5x

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

五.分式方程的应用（共12小题）

40.（2023秋•普陀区期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区

B,公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，

其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达4景区.假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的

速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？

【分析】设骑脚踏车学生的速度为每小时千米，则乘电瓶车学生的速度为每小时2x千米，利用时间二路

程+速度，结合乘电瓶车学生比骑脚踏车学生少用半小时，可列出关于x的分式方程，解之经检睑后，即可

得出结论.

【解答】解：设骑脚踏车学生的速度为每小时x千米，则乘电瓶车学生的速度为每小时2x千米，

根据题意得：

x2,v2

解答：x=15>

经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意.

答：骑脚踏车学生的速度为每小时15千米.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

41.(2023春•普陀区期末)A、8两地相距360千米，一辆汽车准备从A地开往8地，但由于任务紧急,

现在实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达3地.求汽车原计划的速度.

【分析】设汽车原计划的速度为X千米/时，则汽车实际行驶的速度为3+20)千米/时，利用时间=路程+

速度，结合实际比原计划提前3